湖北省七市(州)教科研协作体2021届高三下学期3月联考数学试题 Word版含答案【KS5U 高考】

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湖北省七市（州）教科研协作体2021年高三年级3月联考

数学

本试卷共4页，22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。

★祝考试顺利★

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合A={x|log2x>1},B={x||x-1|<3},则A∩B=

A.(-2,4)

B.(1,2)

C.(1,4)

D.(2,4)

2.设i·z=4-3i(i为虚数单位），则复数z的虚部为

A.-4

B.4

C.-4i

D.4i

3.已知等比数列{a n}中，a3=4,a2a7=8a4,则a1=

A.1

B.2

C.±1

D.±2

4.2020年，我国脱贫攻坚已取得决定性胜利，下图是2015-2019年年末全国农村贫困人口和贫困发生率（贫困人口占目标调查人口的比重）的变化情况（数据来源：国家统计局2019年统计年报）.根据图表可得出的正确统计结论是

A.五年来贫困发生率下降了5.2个百分点

B.五年来农村贫困人口减少超过九成

C.五年来农村贫困人口减少得越来越快

D.五年来目标调查人口逐年减少

5.已知圆M过点A(1,-1),B(1,2),C(5,2),则圆M在点B处的切线方程为

A.3x+4y-2=0

B.3x-4y-2=0

C.4x-3y+2=0

D.4x3y-2=0

6.函数

52sin

()

33

x x

x x

f x

-

+

=

-

(x∈[-π,0)∪(0,π])的大致图象为

7.清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进人决赛，其中高一年级2人，高二年级3人，高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在高二年级3人相邻的前提下，高一年级2人不相邻的概率为 A.

112 B. 13 C. 12 D. 34

8.已知函数f(x)是定义在区间（0,+ ∞)上的可导函数，满足f(x)>0,且f(x)+f '(x)<0（f '(x)是f(x)的导函数），若0

A.f(a)>(a+1)f(b)

B.f(b)>(1-a)f(a)

C.af(a)>bf(b)

D.af(b)>bf(a) 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9.设a,b,c,d 为实数，且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的是

A.c 2

B.a-c

C.ac>bd

D. c d a b

->0 10.函数()sin()(0,0,||)2

f x A x A π

ω?ω?=+>><的部分图象如图所示，则下列结论正确的

是

A.f(x)的最小正周期为2

B.把y=f(x)图象上所有点向右平移12

π

个单位长度后得到函数

g(x)=2cos 2x 的图象 C.f(x)在区间［2π,

1112

π

］上单调递减 D.(

6

π

,0)是y=f(x)图象的一个对称中心 11.已知抛物线Γ:x 2=4y 的焦点为F,过F 与y 轴垂直的直线交抛物线Γ于M,N 两点，则下列说法正确的是

A.点F 的坐标为（1,0)

B.抛物线Γ的准线方程为y= -1

C.线段MN 的长为4

D.直线y=x-2与抛物线Γ相切

12.半正多面体（semiregular solid)亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美。二十四等边体就是一种半正多面体，是由正方体切截而成的，2,则

A.BF ⊥平面EAB

B.该二十四等边体的体积为

203

C.该二十四等边体外接球的表面积为8π

D.PN 与平面EBFN 所成角的正弦值为

22

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡对应题号的位 置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。

13.已知矩形ABCD 中，AB=2,AD=1,设AC 与BD 交于点O,则AO BO ?=

14.二项式3

2a x x ??- ???

的展开式中，x 的系数为270,则：（1)a = ，（2)该二项式展开式中所有项的系数和为 ．（本题第一空3分，第二空2分）

15.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念．星等的数值越小，星星就越亮；星等的数值越大，星星就越暗，到了1850年，由于光度计在天体光度测量的应用，英国天文学家普森又提出了亮度的概念，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m 1-m 2=2.5(lg E 2-IgE 1),其中星等为m k 的星的亮度为E k (k=1,2).已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的 倍。（结果精确到0.01.当|x|较小时，10x ≈1+2.3x+2.7x 2)

16.已知双曲线C: 22

22x y a b

-＝1(a>0,b>0)的右焦点为5点N 的坐标为（0,2),点M 为双曲

线C 左支上的动点，且ΔMNF 的周长不小于20,则双曲线C 的离心率的取值范围为 .

四、解答题：本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(10分）

在ΔABC 中，角A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且4cos(A+C)+2cos 2B+3=0. （1)求角B;

（2)若D 是BC 的中点，3,AB=8,求ΔABC 的面积．

18.(12分）

已知等差数列{a n },其前n 项和为S n ,若a 1+a 3=10,S 3=35. （1)求数列{a n }的通项公式；

（2)若数列{b n }满足：a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+·

··+a n b n =1+(2n-1)2n ,求数列2211

(log )n n a b +?

??????

的前n 项和

T n .

19.(12分）

如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是直角梯形，AB//DC, ∠BAD=90°

, PD=DC ＝BC=2PA=2AB=2,PD ⊥DC. （1)求证：PA ⊥平面ABCD;

（2)设BM BD λ= (0<λ<1),当二面角A-PM-B 的余弦值为7

7

时，求入的值。

20.(12分）已知椭圆C 1：2222x y a b +＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是双曲线C 2: 22

4

y x -

=1的左、 右顶点，且椭圆C 1的上顶点到双曲线C 2的渐近线的距离为5

5

.

（1)求椭圆C 1的方程；

（2)设椭圆C 1的左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0),经过左焦点F 1的直线l 与椭圆C 1交于M,N 两点，且满足222F P F M F N =+的点P 也在椭圆C 1上，求四边形F 2MPN 的面积．

21.(12分）

某电子公司新开发一电子产品，该电子产品的一个系统G 有2n-1个电子元件组成，各个电子元件能正常工作的概率均为p,且每个电子元件能否正常工作相互独立。若系统中有超过一半的电子元件正常工作，则系统G 可以正常工作，否则就需维修。 （1)当n=2,p=

1

2

时，若该电子产品由3个系统G 组成，每个系统的维修所需费用为500元，设ξ为该电子产品需要维修的系统所需的总费用，求ξ的分布列与数学期望； （2)为提高系统G 正常工作的概率，在系统内增加两个功能完全一样的电子元件，每个新元件正常工作的概率均为p,且新增元件后有超过一半的电子元件正常工作，则系统C 可以正常工作，问p 满足什么条件时，可以提高整个系统G 的正常工作概率？

22.(12分）

已知函数1

()x e f x x

-=，其中e=2.718 28···为自然对数的底数．

（1)求f(x)的单调区间；

（2)若e x -2xlnx-kx-1≥0对?x>0恒成立，记k max =λ,证明：λ>1.1.

湖北省七市（州）教研协作体2021年高三年级3月联考 数学参考答案 一、单项选择题

二、多项选择题

三、填空题

13．3

4

- 14．3 15．1.26 16．

四、解答题

17．（1）因为A B C π++=，所以A C B π+=-，由4cos()2cos230

A C

B +++=，

可得24cos 2(2cos 1)30B B -+-+=，即24cos 4cos 10B B -+=， 3分 得1cos 2B =，因为0B π<<，所以3

B π

=. 5分

（2）在ABD △中，由余弦定理可得2222cos AD AB BD AB BD B =+-?，

即2

2

4864218BD BD =+-???，即21608BD BD +-=，解得4BD =. 7分

所以1122284s 2in 2ABC ABD B S D B S AB ==??=????=△△. 10分

18．（1）因为1351035

a a S +=??=?，所以11527a d a d +=??+=?，解得13

2a d =??=?， 2

分

所以1(1)21n a a n d n =+-=+． 4分 （2）由(1)得:123357...(21)1(21)2n n b b b n b n +++++=+-，① 所以11231)357...(21))1(23)22(n n b b b n b n n --++++-=+-，②

两式相减得：1(21)(21)2(2)n n n b n n -+=+，所以1()22n n b n -=， 7分 又由①式得11b =，适合上式，所以1*2)(n n b n N -=∈． 8分

所以2241111

()

(21)11(23)2223

(log )n n n n a b n n +-+?==+++， 10分

所以1111111()235572123n T n n =-+-+???+-++111()2323n =-+69

n

n =+． 12分

19．（1）因为ABCD 是直角梯形，AB ∥DC ，90BAD ∠=，所以AD DC ⊥， 又因为PD DC ⊥，PD

AD D =，所以CD ⊥平面PAD ，

又因为PA ?平面PAD ，所以CD PA ⊥， 2分 取CD 的中点E ，连接BE ，在Rt BCE △中，2BC =，1CE =

，可得BE =，

所以AD ，又22PD PA ==，所以222PA AD PD +=，所以PA AD ⊥， 4分 又AD CD D =，所以PA ⊥平面ABCD . 5分 （2）以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则(1,0,0)B

，，(0,0,1)P ，所以(1,0,1)BP =-

，(BD =-， 设平面PBD 的法向量(),,x y z =m

，由0

0BP x z BD x ??=-+=???=-=??m m ，

得0

0x z x -+=???-=??

，令1y =

，得=

m ， 7分

设()000,,M x y z ，由(01)BM BD λλ=<<

，得000(1,,)(x y z λ-=-，

所以()

1,3,0M λλ-，所以(0,0,1)AP =，()

1,3,0AM λλ=-， 设平面PAM 的法向量()111,,x y z =n ，由0

0AP AM ??=???=??n n ，

得111

(1)30z x y λλ=???-+=??，令13x λ=，

得平面PAM 的一个法向量为(3,1,0)λλ=-n . 9分 设二面角A PM B --的平面角为θ， 则有222

7

cos 74217(3)(1)θλλλλ?=

===-++-n m n m ， 解得0λ=或12λ=，因为01λ<<，所以1

2

λ=. 12分

20．（1）椭圆的左右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，而双曲线2C ：

2

2

4

1y x -=的顶点分别为(1,0)-，(1,0)，

所以1c =． 1分

又椭圆的上顶点为(0,)b ，而双曲线2C ：2

2

4

1y x -=的一条渐近线为2y x =， 则有

5

5

=

，解得1b =． 3分 2

2

2

112a ∴=+=，所以椭圆E 的方程为22

2

1x y +=． 4分

（2）设直线l 的方程为1x ty =-，(t 一定存在），代入2222x y +=，并整理得22(2)210t x ty +--=，

△2244(2)0t t =++>恒成立，设1(1M ty -，1)y ，2(1N ty -，2)y ， 则12222t y y t +=

+，12

21

2

y y t -=+． 5分 设0(P x ，0)y ，由222F P F M F N =+，得012012

122

x ty ty y y y -=-+-??

=+?， 即2012201226()3222t x t y y t t y y y t ?+=+-=-??+??=+=

?+?，又点P 在椭圆1C 上，故2222222

(6)412(2)(2)t t t t ++=++， 即4212280t t --=，解得214t =（舍负）， 8

分

因为满足222F P F M F N =+的点P 也在椭圆1C 上，所以四边形2F MPN 是平行四边形， 设四边形2F MPN 的面积为S ，则有

1212||||S F F y y =-=== 11分

代入214t =，得四边形2F MPN

的面积S =． 12分

21．（1）当2n =时，一个系统有3个电子元件，则一个系统需要维修的概率为23

33111C ()()222

+=

1分

设X 为该电子产品需要维修的系统个数，则1

(3,)2

X B ，500X ξ=

2分

∴33

11(500)()C ()(),0,1,2,322

k

k k P k P X k k ξ-===== 4分

∴ξ的分布列为

∴1

50037502

E ξ=??= 6分

（2）记21k -个元件组成的系统正常工作的概率为k p .21k -个元件中有i 个正常工作的概率 为2121

C

(1)

i i k i

k p p ----，因此系统工常工作的概率21

2121C (1)

.k i i k i

k k i k

p p p ----==-∑ 7分 在21k -个元件组成的系统中增加两个元件得到21k +个元件组成的系统，则新系统正常 工作可分为下列情形：

（a ）原系统中至少有1k +个元件正常工作，概率为1

21C (1)

k k k k k p p p ----； 8分 （b ）原系统中恰有k 个元件正常工作，且新增的两个元件至少有1个正常工作，

概率为2121[1(1)]C (1)

k k k k p p p -----； 9分 （c ）原系统中恰有1k -个元件正常工作，且新增的两个元件均正常工作，

概率为211

21C (1).k k k k p p

p ---- 10分

因此，211211

1212121C (1)[1(1)]C (1)C (1)k k k k k k k k k k k k k k p p p p p p p p p p ----+----=-+----- 1

21(1)C (21)k k k k p p p --=--

故当1

2

p >时，k p 单调增加，增加两个元件后，能提高系统的可靠性. 12分

22．（1）22

e e 1e ()(1e )x x x x

x f x x x x -'?-+==-+，

1分

易证当0x ≠时，e 1x x >+，则e 1x x ->-+，即 e 10x x -+->，

所以()0f x '>，故 (

)f x 在 (,0)-∞，(0,)+∞上单调递增． 4分 （2）由题意得0x ?>，e 1

2ln x x k x

--， 令e 1

()2ln x F x x x -=-，要证： 1.1λ>，即证() 1.1F x >．

22

e e 12e e 21

()x x x x x x x F x x x x ?-+?--+=-='，

令()e e 21x x g x x x =?--+，则

()e 2x g x x ?'=-，()(1)e 0x g x x =+?'>'， 所以()g x '在(0,)+∞上单调递增，又(0)20g =-<'，(1)e 20g =->'，

故0(0,1)x ?∈，使得0 ()0g x '=，即0

2

e x x =

． 6分

所以0(0,)x x ?∈，有()0g x '<，()g x 单调递减； 0(,)x x ?∈+∞，()0g x '>，()g x 单调递增．

所以0()()g x g x ，(0)0g =，00

00000

2

()e e 212210x x g x x x x x =?--+=-

-+<， 3

231()e 2022

g =->，所以存在103(,)2x x ∈，使得()10g x =，

即11121

e 1

x

x x -=

-，且满足1(0,)x x ?∈，()0F x '<，()F x 单调递减； ()1,x x ?∈+∞，()0F x '>，()F x 单调递增；

所以()111111e 1()2ln 2ln 1

1

x F x F x x x x x -=-=--． 8分 令1

()2ln 1

h x x x =

--，则2

12()0(1)h x x x -=-<-'，故()h x 单调递减，

又132x <

，所以33

()()2(1ln )22

h t h >=-． 9分 则只需证明0.45209

33332(1ln ) 1.1ln 0.45e ()e 2222

->?

又8e 263>

=?，可先证明20938

()()23

<，又5 3243=，82256=，则5832<， 所以30482193832()()23

38()()e 23<<，证毕！ 12分

注：关于33

2(1ln ) 1.1ln 0.4522

->?<的证明下面再给出一种证法:

32ln3ln 2-<-，即ln 3ln 2-

又210.456<，所以3

ln ln3ln 20.452

=-<，证毕！