2018年高考数学压轴题小题
2018年高考数学压轴
题小题
-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
2018年高考数学压轴题小题
一.选择题(共6小题)
1.(2018?新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()
A.﹣50 B.0 C.2 D.50
2.(2018?新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为
()
A.B.C.D.
3.(2018?上海)设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()
A. B.C.D.0
4.(2018?浙江)已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足﹣4?+3=0,则|﹣|的最小值是()
A.﹣1 B.+1 C.2 D.2﹣
5.(2018?浙江)已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3,则()
A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1
6.(2018?浙江)函数y=2|x|sin2x的图象可能是()
A.B.C.
D.
7.(2018?江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为.
8.(2018?江苏)若函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为.
9.(2018?天津)已知a>0,函数f(x)=.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是.
10.(2018?北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为.
11.(2018?上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为.
12.(2018?上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=.
13.(2018?浙江)已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是.
14.(2018?浙江)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m=时,点B横坐标的绝对值最大.
15.(2018?浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
三.解答题(共2小题)
16.(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.
17.(2018?浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P (﹣,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
2018年高考数学压轴题小题
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.(2018?新课标Ⅱ)已知f(x)是定义域为(﹣∞,+∞)的奇函数,满足f(1﹣x)=f(1+x),若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()
A.﹣50 B.0 C.2 D.50
【解答】解:∵f(x)是奇函数,且f(1﹣x)=f(1+x),
∴f(1﹣x)=f(1+x)=﹣f(x﹣1),f(0)=0,
则f(x+2)=﹣f(x),则f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),
即函数f(x)是周期为4的周期函数,
∵f(1)=2,
∴f(2)=f(0)=0,f(3)=f(1﹣2)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2,
f(4)=f(0)=0,
则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+0﹣2+0=0,
则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=12[f(1)+f(2)+f(3)+f(4)]+f(49)+f(50)
=f(1)+f(2)=2+0=2,
故选:C.
2.(2018?新课标Ⅱ)已知F1,F2是椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点,A是C的左顶点,点P在过A且斜率为的直线上,△PF1F2为等腰三角形,∠F1F2P=120°,则C的离心率为()
A.B.C.D.
【解答】解:由题意可知:A(﹣a,0),F1(﹣c,0),F2(c,0),
直线AP的方程为:y=(x+a),
由∠F1F2P=120°,|PF2|=|F1F2|=2c,则P(2c,c),
代入直线AP:c=(2c+a),整理得:a=4c,
∴题意的离心率e==.
故选:D.
3.(2018?上海)设D是函数1的有限实数集,f(x)是定义在D上的函数,若f(x)的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合,则在以下各项中,f(1)的可能取值只能是()A.B.C.D.0
【解答】解:由题意得到:问题相当于圆上由12个点为一组,每次绕原点逆时针旋转个单位后与下一个点会重合.
我们可以通过代入和赋值的方法当f(1)=,,0时,此时得到的圆心角为,,0,然而此时x=0或者x=1时,都有2个y与之对应,而我们知道函数的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=,此时旋转,此时满足一个x只会对应一个y,因此答案就选:B.
故选:B.
4.(2018?浙江)已知,,是平面向量,是单位向量.若非零向量与的夹角为,向量满足﹣4?+3=0,则|﹣|的最小值是()
A.﹣1 B.+1 C.2 D.2﹣
【解答】解:由﹣4?+3=0,得,
∴()⊥(),
如图,不妨设,
则的终点在以(2,0)为圆心,以1为半径的圆周上,
又非零向量与的夹角为,则的终点在不含端点O的两条射线y=(x>0)上.
不妨以y=为例,则|﹣|的最小值是(2,0)到直线的距离减1.
即.
故选:A.
5.(2018?浙江)已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点).设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3,则()
A.θ1≤θ2≤θ3B.θ3≤θ2≤θ1C.θ1≤θ3≤θ2D.θ2≤θ3≤θ1
【解答】解:∵由题意可知S在底面ABCD的射影为正方形ABCD的中心.
过E作EF∥BC,交CD于F,过底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N,连接SN,
取AB中点M,连接SM,OM,OE,则EN=OM,
则θ1=∠SEN,θ2=∠SEO,θ3=∠SMO.
显然,θ1,θ2,θ3均为锐角.
∵tanθ1==,tanθ3=,SN≥SO,
∴θ1≥θ3,
又sinθ3=,sinθ2=,SE≥SM,
∴θ3≥θ2.
故选:D.
6.(2018?浙江)函数y=2|x|sin2x的图象可能是()
A.B.C.
D.
【解答】解:根据函数的解析式y=2|x|sin2x,得到:函数的图象为奇函数,
故排除A和B.
当x=时,函数的值也为0,
故排除C.
故选:D.
二.填空题(共9小题)
7.(2018?江苏)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线﹣=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线的距离为c,则其离心率的值为2.
【解答】解:双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)到一条渐近线y=x的距离为c,
可得:=b=,
可得,即c=2a,
所以双曲线的离心率为:e=.
故答案为:2.
8.(2018?江苏)若函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为﹣3.
【解答】解:∵函数f(x)=2x3﹣ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,
∴f′(x)=2x(3x﹣a),x∈(0,+∞),
①当a≤0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0,
函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,f(0)=1,f(x)在(0,+∞)上没有零点,舍去;
②当a>0时,f′(x)=2x(3x﹣a)>0的解为x>,
∴f(x)在(0,)上递减,在(,+∞)递增,
又f(x)只有一个零点,
∴f()=﹣+1=0,解得a=3,
f(x)=2x3﹣3x2+1,f′(x)=6x(x﹣1),x∈[﹣1,1],
f′(x)>0的解集为(﹣1,0),
f(x)在(﹣1,0)上递增,在(0,1)上递减,
f(﹣1)=﹣4,f(0)=1,f(1)=0,
∴f(x)min=f(﹣1)=﹣4,f(x)max=f(0)=1,
∴f(x)在[﹣1,1]上的最大值与最小值的和为:
f(x)max+f(x)min=﹣4+1=﹣3.
9.(2018?天津)已知a>0,函数f(x)=.若关于x的方程f(x)=ax恰有2个互异的实数解,则a的取值范围是(4,8).
【解答】解:当x≤0时,由f(x)=ax得x2+2ax+a=ax,
得x2+ax+a=0,
得a(x+1)=﹣x2,
得a=﹣,
设g(x)=﹣,则g′(x)=﹣=﹣,
由g′(x)>0得﹣2<x<﹣1或﹣1<x<0,此时递增,
由g′(x)<0得x<﹣2,此时递减,即当x=﹣2时,g(x)取得极小值为g(﹣2)=4,
当x>0时,由f(x)=ax得﹣x2+2ax﹣2a=ax,
得x2﹣ax+2a=0,
得a(x﹣2)=x2,当x=2时,方程不成立,
当x≠2时,a=
设h(x)=,则h′(x)==,
由h′(x)>0得x>4,此时递增,
由h′(x)<0得0<x<2或2<x<4,此时递减,即当x=4时,h(x)取得极小值为h(4)=8,要使f(x)=ax恰有2个互异的实数解,
则由图象知4<a<8,
故答案为:(4,8)
10.(2018?北京)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为;双曲线N的离心率为2.
【解答】解:椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:﹣=1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,
可得椭圆的焦点坐标(c,0),正六边形的一个顶点(,),可得:,可得,可得e4﹣8e2+4=0,e∈(0,1),
解得e=.
同时,双曲线的渐近线的斜率为,即,
可得:,即,
可得双曲线的离心率为e==2.
故答案为:;2.
11.(2018?上海)已知实数x1、x2、y1、y2满足:x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,则+的最大值为+.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
=(x1,y1),=(x2,y2),
由x12+y12=1,x22+y22=1,x1x2+y1y2=,
可得A,B两点在圆x2+y2=1上,
且?=1×1×cos∠AOB=,
即有∠AOB=60°,
即三角形OAB为等边三角形,
AB=1,
+的几何意义为点A,B两点
到直线x+y﹣1=0的距离d1与d2之和,
显然A,B在第三象限,AB所在直线与直线x+y=1平行,
可设AB:x+y+t=0,(t>0),
由圆心O到直线AB的距离d=,
可得2=1,解得t=,
即有两平行线的距离为=,
即+的最大值为+,
故答案为:+.
12.(2018?上海)已知常数a>0,函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).若2p+q=36pq,则a=6.
【解答】解:函数f(x)=的图象经过点P(p,),Q(q,).
则:,
整理得:=1,
解得:2p+q=a2pq,
由于:2p+q=36pq,
所以:a2=36,
由于a>0,
故:a=6.
故答案为:6
13.(2018?浙江)已知λ∈R,函数f(x)=,当λ=2时,不等式f(x)<0的解集是{x|1<x<4}.若函数f(x)恰有2个零点,则λ的取值范围是(1,3]∪(4,+
∞).
【解答】解:当λ=2时函数f(x)=,显然x≥2时,不等式x﹣4<0的解集:{x|2≤x<4};x<2时,不等式f(x)<0化为:x2﹣4x+3<0,解得1<x<2,综上,不等式的解集为:{x|1<x<4}.
函数f(x)恰有2个零点,
函数f(x)=的草图如图:
函数f(x)恰有2个零点,则1<λ≤3或λ>4.
故答案为:{x|1<x<4};(1,3]∪(4,+∞).
14.(2018?浙江)已知点P(0,1),椭圆+y2=m(m>1)上两点A,B满足=2,则当m= 5时,点B横坐标的绝对值最大.
【解答】解:设A(x1,y1),B(x2,y2),
由P(0,1),=2,
可得﹣x1=2x2,1﹣y1=2(y2﹣1),
即有x1=﹣2x2,y1+2y2=3,
又x12+4y12=4m,
即为x22+y12=m,①
x22+4y22=4m,②
①﹣②得(y1﹣2y2)(y1+2y2)=﹣3m,
可得y1﹣2y2=﹣m,
解得y1=,y2=,
则m=x22+()2,
即有x22=m﹣()2==,
即有m=5时,x22有最大值4,
即点B横坐标的绝对值最大.
故答案为:5.
15.(2018?浙江)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成1260个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【解答】解:从1,3,5,7,9中任取2个数字有种方法,
从2,4,6,0中任取2个数字不含0时,有种方法,
可以组成=720个没有重复数字的四位数;
含有0时,0不能在千位位置,其它任意排列,共有=540,
故一共可以组成1260个没有重复数字的四位数.
故答案为:1260.
三.解答题(共2小题)
16.(2018?上海)设常数a∈R,函数f(x)=asin2x+2cos2x.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)若f()=+1,求方程f(x)=1﹣在区间[﹣π,π]上的解.
【解答】解:(1)∵f(x)=asin2x+2cos2x,
∴f(﹣x)=﹣asin2x+2cos2x,
∵f(x)为偶函数,
∴f(﹣x)=f(x),
∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,
∴2asin2x=0,
∴a=0;
(2)∵f()=+1,
∴asin+2cos2()=a+1=+1,
∴a=,
∴f(x)=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+)+1,
∵f(x)=1﹣,
∴2sin(2x+)+1=1﹣,
∴sin(2x+)=﹣,
∴2x+=﹣+2kπ,或2x+=π+2kπ,k∈Z,
∴x=﹣π+kπ,或x=π+kπ,k∈Z,
∵x∈[﹣π,π],
∴x=或x=或x=﹣或x=﹣
17.(2018?浙江)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P (﹣,﹣).
(Ⅰ)求sin(α+π)的值;
(Ⅱ)若角β满足sin(α+β)=,求cosβ的值.
【解答】解:(Ⅰ)∵角α的顶点与原点O重合,始边与x轴非负半轴重合,终边过点P(﹣,﹣).
∴x=﹣,y=,r=|OP|=,
∴sin(α+π)=﹣sinα=;
(Ⅱ)由x=﹣,y=,r=|OP|=1,
得,,
又由sin(α+β)=,
得=,
则cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=,
或cosβ=cos[(α+β)﹣α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=.∴cosβ的值为或.
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[数学]数学高考压轴题大全
1、(本小题满分14分) 已知函数. (1)当时,如果函数仅有一个零点,求实数的取值范围; (2)当时,试比较与的大小; (3)求证:(). 2、设函数,其中为常数. (Ⅰ)当时,判断函数在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数的有极值点,求的取值范围及的极值点; (Ⅲ)当且时,求证:. 3、在平面直角坐标系中,已知椭圆.如图所示,斜率为且不过原 点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,射线交椭圆于点,交直 线于点. (Ⅰ)求的最小值; (Ⅱ)若?,(i)求证:直线过定点;
(ii )试问点,能否关于轴对称?若能,求出 此时 的外接圆方程;若不能,请说明理由. 二、计算题 (每空? 分,共? 分) 4 、设函数 的图象在点处的切线的斜率 为 ,且函数为偶函数.若函数 满足下列条件:①;② 对一切实数 ,不等式恒成立. (Ⅰ)求函数的表达式; (Ⅱ)求证: . 5 、已知函数: (1 )讨论函数的单调性; (2) 若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为,问:在什么范围取值 时,函数 在区间上总存在极值? (3)求证:.
6、已知函数=,. (Ⅰ)求函数在区间上的值域; (Ⅱ)是否存在实数,对任意给定的,在区间上都存在两个不同的, 使得成立.若存在,求出的取值范围;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)给出如下定义:对于函数图象上任意不同的两点,如果对 于函数图象上的点(其中总能使得 成立,则称函数具备性质“”,试判断函数是不是具 备性质“”,并说明理由. 7、已知函数 (Ⅰ)若函数是定义域上的单调函数,求实数的最小值; (Ⅱ)方程有两个不同的实数解,求实数的取值范围; (Ⅲ)在函数的图象上是否存在不同两点,线段的中点的横坐标 为,有成立?若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由. 8、已知函数: ⑴讨论函数的单调性;