第一章集合知识点整理

第一章集合

§1．1集合

基础知识点：

⒈集合的定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，一些元素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号{ }或大写的拉丁字母A,B,C…表示，

而元素用小写的拉丁字母a,b,c…表示。

3.集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4.常用的数集及记法：

非负整数集（或自然数集），记作N；

正整数集，记作N*或N+；N内排除0的集.

整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R；

5.关于集合的元素的特征

⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了。

如：“地球上的四大洋”（太平洋,大西洋，印度洋，北冰洋）。“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以

构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，“平面点P周围的点”一般不构成集合，因为组成它的元素是不确定的.

⑵互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的。.

如:方程(x-2)(x-1)2=0的解集表示为{1, 2},而不是{1, 1, 2}

⑶无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

练1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：

⑴大于3小于11的偶数；⑵我国的小河流；

⑶非负奇数；⑷方程x2+1=0的解；

⑸徐州艺校校2011级新生；⑹血压很高的人；

⑺著名的数学家；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点

6.元素与集合的关系：(元素与集合的关系有“属于∈”及“不属于?”两种)

⑴若a是集合A中的元素，则称a属于集合A，记作a∈A；

⑵若a不是集合A的元素，则称a不属于集合A，记作a?A。

例如，（1）A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A，4?A，等等。

（2）A={2，4，8，16}，则4∈A，8∈A，32?A.

典型例题

例1．用“∈”或“?”符号填空：

⑴8 N；⑵0 N；⑶-3 Z；；

⑸设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A。

例2．已知集合P的元素为

2

1,,3

m m m

--, 若2∈P且-1?P，求实数m的值。

第二课时 基础知识点

一、集合的表示方法

⒈列举法：把集合中的元素一一列举出来, 并用花括号“

{}”括起来表示集合的方法叫列举法。如：{1，2，3，4，5}，{x 2

，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；

说明：⑴书写时，元素与元素之间用逗号分开；

⑵一般不必考虑元素之间的顺序；

⑶在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；

⑷集合中的元素可以为数，点，代数式等；

⑸列举法可表示有限集，也可以表示无限集。当元素个数比较少时用列举法比较简单；若集合中的元素较多或无限，但出现一

定的规律性，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示。

⑹对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为{}1,2,3,4,5,......

例1．用列举法表示下列集合：

(1) 小于5的正奇数组成的集合；

(2) 能被3整除而且大于4小于15的自然数组成的集合；

(3) 从51到100的所有整数的集合；

(4) 小于10的所有自然数组成的集合；

(5) 方程2x x =的所有实数根组成的集合；

⑹ 由1~20以内的所有质数组成的集合。

⒉描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，称为描述法。。

方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元

素所具有的共同特征。

一般格式：{}()x A p x ∈

如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x 2

+1}，{x|直角三角形}，…； 说明:描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x 2+3x+2}与 {y|y= x 2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合

的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z 。

辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。写法{实数集}，{R}也是错误的。

用符号描述法表示集合时应注意：

1、弄清元素所具有的形式（即代表元素是什么）是数还是点、还是集合、还是其他形式？

2、元素具有怎么的属性？当题目中用了其他字母来描述元素所具有的属性时，要去伪存真，而不能被表面的字母形式所迷惑。

例2．用描述法表示下列集合：

(1) 由适合x 2-x-2>0的所有解组成的集合;

（2）方程220x -=的所有实数根组成的集合

（3）由大于10小于20的所有整数组成的集合。

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，

一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。

练习：

1.由方程x 2－2x －3＝0的所有实数根组成的集合；

2.大于2且小于6的有理数；

3.已知集合A ＝{x|-3

+1，x ∈A}，则集合B 用列举法表示是 3、文氏图

集合的表示除了上述两种方法以外，还有文氏图法，即

画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合，如下图所示：

二、集合的分类 观察下列三个集合的元素个数

1. {4.8, 7.3, 3.1, -9};

2. {x ∈R ∣0

3. {x ∈R ∣x 2+1=0}

由此可以得到

集合的分类:::()

empty set ?????-?有限集含有有限个元素的集合

无限集含有无限个元素的集合空集不含有任何元素的集合

典型例题

【题型一】 元素与集合的关系

1、设集合A ＝｛１，32+-a ｝,B=｛1,a ２｝,且A=B ，求实数a 的值。

2、已知集合A ＝｛a+2，（a+1)２｝若1∈A,求实数a 的值。

【题型二】 元素的特征

1、已知集合M=｛x ∈N ∣x +16∈Z ｝,求M

巩固练习：

一选择题：

1.给出下列四个关系式：①3∈R ；②π?Q ；③0∈N ；④0?φ其中正确的个数是( )

A.1

B.2

C.3

D.4

2.方程组 的解组成的集合是( )

A.｛2,1｝

B.｛-1,2｝

C.（2,1）

D.｛（2,1）｝

3.把集合｛-3≤x ≤3,x ∈N ｝用列举法表示，正确的是( )

A.｛3,2,1｝

B.｛3,2,1,0｝

C.｛-2,-1,0,1,2｝

D.｛-3,-2,-1,0,1,2,3｝

4. 已知A ＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是( )

A ．3∈A

B ．1∈A

???=-=+1

3y x y x A 表示任意一个集合A 3,9,27 表示{3，9，27}

C ．0∈A

D ．－1?A

二填空题：

5．已知集合A ＝{1，a 2}，实数a 不能取的值的集合是________．

6．已知P ＝{x|2＜x ＜a ，x ∈N }，已知集合P 中恰有3个元素，则整数a ＝________.

7. 集合M=｛y ∈Z ∣y=x +38,x ∈Z ｝,用列举法表示是M ＝ 。 8. 已知集合A ＝｛2a,a 2-a ｝，则a 的取值范围是 。

三、解答题：

9．已知集合A ＝{x|ax 2－3x －4＝0，x ∈R }．

(1)若A 中有两个元素，求实数a 的取值范围；

(2)若A 中至多有一个元素，求实数a 的取值范围．

1.1.2 集合间的基本关系

基础知识点

比较下面几个例子，试发现两个集合之间的关系：

（1）{1,2,3}A =，{1,2,3,4,5}B =；

（2）{}C =北京一中高一一班全体女生，{}D =北京一中高一一班全体学生；

观察可得：

⒈子集：对于两个集合A ，B ，如果集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集

（subset ）。

记作：()A B B A ??或 读作：A 包含于B ，或B 包含A

当集合A 不包含于集合B 时，记作A ?B(或B ?A) 用Venn 图表示两个集合间的“包含”关系：

⒉集合相等定义：如果A 是集合B 的子集，且集合B 是集合A 的子集，则集合A 与集合B

中的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，即若A B B A ??

且，则A B =。

如：A={x|x=2m+1，m ∈Z}，B={x|x=2n-1，n ∈Z}，此时有A=B 。 ⒊真子集定义：若集合A B ?，但存在元素,x B x A ∈?且，则称集合A 是集合B 的真子集。

记作：A B （或B A ） 读作：A 真包含于B （或B 真包含A ）

4.几个重要的结论：

⑴空集是任何集合的子集；对于任意一个集合A 都有φ?A 。

⑵空集是任何非空集合的真子集；

⑶任何一个集合是它本身的子集；

⑷对于集合A ，B ，C ，如果A B ?，且B C ?，那么A C ?。

练习：填空：

⑴2 N ； {2} N ； φ A;

⑵已知集合A ＝{x|x 2

－3x ＋2＝0}，B ＝{1,2}，C ＝{x|x<8,x ∈N}，则

A B ； A C ； {2} C ； 2 C

说明：

⑴注意集合与元素是“属于”“不属于”的关系，集合与集合是“包含于”“不包含于”的关系；

⑵在分析有关集合问题时，要注意空集的地位。

典型例题

【题型１】集合的子集问题

1.写出集合｛a,b,c ｝的所有子集，并指出其中哪些是真子集，哪些是非空的真子集。

2.已知集合M 满足｛2,3｝?M ?｛1,2,3,4,5｝求满足条件的集合M 。

3.已知集合A ＝｛x|x 2-2x-3=0｝,B=｛x|ax=1｝，若B A ，则实数a 的值构成的集合是（ ）

B A 表示：A B ?

A.｛-1,0,

31｝ B.｛-1,0｝ C.｛-1,31｝ D.｛3

1,0｝ 4.已知集合{}{}25,121A x x B x m x m =-<≤=-+≤≤-且A B ?，求实数m 的取值范围。

巩固练习

1、判断下列集合的关系.

(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;

(5) A={x| (x-1)2=0}，B={y|y 2-3y+2=0};

(6) A={1,3}，B={x|x 2-3x+2=0};

(7) A={-1,1}，B={x|x 2-1=0};

2、设A={0，1}，B={-1,0,1,2,3}，问A 与B 什么关系？

3、已知集合

}5|{<<=x a x A ，x x B |{=≥}2，且满足B A ?，求实数a 的取值范围。

4、若集合{

}==-+=N x x x M ,062}{0))(2(=--a x x x ，且N M ?,求实数a 的值.

1.1.3 集合间的基本运算 基础知识点

C 与集合A ，B 之间的关系：

（1）

{1,3,5}A =，{}{2,4,6},1,2,3,4,5,6B C ==； （2）{}A x x =是有理数，{}{},B x x C x x ==是无理数是实数；

1.并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合A 与集合B 的并集，即A 与B 的所有部分，

记作A ∪B ， 读作：∈A 或x ∈B}。

Venn 图表示：

说明：定义中要注意“所有”和“或”这两个条件。

讨论：A ∪B 与集合A 、B 有什么特殊的关系？

A ∪A ＝ , A ∪Ф＝ , A ∪

B B ∪A

A ∪

B ＝A ? , A ∪B ＝B ? .

巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∪B ＝ ;

②．设A ＝{锐角三角形}，B ＝{钝角三角形}，则A ∪B ＝ ;

③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∪B ＝ 。

2.交集定义：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，叫作集合A 、B 的交集（intersection set ），

记作：A ∩B 读作：A 交B 即：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}

Venn 图表示：

常见的五种交集的情况：

说明：当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个 集合没有交集

讨论：A ∩B 与A 、B 、B ∩A 的关系？

A ∩A ＝ A ∩φ＝ A ∩

B B ∩A A ∩B ＝A ? A ∩B ＝B ?

巩固练习（口答）：

①．A ＝{3,5,6,8}，B ＝{4,5,7,8}，则A ∩B ＝ ;

②．A ＝{等腰三角形}，B ＝{直角三角形}，则A ∩B ＝ ;

③．A ＝{x|x>3}，B ＝{x|x<6}，则A ∩B ＝ 。

3.一些特殊结论

⑴若A B ?,则A ∩B=A ； ⑵若B A ?,则A ?B=A ；

⑶若A ，B 两集合中，B=φ，,则A ∩φ=φ, A ?

φ=A 。

典型例题

【题型一】 并集与交集的运算

【例1】设A={x|-1

解：A ∪B={x|-1

【例2】设A={x|x>-2}，B={x|x<3},求A ∩B 。

解：在数轴上作出A 、B 对应部分如图

A ∩B={x|x>-2}∩{x|x<3}={x|-2

【例3】已知集合A ＝｛y |y=x 2-2x-3,x ∈R ｝,B=｛y |y=-x 2+2x +13,x ∈R ｝求A ∩B 、A ∪B

【题型二】 并集、交集的应用

例：.已知｛3,4，m 2

-3m-1｝∩{2m ，-3}=｛-3｝,则m ＝ 。

巩固练习

1、 设A={x|x 是等腰三角形}，B={x|x 是直角三角形}，则A ∩B ＝ 。

2、设A={x|x 是锐角三角形}，B={x|x 是钝角三角形}，则A ∪B ＝ 。

3、设A={4，5，6，8}，B={3，5，7，8}，则A ∪B ＝ 。

4、已知集合M ＝{x|x-2<0},N={x|x+2>0},则M ∩N 等于 。

5、设A ＝｛不大于20的质数｝，B ＝{x|x ＝2n+1,n ∈N*}，用列举法写出集合A ∩B ＝ 。

6、若集合A ＝｛1，3，x ｝,B=｛1,x 2｝,A ∪B ＝｛1，3，x ｝,则满足条件的实数x=_____________

7、满足条件M ∪｛1｝＝｛1，2，3｝的集合M 的个数是 。

8.已知集合A ＝｛x|-1≤x ≤2｝,B=｛x|2a ＜x ＜a+3｝,且满足A ∩B ＝φ，则实数a 的取值范围是 。

A B A(B) A B B A B A （阴影部分即为A 与B 的交集） -2 3 -1 1 2 3

集合的基本运算㈡ 基础知识点

全班同学}、A={全班参加足球队的同学}、

B={全班没有参加足球队的同学}，则U 、A 、B 有何关系？

集合B 是集合U 中除去集合A 之后余下来的集合。

（一）. 全集、补集概念及性质：

⒈全集的定义：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么

就称这个集合为全集,记作U ，是相对于所研究问题而言的一个相对概念。

⒉补集的定义：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合，叫作集

合A 相对于全集U 的补集,

记作：U C A ，读作：A 在U 中的补集，即{},U C A x x U x A =∈?且

Venn 图表示：

中的补集）

说明：补集的概念必须要有全集的限制

讨论：集合A 与U C A 之间有什么关系？→借助Venn 图分析

,

,

()U U U U A C A A C A U C C A A ?=??==

,U U C U C U =??= 巩固练习（口答）：

①．U={2,3,4}，A={4,3}，B=φ，则U C A = ，U C B = ；

②．设U ＝{x|x<8，且x ∈N}，A ＝{x|(x-2)(x-4)(x-5)＝0}，则U C A ＝ ；

③．设U ＝{三角形}，A ＝{锐角三角形}，则U C A ＝ 。

典型例题

【例1】．设全集{}{}{},1233456U x A B ===x 是小于9的正整数，，，，，，，

求U C A ，U C B ．

【例2】设全集{}{}{}4,23,33U

x x A x x B x x =≤=-<<=-<≤集合，求U C A ， A B ?，,(),()(),()(),()U U U U U U A B C A B C A C B C A C B C A B ?????。

（结论：()()(),()()()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ?=??=?）

【例3】设全集U 为R ，{}{}22120,50A x x px B x x x q =

++==-+=，若 {}{}()2,()4U U C A B A C B ?=

?=，求A B ?。

（答案：{}2,3,4）

【例4】设全集U ＝｛x|-1≤x ≤3｝,A=｛x|-1＜x ＜3｝,B=｛x|x 2-2x-3=0｝,求U C A ，并且判断U C A 和集合B 的关系。

巩固练习

1.若S={2，3，4}，A={4，3}，则C S A=__________________；

2.若S={三角形}，B={锐角三角形}，则C S B=__________________-；

3.若S={1，2，4，8}，A=?，则C S A=___________；

4.若U={1，3，a 2+2a+1}，A={1，3}，C U A={5}，则a= ；

5.已知全集U=R,集合A={x|0

6.已知集合M ?{4,7,8},且M 中至多有一个偶数,则这样的集合为__________________

提高内容：

7.A={2，3，a 2+4a+2}，B={0，7，a 2+4a-2，2-a}，且A I B ={3，7}，求B.

8.已知M={1}，N={1，2}，设A={（x ，y ）|x ∈M ，y ∈N}，B={（x ，y ）|x ∈N ，y ∈M}，求A ∩B ，A ∪B.

高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ）

一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分)

1、U ＝｛1，2，3，4，5｝，若A ∩B ＝｛2｝，(C U A )∩B ＝｛4｝，(C U A )∩(C U B )＝｛1，5｝，则下列结论正确的是 .错误!未指定书签。 ①、3

A 且3

B ；②、3A 且3B ； ③、3A 且3B ；④、3A 且3B 。

2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠，则k 的取值范围是

3、已知全集I =｛x ｜x

R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k R ｝，且(C I A )∩B ＝，则实数k 的取值范围是

4、已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B I 为

5、设a b ∈R ，，集合{}10b

a b a b a ??+=????，，，，，则b a -=

6、设集合M =},2

14|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则M N 。(选填

、、、?、＝、N M ?、N M ?) 7、设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ?

?????∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B =

8、设P 和Q 是两个集合，定义集合{}|P Q x x P x Q -=∈?，且，如果{}2|log 1P x x =<，{}|21Q x x =-<，那么P Q -等于

9、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =?I ，则实数a 的取值范围是

10、设集合S ={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A =A b ，其中k 为I +j 被4除的余数，I ，j =0，1，2，3.满足关系式=(x ⊕x )⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为

11、集合(){}(){},||2|,0,,|,A x y y x x B x y y x b A B =≥-≥=≤-+?≠?，b 的取值范围是 .

12、定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为

13、设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．．的个数是 14、某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为

26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有____ 人。

二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！

15、(13分)已知全集U=

{}22,3,23a a +-，若A={},2b ，{}5U C A =，求实数的a ，b 值。

16、(14分)若集合S ={}23,a ，{}|03,T

x x a x Z =<+<∈且S ∩T ={}1，P =S ∪T ，求集合P 的所有子集

17、(16分)已知集合A ={}37x x ≤≤，B ={x |2

(1) 求A ∪B ，(C R A )∩B ；

(2) 如果A ∩C ≠

，求a 的取值范围。

18、(18分)已知集合

A 的元素全为实数，且满足：若a A ∈，则11a A a +∈-。 (1)若3a =-，求出

A 中其它所有元素； (2)0是不是集合A 中的元素？请你设计一个实数a A ∈，再求出A 中的所有元素？

(3)根据(1)(2)，你能得出什么结论

19、(14分)集合{}22|190A x x ax a =

-+-=，{}2|560B x x x =-+=，{}2|280C x x x =+-= 满足,A B φ≠I ，,A C φ=I 求实数a 的值。

高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅱ）

一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分)

1、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个

2、以下六个关系式：{}00∈

，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ，{}2|20,x x x Z -=∈ 是空集中，错误的个数是

3、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B

4、集合A={x| x 2+x -6=0}, B ={x | ax +1=0}, 若B ?A ，则a =__________

5、设全集U ={}22,3,23a a +-，A ={}2,b ，C U

A ={}5，则a = ，b = 。 6、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x

B 或，A B ?=____________.

7、已知集合A ={x |20x x m ++=}, 若A ∩R =?，则实数m 的取值范围是

8、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，

则这两种实验都做对的有 人.

9、某班有学生55人，其中音乐爱好者34人，体育爱好者43人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.

10、设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|

12--x y =3}，则C U A = . 11、集合M =｛y ∣y = x 2 +1，x ∈ R ｝，N =｛y ∣ y =5- x 2，x ∈ R ｝，则M ∪N = ．

12、集合M ={a | a

-56∈N ，且a ∈Z }，用列举法表示集合M =｛ ｝ 13、已知集合}023|{2=+-=x ax x A 至多有一个元素，则a 的取值范围 ；若至少有一个元素，则a 的取值范围 。

14、已知集合}023|{2=+-=x ax x A

至多有一个元 素，若至少有一个元素，则a 的取值范围 。

二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！

15、(15分)已知集合A ={}2320,.x ax x a R -+=∈

(1)若A 是空集，求a 的取值范围；

(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来；

(3)若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围。

16、(13分)已知全集U=R ，集合A ={},022=++px x x {}

,052=+-=q x x x B

{}2=?B A C U 若，试用列举法表示集合A 。

17、(14分)设

222{40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中x R ∈，如果A B B =I ，求实数a 的取值范围。

18、(16分)已知集合}023|

{2=+-=x x x A ，}0)5()1(2|{22=-+++=a x a x x B ， (1)若}2{=B A I

，求实数a 的值；(2)若A B A =Y ，求实数a 的取值范围；

19、(14分)已知集合}02|{2≤-+=x x x A ，B ={x|2++=c bx x x C ，且满足φ=??C B A )(，R C B A =??)(，求b 、c 的值。