考研数学之高等数学讲义第一章(考点知识点+概念定理总结)

高等数学讲义

目录

第一章函数、极限、连续 (1)

第二章一元函数微分学 (24)

第三章一元函数积分学 (49)

第四章常微分方程 (70)

第五章向量代数与空间解析几何 (82)

第六章多元函数微分学 (92)

第七章多元函数积分学 (107)

第八章无穷级数（数一和数三） (129)

第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

(甲) 内容要点

一、函数的概念

1．函数的定义 2．分段函数

3．反函数 4．隐函数

二、基本初等函数的概念、性质和图象

三、复合函数与初等函数

四、考研数学中常出现的非初等函数

1．用极限表示的函数

(1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y x

t →= 2．用变上、下限积分表示的函数

(1) ?=

x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ?=

)()(21)(x x dt t f y ?? 其中)(),(21x x ??可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dx

????''=- 五、函数的几种性质

1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。

2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。

若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。

3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f <

)]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增]

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。）

4． 周期性：设)(x f 在X 上有定义，如果存在常数0≠T ，使得任意X x ∈，X T x ∈+，都有

)()(x f T x f =+，则称)(x f 是周期函数，称T 为)(x f 的周期。

由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。

§1.2 极限

(甲) 内容要点

一、极限的概念与基本性质

1．极限的概念

(1) 数列的极限A x n n =∞

→lim (2) 函数的极限lim ()x f x A →+∞=；lim ()x f x A →-∞=；lim ()x f x A →∞

= A x f x x =→)(lim 0；A x f x x =+→)(lim 0；A x f x x =-→)(lim 0

2．极限的基本性质

定理1 （极限的唯一性 ） 设A x f =)(lim ，B x f =)(lim ，则A=B

定理2 （极限的不等式性质） 设A x f =)(lim ，B x g =)(lim

若x 变化一定以后，总有)()(x g x f ≥，则B A ≥

反之，B A >，则x 变化一定以后，有)()(x g x f >（注：当0)(≡x g ，0=B 情形也称为极限的保号性）

定理3 （极限的局部有界性）设A x f =)(lim

则当x 变化一定以后，)(x f 是有界的。

定理4 设A x f =)(lim ，B x g =)(lim

则（1）B A x g x f +=+)]()([lim

（2）B A x g x f -=-)]()([lim

（3）B A x g x f ?=?)]()([lim

（4）)0()()(lim ≠=B B

A x g x f （5）

B x g A x f =)()]([lim )0(>A

二、无穷小

1．无穷小定义：若0)(lim =x f ，则称)(x f 为无穷小（注：无穷小与x 的变化过程有关，

01lim =∞→x x ，当∞→x 时x 1为无穷小，而0x x →或其它时，x

1不是无穷小） 2．无穷大定义：任给M>0，当x 变化一定以后，总有M x f >)(，则称)(x f 为无穷大，记以∞=)(lim x f 。

3．无穷小与无穷大的关系：在x 的同一个变化过程中，

若)(x f 为无穷大，则)

(1x f 为无穷小， 若)(x f 为无穷小，且0)(≠x f ，则

)(1x f 为无穷大。 4．无穷小与极限的关系：

lim ()()()f x A f x A x α=?=+，其中lim ()0x α=

5．两个无穷小的比较

设0)(lim =x f ，0)(lim =x g ，且l x g x f =)

()(lim （1）0=l ，称)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小，记以()[()]f x o g x =

称)(x g 是比)(x f 低阶的无穷小

（2）0≠l ，称)(x f 与)(x g 是同阶无穷小。

（3）1=l ，称)(x f 与)(x g 是等阶无穷小，记以)(~)(x g x f

6．常见的等价无穷小，当0→x 时

x x ~sin ，x x ~tan ，x x arc ~sin ，x x arc ~tan ，22

1~

cos 1x x -，x e x ~1-，

x x ~)1ln(+，(1)1~x x αα+-。

7．无穷小的重要性质

有界变量乘无穷小仍是无穷小。

三、求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则

2．两个准则

准则1：单调有界数列极限一定存在

(1) 若n n x x ≤+1（n 为正整数）又m x n ≥（n 为正整数），则A x n n =∞

→lim 存在，且m A ≥ (2) 若n n x x ≥+1（n 为正整数）又n x M ≤（n 为正整数），则A x n n =∞

→lim 存在，且A M ≤ 准则2：夹逼定理

设)()()(x h x f x g ≤≤。若A x g =)(lim ，A x h =)(lim ，则A x f =)(lim

3．两个重要公式

公式1：1sin lim 0=→x

x x 公式2：e n n n =+∞→)11(lim ；e u

u u =+∞→)11(lim ；e v v v =+→10)1(lim 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二）

当0→x 时，21()2!!n

x

n x x e x o x n =+++++ 3521

21sin (1)()3!5!(21)!

n n n x x x x x o x n ++=-++-++ 24

22cos 1(1)()2!4!(2)!

n n n x x x x o x n =-+-+-+ 23

1ln(1)(1)()23n n n x x x x x o x n

++=-+--+ 35

21121tan (1)()3521

n n n x x x arc x x o x n +++=-+-+-++ 2(1)(1)[(1)](1)1()2!!n n n x x x x o x n ααααααα----+=++

+++ 6．洛必达法则

法则1：（00

型）设（1）0)(lim ,0)(lim ==x g x f （2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在

（3）()lim ()

f x A

g x '='（或∞） 则A x g x f =)

()(lim （或∞） （注：如果()lim

()f x g x ''不存在且不是无穷大量情形，则不能得出()lim ()f x g x 不存在且不是无穷大量情形）

法则2：（∞∞

型）设（1）lim (),lim ()f x g x =∞=∞ （2）x 变化过程中，()f x '，()g x '皆存在

（3）()lim ()

f x A

g x '='（或∞） 则A x g x f =)

()(lim （或∞）

7．利用导数定义求极限 基本公式：0000()()lim ()x f x x f x f x x

?→+?-'=?[如果存在] 8．利用定积分定义求极限 基本公式?∑==∞→101)()(1lim dx x f n k f n n k n [如果存在]

9．其它综合方法

10．求极限的反问题有关方法

§1.3 连续

(甲) 内容要点

一、函数连续的概念

1．函数在一点连续的概念

定义1 若)()(lim 00

x f x f x x =→，则称)(x f 在点0x 处连续。 定义2 设函数)(x f y =，如果0

0lim ()()x x f x f x -→=，则称函数)(x f 在点0x 处左连续；如果)()(lim 00x f x f x x =+→，则称函数)(x f 在点0x 处右连续。

如果函数()y f x =在点0x 处连续，则()f x 在0x 处既是左连续，又是右连续。

2．函数在区间内（上）连续的定义

如果函数)(x f y =在开区间（b a ,）内的每一点都连续，则称)(x f 在),(b a 内连续。

如果)(x f y =在开区间内连续，在区间端点a 右连续，在区间端点b 左连续，则称)(x f 在闭区间[b a ,]上连续。

二、函数的间断点及其分类

1．函数的间断点的定义

如果函数)(x f y =在点0x 处不连续，则称0x 为)(x f 的间断点。

2．函数的间断点分为两类：

（1）第一类间断点

设0x 是函数)(x f y =的间断点，如果)(x f 在间断点0x 处的左、右极限都存在，则称0x 是)(x f 的第一类间断点。

第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。

（2）第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。

常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

例如：0=x 是x x x f sin )(=的可去间断点，是x x x f ||)(=的跳跃间断点，是x x f 1)(=的无穷间断点，是x

x f 1sin )(=的振荡间断点。

三、初等函数的连续性

1．在区间I 连续的函数的和、差、积及商（分母不为零），在区间I 仍是连续的。

2．由连续函数经有限次复合而成的复合函数在定义区间内仍是连续函数。

3．在区间I 连续且单调的函数的反函数，在对应区间仍连续且单调。

4．基本初等函数在它的定义域内是连续的。

5．初等函数在它的定义区间内是连续的。

四、闭区间上连续函数的性质

在闭区间[a ,b ]上连续的函数)(x f ，有以下几个基本性质，这些性质以后都要用到。 定理1 （有界定理）如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续，则f (x )必在[a, b ]上有界。

定理2 （最大值和最小值定理）如果函数f (x )在闭区间[a, b ]上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m .

其中最大值M 和最小值m 的定义如下：

定义 设M x f =)(0是区间],[b a 上某点0x 处的函数值，如果对于区间],[b a 上的任一点x ，总有M x f ≤)(，则称M 为函数)(x f 在],[b a 上的最大值。同样可以定义最小值m .

定理3 （介值定理）如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c ，在],[b a 上至少存在一个ξ，使得

c f =)(ξ

推论：如果函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且)(a f 与)(b f 异号，则在),(b a 内至少存在一个点ξ，使得

0)(=ξf

这个推论也称零点定理。

思考题：什么情况下能保证推论中的ξ是唯一的？