专题十二一元二次方程实根的分布讨论
专题十一 一元二次方程实根的分布讨论
本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。
一．一元二次方程实根的基本分布——零分布
一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。 一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则 1x 、2x 均为正?△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负?△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0；
1x 、2x 一正一负?1x 2x ＜0。
例1．关于x 的一元二次方程2
8(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212
000x x x x ???
+< ??> ?≥ ①
②③
由①得：2
(1)32(7)0m m +--≥，2
(15)0m -≥，恒成立。
由②得：1
8m +-
＜0，解之，m ＞1-。 由③得：7
8
m -＞0，解之，m ＞7。
综上，m 的取值范围是m ＞7。
例2．若n ＞0，关于x 的方程2
1(2)04
x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n 的
值。
解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212
000x x x x ?= ??
+??> ?①
＞ ②③
由①得：2
(2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。
若m n =，则1x ＋2x 22m n n n n =-=-=-＜0，不符合②，舍去。 故4m n =，此时均符合②、③， ∴
44m n n n
==。 二．一元二次方程实根的非零分布——k 分布
设一元二次方程02
=++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x 、2x ，且21x x ≤，k 为常数。则一元二次方程实根的k 分布指1x 、2x 相对于k 的关系，例如1x 、2x 均比k 大，或者1x 、2x 均比k 小，或者1x 、2x 一个比k 大，一个比k 小等等。
1x 、2x 均比常数k 大?△≥0，（1x －k ）＋（2x －k ）＞0，（1x －k ）（2x －k ）＞0； 1x 、2x 均比常数k 小?△≥0，（1x －k ）＋（2x －k ）＜0，（1x －k ）（2x －k ）＞0； 1x 、2x 一个比k 大，一个比k 小?△＞0，（1x －k ）（2x －k ）＜0。
例3．若方程2
2430x ax a -+-=的两根均大于1，求实数a 的取值范围。 解：设两个实数根为1x 、2x ，由韦达定理得：1x ＋2x 2a =，1243x x a =-。
依题意有121
20(1)(1)0(1)(1)0x x x x ??
-+-??--?Δ≥ ①
＞ ②＞ ③
由①得：2
44(43)0a a --≥，解之，1a ≤或3a ≥。 由②得：2a ＞2，解之，a ＞1。
由③得：43210a a --+＞，解之，a ＞1。 综上，a 的取值范围是3a ≥。
当所考查的根的分布不仅仅限于正负性时，比如两个实数根都介于2与4之间（不包括2和4），或者两根中一根介于0与1之间，另一个根介于3与4之间，这时用根的判别式及韦达定理解决问题就相当复杂。那么比较朴素的方法就是直接去求出方程的根，但是这一方法有两个弊端：第一，带有参数的方程求根是个较复杂的过程，且涉及较深的不等式解法：第二，抽象数量运算较多，缺乏直观性。这时借助于二次函数图像，就比较直观且容易理解。
我们知道，如果二次函数2
()(0)f x ax bx c a =++≠的图像与x 轴有交点，那么交点的横坐
标即为二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠的实数根。反之亦然。利用这一点来看
问题1：什么条件下，二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠两个实数根1x 、2x 一个比t 大，另一个比t 小（t 是给定的常数）？
上面问题等价于：什么条件下，二次函数()f x =2
(0)ax bx c a ++≠图像与x 轴两个交点分布在点(,0)t 两侧？利用图像说明（简单起见，只画横轴，不画纵轴）。
显然，当0a ＞时，()0f t ＜； 当0a ＜时，()0f t ＞。
问题2：什么条件下，二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠两个实数根1x 、2x 都比常数t 大？ 构造二次函数()f x =2
(0)ax bx c a ++≠
当0a ＞时，△≥0，2b t a -
＞，()0f t ＞；当0a ＜时，△≥0，2b
t a
-＞，()0f t ＜。 问题3：什么条件下，二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠两个实数根1x 、2x 都比常数t 小？ 构造二次函数()f x =2
(0)ax bx c a ++≠
当0a ＞时，△≥0，2b t a -
＜，()0f t ＞；当0a ＜时，△≥0，2b
t a
-＜，()0f t ＜。 问题4：什么条件下，二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠两个实数根1x 、2x 满足1x ＜s ，2x ＞t （其中s 、t 为给定常数且s ＜t ）？
构造二次函数()f x =2
(0)ax bx c a ++≠，结合图形，
当0a ＞时，()0f s ＜，()0f t ＜；当0a ＜时，()0f s ＞，()0f t ＞。
问题5：什么条件下，二次方程2
0(0)ax bx c a ++=≠两个实数根1x 、2x 均介于s 、t 之间（其中s 、t 为给定常数且s ＜t ）？
构造二次函数()f x =2
(0)ax bx c a ++≠
当0a ＞时，△≥0，2s t a -
＜＜，()0f s ＞，()0f t ＞； 当0a ＜时，△≥0，2b
s t a
-＜＜，()0f s ＜，()0f t ＜。
看几个具体事例。
例4：a 为实数，关于x 的二次方程2
7(13)220x a x a -+++=有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求a 的取值范围。
解：构造二次函数2
()7(13)22f x x a x a =-+++，结合图形，有(0)0(1)0(2)0f f f ?????
＞＜＞，
解之，220171322042822622040,a a a a a a a +?-??
--++???--++??
＞＞＜＜＞＞恒成立，
故a 取值范围是14a -＜＜。
例5：已知m 为整数，且方程2
320x mx +-=两根都大于95-
且小于3
7
，求m 值。 解：显然，2
2
43(2)240m m =-??-=+△＞。 构造二次函数2()32f x x mx =+-，则其图像
与x 轴两个交点均介于
9(,0)5-、3(,0)7之间（不包括两个端点）。如图，则有
9
35679()053
()07m f f ?--???
-?????
＜ ①＞ ②
＞ ③
由①得：75m -
＜＜， 由②得：819320255m ?--＞，解之得 193
45m ＜
， 由③得：93320497
m ?+-＞，解之得 71
21m ＞。
故m 的取值范围是71193
2145
m ＜＜。所以m 可取的整数值为4。
例6：若b 、c 为整数，方程2
50x bx c ++=的两个实数根都大于1-且小于0，求b 与c 的值。
解：构造二次函数2
()5f x x bx c =++，则其图像与x 轴的两个交点均在(1,0)-与(0,0)之间（不包括两个端点）。如图，则有
由①得：2
200b c -≥， ∴ 220b c ≥， 由②得：0c ＞，
由③得：50b c -+＞， ∴ 5c b -＞，
由④得：010b ＜＜。
显然，1c ≥，∴ 2
20
20b c ≥≥， 5b ≥， ∴ b 可取的值有5,6,7,8,9。
当5b =时，2520c ≥，∴ 1c =，符合5c b -＞； 当6b =时，20c 36≥，∴ 1c =，不符合5c b -＞； 当7b =时，20c 49≥，∴ 1,2c =，均不符合5c b -＞； 当8b =时，20c 64≥，∴ 1,2,3c =，均不符合5c b -＞；
0(0)0(1)01010f f b ??
??
?-?
?--??
△≥ ①＞ ②＞ ③＜ ④
(2)20 2 7(5)162804
f m m f m m ?=+?-??=-???＞＞③＞＞ ④当9b =时，20c 81≥，∴ 1,2,3,4c =，均不符合5c b -＞。 故本题的解为5b =，1c =。
例7：方程2
2(5)220mx m x m -+++=的所有实根介于2与5之间（不包括2、5），求m 的值。
简析：本题与上述问题的最大区别在于针对二次项系数m 要进行分类讨论。
解：当0m =时，10220x -+=，22x =?，符合题意。 当0m ≠时，令2
()2(5)22f x mx m x m =-+++， 首先，2
4(5)4(22)0m m m =+-+△≥，解之，25
12
m ≤
①。 其次，抛物线的对称轴应介于直线x =2与直线x =5之间，有2(5)
252m m
-+-
＜＜，即5
215m
+
＜＜， ∴ 5
14m ＜＜ 由此可知，0m ＞，解得
5
5 ＜ ②。由于抛物线开口向上，故有
综合①、②、③、④可得74m 25
≤
12
＜或者0m =。 例8：关于x 的方程3
2
2(2)(2)20x m x m x +--+-=有三个实数根分别为α、β、0x ，其中根0x 与m 无关。
（1）如0()3x αβ+=-，求实数m 的值； （2）如a b αβ＜＜＜，试比较：
241a m a -+与241
b m
b -+的大小，并说明理由。 简析：问题（1）的关键是将原方程降次。问题（2）的关键是由条件式a b αβ＜＜＜联想到一元二次方程实根的分布。
解：将原方程变形：3
2
2
22220x x mx mx x +----=
2
2(1)(1)2(1)0x x mx x x +-+-+= 2
(1)(22)0x x mx +--= 1x =-或2220x mx --=
可知01x =-，方程2
220x mx --=的两个实数根是α、β。
（1）由韦达定理：2
m
αβ+=，1αβ=-。 32
m
-
=- 解之6m =，经检验符合。 （2）作差 241a m a -+-241
b m
b -+，通分后显然分母为正，只要考查分子。
分子2
2
(4)(1)(4)(1)a m b b m a =-+--+
222
24444a b a m b m a b b m a m
=+---
-++
2
2
2
2
4444a b a b a b m a m b =-+-+-
4()4()()(a b a b a b m a b a b
=---++- ()(44)a b a b m a m b =--++ 构造二次函数2
()22f x x mx =--，则其图像 与x 轴两个交点为(,0)α、(,0)β。
由图知：()
0f a ＜ ，()0f b ＜ 。 ∴ 222
0a ma --＜ ，2220b mb --＜ ， 将上两式相加，得：222240a b ma mb +---＜ ，22
422ma mb a b +++＞， ∴ 44ab ma mb -++22224a b ab +-＞
22()a b =- 由于a b ＜ ，所以0a b -＜ ，44ab ma mb -++＞2
2()0a b -＞
∴ ()(44)
0a b ab ma mb --++＜
故
241a m a -+＜
241
b m
b -+。
二次函数根的分布专题
一元二次方程根的分布专题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个不等实根为1x ，2x ①方程有两个不等正根 ??? ? ? ? ??? >=>-=+>-=?>>00040,0212 1221a c x x a b x x ac b x x ②方程两根一正一负 ：0021<<=<-=+>-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x 即时应用： (1)若一元二次方程 0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个不等正根，求m 的取值范围。 (2)k 在何范围内取值，一元二次方程0332 =-++k kx kx 有一个正根和一个负根？
二、一元二次方程的非零分布——k分布 设一元二次方程20(0) ax bx c a ++=>的两不等实根为1x，2x，k为常数。则一元二次方 k1x2x k 根 的 分 布 ① 12 x x k② 12 k x x③ 12 x k x 图 象 充 要 条 件 2 b k a f k 2 b k a f k f k 根 的 分 布 ④ 1122 k x x k⑤ 11223 k x k x k⑥两根有且仅有一根在 12 ,k k内 图 象 充 要 条 件 1 2 12 2 f k f k b k k a 1 2 3 ()0 ()0 ()0 f k f k f k 12 f k f k 或 1 12 1 ()0 22 f k k k b k a 或 2 12 2 ()0 22 f k k k b k a k k k 2 k 1 k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k
二次方程根的分布情况归纳完整版
次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 9 元二次方程ax + bx + C = 0根的分布情况 设方程ax 2 +bx +c =O （a H O ）的不等两根为X |, X 2且X 1 < X 2，相应的二次函数为 f （x ）=ax 2 +bx + c = 0，方程的 根即为二次函数图象与 X 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分布情况 两个负根即两根都小于 0 (X j <0, X 2 <0 ) 两个正根即两根都大于 0 (为 >0,X 2 A O ) 一正根一负根即一个根小于 0, 一个大于 0(X i V Oc X 2 ) 大致图象（> a 得出的结论 A >0 f (0 )>0 A >0 存0 f (0 )>0 f (0)v 0 O 大致图象（V a 得出的结论 △ >0 A >0 舌。 l f (0)<0 占。 ”（0）<0 f (0)A 0 综合结论（不讨论 a o < b a 计(0)< 0
表二：（两根与k 的大小比 较） 分布情况 两根都小于k 即 ( >0 ) yJ \ / / ■ k K a 得 出的结论 o > A - 两根都大于k 即 X i A k, X 2 A k o > A - 一个根小于k ，一个大于k 即 x , < k < X 2 y l I \ k 八 J “ f (k )v 0 o 大致图象（< a 得出的结论 O > A - I A>0 t^>k 2a f (k )<0 f (k )>0 综合 结论（不讨论 a △ >0 」
处理一元二次方程根的分布问题的一般方法
数形结合处理二次方程根的分布问题的一般方法 设f(x)=a x 2 +bx+c(a ≠0),则f(x)=0即一元二次方程的实根分布问题，可依照三个二次间的关系按下述步骤解决： ⑴画出符合题设要求（即f(x)=0的实根分布情形）的所有不同类型的抛物线； ⑵分析概括上述抛物线的图形特征并将它转化为相应的不等式组（分别从开口方向， 与x 轴的交点，对称轴，端点与特殊点位置等角度综合考虑）； ⑶简化上述不等式组并求解，以得到原问题的解答。 附:有关二次方程a x 2 +bx+c=0(a ≠0)实根分布问题的数与形对应结论（设f(x)=a x 2 +bx+c) 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为 ()2 0f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下 面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象 a>0 a<0 得 出的结论 ()00200 b a a f ?>?? ? -?? ()00200 b a a f ?>?? ? ->???>?? ()00
表二：（两根与k 的大小比较） 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（0>a ） 得 出的结论 ()020 b k a f k ?>???- ?? ()020 b k a f k ?>???- >??>?? ()0 一元二次方程求解 一、一周知识概述 1、一元二次方程的求根公式 将一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)进行配方，当b2－4ac≥0时的根为 ． 该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法． 说明：(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)； (2)由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的； (3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式. 2、一元二次方程的根的判别式 （1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根； （3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． 二、重难点知识 1、对于一元二次方程的各种解法是重点，难点是对各种方法的选择，突破这一难点的关键是在对四种方法都会使用的基础上，熟悉各种方法的优缺点。 (1) “开平方法”一般解形如“”类型的题目，如果用“公式 法”就显得多余的了。 (2)“因式分解法”是一种常用的方法，一般是首先考虑的方法。 (3) “配方法”是一种非常重要的方法，一般不使用，但若能恰当地使用，往往能起到简化作用，思考于“因式分解法”之后，“公式法”之前。如方程；用因式分解，则6391这个数太大，不易分解；用公式法，也太繁；若配方，则方程化为，就易解，若一次项系数中有偶因数，一般也应考虑运用。 (4)“公式法”是一般方法，只要明确了二次项系数、一次项系数及常数项，若方 程有实根，就一定可以用求根公式求出根，但因为要代入(≥0)求值，所以对某些特殊方程，解法又显得复杂了。 2、在运用b2－4ac的符号判断方程的根的情况时，应注意以下三点： （1）b2－4ac是一元二次方程的判别式，即只有确认方程为一元二次方程时，才能确定a、b、c，求出b2－4ac； （2）在运用上述结论时，必须先将方程化为一般形式，以便确认a、b、c； （3）根的判别式是指b2－4ac，而不是 三、典型例题讲解 例1、解下列方程： (1)； (2)； (3). 分析：用求根公式法解一元二次方程的关键是找出a、b、c的值，再代入公式计算， 一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） 分 布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()00200b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 分 布情况 两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即 21x k x << 大致图象（ >a ） 得出的结论 ()020b k a f k ?>??? -?? ()0 20 b k a f k ?>??? ->??>?? ()0 一、 知识要点 1、 利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2 ≠=++的根的分布 1）方程有两个正根 2）方程两根一正一负 3）方程有两个负根 ??? ?? ? ??? >=>-=+≥-=?>>00 040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则0 021<<=<-=+≥-=?<<00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则 2、 借助函数图像研究)0a (0c b x ax 2 ≠=++的根的分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若 干定理。 【定理1】???? ??? >->≥-=?≤ 【定理5】?????????><<>>0)(0)(0)(0)(02121p f p f k f k f a 或?????????<>><<0 )(0 )(0)(0 )(021 21p f p f k f k f a 【定理6】，则???????????<-<>>>≥-=?2121220)(0)(004k a b k k f k f a ac b 或??? ?? ? ????? <-<<<<≥-=?212 1220 )(0)(004k a b k k f k f a ac b 二、典型例题 例1若一元二次方程有两个正根，求的取值范围。 分析：利用Δ与韦达定理研究)0a (0c b x ax 2 ≠=++的根的分布 ??? ? ? ? ??? >=>-=+≥-=?>>00040,02121221a c x x a b x x ac b x x ，则 例2 在何范围内取值，一元二次方程有一个正根和一个负根？ 分析：利用0021<<0,所以另一根为正 例4.方程x 2 +2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p 的取值范围 分析：利用 例5.若关于x 的方程x 2 +(k-2)x+2k-1=0的两实根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求实数k 的取值范围 利用零点存在定理 练习1.方程mx 2 +2(m+1)x+m+3=0仅有一个负根，求m 的取值范围 二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳 1、一元二次方程02 =++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） a 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧 12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n 一元二次方程的实根分布问题 问题1. 试讨论方程02 =++c bx x 的根的情况。 （1） 根的个数：b 、c 满足什么条件时，方程有两个不等的实根？相等实根？无实根？ （2） 根的大小：b 、c 满足什么条件时，方程有两个正根？两个负根？一正根、一负根？ 一根为0？ （3） 根的范围：b 、c 满足什么条件时，方程两根都大于1？都小于1？一根小于1，一根 大于1？ 说明 对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的研究，主要分为四个方面（A ）有没有实数根；（B ）有实数根时，两根相等还是不等；（C ）根的正负；（D ）根的分布范围。 利用根的判别式，可以解决（A ），（B ），结合运用韦达定理，可以解决（C ）。而要解决（D ），需综合运用判别式、韦达定理及不等式的知识。 思路1 （方程思想）设c bx x x f ++=2)( （1） 方程0)(=x f 有两个大于1的实根的充要条件是： ?? ???->+-<≥-??????>-->+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （2） 方程0)(=x f 有两个小于1的实根的充要条件是： ?? ???->+->≥-??????>--<+≥?12040)1)(1(2 022121c b b c b x x x x （3） 方程0)(=x f 有一根大于1，一根小于1的充要条件是.1,0)(-<+ 一元二次方程根的两个特性及简单运用 我们知道方程的解是由方程的系数（包括常数项）决定的。因此，一元二次方程的根与其系数有着密切的联系。教材中我们探索了一元二次方程的二次项系数为1的情况下的两根之和、两根之积与系数的关系。现在我们接着来探索一般形式下的一元二次方程20(0) ax bx c a ++=≠的两根之和、两根之积与系数的关系。 例1、先阅读，再填空解题： (1)方程：x2-4x-12=0 的根是：x 1=6, x 2 =-2，则x 1 +x 2 =4，x 1 ·x 2 =-12； (2)方程2x2-7x+3=0的根是：x 1= 1 2 , x 2 =3，则x 1 +x 2 = 7 2 ，x 1 ·x 2 = 3 2 ； (3)方程3x2+6x-2=0的根是：x 1= , x 2 = .则x 1 +x 2 = ， x 1·x 2 = ； 根据以上（1）(2)(3)你能否猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0且a、b、c为常数）的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 、x 1 x 2 与系数a、b、c有 什么关系？请写出来你的猜想并说明理由。 解析：方程3x2+5x-2=0的根是：x 1= 1 3 x 2 =-2。则x 1 +x 2 = 5 3 -，x1·x2= 2 3 -。 能猜出：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c为常数） 的两根为x 1、x 2 ，那么x 1 +x 2 a b - =、x1x2 a c =。理由如下： 根据求根公式可知，关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0且a、b、c 为常数）的两根为： a ac b b x 2 4 2 1 - + - =， a ac b b x 2 4 2 2 - - - = 所以x 1+x 2 = a ac b b 2 4 2- + - + a ac b b 2 4 2- - - a b - = x 1x 2 = a ac b b 2 4 2- + - · a ac b b 2 4 2- - - a c = 也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商． 一元二次方程根的分布 *1. 关于x的方程x2+ax+a-1=0，有异号的两个实根，求a的取值范围。 *2. 如果方程x2+2(a+3)x+(2a-3)=0的两个实根中一根大于3,另一根小于3，求实数a的取值范围。*3. 若方程8x2+(m+1)x+m-7=0有两个负根，求实数m的取值范围。 *4. 关于x的方程x2-ax+a2-4=0有两个正根，求实数a的取值范围。 5．设关于x的方程4x2-4(m+n)x+m2+n2=0有一个实根大于-1，另一个实根小于-1，则m,n必须满足什么关系。 6．关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0有两个实根，一根大于1另一个实根小于1，求k的取值范围。7．实数m为何值时关于x的方程7x2-(m+13)x+m2-m-2=0的两个实根x1,x2满足0 不等式 1、解不等式：1 211922+-+-x x x x ≥7. 2、解不等式：x 4－2x 3－3x 2＜0. 3、解不等式： 6 5592+--x x x ≥－2. 4、解不等式：232+-x x ＞x ＋5. 5．解不等式38->-x x . 6．不等式04 9)1(220822<+++++-m x m mx x x 的解集为R,求实数m 的取值范围。 一、解一元二次不等式步骤： 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 例1:解不等式 (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 二.填空题 1、不等式(1)(12)0x x -->的解集是 ； 2．不等式2654x x +<的解集为____________. 3、不等式2310x x -++>的解集是 ； 4、不等式2210x x -+≤的解集是 ； 5、不等式245x x -<的解集是 ； 6、不等式220mx mx +-<的解集为R ，则实数m 的取值范围为 ； 7、不等式9)12(2 ≤-x 的解集为__________. 8、不等式0＜x 2+x -2≤4的解集是_____ . 9、若不等式2(2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立,则a 的取值范围是_____. 10、已知对于任意实数x ，22kx x k -+恒为正数，求实数k 的取值范围 一元二次方程的根的判别式（一） 二、教学重点、难点、疑点及解决方法 1．重点：会用判别式判定根的情况． 2．难点：正确理解“当b2-4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）无实数根．” 3．疑点：如何理解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0在实数范围内，当b2-4ac＜0时，无解．在高中讲复数时，会学习当b2-4ac＜0时，实系数的一元二次方程有两个虚数根． 三、教学步骤 （二）整体感知：在推导一元二次方程求根公式时，得到b2-4ac决定了一元二次方程的根的情况，称b2-4ac为根的判别式．一元二次方程根的判别式是比较重要的，用它可以判断一元二次方程根的情况，有助于我们顺利地解一元二次方程，也有利于进一步学习函数的有关内容，并且可以解决许多其它问题．在探索一元二次方程根的情况是由谁决定的过程中，从中体会转化的思想方法以及分类的思想方法，对思维全面性的考察起到了一个积极的渗透作用． （三）重点、难点的学习及目标完成过程 1．复习提问（1）平方根的性质是什么？（2）解下列方程： ①x2-3x＋2＝0；②x2-2x＋1＝0；③x2＋3＝0． 问题（1）为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用．问题（2）通过自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用． 2．任何一个一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）用配方法将 （1）当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根． （3）当b2-4ac＜0时，方程没有实数根． 教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：b2-4ac． 3．①定义：把b2-4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式，通常用符号“△”表示． ②一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）． 当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根； 当△＜0时，没有实数根． 注意以下几个问题： （1）∵ a≠0，∴ 4a2＞0这一重要条件在这里起了“承上启下”的作用，即对上式开平方，随后有下面三种情况．正确得出三种情况的结论，需对平方根的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫．在这里应渗透转化和分类的思想方法．（2）当b2-4ac＜0，说“方程ax2+bx+c=0（a≠0）没有实数根”比较好．有时，也说“方程无解”．这里的前提是“在实数范围内无解”，也就是方程无实数根”的意思．4．例1 不解方程，判别下列方程的根的情况： （1）2x2＋3x-4＝0；（2）16y2＋9＝24y；（3）5（x2＋1）-7x＝0． 解：（1）∵△＝32-4×2×（-4）＝9＋32＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）原方程可变形为16y2-24y＋9＝0．∵△＝（-24）2-4×16×9＝576-576＝0，∴原方程有两个相等的实数根． （3）原方程可变形为5x2-7x+5=0．∵△＝（-7）2-4×5×5＝49-100＜0， ∴原方程没有实数根． 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 【学习目标】 1、学会用韦达定理求代数式的值。 2、理解并掌握应用韦达定理求待定系数。 3、理解并掌握应用韦达定理构造方程，解方程组。 4、能应用韦达定理分解二次三项式。 知识框图 求代数式的值 求待定系数 一元二次 韦达定理 应用 构造方程 方程的求 解特殊的二元二次方程组 根公式 二次三项式的因式分解 【内容分析】 韦达定理：对于一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：（1）定理成立的条件0?≥ （2）注意公式重12b x x a +=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值 例 若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -． 解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=- (1) 2222121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---= (2) 1212121122 20072007 x x x x x x +-+=== - (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=- (4) 12||x x -= ===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： 222121212()2x x x x x x +=+-， 121212 11x x x x x x ++= ，22 121212()()4x x x x x x -=+-， 初三数学 一元二次方程根与系数的关系精讲精练 【典型例题】 例1. 已知方程的一个根是，求它的另一个根及b的值。 分析：含字母系数的一元二次方程中，若已知它的一个根，往往由韦达定理可求另一根，并确定字母系数的值。 解：（方法一）设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得： 解得： （方法二）由题意： 解得： 根据韦达定理设另一根为x，则 点拨：解法一较简单，主要原因是突出了求解的整体性。 例2. 已知方程的两根为，求下列代数式的值： （1）；（2）；（3） 分析：若方程两根，则不解方程，可求出关于的对称式的值，只须将其配成含有、的形式。 解：由已知，根据韦达定理 （1） （2） （3） 点拨：体会配方思想，将代数式配成含有的形式，再代系数即可。 例3. 已知：是两个不相等的实数，且满足， 那么求的值。 分析：由两个条件可得出为方程的两不等实根，再对所求代数式配方变形。 解：由题意，为的两个不等实根 因而有 又 点拨：善于转化未见过的题，充分挖掘已知条件。 例4. 已知关于x的一元二次方程与有一个相同的根，求k的值。 解：（解法一）设方程两根α、β，方程的两根，则有： 由 当时，代入 当时，由 代入 则 代入 把代入<2>中， 或 （解法二）将与相减得： 此时方程根为0或，即题中两方程相同根为0或 （1）若是0则； （2）若是，则； 或 点拨：两种解法各有千秋，一运用了解方程组思想，二运用了“若方程与有公共根，则公共根必满足方程”的结论。 例5. 已知方程 （1）若方程两根之差为5，求k。 （2）若方程一根是另一根2倍，求这两根之积。 分析：对含字母系数的一元二次方程，可根据题设中方程根与系数关系，确定方程系数字母的值。 解：（1）设方程两根与，由韦达定理知： 又 （2）设方程两根，由根系关系知： 点拨：已知两根的关系，应用韦达定理解决系数求值问题。 例6. 已知方程两根之比为1：3，判别式值为16，求a、b的值。 分析：必用判别式，又韦达定理知，，显然可求a、b。 解：设已知方程的两根为m，3m 由韦达定理知： 即 把代入 得： 点拨：把判别式、韦达定理综合出题，更易贯通新旧知识。 例7. 已知是关于x的一元二次方程的两个实数根。 （1）用含m的代数式表示； （2）当时，求m的值。 分析：应注意，即可用根系关系。 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件） 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况） k k k 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下） 需满足的条件是 （1）0a >时，()()00f m f n ???>?? 对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况： 1? 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ， 可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。如方程()2 220 mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由2 13m <<得 2 23 m <<即为所求； 2? 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0?=，此时由0?=可以求出参数的值，然后再将参数 的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。分析：①由()()300f f -< 即 ()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0?=即()2164260m m -+=得出1m =-或3 2m =，当 1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m = 时，根()33,0x =?-，故3 2 m =不满足题意；综上分析，得出15 314 m -<<-或1m =- 用数形结合的方法解决有关一元二次（函数）方程根（零点）的分布问题 一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理（韦达定理）的运用。利用函数与方程思想：若y =()f x 与x 轴有交点0x ?f (0x )=0。 下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的充要条件及其运用。 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。 【定理1】：01>x ，0 2>x ????????<>=>≥-=?00)0(0042b c f a ac b 或???????><=<≥-=?0 0)0(0 42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。 【定理2】：01 二．一元二次方程的非零分布——k 分布 设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两实根为1x ，2x ，且21x x ≤。k 为常数。则一元二次方程根的k 分布（即1x ，2x 相对于k 的位置）有以下若干定理。 构造相应二次函数c bx ax x f ++=2)(（0≠a ） 【定理1】2 1x x k ≤->≥-=?k a b k af a c b 20 )(0 42 【定理2】k x x <≤21????? ??? <->≥-=?k a b k af a c b 20)(0 42。 【定理3】21x k x < 课 题：一元二次方程实根的分布讲义(韦达定理) 教学目的： 1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法 2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用 授课类型：复习课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 教学过程： 一、复习引入： 韦达定理： 方程02 =++c bx ax （0≠a ）的二实根为1x 、2x ，则 ?? ??? = -=+a c x x a b x x 2121 二、讲解新课： 例1 当m 取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有: ①两个实根； ②一正根和一负根； ③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1. 解 ：设方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0的两根为1x 、2x ①若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足： ?????>>+≥?0002121x x x x ???? ?????? >->--≥---04 5 0420)5(16)2(2m m m m ??? ???><≥+-520 84202 m m m m ??? ? ??><≥≤5214 6m m m m 或?m ∈φ. ∴此时m 的取值范围是φ，即原方程不可能有两个正根. ②若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足： ?? ?<>?0021x x ?? ?? ??<->---04 50 )5(16)2(2m m m ?m<5. ∴此时m 的取值范围是(-∞,5). ③若方程42 x +(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值， 谈一元二次方程的有理根与整数根的条件 整系数一元二次方程()ax bx c a 2 00++=≠有有理根的充要条件是：?=-b ac 24为一有 理数的平方。而有整数根，△必为一完全平方式。 注意这里c b a ,,皆为整数，前者△是有理数的平方，而非一般认为的完全平方式。而后者△为一完全平方式只是必要条件，不是充分条件，正确应用这些条件，可以解决很多有趣的问题，但在应用中往往要结合整数性质进行讨论。 一、与有理根有关的问题 例1. m 为有理数，问k 为何值时，方程x mx x m m k 22443240-++-+=的根为有理数？ 解：原方程即： ()x m x m m k 2 2 413240--+-+= 如若有有理根，则()()()[] ?=---+=-+-161432446412 2 2 m m m k m m k 应是某一有 理数的平方，可知()419-=k ，从而k =-54 。 本题也可这样解：原方程化为() [] ()x m m k --=---213542 2 如有有理根，则--=540k 得k =-54 二、与整数根有关的问题 例2. 若方程x mnx m n 2 0-++=有整数根，且n m ,为自然数，则n m ,的值有__________个。 解：x mnx m n 2 0-++=……(*)有整数根，则()?=--mn m n 2 44为一完全平方式，设为 ()k k N 2∈，于是m n m n k 22244--= 即m n m n k 2 2 2 440 1---=<> 视<1>为m 的一元二次方程，它应有整数解，由 x x n x x n k n 122122 2 44+==-+， 可见n ≤2 （1）令n =1，则<1>式为：m m k 22 4402---=<> <2>若要有整数解，则()( )()?=----=+444482 2 2 k k 应为完全平方式。 令()82 2 +=∈k a a N ，则()()822=-=+-a k a k a k 因为81824=?=? 所以有如下两种情形。 ? ??=-=+18 )k a k a a 无整数解，舍去。 专题十一 一元二次方程实根的分布讨论 本文将在前面方法的基础上，结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍一元二次方程实根分布的情况及其运用。 一．一元二次方程实根的基本分布——零分布 一元二次方程实根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。对于这类问题，用一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）即可判别。 一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实数根为1x 、2x ，则 1x 、2x 均为正?△≥0，1x ＋2x ＞0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 均为负?△≥0，1x ＋2x ＜0，1x 2x ＞0； 1x 、2x 一正一负?1x 2x ＜0。 例1．关于x 的一元二次方程2 8(1)70x m x m +++-=有两个负数根，求实数m 取值范围。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ??? +< ??> ?≥ ① ②③ 由①得：2 (1)32(7)0m m +--≥，2 (15)0m -≥，恒成立。 由②得：1 8m +- ＜0，解之，m ＞1-。 由③得：7 8 m -＞0，解之，m ＞7。 综上，m 的取值范围是m ＞7。 例2．若n ＞0，关于x 的方程2 1(2)04 x m n x mn --+=有两个相等的正实数根，求m n 的 值。 解：设两个实数根为1x 、2x ，依题意有1212 000x x x x ?= ?? +??> ?① ＞ ②③ 由①得：2 (2)0m n mn --=，()(4)0m n m n --=，∴m n =或4m n =。 一元二次方程 02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2 00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=， 方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点的横坐标(也即是函数的零点)，它们的分布情况见下面各表 表一：两根与0的大小比较即根的正负情况(a>0) 分布情况 两个负根即两根都小于0 ()120,0x x << 两个正根即两根都大于0 ()120,0x x >> 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x << 大致图象 结 论 ()0 0200 b a f ?>??? -?? ()0 0200 b a f ?>??? ->??>?? ()00 一元二次方程根的分布 一．一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。 设一元二次方程02 =++c bx ax （0≠a ）的两个实根为1x ，2x ，且21x x ≤。 【定理1】01>x ，02>x (两个正根)? 2 1212400 0b ac b x x a c x x a ??=-≥??? +=->?? ? =>?? ， 推论：01>x ，02>x ? ????? ??<>=>≥-=?00)0(0042b c f a ac b 或???????><=<≥-=?0 0)0(0 42b c f a ac b 上述推论结合二次函数图象不难得到。 【例1】 若一元二次方程0)1(2)1(2 =-++-m x m x m 有两个正根，求m 的取值范围。 分析：依题意有24(1)4(1)02(1)0101 m m m m m m m ? ??=++-≥? +?->? -?-?>?-?0一元二次方程求根公式
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