十年高考真题分类汇编(2010-2019) 数学 专题09 不等式

十年高考真题分类汇编（2010—2019）数学

专题09不等式

1.(2019·全国1·理T4文T4)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例,

且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )

A.165 cm

B.175 cm

C.185 cm

D.190 cm

【答案】B

【解析】设人体脖子下端至肚脐的长度为x cm,则,得x≈42.07,又其腿

长为105 cm,所以其身高约为42.07+105+26=173.07(cm),接近175 cm.故选B.

2.(2019·全国2·理T6)若a>b,则( )

A.ln(a-b)>0

B.3a<3b

C.a3-b3>0

D.|a|>|b|

【答案】C

【解析】取a=2,b=1,满足a>b.但ln(a-b)=0,排除A;

∵3a=9,3b=3,∴3a>3b,排除B;∵y=x3是增函数,a>b,∴a3>b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,排除D.故选C.

3.(2019·天津·理T2文T2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=-4x+y的最大值为

( )

A.2

B.3

C.5

D.6

【答案】C

【解析】由得A(-1,1).

∴z max=-4×(-1)+1=5.故选C.

4.(2019·浙江·T3)若实数x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值是( )

A.-1

B.1

C.10

D.12

【答案】C

【解析】在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域为以(-1,1),(1,-1),(2,2)为顶点的三角

形区域(包含边界),由图易得当直线z=3x+2y经过平面区域内的点(2,2)时,z=3x+2y取得最大值

z max=3×2+2×2=10.

5.(2018·天津·理T2文T2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=3x+5y的最大值为 ( )

A.6

B.19

C.21

D.45

【答案】C

【解析】作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.

由解得点A的坐标为(2,3).

由z=3x+5y,得y=-x+.

由图可知,当直线y=-x+过点A时,最大,即z最大.所以z的最大值z max=3×2+5×3=21.

6.(2018·北京·理T8文T8)设集合A={(x,y)|x-y≥1,ax+y>4,x-ay≤2},则( )

A.对任意实数a,(2,1)∈A

B.对任意实数a,(2,1)?A

C.当且仅当a<0时,(2,1)?A

D.当且仅当a≤ 时,(2,1)?A

【答案】D

【解析】若(2,1)∈A,则有化简得即a>.

所以当且仅当a≤时,(2,1)?A,故选D.

7.(2017·全国2·理T5文T7)设x,y满足约束条件则z=2x+y的最小值是( )

A.-15

B.-9

C.1

D.9

【答案】A

【解析】画出不等式组所表示的平面区域如图所示,结合目标函数z=2x+y的几何意义,可得z在点B(-6,-3)处取得最小值,即z min=-12-3=-15,故选A.

8.(2017·全国3·文T5)设x,y满足约束条件则z=x-y的取值范围是( )

A.[-3,0]

B.[-3,2]

C.[0,2]

D.[0,3]

【答案】B

【解析】画出不等式组表示的可行域,如图.结合目标函数的几何意义,可得目标函数在点A(0,3)处取得最小

值z=0-3=-3,在点B(2,0)处取得最大值z=2-0=2.故选B.

9.(2017·全国1·文T7)设x,y满足约束条件则z=x+y的最大值为( )

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】D

【解析】根据题意作出可行域,如图阴影部分所示.由z=x+y得y=-x+z.作出直线y=-x,并平移该直线,当直线y=-x+z过点A时,目标函数取得最大值.由图知A(3,0),故z max=3+0=3.

10.(2016·北京·理T2)若x,y满足则2x+y的最大值为( )

A.0

B.3

C.4

D.5

【答案】C

【解析】由不等式组可作出如图的可行域(阴影部分),将z=2x+y变形为y=-2x+z,这是斜率为-2,随z变化的一族平行直线,如图,可知当y=-2x+z经过点P时,z取最大值.

由可得P点坐标为(1,2),故z max=2×1+2=4.

11.(2016·天津·理T2)设变量x,y满足约束条件则目标函数z=2x+5y的最小值为 ()

A.-4

B.6

C.10

D.17

【答案】B

【解析】如图,作出变量x,y满足约束条件表示的可行域,为三角形ABC及其内部,点A,B,C的坐标依次为(0,2),(3,0),(1,3).由图可知,将z=2x+5y变形为y=-x+,可知当y=-x+经过点B时,z取最小值6.故选B.

12.(2016·山东·理T4文T4)若变量x,y满足则x2+y2的最大值是( )

A.4

B.9

C.10

D.12

【答案】C

【解析】如图,不等式组表示的可行域是以A(0,-3),B(0,2),C(3,-1)为顶点的三角形区域,x2+y2表示点(x,y)到原点距离的平方,最大值必在顶点处取到,经验证最大值|OC|2=10,故选C.

13.(2016·浙江·理T3)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域

中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=( )

A.2

B.4

C.3

D.6

【答案】C

【解析】作出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示,过点C,D分别作直线x+y-2=0的垂线,垂足分别为A,B,则四边形ABDC为

矩形.又D(2,-2),C(-1,1),所以

14.(2016·浙江·文T4)若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两条平行直线间的距离的最小值是( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】作出可行域,如图阴影部分所示.

∵两平行直线的斜率为1,

∴两平行直线与直线x+y-3=0垂直.

∴两平行线间的最短距离是AB的长度.

由得A(1,2),

由得B(2,1).

∴|AB|=,故选B.

15.(2015·浙江·文T6)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为x,y,z,且x

A.ax+by+cz

B.az+by+cx

C.ay+bz+cx

D.ay+bx+cz

【答案】B

【解析】不妨设x=1,y=2,z=3,a=4,b=5,c=6,

选项A,ax+by+cz=4+10+18=32;

选项B,az+by+cx=12+10+6=28;

选项C,ay+bz+cx=8+15+6=29;

选项D,ay+bx+cz=8+5+18=31,故选B.

16.(2015·陕西·理T9)设f(x)=ln x,0

A.q=r

B.p=r

C.q=r>p

D.p=r>q

【答案】B

【解析】因为0

又因为f(x)=ln x在(0,+∞)上单调递增,

所以f>f(),即p

而r=(f(a)+f(b))=(ln a+ln b)

=ln(ab)=ln,

所以r=p,故p=r

17.(2015·福建·理T5)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于( )

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】C

【解析】∵直线=1过点(1,1),∴=1.

又a,b均大于0,∴a+b=(a+b)=1+1+≥2+2=2+2=4.故选C.

18.(2015·湖南·文T7)若实数a,b满足,则ab的最小值为( )

A. B.2 C.2 D.4

【答案】C

【解析】由已知,可知a,b同号,且均大于0.

由≥2,得ab≥2.

即当且仅当,即b=2a时等号成立,故选C.

19.(2015·重庆·文T10)若不等式组表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为()

A.-3

B.1

C.

D.3

【答案】B

【解析】如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.

由解得则A(2,0).

由解得

则B(1-m,1+m).

同理C,M(-2m,0).

因为S△ABC=S△ABM-S△ACM=·(2+2m)·,由已知得,解得m=1(m=-3<-1舍去).

20.(2015·山东·理T6)已知x,y满足约束条件若z=ax+y的最大值为4,则a=( )

A.3

B.2

C.-2

D.-3

【答案】B

【解析】由约束条件画出可行域,如图阴影部分所示.

线性目标函数z=ax+y,

即y=-ax+z.

设直线l0:ax+y=0.

当-a≥1,即a≤-1时,l0过O(0,0)时,z取得最大值,z max=0+0=0,不合题

意;

当0≤-a<1,即-1

当-1<-a<0时,即0

当-a≤-1,即a≥1时,l0过A(2,0)时,z取得最大值,z max=2a+0=4,∴a=2.

综上,a=2符合题意.

21.(2015·福建·文T10)变量x,y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于()

A.-2

B.-1

C.1

D.2

【答案】C

【解析】作出可行域,如图所示.

作直线2x-y=2,与直线x-2y+2=0交于可行域内一点A(2,2),

由题知直线mx-y=0必过点A(2,2),即2m-2=0,得m=1.故选C.

22.(2015·陕西·理T10文T11)某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )

甲乙原料限额A(吨) 3 2 12

B(吨) 1 2 8

A.12万元

B.16万元

C.17万元

D.18万元

【答案】D

【解析】设该企业每天生产甲产品x吨,乙产品y吨,获利z元.则由题意知利润函数z=3x+4y.

画出可行域如图所示,当直线3x+4y-z=0过点B时,目标函数取得最大值. 由解得得点B(2,3).故利润函数的最大值为z max=3×2+4×3=18(万元).故选D.

23.(2014·全国1·理T9)不等式组的解集记为D,有下面四个命题:

p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2,p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2,

p3:?(x,y)∈D,x+2y≤3,p4:?(x,y)∈D,x+2y≤-1,

其中的真命题是( )

A.p2,p3

B.p1,p2

C.p1,p4

D.p1,p3

【答案】B

【解析】画出可行域如图阴影部分所示.

作直线l0:y=-x,平移l0,当直线经过A(2,-1)时,x+2y取最小值,此时(x+2y)min=0.故p1:?(x,y)∈D,x+2y≥-2为真.p2:?(x,y)∈D,x+2y≥2为真.故选B.

24.(2014·全国1·文T11)设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=( )

A.-5

B.3

C.-5或3

D.5或-3

【答案】B

【解析】当a=0时显然不满足题意.

当a ≥1时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),

又z=x+ay,所以y=-x+z,因此当直线y=-x+z 经过可行域中的A

时,z 取最小值,于是

+a·=7,解得a=3(a=-5舍去);

当0

当a<0时,画出可行域(如图(3)所示的阴影部分), 又z=x+ay,所以y=-x+z,显然直线y=-x+z 在y 轴上的截距没有最大值,即z 没有最小值,不合题意.综上,a 的值为3,故选B. 25.(2014·北京·理T6)若x,y 满足

且z=y-x 的最小值为-4,则k 的值为

( )

A.2

B.-2

C.

D.-

【答案】D

【解析】如图,作出所表示的平面区域,作出目标函数取得最小值-4时,对应的直线y-x=-4,即

x-y-4=0.显然z 的几何意义为,目标

函数对应直线x-y+z=0在x 轴上的截距的相反数,故该直线与x 轴的交点(4,0)必为可行域的顶点,又kx-y+2=0恒过点(0,2),故k=

=-.故选

D.

图(3)

26.(2014·重庆·文T9)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值是()

A.6+2

B.7+2

C.6+4

D.7+4

【答案】D

【解析】由log4(3a+4b)=log2,得log2(3a+4b)=log2(ab),所以3a+4b=ab,即=1.

所以a+b=(a+b)+7≥4+7,当且仅当,即a=2+4,b=3+2时取等号.故选D.

27.(2014·福建·文T9)要制作一个容积为4 m3,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( )

A.80元

B.120元

C.160元

D.240元

【答案】C

【解析】设容器的底长x m,宽y m,则xy=4.

所以y=,则总造价为

f(x)=20xy+2(x+y)×1×10=80++20x

=20+80,x∈(0,+∞).

所以f(x)≥20×2+80=160,

当且仅当x=,即x=2时,等号成立,

所以最低总造价是160元.故选C.

28.(2014·四川·理T4)若a>b>0,c

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】∵c-d>0.∴0< ,

即>0.又∵a>b>0,∴.∴.

29.(2014·大纲全国·文T3)不等式组的解集为( )

A.{x|-2

B.{x|-1

C.{x|0

D.{x|x>1}

【答案】C

【解析】由所以0

30.(2014·浙江·文T7)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,且0

A.c≤3

B.3

C.6

D.c>9

【答案】C

【解析】由于f(-1)=f(-2)=f(-3),所以-1+a-b+c=-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c.

由-1+a-b+c=-8+4a-2b+c,整理得3a-b=7,由-8+4a-2b+c=-27+9a-3b+c,

整理得5a-b=19,由解得

于是f(-1)=f(-2)=f(-3)=c-6,

又因为0

因此0

31.(2014·全国2·理T9)设x,y满足约束条件则z=2x-y的最大值为( )

A.10

B.8

C.3

D.2

【答案】B

【解析】线性目标函数z=2x-y满足的可行域如图所示.

将直线l0:y=2x平行移动,当直线l0经过点M(5,2)时,直线y=2x-z在y轴上的截距最小,也就是z取最大值,此时z max=2×5-2=8.

32.(2014·全国2·文T9)设x,y满足约束条件则z=x+2y的最大值为()

A.8

B.7

C.2

D.1

【答案】B

【解析】画出可行域如图所示, 作直线l0:y=-x,

平移直线l0,当直线过点A(3,2)时,使得z最大,此时,z max=3+2×2=7.故选B.

33.(2013·重庆·文T7)关于x的不等式x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且x2-x1=15,则a=( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】∵由x2-2ax-8a2<0(a>0),

得(x-4a)(x+2a)<0,即-2a

∴x1=-2a,x2=4a.

∵x2-x1=4a-(-2a)=6a=15,

∴a=.故选A.

34.(2013·全国2·文T3)设x,y满足约束条件则z=2x-3y的最小值是( )

A.-7

B.-6

C.-5

D.-3

【答案】B

【解析】作出可行域如图阴影部分所示.

由z=2x-3y,得y=x-z,作直线l0:y=x,平移直线l0,数形结合知直线过点C(3,4)时,z取最小值,z min=2×3-3×4=-6.

35.(2013·全国2·理T9)已知a>0,x,y满足约束条件若z=2x+y的最小值为1,则a=()

A. B. C.1 D.2

【答案】B

【解析】由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示,

作直线2x+y=1,因为直线2x+y=1与直线x=1的交点坐标为(1,-1),

结合题意知直线y=a(x-3)过点(1,-1),代入得a=,所以a=.

36.(2013·湖北·文T9)某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行,A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人,租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆,旅行社要求租车总数不超过21辆,且B型车不多于A型车7辆,则租金最少为( )

A.31 200元

B.36 000元

C.36 800元

D.38 400元

【答案】C

【解析】设需A,B型车分别为x,y辆(x,y∈N),则x,y需满足设租金为z,则z=1 600x+2

400y,画出可行域如图,根据线性规划中截距问题,可求得最优解为x=5,y=12,此时z最小等于36 800,故选C.

37.(2012·全国·文T5)已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( )

A.(1-,2)

B.(0,2)

C.(-1,2)

D.(0,1+)

【答案】A

【解析】由顶点C在第一象限且与A,B构成正三角形可求得点C坐标为(1+,2),将目标函数化为斜截式为y=x+z,结合图形可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时z min=1-,当y=x+z过点B时z取到最大值,此时z max=2,综合可知z的取值范围为(1-,2).

38.(2010·全国·文T11)已知?ABCD的三个顶点为A(-1,2),B(3,4),C(4,-2),点(x,y)在?ABCD的内部,则z=2x-5y的取值范围是( )

A.(-14,16)

B.(-14,20)

C.(-12,18)

D.(-12,20)

【答案】B

【解析】画出可行域及直线y=x,当直线y=经过点(3,4)时,z最小,z min=-14,当直线y=经过点(0,-4)时,z最大,z max=20,因此z的取值范围是(-14,20).

39.(2019·天津·文T10)设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为_____________. 【答案】（-1,

【解析】由3x2+x-2<0,得(x+1)(3x-2)<0.解得-1

40.(2019·天津·文T13)设x>0,y>0,x+2y=4,则的最小值为_____________.

【答案】

【解析】

==2+.

∵x+2y=4,∴4≥2,

∴2xy≤4.∴.∴2+≥2+.

41.(2019·天津·理T13)设x>0,y>0,x+2y=5,则的最小值为____________.

【答案】4

【解析】

==2

≥2·=4.

当且仅当,即xy=3时等号成立.

42.(2019·全国2·文T13)若变量x,y满足约束条件则z=3x-y的最大值是.

【答案】9

【解析】画出可行域为图中阴影部分,z=3x-y表示直线3x-y-z=0的纵截距的相反数,当直线3x-y-z=0过点C(3,0)时,z取得最大值9.

43.(2018·天津·理T13文T13)已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为_____________.

【答案】

【解析】∵a-3b+6=0,∴a-3b=-6,

∴2a+=2a+2-3b≥2

=2=2=2×2-3=,

当且仅当时等号成立.

44.(2018·江苏·T13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.

【答案】9

【解析】由题意可知,S△ABC=S△ABD+S△BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得acsin 120°=a×1×sin

60°+c×1×sin 60°,化简得ac=a+c,=1.因此4a+c=(4a+c)=5+≥5+2=9,

当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c的最小值为9.