第19讲 导数与不等式问题
课后自测诊断——及时查漏补缺·备考不留死角
1．(2019·启东中学检测)已知函数f(x)＝1－x－1
e x，g(x)＝x－ln x.
(1)证明：g(x)≥1.
(2)证明：(x－ln x)f(x)>1－1 e2.
证明：(1)g′(x)＝x－1
x
，当0 当x>1时，g′(x)>0， 即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．所以g(x)≥g(1)＝1，得证． (2)f(x)＝1－x－1 e x ，f′(x)＝ x－2 e x ， 所以当0 即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数， 所以f(x)≥f(2)＝1－1 e2 ，① 又由(1)知x－ln x≥1，②，且①②等号不同时取得． 所以(x－ln x)f(x)>1－1 e2. 2．设函数f(x)＝1 x－ e e x，g(x)＝a(x 2－1)－ln x(a∈R，e为自然对数的底数)． (1)证明：当x>1时，f(x)>0； (2)讨论g(x)的单调性； (3)若不等式f(x) 解：(1)证明：f(x)＝e x－1－x x e x－1 ， 令s(x)＝e x－1－x，则s′(x)＝e x－1－1， 当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)在(1，＋∞)上单调递增，又s(1)＝0，所以s(x)>0， 从而当x >1时，f (x )>0. (2)g ′(x )＝2ax －1x ＝2ax 2－1x (x >0)， 当a ≤0时，g ′(x )<0，g (x )在(0，＋∞)上单调递减． 当a >0时，由g ′(x )＝0得x ＝12a . 当x ∈? ????0，12a 时，g ′(x )<0，g (x )单调递减； 当x ∈? ?? ??12a ，＋∞时，g ′(x )>0，g (x )单调递增． 综上，当a ≤0时，g (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当a >0时，g (x )在? ????0，12a 上单调递减， 在? ?? ??12a ，＋∞上单调递增． (3)由(1)知，当x >1时，f (x )>0. 当a ≤0，x >1时，g (x )＝a (x 2－1)－ln x <0， 故当f (x ) 当0 >1时， g (x )在? ????1，12a 上单调递减，g ? ????12a ??12a >0， 所以此时f (x ) 当a ≥12时，令h (x )＝g (x )－f (x )(x ≥1)， 当x >1时，h ′(x )＝2ax －1x ＋1x 2－e 1－x >x －1x ＋1x 2－1x ＝x 3－2x ＋1x 2>x 2－2x ＋1x 2 >0， 因此，h (x )在区间(1，＋∞)上单调递增， 又h (1)＝0，所以当x >1时，h (x )＝g (x )－f (x )>0，即f (x ) 综上，a 的取值范围为???? ??12，＋∞. 3．设函数f (x )＝e x ln x (e 是自然对数的底数)． (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)令q (x )＝1－2e x e x ，证明：当x >0时， f (x )>q (x )恒成立． 解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝e x ln x ＋e x x ， 所以f (1)＝0，f ′(1)＝e ， 故曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝e(x －1)． (2)证明：当x >0时，f (x )>q (x )恒成立， 等价于当x >0时，x ln x >x e x －2e 恒成立． 设函数g (x )＝x ln x ，则g ′(x )＝1＋ln x ， 所以当x ∈? ?? ??0，1e 时，g ′(x )<0； 当x ∈? ?? ??1e ，＋∞时，g ′(x )>0. 故g (x )在? ????0，1e 上单调递减，在? ?? ??1e ，＋∞上单调递增， 从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g ? ?? ??1e ＝－1e . 设函数h (x )＝x e x －2e ，则h ′(x )＝1－x e x ， 所以当x ∈(0,1)时，h ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )<0. 故h (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e . 因为g (x )min ＝g ? ?? ??1e ＝h (1)＝h (x )max ， 所以当x >0时，g (x )>h (x )， 所以当x >0时，f (x )>q (x )恒成立． 4．已知函数f (x )＝x ln x －e x ＋1. (1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程； (2)证明：f (x ) 解：(1)依题意得f ′(x )＝ln x ＋1－e x ， 又f (1)＝1－e ，f ′(1)＝1－e ，故所求切线方程为y －1＋e ＝(1－e)(x －1)，即y ＝(1－e)x . (2)证明：依题意，要证f (x ) 即证x ln x －e x ＋1 即证x ln x 当0 故x ln x 当x >1时，令g (x )＝e x ＋sin x －1－x ln x ， 故g ′(x )＝e x ＋cos x －ln x －1. 令h (x )＝g ′(x )＝e x ＋cos x －ln x －1， 则h ′(x )＝e x －1x －sin x ， 当x >1时，e x －1x >e －1>1， 所以h ′(x )＝e x －1x －sin x >0， 故h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故h (x )>h (1)＝e ＋cos 1－1>0，即g ′(x )>0， 所以g (x )在(1，＋∞)上单调递增， 所以g (x )>g (1)＝e ＋sin 1－1>0， 即x ln x 综上所述，f (x ) 5．已知函数f (x )＝x ln x －ax (a >0)． (1)若函数f (x )在(1，＋∞)上是减函数，求实数a 的最小值； (2)若?x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)因为f (x )在(1，＋∞)上为减函数，所以f ′(x )＝ln x －1ln x 2－a ≤0在(1，＋ ∞)上恒成立． 所以当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )max ≤0. 又f ′(x )＝ln x －1ln x 2－a ＝－? ?? ??1ln x －122＋14－a ， 故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a ， 所以14－a ≤0，故a ≥14，所以a 的最小值为14. (2)“若?x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ， 当x ∈[e ，e 2]时，有f ′(x )max ＋a ＝14， 问题等价于：“当x ∈[e ，e 2 ]时，有f (x )min ≤14”． ①当a ≥14时，f (x )在[e ，e 2]上为减函数， 则f (x )min ＝f (e 2 )＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e 2. ②当0 ??1ln x －122＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数， 故f ′(x )的值域为[f ′(e)，f ′(e 2)]，即???? ??－a ，14－a . 由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f ′(x 0)＝0，且满足： 当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )<0，f (x )为减函数； 当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数． 所以f (x )min ＝f (x 0)＝x 0ln x 0 －ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)， 所以a ≥1ln x 0－14x 0>1ln e 2－14e >12－14＝14