热力学统计物理练习试题
热力学·统计物理练习题
一、填空题. 本大题70个小题，把答案写在横线上。
1.当热力学系统与外界无相互作用时,经过足够长时间,其宏观性质 时间改变，其所处的 为热力学平衡态。
2． 系统，经过足够长时间，其 不随时间改变，其所处的状态为热力学平衡态。
3．均匀物质系统的热力学平衡态可由力学参量、电磁参量、几何参量、化学参量等四类参量描述，但有 是独立的。
4．对于非孤立系统，当其与外界作为一个整体处于热力学平衡态时，此时的系统所处的状态是 。
5．欲描述非平衡系统的状态，需要将系统分成若干个小部分，使每小部分具有 小，但微观上又包含大量粒子，则每小部分都可视为 。
6．描述热力学系统平衡态的独立参量和 之间关系的方程式叫物态方程，其一般表达式为 。
7．均匀物质系统的独立参量有 个，而过程方程独立参量只有 个。
8．定压膨胀系数的意义是在 不变的条件下系统体积随 的相对变化。
9．定容压力系数的意义是在 不变条件下系统的压强随 的相对变化。
10．等温压缩系数的意义是在 不变条件下系统的体积随 的相对变化。
11．循环关系的表达式为 。
12．在无摩擦准静态过程中存在着几种不同形式的功，则系统对外界作的功∑-=δi i dy Y W ，其中i y 是 ，i Y 是与i y 相应的 。 13．W Q U U A B +=-，其中W 是 作的功。
14．?=+=0W Q dU ，-W 是 作的功，且-W 等于 。 15．?δ+δ2L 11W Q ?δ+δ2
L 12W Q （1、2均为热力学平衡态,L 1、L 2为准静态过程）。
16．第一类永动机是指 的永动机。
17．内能是 函数，内能的改变决定于 和 。
18．焓是 函数，在等压过程中，焓的变化等于 的热量。
19．理想气体内能 温度有关，而与体积 。
20．理想气体的焓 温度的函数与 无关。
21．热力学第二定律指明了一切与热现象有关的实际过程进行的 。
22．为了判断不可逆过程自发进行的方向只须研究 和 的
相互关系就够了。
23．一般工作于两个一定温度热源之间的热机效率不大于 。
24．克劳修斯等式与不等式来源于 。
25．热力学第二定理的积分形式是 。
26．热力学第二定律的微分形式是 。
27．卡诺定理是热力学第二定律数学化的 。
28．V
T T P T V U ??? ????=??? ???? 。 29．V P H T
=??? ???? 。 30．=??? ????T
V V C 。 31．=??? ????T
P P C 。 32．范氏气体()RT b v v a P =-??? ??+2，则有=??? ????T
V U 。 33．利用平衡判据可证明在S 、V 不变情况下平衡态 最小。
34．利用平衡判据可证明在S 、P 不变情况下平衡态 最小。
35．利用平衡判据可证明在T 、P 不变情况下平衡态 最小。
36．物质的宏观特性是大量微观粒子行为的集体表现，宏观物理量是相应
微观物理量的 值。
37．粒子的μ空间是由粒子的 所形成的空间。
38．三维自由粒子的μ空间是 维空间。
39．一维线性谐振子的μ空间是 维空间。
40．反映微观粒子具有波粒二象性的德布罗意关系为 。
41．粒子的坐标q 和动量p 的不确定关系为 。
42．若圆频率为ω的一维线性谐振子处在能量量子数为n 的量子态，则其
能量的可能取值为 。
43．体积V 内，动量在z z z y y y x x x dp p p ,dp p p ,dp p p +-+-+-范围内自由
粒子的量子态数为 。
44．在μ空间中，若粒子的自由度为r ，则根据坐标和动量的不确定关系可
得相格的大小≈????r r 11p q p q Λ 。
45．体积V 内，能量在ε+ε-εd 范围内自由粒子的可能状态数
为 。
46．近独立粒子组成的系统是 可以忽略的系统。
47．自旋量子数为 的基本粒子为费米子。
48．自旋量子数为 的基本粒子为玻色子。
49．在含有多个全同近独立的费米子系统中，一个个体量子态最多能够容
纳 个费米子。
50．设一玻耳兹曼系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3个，则该系
统中粒子占据量子态的方式有 种。
51．设一玻色系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3个，则该系统中
粒子占据量子态的方式有 种。
52．设一费米系统含有两个粒子，粒子的个体量子态有3个，则该系统中
粒子占据量子态的方式有 种。
53．等概率原理认为，对于处于平衡状态的孤立系统，系统各个可能的微
观状态出现的概率是 的。
54．在玻耳兹曼系统中粒子的最概然分布=l a 。
55．在玻色系统中粒子的最概然分布=l a 。
56．在费米系统中粒子的最概然分布=l a 。
57．定域子系统遵从 分布。
58．玻色分布和费米分布过渡到玻耳兹曼分布的经典极限条件，即非简并
条件为 。
59．由粒子配分函数l e Z l
l 1βε-∑ω=可以得到定域系统内能的统计表达式为
=U 。
60．由粒子配分函数l e Z l
l 1βε-∑ω=可以得到定域系统物态方程的统计表达
式为=Y 。
61． 单原子分子理想气体的物态方程为 。
62． 多原子分子理想气体的物态方程为 。 63．麦克斯韦速度分布律表示分子速度的取值在速度v ?处的速度体元
z y x dv dv dv 中的概率或一个分子速度在v d v v ???+-内的概率，其表达式为
=v
dW ? 。 64．麦克斯韦速率分布律表示分子速率的取值在dv v v +-内的概率，其表
达式为=v dW 。
65．在温度为T 时，根据能均分定理可以得到单原子分子理想气体中每一个分子的平均能量=ε 。
66．在温度为T 时，根据能均分定理可以得到由N 个单原子分子组成的理
想气体的内能=U 。
67．理想固体的爱因斯坦模型中振子的能级=εn 。
68．光子气体的化学势=μ 。
69．微正则分布的独立参变量为 。
70．正则分布的独立参变量为 。
二、判断并说明理由题.本大题40个小题.
1．以T 、V 为独立参量的系统的特征函数是F 。
2．以T 、P 为独立参量的系统的特征函数是G 。
3．以S 、V 为独立参量的系统的特征函数是U 。
4．以S 、P 为独立参量的系统的特征函数是H 。
5．在等压过程中焓的增加等于系统对外作的功。
6．在等温过程中系统对外作的功小于或等于系统自由能的减小量。
7．在绝热过程中系统作的功小于或等于内能的减小量。
8．在等温等压过程中系统对外作的非体胀功小于或等于自由焓的减小量。
9．在均匀物质系统中，PdV TdS dU +=，则V
S U T ??? ????-= 。 10．在均匀物质系统中，PdV TdS dU -=，则S
V U P ??? ????-=。 11．在均匀物质系统中，PdV SdT dF --=，则T
V F P ??? ????=。
12．在均匀物质系统中，VdP SdT dF --=，则V
S F T ??? ????= 。 13．在均匀物质系统中，PdV TdS dU +=，则P
V H P ??? ????=。 14．在均匀物质系统中，VdP SdT dG +-=，则P
T G S ??? ????-=。 15．在均匀物质系统中，PdV TdS dU -=，则V
S S P V T ??? ????-=??? ????。 16．单元复相系平衡条件为，两相温度相等、压强相等、化学势相等。
17．单元复相系在不满足力学平衡的条件下，压强大的相体积膨胀。
18．热力学第三定律与能斯脱定理没有直接关系。
19．不可能使一个物体冷到绝对零度，并不否认可以无限接近绝对零度。
20．能斯脱定理说明物体的熵只与温度有关，而与其它参量无关。
21．不受空间和时间限制而作自由运动的粒子为自由粒子。
22．自由粒子的能量就是它的动能。
23．π=2h η和h 都称为普朗克常量，但π
=2h η不是量子物理的基本常量。 24．近独立粒子组成的系统是指粒子之间不存在相互作用的系统。
25．全同粒子一定不能分辨。
26．由若干个费米子构成的复合粒子都是费米子。
27．在多个全同近独立粒子组成的系统中，一个个体量子态最多能容纳一
个粒子。
28．经典统计物理学和量子统计物理学在统计原理上是相同的，区别在于
对微观运动状态的描述。
29. 能量均分定理是平衡态统计物理学的基础。
30．分布和微观状态是两个相同的概念。
31．组成玻耳兹曼系统、玻色系统和费米系统的粒子都是不可分辨的。
32．定域系统遵从玻耳兹曼分布。
33．熵是系统混乱程度大小的量度。
34．气体分子取大的速度值的概率随温度的升高而增大。
35．能量均分定理适用于任何处于平衡状态的热力学系统。
36．理想固体在足够高的温度下热容量的实验结果与杜隆-伯替定律一致。
37．采用理想固体的爱因斯坦模型导致实验测得的热容量v C 较爱因斯坦理
论得到的热容量v C 趋于零的速度慢。
38．光子气体为服从玻色统计的近独立的理想气体。
39．自由电子气体为服从玻色统计的近独立的理想气体。
40．金属中自由电子气体在室温下对热容量的贡献不能忽略。
三、单项选择题.本大题130个小题.
1.热力学平衡态的性质是： （ ）
A.具有热动平衡的性质
B.是力学意义上的平衡
C.微观上看系统的性质不随时间改变
D.在平衡态下系统宏观物理量的数值没有涨落
2.对均匀物质系统，其热力学平衡态： （ ）
A.各种物质用一个参量描述
B.各种物质处于力学平衡
C.当各处物理性质呈现均匀一致时，系统达到热力学平衡态
D.各处物理性质不同
3.非均匀物质系统的热力学平衡态 （ ）
A.各处物理性质是均匀一致的
B.各处物理性质不一定相同
C.各处可用统一参量描述
D.各处不能用统一参量描述
4.关于热力学平衡态下列说法正确的是： （ ）
A.热力学平衡态不一定是稳定态
B.系统处于稳定态一定处于热力学平衡态
C.系统的宏观性质不随时间变化即为热力学平衡态
D.热力学平衡态的宏观性质不随时间改变
5.热力学平衡态是： （ ）
A.最无序最混乱的状态
B.最有序的状态
C.存在着热量、物质的定向运动
D.系统整体存在宏观定向运动
6.关于物态方程的正确说法是： （ ）
A.f(P,V,T)=0是任何系统的一般表达式
B.描述热力学系统平衡态的独立参量和温度关系的方程式
C.物质系统状态参量所满足的方程
D.平常说的等压、等温过程方程
7.理想气体物态方程的一般表达式是： （ ）
A.PV=γRT
B.P=C
C.PV=C 1
D.γPV =C 2
8.等压膨胀系数的表达式是： （ ） A.p T T V im )(0??=→?λα B.P T T V V im )(10??=→?λα C.v )T V (V 1??=α D.P T
V )(??=α
9.定容压力系数的表达是式： （ ） A.V T T P im )(0??=→?λβ B.V T T P V im )(10??=→?λβ C.v )T P (P 1??=β D.V T
P )(??=β 10.等温压缩系数的表达式是： （ ） A.T 0P T )P V (V 1im ??-=κ→?λ B.T κ=T 0p )P
V (im ??-→?λ C.T T )P V (T 1??-=κ D.T T )P
V (??=κ 11.三个系数之间的关系为： （ ）
A.P T βκ=α
B.P T β=ακ
C.βκ=αT P
D.P T κ=αβ
12.状态参量P 、V 、T 之间的循环关系为： （ ） A.1=??? ??????? ??????? ????P V T V T T P P V B.1-=??? ??????? ??????? ????P
V T V T T P P V C.1=??? ??????? ??????? ????V P T P T V T P V D.1-=??? ??????? ??????? ????P
V T T V T P P V 13.关于无摩擦的准静态过程下列说法正确的是： （ ）
A.可逆过程
B.可是实现的过程
C.无限慢的过程
D.不可逆过程
14.下列过程哪一个是准静态多方过程： （ ）
A.PV=C 1
B.P=C
C.2R C PV =
D.3n C PV =
15.关于热力学过程下列说法正确的是： （ ）
A.凡能列出过程方程的都是准静态过程
B.任意过程都能写出过程方程
C.实际过程，在PV 图上能真实表示
D.PV 图上用虚线所表示的过程是准静态过程
16.下列哪个表达式是磁介质系统对外作的功 （ ）
A.?pdv W -=
B.?Hdm v W 0μ-=
C.?∑=i
i i dy Y W D.?dA W σ=
17.下列说法正确的是： （ ）
A.内能是系统的状态函数。
B.内能是绝热过程外界对系统作的功。
C.任意准静态过程始末两个状态一定时，外界对系统作功保持不变。
D.内能即系统热运动的能量。
18.关于热力学第一定律下列说法正确的是： （ ）
A.孤立系统的内能是温度的函数
B.在一个循环中系统吸收热量等于外界对系统作的功
C.第一类永动机在一定条件下能制成
D.绝热系统中外界对系统作的功等于系统内能的增量
19.下列那一个不是热力学第一定律的积分形式： （ ）
A.U B —U A =W+Q
B.Q W U +=?
C.?+=Q W dU
D.=dU ?W+?Q
20.热力学第一定律的微分形式是： （ ）
A.dQ dW dU +=
B.=dU ?W+?Q
C.U=W+Q
D. ?W=+dU ?Q
21.关于内能下列说法正确的是： （ ）
A.内能是可加物理量
B.内能是强度量
C.内能是系统内部分子动能之和
D.内能是物体内含的热量
22.下列关于热力学第一定律那种说法是不正确的： （ ）
A.热力学第一定律就是能量守恒与转化定律
B.热力学第一定律就是自然界普遍遵守的规律
C.热力学第一定律只适用于有热量交换的系统
D.存在电磁相互作用时，热力学第一定律不再适用
23.理想气体内能成立的关系式为： （ ） A.0=??? ????T V U B.U=U （T 、V ） C.0≠??? ????T
V U D.U=U （P 、T ） 24.理想气体焓成立的关系式为： （ ） A.0=??? ????T P H B.H=H （P ） C.H=H （P 、T ） D.0P H T
≠??? ???? 25.关于热容量下列说法正确的是： （ ）
A.是状态量
B.与具体过程有关，例如V P C C ≠
C.R C C V P ν=-
D.物体热容量C 和摩尔热容量c 的关系为C=ν+c
26.下列关系式正确的是： （ ） A.V V C P U =??? ???? B.P P C T H =??? ???? C.0=??? ????T V U D.0P H T
=??? ???? 27.下列说法正确的是： （ ）
A.热量不能从低温物体传递给高温物体
B.热量可以全部变为有用功
C.自由膨胀过程是可逆过程
D.爆炸过程是可逆过程
28.下列说法正确的是： （ ）
A.一切和热现象有关的实际过程都是不可逆的
B.热力学第二定律的表述只有克氏和开氏两种说法
C.只要不违背能量守恒定律可以无限地从海水中提取能量，制成永动机
D.第二类永动机不违背热力学第二定律
29.对可逆机的效率下列说法不正确的是： （ ）
A.一切可逆机的效率相等
B.工作在两个一定温度的热源之间的热机以可逆效率为最大
C.工作在两个一定温度的热源之间的热机其效率的极限值是工作在其 间的可逆机效率
D.由卡诺定理有12
1T T -≤η T 1和T 2分别是高温热源和低温热源的温度
30.对于克氏等式和不等式下列哪个不正确： （ ）
A.对于可逆卡诺机
02211=+T Q T Q B.对于一般循环∮0T Q =δ C.对于可逆循环∮0T Q =δ D.∮不可逆T Q δ<∮可逆T
Q δ 31.下列关于熵的公式哪个是正确的： （ ）
A.S 2—S 1=?δ21T Q
B.可逆不可逆??δ<δ2121T Q T Q
C.S 2—S 1=?δ2
1T Q D.S 2—S 1≥0 32.下列哪个过程熵增加原理成立： （ ）
A.孤立系统自发过程
B.等压过程
C.等温等压自发过程
D.等容过程
33.下列那种说法不是熵的性质： （ ）
A.可加物理量
B.系统无序程度大小的量度
C.状态决定的状态函数
D.某确定状态熵不一定存在
34.理想气体的熵： （ ） A.S=?++0S nV nR dT T C P λ B.0S nV nR dT T
C V ++?λ C.S=?+-1S nP nR dT T C V λ D.?+-1S nV nR dT T
C P λ
35.气体做自由膨胀： （ ）
A.0>?S
B.0=?S
C.0≥?S
D.0
36.系统的温度为T ，在等温情况下吸收热量Q ，对外作功W ，且热量没有
损失，则： （ ） A. T Q S =? B.T
W S
T T P T dT C D.0=?S 38. 温度为T 的恒温热源经导杆传出热量Q ，则热源的熵变为： （ ） A.T Q S -=? B.T
Q S =? C.0=?S D.0>?S 39.孤立系统自发过程进行的方向是： （ ）
A.0>?S
B.0=?S
C.0
D.T ＜0
40.下列方程正确的是： （ ）
A.TdS=dU+PdV
B.TdS=dH+PdV
C.VdP TdS dF +=
D.VdP TdS dU +=
41.下列方程正确的是： （ ）
A.PdV SdT dF --=
B.TdS dU dF -=
C.VdP dG dF +=
D.PdV dG dF -=
42.下列方程正确的是： （ ）
A.VdP SdT dG +-=
B.TdS PV d dU dG -+=)(
C.VdP TdS dG +=
D.PdV SdT dG --=
43.下列具有能量量纲的函数之间的关系正确的是： （ ）
A.PV U G +=
B.TS G H +=
C.TS G H -=
D.TS U H -=
44.下列具有能量量纲的函数之间的关系正确的是： （ ）
A.TS U F +=
B.PV G F -=
C.PV G F +=
D.TS G F -=
45.下列具有能量量纲的函数之间的关系正确的是： （ ）
A.TS PV U G +-=
B.TS H G -=
C.TS H G +=
D.PV F G -=
46.下列麦氏关系正确的是： （ ） A.T T V S P S ??? ????=??? ???? B.P
T T V P S ??? ????=??? ????
C.P T T V P S ??? ????-=??? ????
D.T
T V S P S ??? ????-=??? ???? 47.下列麦氏关系正确的是： （ ） A.V T T P V S ??? ????=??? ???? B.V
T T P V S ??? ????-=??? ???? C.T
T P S V S ??? ????=??? ???? D.T T P S V S ??? ????-=??? ???? 48.下列麦氏关系正确的是： （ ） A.P P S T S V ??? ????=??? ???? B.S
P P T S V ??? ????=??? ???? C.S P P T S V ??? ????-=??? ???? D.P
P S T S V ??? ????-=??? ???? 49.下列麦氏关系正确的是： （ ） A.S V T V S P ??? ????-=??? ???? B.S
V V T S P ??? ????-=??? ???? C.V V T P S P ??? ????=??? ???? D.V
V T P S P ??? ????-=??? ???? 50.焦汤系数0>??? ????=H
P T μ的意义是： （ ） A.是焦汤负效应，节流后制冷 B.正效应，温度不变
C.节流后温度降低
D.节流后温度不变
51.节流膨胀制冷的条件是： （ ）
A.在一定压强下气体的温度低于临界温度
B.在一定压强下气体的温度低于该压强下上转换温度高于下转换温度
C.在一定压强下气体的温度低于该压强下上转换温度
D.在一定压强下气体的温度高于该压强下下转换温度
52.由水在00C —40C 反常膨胀，可知在该条件下水通过绝热膨胀将产生的效
果为： （ ）
A.致冷
B.致温
C.温度不变
D.温度变化不确定
53.在绝热条件下去磁，则： （ ）
A.致冷
B.致温
C.温度不变
D.温度变化不确定
54.孤立系统自发过程进行的方向是： （ ）
A.熵增大
B.自由能减小
C.焓减小
D.自由焓减小
55.等温过程在保持体积不变情况下，自发进行的方向为： （ ）
A.自由能增大
B.自由能减小
C.焓减小
D.焓增大
56.等温等压过程在没有非体胀功情况下，自发进行的方向为： （ ）
A.自由能减小
B.自由能增大
C.自由焓减小
D.自由焓增大
57.在绝热压强不变非体胀功等于零情况下，过程进行的方向为：（ ）
A.内能增大
B.焓减小
C.内能减小
D.焓增大
58.单元复相系是： （ ）
A.由一种化学纯物质组成的呈现几种不同聚集态的系统
B.多种物质成份组成的系统
C.必须由一种元素组成但可分为几个不均匀部分的系统
D.多种聚集态的系统
59.哪个方程是二相平衡曲线的斜率： （ ）
A.nRT PV =
B.=n PV 常数
C.kV 1V P T -=??? ????
D.)(1
2V V T L dT dP -= 60.开放系统的热力学基本方程是： （ ）
A.dn PdV TdS dU μ++=
B.dn VdP SdT dG μ++-=
C.dn VdP TdS dH μ-+=
D.dn FdT dF μ--=
61.关于相平衡曲线的某个代表点,下列那种说法不正确: （ ）
A.二相平衡时所处的状态
B.在该点的温度下压强不是独立的
C.在该点温度下，压强比该点平衡压强大物质由密度大的相转化为密度 小的相
D.在该点也可有平衡相变
62.利用平衡判据可知，在U 、V 不变的条件下平衡态的： （ ）
A.内能最小
B.自由焓最小
C.熵最小
D.熵最大
63.利用平衡判据可知，在T 、P 不变的条件下平衡态的： （ ）
A.吉布斯函数值最小
B.自由焓最大
C.内能最小
D.熵最小
64.关于热力学第三定律 （ ）
A.不能用有限手续使系统的温度达到绝对零度；
B.它的数学表达式为0)(0
=?→V T S im λ； C.它的数学表达式为0)(0
=?→P T S im λ； D.热力学第三定律又叫能斯特定律。
65.关于化学势的概念正确的是： （ ）
A.物质由化学势小的相流向化学势大的相；
B.化学势等于平衡态的吉布斯函数；
C.化学势等于摩尔吉布斯函数；
D.化学势等于摩尔焓。
66.某事件出现的概率为P ，则它的对立事件出现的概率为： （ ） A.P B.P
1 C.1-P D.1+P 67.一维线性谐振子μ空间的维数为： （ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
68. 圆频率为ω的一维线性谐振子的能级为： （ ）
A.),2,1,0n ()1n (n ΛΛη=ω
+=ε B.),2,1,0n ()2
1n (n ΛΛη=ω+=ε C.),2,1n ()21n (n ΛΛη=ω+=ε
D.),2,1n ()1n (n ΛΛη=ω
+=ε 69. 统计平衡态是指： （ ）
A.微观运动状态的概率分布不随时间而改变的状态。
B.热力学平衡态
C.宏观性质不随时间而改变的状态
D.稳定态
70．对粒子运动状态的描述可借助于： （ ）
A.μ空间
B.Γ空间
C.三维直角坐标系
D.球坐标系
71．若粒子的自由度为r ，则描述其运动状态的μ空间的最小体积元为：
（ ）
A.r h
B. r 2h
C.0
D.N h
72．粒子的自由度为r,则描述其运动状态的μ空间为： （ ）
A. 2r 维空间
B. 3r 维空间
C. 4r 维空间
D. r 维空间
73.不考虑粒子的自旋，在体积V 内，动量在p d ?范围内的三维自由粒子的
状态数为： （ ） A.3z
y x h dp dp V dp B.3z y x h dp dp dp C.32h dp V p 4π D.3
h V 74.不考虑粒子的自旋，在体积V 内，动量大小在dp p p +-范围内的三维
自由粒子的状态数为： （ ） A.3h
Vdp B.3h dp C.32h dp V p 4π D.3h V 75.不考虑粒子的自旋，在长度L 内，动量在x x x dp p p +-范围内的一维自
由粒子的状态数为： （ ） A.h Ldp x B.h dp x C.h Ldp 2 D.h
L 76.不考虑粒子的自旋，在长度L 内，动量大小在dp p p +-范围内的一维
自由粒子的状态数为： （ ） A.h Ldp x B.h dp x C.h Ldp 2 D.h
L 77.不考虑粒子的自旋，在面积S 内，动量在y y y x x x dp p p ,dp p p +-+-范
围内的二维自由粒子的状态数为： （ ） A.2y
x h dp Sdp B.2y x h dp dp C.2h
Spdp 2π D.2h S 78.不考虑粒子的自旋，在面积S 内，动量大小在dp p p +-范围内的二维
自由粒子的状态数为： （ ）
A.2y
x h dp Sdp B.2y x h dp dp C.2
h Spdp 2π D.2h S 79．不考虑粒子的自旋，在体积V 内，能量在ε+ε-εd 范围内的三维自由
粒子的状态数为： （ ） A.3h Vd ε B.3h d ε C.εεπd )m 2(h
V 221233 D.3h V 80．不考虑粒子的自旋，在长度L 内，能量在ε+ε-εd 范围内的一维自由
粒子的状态数为： （ ） A.h Ld ε B.h d ε C.εε-d )2()m (h
L 22121 D.h L 81．不考虑粒子的自旋，在面积S 内，能量在ε+ε-εd 范围内的二维自由
粒子的状态数为： （ ） A.2h Sd ε B.2h d ε C.επmd h
S 22 D.2h S 82．近独立粒子的孤立系统应满足（l l ,a ε分别为第l 个能级上的粒子数和
粒子能量）： （ ）
A.==ε∑E a l
l l 常数 B.=l a 常数 C.=εl 常数 D.==εE a l l 常数
83．近独立粒子的孤立系统应满足（l l ,a ε分别为第l 个能级上的粒子数和
粒子能量）： （ ）
A.==∑N a l
l 常数 B.=l a 常数 C.=εl 常数 D.==εE a l l 常数
84．对于玻耳兹曼系统（N a l
l =∑为系统的总粒子数，且能级l ε上存在l
ω个量子态），与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为： （ ） A.∏∏ω=Ωl a l l l .B .M l !a !N B.∏∏ω=Ωl a l l l
.B .M l a !N C.∏∏ω=Ωl a l l l .B .M l !a 1 D.l a l l
l .B .M !
a !N ω=Ω∏ 85．对于玻色系统（能级l ε上存在l ω个量子态），与分布{}l a 相应的系统的
微观状态数为： （ ）
A.∏-ω-+ω=Ωl l l l .E .B )!1()!1a (
B.∏-ω-+ω=Ωl l
l l l .E .B )!1(!a )!1a ( C.∏-+ω=Ωl
l l l .E .B !a )!1a ( D.∏+ω-+ω=Ωl l l l l .E .B )!1(!a )!1a ( 86．对于费米系统（能级l ε上存在l ω个量子态），与分布{}l a 相应的系统的
微观状态数为： （ ） A.∏-ωω=Ωl l l l .D .F )!1(!a ! B.∏+ωω=Ωl l l l l .D .F )!
a (!a ! C.∏-ωω=Ωl
l l l l .D .F )!a (a ! D.∏-ωω=Ωl l l l l .D .F )!a (!a ! 87．玻耳兹曼分布表达式l e a l l βε-α-ω=中的l a 是： （ ）
A.第l 个能层上的粒子数
B.落入第l 个能层的几率
C.几率密度
D.几率分布
88．玻色分布表达式1e a l l
l -ω=βε+α中的l a 是： （ ）
A.第l 个能层上的粒子数
B.落入第l 个能层的几率
C.几率密度
D.几率分布
89．费米分布表达式1e a l l
l +ω=βε+α中的l a 是： （ ）
A.第l 个能层上的粒子数
B.落入第l 个能层的几率
C.几率密度
D.几率分布
90．下列粒子不是费米子的是： （ ）
A.电子
B.质子
C.中子
D.光子
91．下列粒子不是玻色子的是： （ ）
A.光子
B.奇数个费米子组成的复合粒子
C.π介子
D.偶数个费米子组成的复合粒子
92．所谓非简并条件是指： （ ） A.1a l l <<ω（对所有l ） B.1a l
l <<ω（0l ≠）
C.1a l l >>ω（对所有l ）
D.1a l
l >>ω（0l ≠） 93．当非简并条件成立时，玻色分布和费米分布过渡为： （ ）
A.正则分布
B.微正则分布
C.经典分布
D.麦克斯韦分布
94．当经典极限条件成立时，玻色分布和费米分布过渡为： （ ）
A.正则分布
B.微正则分布
C.玻耳兹曼分布
D.麦克斯韦分布
95．玻色分布和费米分布过渡为玻耳兹曼分布的条件为： （ ）
A.1e >>α
B.高温
C.低密度
D. 1e <<α
96．速率分布函数)v (f 的物理意义为： （ ）
A.是速率为v 的分子数
B.是速率为v 的分子数占总分子数的比率
C.是单位速率区间内的分子数占总分子数的比率
D.是分布在速率v 附近单位速率区间内的分子数占总分子数的比率
97．由N 个粒子组成的系统，粒子的速度分布函数)v (f ?的意义为：（ ）
A. v d dN )v (f v ???=
B. v Nd dN )v (f v ???=
C. v dN )v (f ??=
D. v
d N )v (f ??= 98．若粒子的速率分布函数为???>≤≤=F F
v v 0v v 0a )v (f （a 为常数），则：
（ ）
A.F v a =
B. 1F v a -
= C. 0a = D. 1a =
99．若粒子的速率分布函数为???>≤≤=F F
v v 0v v 0a )v (f （a 为常数），则v 等
于： （ ） A.2v F B.F v C. 3v F D. 4
v F
100．若粒子的速率分布函数为???>≤≤=F
F v v 0v v 0a )v (f （a 为常数），则2
v 等于： （ ） A.2v F
B.F v
C. 3v F
D. 4v
F
101．若粒子的速率分布函数为)v (f ，则v 的平均值为：
（ ） A.?+∞
∞-=dv )v (vf v B.?+∞∞-=v d )v (vf v ? C.?+∞=0dv )v (vf v D.?+∞=0v d )v (vf v ?
102．若粒子的速率分布函数为)v (f ，则v 2的平均值为：
（ ） A.?+∞
∞-=dv )v (f v v 22 B.?+∞∞-=v d )v (f v v 22? C.?+∞=022dv )v (f v v D.?+∞=022v d )v (f v v ?
103．若粒子的速度分布函数为)v ,v ,v (f z y x ，则x v 的平均值为：
（ ） A.0 B.?+∞∞-=v d )v ,v ,v (f v z y x x ?
C.?+∞∞-=dv )v ,v ,v (f v v z y x x x
D.?+∞∞-=v d )v ,v ,v (f v v z y x x x ?
104．若粒子的速度分布函数为)v ,v ,v (f z y x ，则y v 的平均值为：
（ ） A.0 B.?+∞∞-=v d )v ,v ,v (f v z y x y ?
C.?+∞
∞-=dv )v ,v ,v (f v v z y x y y D.?+∞∞-=v d )v ,v ,v (f v v z y x y y ?
105．若粒子的速度分布函数为)v ,v ,v (f z y x ，则z v 的平均值为：
（ ） A.0 B.?+∞
∞-=v d )v ,v ,v (f v z y x z ? C.?+∞∞-=dv )v ,v ,v (f v v z y x z z D.?+∞∞-=v d )v ,v ,v (f v v z y x z z ?
106．理想气体的平均速率为： （ ）
A.0
B.m kT 8π
C. m kT 3
D. m
kT 2 107．理想气体分子的平均平动能为： （ ） A.0 B.m kT 8π C. m
kT 3 D. kT 23 108．理想气体分子单位时间内碰撞在单位面积器壁上的分子数为：（ ） A.v n 41 B.2v n 4
1 C. 0 D. 不能确定 109．玻耳兹曼统计中粒子配分函数Z 1的表达式正确的是： （ ）
A.∑βε-=l 1l e Z
B.l e Z l
l 1βε-∑ω=
C.l e Z l l 1αε-∑ω=
D. l e Z l
l 1ε-∑ω=
110．玻耳兹曼统计中粒子配分函数Z 1的作用相当于热力学中以T 、V 为
变量的特性函数： （ ）
A.熵
B.自由焓
C.自由能
D.内能
111．对于定域系统，用粒子配分函数Z 1表示的自由能是： （ ）
A.1Z ln F -=
B.1Z ln NkT F -=
C. 1Z ln kT F -=
D. 1Z ln Nk F -=
112．玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z 1表示的内能是： （ ） A.1Z ln N U β??-= B.1Z ln U β
??-= C.1Z ln N U β??= D.1Z N U β
??-= 113．玻耳兹曼统计中用粒子配分函数Z 1表示的外界对系统的广义作用力
是： （ ） A.1Z ln y N Y ??β= B.1Z ln y
y N Y ??-= C.1Z ln y N Y ??β-
= D.1Z ln y 1Y ??β-= 114．玻耳兹曼关系Ω=ln k S 中Ω的意义是： （ ）
A.系统的微观态数
B.粒子的微观态数
C.态密度
D.态函数
115．孤立系统平衡态熵最大的意义是： （ ）
A.体系的混乱程度低
B.系统所处的状态包含的微观态数最少
C.体系处于有序状态
D.系统所处的状态包含的微观态数最多
116．在粒子能量4322z 2y 2x z 2
1gy 21kx 21m 2p m 2p m 2p α+++++=ε中不是独立平方项的是： （ ）
A. m 2p 2x
B. 2kx 2
1 C. 3gy 21 D. 4z 21α 117．在粒子能量2r 222kp 21p p sin )p sin 1p (I 21+θ+θ
+=
ε?θ?θ中不是独立平方项的是： （ ） A. ?θθp p sin B. 2r kp 2
1 C. I 2p 2θ D. θ?22sin I 2p 118．由N 个原子组成的理想固体在足够高温度下的定容热容量为：（ ） A.Nk 23 B. Nk 3 C. Nk 2
5 D. Nk 27 119．理想固体热容量的爱因斯坦模型在低温时比实际趋于零的速度（ ）
A.快
B. 慢
C. 相近
D. 相差甚远
120．光子气体的化学势（理想空腔内）： （ ）
A.0=μ
B.0<μ
C.0>μ
D.=μ常数
121．在体积V 内，动量大小在dp p p +-范围内的光子的量子状态数为：
（ ） A.32h dp V p 4π B.3h Vpdp 8π C.32h dp V p 8π D.3h
Vpdp 4π 122．在体积V 内，频率在ω+ω-ωd 范围内的光子的量子状态数为：（ ） A.322c d V 2πωω B.322c d V 4πωω C.322c
d V πωω D.322c d V 8πωω 123．金属中的电子被理想化为： （ ）
热力学与统计物理第二章知识总结
§2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)
从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2） H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3） F（T，V）
同（3）式相比 （9） （4） G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §2.2麦氏关系的简单应用 证明 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1） 熵函数S(T,V)的全微分为( 2)
热力学统计物理试题及其完整答案版
《热力学统计物理》试题参考解答及评分标准 一、1. B, 2. B, 3. A, 4. D, 5. B, 6. A, 7. C, 8. C, 9. A, 10. A. 评分标准：本题共20分， 每个答案2分。 二、 1. 状态， 2. 态， 系统从外界吸收， 3. p -, 4. ω )21(+ n , ,2,1,0=n , 5. l e a l l βεαω--=, 6. 0, 7. T V F )(??-, 8. 负温度状态, 9. n p T G ,)(??-， 10. n p S H ,)(??。 评分标准：本题共20分， 每个答案2分。 三、 1. 正确。 理由：pdV SdT dF --=。 2. 错误。 理由：T V F p ??? ????-=。 3. 错误。 理由：自由粒子为不受外力的作用而作自由运动的粒子。 4. 错误。 理由：组成玻色系统和费米系统的粒子是不可分辨的，而组成玻耳兹曼系统的 粒子是可以分辨的。 评分标准：每小题2.5分。其中判断1分，理由1.5分。 四、1．证: 由正则分布Es s e Z βρ-=1，得 s s E Z βρ--=ln ln . （1） 将上式代入广义熵的表示式，得 ]ln [ln ][ln ββ β??-=+=Z Z k U Z k . （2） 上式即正则系综中系统熵的表示式。 或者，由正则分布中熵的表示式出发 ][ln s s s E Z k βρ+=∑, （3） 利用（1）式，由上式得熵的普遍表示式 ∑-=s s s k S ρρln . (4) 评分标准：（1），（2）式各5分。 2. 证明：理想气体的热容量为n C ，则?dT C Q n =。由热力学第一定律得 pdV dT C dT C V n +=, 0)(=--pdV dT C C V n . (1) 将理想气体状态方程RT pV =微分，有
热力学统计物理各章重点总结..
第一章 概念 1.系统：孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系； 2.平衡态 ~ 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程，系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 。 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关; 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义: 5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值<
定容热容量: 定压热容量: 6.循环过程和卡诺循环 循环过程（简称循环）：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.。 8.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程：如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。 8.自由能：F和G （ 定义态函数：自由能F，F＝U－TS 定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1 定律及推论
热力学与统计物理试题及答案
热力学与统计物理试题及 答案 Revised by BLUE on the afternoon of December 12,2020.
一．选择（25分 ） 1.下列不是热学状态参量的是（ ） A.力学参量 B 。几何参量 C.电流参量 D.化学参量 2.下列关于状态函数的定义正确的是（ ) A.系统的吉布斯函数是：G=U-TS+PV B.系统的自由能是：F=U+TS C.系统的焓是：H=U-PV D.系统的熵函数是：S=U/T 3.彼此处于热平衡的两个物体必存在一个共同的物理量，这个物理量就是（ ） A.态函数 B.内能 C.温度 D.熵 4.热力学第一定律的数学表达式可写为（ ） A.W Q U U A B +=- B.W Q U U B A +=- C.W Q U U A B -=- D.W Q U U B A -=- 5.熵增加原理只适用于（ ） A.闭合系统 B.孤立系统 C.均匀系统 D.开放系统
二．填空（25分） 1.孤立系统的熵增加原理可用公式表示为（）。 2.热力学基本微分方程du=（）。 3.热力学第二定律告诉我们，自然界中与热现象有关的实际过程都是（）。 4.在S.V不变的情况下，平衡态的（）最小。 5.在T.VB不变的情形下，可以利用（）作为平衡判据。 三.简答（20分） 1.什么是平衡态平衡态具有哪些特点 2. 3.什么是开系，闭系，孤立系？ 四.证明（10分） 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关 五．计算（20分） 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β，等温压缩系数 T K
参考答案 一.选择 1~5AACAB 二.填空 1. ds≧0 2. Tds-pdv 3. 不可逆的 4. 内能 5. 自由能判据 三．简答 1.一个孤立系统，不论其初态如何复杂，经过足够长的时间后，将会达到这样状态，系统的各种宏观性质在长时间内不发生变化，这样的状态称为热力学平衡态。特点：不限于孤立系统 弛豫时间 涨落 热动平衡 2.开系：与外界既有物质交换，又有能量交换的系统
热力学和统计物理的答案解析第二章
第二章 均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ??????=== ? ??????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ???> ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（，有 ,T V U p T p V T ??????=- ? ??????? （3） 所以 ()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数.
2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ???> ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ???=> ???? （4） 2.4 已知0T U V ???= ????，求证0.T U p ???= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ???= ????，即有 0.T U p ???= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明： .T T U V V p ??????= ? ??????? （2） 2.5 试证明一个均匀物体的在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减. 解：热力学用偏导数p S V ??? ????描述等压过程中的熵随体积的变化率，
热力学统计物理试题(B卷)
热力学·统计物理试题（B 卷） 适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期) 1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关. 2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为 βp c dT dL =-α p c -+T L αβαβv v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ? ??? 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为： α βp p c c dT dL -= 3．(10分) 若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明： （1）V U V n U n U i i i ??+??=∑ （2）V U v n U u i i i ??+??= 4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 ∑-=s Ps Ps Nk S ln 式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s s s βεβεα---= =,∑s 对粒子的所有量子态求和。 5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是 2Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2/3T 成正比. 6．（20分） 在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为cp =ε,其中c 为光速.试求自由电子气体在0K 时的费米能量,内能和简并压.
附标准答案 1. (10分) 解证：范氏气体()RT b v v a p =-??? ? ? +2
由式(2.2.7)? T v U ??? ????=T V T p ??? ????-p =T 2 v a p b v R =-- (5分) T v U ??? ????=2v a ?)(),(0T f v a U v T U +-= =V C V T U ??? ????=)(T f ' ；与v 无关。 (5分) 2．(20分) 证明：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =， 在p ～T 相平衡曲线上. ()[]??? ? ??????+??? ?????+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中：=??? ?????T S () P T S ???? ????β()P T S ???? ????-α =???? ??????dT dp p S [()P T S ???? ????β()P T S ? ??? ????-α]dT dp ? (5分) 又有：T C P =P T S ??? ????；()())(αβS S T L -= 由麦氏关系(2.2.4): -=???? ????T p S P T V ??? ???? （5分） 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得： βp c dT dL =-α p c -+T L αβαβv v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ? ??? (5分) 若β相是气相，α相是凝聚相；() αV ～0；()p T V ???? ???α～0； β相按理想气体处理。pV=RT ?α βp p c c dT dL -= (5分) 3．（10分） 证明：（1） ),,,(),,,(11k k n n V T U n n V T U ΛΛλλλλ=
热力学与统计物理第二章知识总结
§内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分 热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。 焓：自由能： 吉布斯函数： 下面我们由热力学的基本方程(1) 即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分 焓、自由能和吉布斯函数的全微分 o焓的全微分 由焓的定义式，求微分，得， ； 将（1）式代入上式得(2) o自由能的全微分 由得 (3) o吉布斯函数的全微分 (4)
从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P 所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§将要讲到的特性函数。下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。 二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏) ~ (1)U（S，V） 利用全微分性质（5） 用（1）式相比得（6） 再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即 （6）式得（7） （2）H（S，P） 同（2）式相比有 由得（8） （3）F（T，V） ~
同（3）式相比 （9） （4）G（T，P） 同（4）式相比有 （10） （7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（）关系，简称麦氏关系。它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。 §麦氏关系的简单应用 证明 ' 1. 求 选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为 （1）
热力学与统计物理第三章知识总结
§3.1 热动平衡判据 当均匀系统与外界达到平衡时，系统的热力学参量必须满足一定的条件，称为系统的平衡条件。这些条件可以利用一些热力学函数作为平衡判据而求出。下面先介绍几种常用的平衡判据。 oisd一、平衡判据 1、熵判据 熵增加原理，表示当孤立系统达到平衡态时，它的熵增加到极大值，也就是说，如果一个孤立系统达到了熵极大的状态，系统就达到了平衡态。于是，我们就能利用熵函数的这一性质来判定孤立系统是否处于平衡态，这称为熵判据。孤立系统是完全隔绝的，与其他物体既没有热量的交换，也没有功的交换。如果只有体积变化功，孤立系条件相当与体积不变和内能不变。 因此熵判据可以表述如下：一个系统在体积和内能不变的情形下，对于各种可能的虚变动，平衡态的熵最大。在数学上这相当于在保持体积和内能不变的条件下通过对熵函数求微分而求熵的极大值。如果将熵函数作泰勒展开，准确到二级有 d因此孤立系统处在稳定平衡态的充分必要条件为 既围绕某一状态发生的各种可能的虚变动引起的熵变，该状态的熵就具有极大值，是稳定的平衡状态。 如果熵函数有几个可能的极大值，则其中最大的极大相应于稳定平衡，其它较小的极大相应于亚稳平衡。亚稳平衡是这样一种平衡，对于无穷小的变动是稳定是，对于有限大的变动是不稳定的。如果对于某些变动，熵函数的数值不变，，这相当于中性平衡了。 熵判据是基本的平衡判据，它虽然只适用于孤立系统，但是要把参与变化的全部物体都包括在系统之内，原则上可以对各种热动平衡问题作出回答。不过在实际应用上，对于某些经常遇到的物理条件，引入其它判据是方便的，以下将讨论其它判据。 2、自由能判据
表示在等温等容条件下，系统的自由能永不增加。这就是说，处在等温等容条件下的系统，如果达到了自由能为极小的状态，系统就达到了平衡态。我们可以利用函数的这一性质来判定等温等容系统是否处于平衡态，其判据是：系统在等温等容条件下，对于各种可能的变动，平衡态的自由能最小。这一判据称为自由能判据。 按照数学上的极大值条件，自由能判据可以表示为： ; 由此可以确定平衡条件和平衡的稳定性条件。 所以等温等容系统处于稳定平衡状态的必要和充分条件为： 3吉布斯函数判据 在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。可以得到吉布斯函数判据：系统在等温等压条件下，对于各种可能的变动，平衡态的吉布斯函数最小。 数学表达式为 , 等温等压系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为 除了熵，自由能和吉布斯函数判据以外，还可以根据其它的热力学函数性质进行判断。例如，内能判据，焓判据等。 二、平衡条件 做为热动平衡判据的初步应用，我们考虑一个均匀的物质系统与具有恒定温度和恒定压强的热源相互接触，在接触中二者可以通过功和热量的方式交换能量。我们推求在达到平衡时所要满足的平衡条件和平衡稳定条件。 1．平衡条件 现在利用熵判据求系统的平衡条件。我们将系统和热源合起来构成一个孤立系统，设系统的 熵为S，热源的熵为因为熵是一个广延量，具有可加性，则孤立系统的总熵（用） 为： (1) 当达到平衡态时，根据极值条件可得： (2)
2020年热力学统计物理各章重点总结
热力学统计物理各章重点总结第一章概念系统孤立系统、闭系、开系与其他物体既没有 物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系； 平衡态平衡态的特点系统的各种宏观性质都不随时间变化； 热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡； 在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落； 对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态 的概念推断系统是否处在平衡状态。 准静态过程和非准静态过程准静态过程进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每 一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程，系统的平衡态受到破坏内能、焓和熵内能是状态函数。当系统的初态A 和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关; 表示在等 压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性克劳修斯 引进态函数熵。定义: 热容量等容热容量和等压热容量及比值定容热容量: 定压热容量: 循环过程和卡诺循环循环过程（简称循环）如果一系统由某个状 态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历 一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循 环过程。 可逆过程和不可逆过程不可逆过程如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不 可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。 自由能F和G 定义态函数自由能F，F＝U－TS 定义态函数吉布斯函数G，G=U-TS+PV， 可得GA－GB3－W1 定律及推论热力学第零定律－温标如果物体A和物体B各自与外在 同一状态的物体C达到热平衡，若令A与B进行热接触，它们也将处在热平衡。 三要素 （1）选择测温质； （2）选取固定点；
热力学统计物理课后习题答案
第七章 玻耳兹曼统计 7．1试根据公式V a P L l l ??- =∑ε证明，对于非相对论粒子 () 2 222 22212z y x n n n L m m P ++?? ? ??== πε， （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。 证明：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为 () 2222 2,,2212z y x n n n n n n L m m P z y x ++?? ? ??== πε （ ,2,1,0,,±±=z y x n n n ）-------（1） 为书写简便，我们将上式简记为3 2 -=aV ε-----------------------（2） 其中V=L 3 是系统的体积，常量() 22 222)2(z y x n n n m a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。 由（2）式可得 V aV V l L εε323235 -=-=??----------------------（3） 代入压强公式，有V U a V V a P l l l L l l 3232 = =??-=∑∑εε----------------------（4） 式中 l l l a U ε ∑= 是系统的能。 上述证明未涉及分布的具体表达式，因此上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。 注：（4）式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动能。 7．2根据公式V a P L l l ??- =∑ε证明，对于极端相对论粒子 () 2 1 2 222z y x n n n L c cp ++== πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有V U P 31= 上述结论对于玻尔兹曼分布，玻色分布和费米分布都成立。 证明：处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为 () 2 1 22 2,,2z y x n n n n n n L c z y x ++= πε， ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------（1） 为书写简便，我们将上式简记为3 1-=aV ε-----------------------（2） 其中V=L 3 是系统的体积，常量( ) 2 1 2 2 2 2z y x n n n c a ++= π，并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三 个量子数。
热力学与统计物理答案详解第二章的
第二章 均匀物质的热力学性质 2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? （3） 所以
()0.T U Tf V p V ???=-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 2.3 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ??? => ? ??? （4） 2.4 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ?????????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明：
热力学统计物理总复习知识点
热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此 也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状 态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝 热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造， 只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定律的公 式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率 211T T -=η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其 他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 V p W d d -=
热力学统计物理练习试题和答案
热力学·统计物理练习题 一、填空题. 本大题70个小题，把答案写在横线上。 1.当热力学系统与外界无相互作用时,经过足够长时间,其宏观性质 时间改变，其所处的 为热力学平衡态。 2． 系统，经过足够长时间，其 不随时间改变，其所处的状态为热力学平衡态。 3．均匀物质系统的热力学平衡态可由力学参量、电磁参量、几何参量、化学参量等四类参量描述，但有 是独立的。 4．对于非孤立系统，当其与外界作为一个整体处于热力学平衡态时，此时的系统所处的状态是 。 5．欲描述非平衡系统的状态，需要将系统分成若干个小部分，使每小部分具有 小，但微观上又包含大量粒子，则每小部分都可视为 。 6．描述热力学系统平衡态的独立参量和 之间关系的方程式叫物态方程，其一般表达式为 。 7．均匀物质系统的独立参量有 个，而过程方程独立参量只有 个。 8．定压膨胀系数的意义是在 不变的条件下系统体积随 的相对变化。 9．定容压力系数的意义是在 不变条件下系统的压强随 的相对变化。 10．等温压缩系数的意义是在 不变条件下系统的体积随 的相对变化。 11．循环关系的表达式为 。 12．在无摩擦准静态过程中存在着几种不同形式的功，则系统对外界作的功∑-=δi i dy Y W ，其中i y 是 ，i Y 是与i y 相应的 。 13．W Q U U A B +=-，其中W 是 作的功。 14．?=+=0W Q dU ，-W 是 作的功，且-W 等于 。 15．?δ+δ2L 11W Q ?δ+δ2 L 12W Q （1、2均为热力学平衡态,L 1、L 2为准静态过程）。 16．第一类永动机是指 的永动机。 17．能是 函数，能的改变决定于 和 。 18．焓是 函数，在等压过程中，焓的变化等于 的热量。 19．理想气体能 温度有关，而与体积 。
热力学与统计物理答案第二章
第二章 均匀物质的热力学性质 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ? ?????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关.
解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ??????=- ? ??????? （3） 所以 ()0.T U Tf V p V ??? =-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2）
内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ???=> ???? （4） 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ?? ?= ???? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ???? ?????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明： (, )(, )(,)(,)(, )(,) T U U T p p T U T V T V T p T ????= ? ??????= ??
热力学统计物理各章重点总结..教学提纲
热力学统计物理各章重点总结..
第一章 概念 1.系统：孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系； 2.平衡态 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程，系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关; 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义:
5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值定容热容量: 定压热容量: 6.循环过程和卡诺循环 循环过程（简称循环）：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程：如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。 8.自由能：F和G 定义态函数：自由能F，F＝U－TS
热力学统计物理精彩试题
简述题 1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。 由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？ 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4 5 K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？ 因为双原子分子的振动特征温度3 K θ~10v ，在常温或低温下 kT < 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数 κT 。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1） 由此易得 11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? （2） 11 ,V p nR p T pV T β???= == ? ??? （3） 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得： ()ln T V =αdT κdp -? 如果11 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ??????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V α κ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ()ln .T V dT dp ακ=-? （3） 若1 1,T T p ακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有 000 ln =ln ln ,V T p V T p - 即 000 p V pV C T T ==（常量）， 或 .pV CT = （5） 热力学·统计物理试题（B 卷） 适用于200×级本科物理学专业 (200×-200×学年度第×学期) 1. (10分) 证明范氏气体的定容热容量只是温度的函数,与比容无关. 2. (20分) 试证明，相变潜热随温度的变化率为 β p c dT dL =-αp c -+T L αβαβ v v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ???? 如果β相是气相，α相是凝聚相，试证明上式可简化为： α βp p c c dT dL -= 3．(10分) 若将U 看作独立变数T , V , n 1,… n k 的函数，试证明： （1）V U V n U n U i i i ??+??= ∑ （2）V U v n U u i i i ??+??= 4．（20分） 试证明，对于遵从玻尔兹曼分布的系统，熵函数可以表示为 ∑-=s Ps Ps Nk S ln 式中P s 是总粒子处于量子态s 的概率，1Z e N e P s s s βεβεα---= =,∑s 对粒子的所有量子态求和。 5．（20分） 铁磁体中的自旋波也是一种准粒子,遵从玻色分布,色散关系是2 Ak =ω.试证明在低温下,这种准粒子的激发所导致的热容与2 /3T 成正比. 6．（20分）在极端相对论情形下电子能量与动量的关系为 cp = ε,其中c为光速.试求自 由电子气体在0K时的费米能量,内能和简并压. 附标准答案 1. (10分) 解证：范氏气体()RT b v v a p =-?? ? ??+ 2 由式(2.2.7)? T v U ??? ????=T V T p ??? ????-p =T 2 v a p b v R =-- (5分) T v U ??? ????=2v a ?)(),(0T f v a U v T U +-= =V C V T U ??? ????=)(T f ' ；与v 无关。 (5分) 2．(20分) 证明：显然属于一级相变; ()())(αβS S T L -=; 其中())(,T p T S S =， 在p ～T 相平衡曲线上. ()[]??? ? ??????+??? ?????+-=dT dp p S T T S T S S dT dL αβ 其中：=??? ?????T S ()P T S ???? ????β()P T S ???? ????-α =???? ??????dT dp p S [()P T S ? ??? ? ???β()P T S ???? ????-α]dT dp ? (5分) 又有：T C P =P T S ??? ????；()() )(αβS S T L -= 由麦氏关系(2.2.4): -=???? ????T p S P T V ??? ???? （5分） 上几式联立(并将一级相变的克拉伯珑方程代入)得： β p c dT dL =-αp c -+T L αβαβ v v L T v T v p p -??? ????????? ????-???? ???? (5分) 若β相是气相，α相是凝聚相；() αV ～0；()p T V ???? ???α～0； β相按理想气体处理。pV=RT 第一章 热力学的基本规律 习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。 解：由得：nRT PV = V n R T P P n R T V == ; 所以, T P nR V T V V P 1 1)(1== ??=α T PV Rn T P P V /1)(1== ??=β P P n R T V P V V T T /11 1)(12=--=??-=κ 习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:?-=)(ln dp dT V T κα如果1T α= 1 T p κ= ,试求物态方程。 解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此, dp p V dT T V dV T p )()( ??+??=, 因为T T p p V V T V V )(1,)(1??-=??=κα 所以, dp dT V dV dp V dT V dV T T κακα-=-=, 所以, ?-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα. CT pV p dp T dT V =-=? :,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和 1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。问（1压强 要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100n p ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ?;，由定义得： 74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=?=V x T κ 所以，410*07.4,622-=?=V p x n 错热力学统计物理课后11
热力学统计物理试题(B卷)
热力学统计物理答案 第一章