大物习题答案第4章 机械振动
第4章 机械振动
4.1基本要求
1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系
2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析
3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义
4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点
4.2基本概念
1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。
简谐振动的运动方程 cos()x A t ω?=+
2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。
4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1
T ν
=
5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为
22T
π
ωπν=
= 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ω?+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位?
7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。
弹性势能22
2p 11cos ()22E kx kA t ω?=
=+ 动能[]2
2222k 111sin()sin ()222
E m m A t m A t ωω?ωω?==-+=+v
弹簧振子系统的机械能为222k p 11
22
E E E m A kA ω=+=
= 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。
9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。
4.3基本规律
1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的
物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（0?=）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t 曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。
2．简谐振动的合成
若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即
111cos()x A t ω?=+ 222cos()x A t ω?=+
合振动仍是一个角频率为ω的简谐振动。 合位移12cos()x x x A t ω?=+=+
图4.1 弹簧振子的动能和势能随时间的变化
E
p
E O
O
x
k
E 2
1
2
E kA =t t
合振动的振幅A =合振动的初相1122
1122
sin sin tan cos cos A A A A ?????+=
+
振动加强：212πk ????=-=±， (0 1 2,)k =，， 12A A A =+ 振动减弱：21(21)πk ????=-=±-， ( 1, 2, 3)k = 12A A A =- 当21??-取其他值时 1212A A A A A +>>-
若两个振动同方向，但不同频率，则合成振动不再是周期振动，而是振幅随时间周期性变化的振动。
若两振动的振动方向相互垂直，频率相同。一般情况下，合成振动轨迹为一椭圆。 若两个相互垂直的振动频率不相同，且为简单比关系，则其合成振动的轨迹为封闭的曲线，曲线的具体形状取决于两个振动的频率比。若两频率比为无理数，则合成运动轨迹永不封闭。
4.4学习指导
1．重点解析
简谐振动的运动学问题是本章的重点内容之一，主要有以下两种类型： （1）已知简谐振动表达式求有关物理量
（2）已知运动情况或振动曲线建立简谐振动表达式
对于类型（1）主要采用比较法，就是把已知的振动表达式与简谐振动的一般表达式cos()x A t ω?=+加以比较，结合有关公式求得各物理量。
对于类型（2）的解题方法，一般是根据题给的条件，求出描述简谐振动的三个特征量A 、?、ω,然后将这些量代入简谐振动的一般式，就得到要求的运动表达式。
其中角频率ω由系统的性质决定,2k m
ω=.
振幅A
可由初始条件求出，A =
图
4-3
图4-2
初相?有两种解法，一是解析法，即从初始条件得到0
tan v x ?ω-=
,这里?有两个值，必须根据条件去掉一个不合理的值；另一是旋转矢量法，正确画出振幅矢量图，这是求初相最简便且直观的方法。
例 如图4-2所示为某质点作简谐振动的曲线。求该质点的振动方程。 分析：若要求质点的振动方程，必须求出三个特征量A 、?、ω。利用振动曲线可以看出2410A m -=?，t=0
时刻，质点位移02
x A =-，t=0.5s 时，x=0。利用这些信息可以确定?、ω。 解：方法1 解析法 t=0
时，02x A =-
，于是有
0cos 2
x A A ?==-
解得：3
4
?π=±
由t=0时刻对应的曲线斜率
0dx
dt
>可知，所以质点速度00v >，即： 0sin 0v A ω?=->
所以3
4
?π=-
为求ω，先写出质点振动方程
23
410cos()4x t m ωπ-=?-
将t=0.5s ，x=0代入上式得
3
cos(
)024
ω
π-=，同样结合该点的速度方向可以得到2
π
ω=
，所以质点的振动方程是
23
410cos()24
x t m ππ-=?-
方法2：旋转矢量法
图4-4
由振动曲线可知，t=0
时刻，质点位移0x A =，质点速度00v >，对应的旋转矢量如图4-3所示，由图可知3
4
?π=-。
t=0.5s 时，x=0，0v >。此运动状态对应矢量OP ，即旋转矢量由t=0时的OM 经0.5s 转至OP ，共转了4π，1140.52
rad s rad s π
π
ω--=?=? 质点的振动方程是
23
410cos()24
x t m ππ-=?-
2．难点释疑 疑难点1 旋转矢量
自Ox 轴的原点O 作一矢量A ，使它的模等于振动的振幅A ，并使矢量A 在Oxy 平面内绕点O 作逆时针方向的匀角速转动，其角速度与振动的角频率ω相等，这个矢量就叫做旋转矢量。如图4-4所示。旋转矢量A 的矢端在Ox 轴上的投影点的运动，可表示物体在Ox 轴上的简谐振动。旋转矢量A 与简谐振动的物理量之间的对应关系如表4-1所示。
表4-1 旋转矢量A 与简谐振动的物理量之间的对应关系
旋转矢量是研究简谐振动的一种比较直观的方法，可以使运动的各个物理量表现得直观，运动过程显示得清晰，有助于简化简谐振动讨论中的数学处理。但必须指出，旋转矢量本身并不在作简谐振动，而是旋转矢量端点的投影点在作简谐振动。
图
4-5
问题：简谐振子从平衡位置运动到最远点所需的时间为4
T
吗？走过该距离的一半所需的时间是
8T 吗？振子从平衡位置出发经历8
T
时运动的位移是多少？ 解析 从平衡位置运动到最远点对应旋转矢量图4-5中的角度变化是2
π
，所需的
时间24T
t πω?==
振子的速度sin()v A t ωω?=-+不是常数，振子做变速直线运动，所以走过该距
离的一半所需的时间不是
8T 。振子从平衡位置运动到2
A
处（OM 位置）时，振幅矢量转过了6
π
的角度，即612T t πω?==
即振子从平衡位置运动到2A 所用的时间是12T ，而不是8T 。振子从2
A
运动到平衡
位置所用的时间是36T
t πω?==。
振子从平衡位置出发经历8T
时运动的位移是
cos()cos()824T x A A A ππω
=-=-= 疑难点 2 当一个弹簧振子的振幅加倍时，则振动周期、最大速度、质点受力最大值和振动能量如何变化？
解析 弹簧振子的振幅一般由初始条件确定。振幅加倍时，振动周期不变，因为
对于给定的弹簧振子系统其周期是一定的，即2T =A ω，所以振幅加倍时最大速度也加倍，质点受力最大值为f=kA ，所以振幅加倍
时受力最大值也加倍；简谐振动系统中机械能守恒为21
2
E kA =，所以振幅加倍
时振动能量变为原来4倍
4.5习题解答
4.1 两根轻弹簧和一质量为m 的物体组成一振动系统,弹簧的劲度系数为k 1和k 2,串联后与物体相接,则此系统的固有频率为ν等于[ ] (A) ()π2//)(21m k k +
1 习题4.1图
)
2π
(C) ()π2
)
/(
2
1
k
k
m+
(2)π
解析：正确答案（B）
两弹簧k
1
和k
2
串联后可等效为劲度系数k的弹簧，设k
1
和k
2
的形变量分别为Δ
x
1
和Δx
2
，k的形变量为Δx，则有Δx＝Δx
1
+Δx
2
，亦即
12
111
k k k
=+
12
12
k k
k
k k
=
+
据此可确定系统的固有频率为
)
2
νπ
==
4.2 把单摆摆球从平衡位置向位移正方向拉开，使摆线与竖直方向成一微小角度
θ，然后由静止放手任其振动，从放手时开始计时。若用余弦函数表示其运动方
程，则该单摆振动的初相为［］
(A) π (B)π/2 (C) 0 (D)θ
解析：正确答案（C）
由已知条件可知其初始时刻的位移正向最大。利用旋转矢量图可知，初相相位是
0。选（C）
4.3 用余弦函数描述一简谐振动。已知振幅为A，周期为T，初相
3
π
?=-，则振
动曲线为［］
习题4.3图
解析：正确答案（A ）
由已知条件可知：初始时刻振动的位移是cos()32
A
y A π=-=
，速度是
sin()v A t A ωω?=-+=
，方向是向y 轴正方向，则振动曲线上t=0时刻的斜率是正值。
4.4 已知某简谐振动的振动曲线如图所示，位移的单位为厘米，时间单位为秒。则此简谐振动的振动方程为： [ ]
（A ）22
2cos()33x t ππ=+cm
（B ）22
2cos()33x t ππ=-cm
（C ）42
2cos()33x t ππ=-cm
（D ）42
2cos()33x t ππ=+cm
解析：正确答案（D ）
由振动图像可知，初始时刻质点的位移是2
A
-
，且向y 轴负方向运动，下图是其对应的旋转矢量图，由图可知，其初相位是2
3
π，振
动曲线上给出了质点从2A -到A 的时间是1s ，其对应的相位从2
3π变化到2π，
所以它的角速度11224313
rad s rad s πππω---
=
?=?。 简谐振动的振动方程为42
2cos()33x t ππ=+
4.5 质点作简谐振动，已知振动周期为T ，则其振动动能变化的周期是[ ] (A) T /4 (B) T /2 (C) T (D) 2T 解析：正确答案（B ）
质点作简谐振动的动能表达式是222k 1
sin ()2
E m A t ωω?=
+，可见其变化的周期是简谐振动周期的1
2
。
4.6 设某人一条腿的质量为m ，长为l
，当他以一定频率行走时最舒适，试用一
习题4.4图
23
π
?=
43
π??=
/x cm
t =
种简单的模型估算出该人行走最舒适的频率应为[ ] （A
B
（C
（D
解析：正确答案（D ）
可以将人行走时腿的摆动当作复摆模型，这样人行走时最舒适的频率应是复摆的简谐振动频率。此人的一条腿可看成是一个质量为m ，长为l 的细长杆，它绕端
点的转动惯量213J ml =,
根据复摆的周期公式2T =2l h =
。故频率
ν=
4.7 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线。若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为［ ］
（A ）3
2π
（B ）π
（C ）1
2π
（D ）0
解析：正确答案（B ）
由振动曲线可知，这是两个同振动方向，同频率简谐振动，它们的相位差是π，
运动方程分别是1cos()2
A
x t ω=
和2cos()x A t ωπ=+，它们的振幅不同，对于这样两个简谐振动，可用旋转矢量法，很方便求得合运动方程是2cos()2A
x t ωπ=+。
4.8 质点作谐振动，周期为T ，当它由平衡位置向x 轴负方向运动时，从－2
A
处到-A 处这段路程所需要的时间为[ ] （A ）
4T （B ）6T （C ）8
T
（D ）12T
解析：正确答案（B ）
已知条件结合对应的旋转矢量图，它由平衡位置向x 轴负方向运动时在－
2A
处对应的相位是2
3π，位移是-A 处对应的相位是π，所以这段路程的相位差是13π
，
习题4.7图
对应的时间是
3
26
T T π
π?
= 4.9 弹簧振子作简谐振动，已知此振子势能的最大值为100J ，当振子处于最大位移的一半时其动能为[ ]
（A ）25J （B ）50J （C ）75J （D ）100J 解析：正确答案（C ）
物体做简谐振动时，振子势能的表达式是2
p 12
E kx =
，其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，
势能达到最大值2
p 12
E kA =
，动能为零，但其总机械能却保持不变。当振子处于最大位移的一半时其势能为22p 11
'()228
A E k kA ==，所以此时的动能是
222k 11133
1007528244
E kA kA kA J J J =-=?=?=。
4.10一质点作简谐振动，速度最大值10.05m v m s -=?，振幅A=2cm 。若令速度具
有正最大值的那一时刻为t=0,则振动表达式为 。 解析：0.02cos(2.5)y t m =
速度的最大值10.05m v A m s ω-==?，A=0.02m ，所以
10.05
2.50.02
m v rad s A ω-=
==?。 振动的一般表达式cos()x A t ω?=+，现在只有初相位没确定，速度具有正最大值的时位于原点处，由旋转矢量法可知：0?=，振动表达式为0.02cos(2.5)y t m = 4.11已知一个谐振子的振动曲线如图所示，求：（1）a 、b 、c 、d 、e 各状态的相位分别为 。
习题4.11图
解析：0、
3π、2
π
、23π、43π
结合旋转矢量图，振动曲线上的a 、b 、c 、d 、e 对应旋转矢量图上的a ’、b ’、c ’、d ’、e ’,所以其相位分别是0、3π、2
π
、23π、43π
4.12 一简谐振动的旋转矢量图如图所示，振幅矢量长2cm ，则该简谐振动的初相为 ，振动方程为 。 解析：
4
π
，0.02cos()4x t ππ=+
振动方程的一般表达式是cos()x A t ω?=+，?是指t=0时对应的相位，也是初相位。由图可知t=0时的角度
是
4π，所以该简谐振动的初相为4
π
。角速度是t t ππ=。代入振动方程可得0.02cos()4
x t π
π=+。
4.13 一单摆的悬线长l =1.5m,在顶端固定点的竖直下方0.45m 处有一小钉，如图所示。设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比的近似值为 。 解析：0.84
左右摆动能量应相同，应有
2222112211
22
m A m A ωω=，所
以
12210.84A A ωω==== 4.14 质点按如下规律沿ox 轴作简谐振动：20.1cos(8)3
x t m π
π=+
，求此振动的周期、振幅、初
相、速度最大值和加速度最大值。
解析：本题属于由运动方程求解简谐振动各特征量的问题，可采用比较法求解。即将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式cos()x A t ω?=+作比较，即可求得各特征量，而速度和加速度的计算与质点运动学中由运动方程求解速度和加速度的计算方法相同。
将该简谐振动的表达式与简谐运动方程的一般形式cos()x A t ω?=+作比较后可得：周期是0.25s, 振幅是0.1m, 初相位是23
π
，速度最大值12.51m v A m s ω-==?，加速度最大值2263.17m a A m s ω-==?
习题4.12图
习题4.13图
4.15 质点的振动曲线如图所示。试求： （1）振动表达式 （2）点P 对应的相位
（3）到达点P 对应位置所需时间。
解析：（1）根据振动曲线对应的旋转振幅矢量可知，初相03
π?=-，从t=0到t=1s 时间内相位差
为5()236π
ππ??=
--=，所以角频率为56
t ?π
ω?==
? 可得振动表达式为50.06cos()63
y t m π
π=-
(2)P 点相对应的相位为0。
(3)到达P 点所需时间为0()'3'0.456
t s π
?πω
--??==
= 4.16 沿x 轴作简谐振动的小球，振幅A=0.04m ，速度的最大值10.06m v m s -=?。若取速度为正的最大值时t=0。试求： （1）振动频率； （2）加速度的最大值； （3）振动的表达式。
解析：速度的最大值10.06m v A m s ω-==?，A=0.04m
10.06 1.50.04
m v rad s A ω-=
==?， 324Hz ωνππ
==。
（2）加速度的最大值220.09m a A m s ω-==?。 （3）速度为正的最大值时t=0，由旋转矢量法可知：
2π
?=-
30.04cos()22
y t m π
=-
4.17 物体沿x 轴作简谐振动,振幅为6.0cm ，周期为2.0s ，在 t=0时物体位于 3.0cm 处且向负x 方向运动．求：（1）初相位；（2）t ＝1.0s
时，物体的位置、
习题4.15图
速度和加速度
分析:初相位的确定可采用两种方法：旋转矢量法和解析法。
解析； （1）取平衡位置为坐标原点，质点的运动方程可写为cos()x A t ω?=+,现在用旋转矢量法求解初相位。根据初始条件，初始时刻旋转矢量 A 的矢端应在图中的M 位置，所以3
π
?=
.
(2)依题意，A=0.06m ，T=2.0s ，则1
2r a d s T
π
ωπ-=
=?.
质点的运动方程可写为0.06cos()3x t π
π=+,
t=1.0s 代入上式，可得：
0.06cos()0.03 3.03
x m m cm π
π=+=-=-
0.06sin()3
dx v t dt πππ==-+
2222cos()d x
a A t x dt
ωω?ω==-+=-
把已知量代入上式可得：219.4210v m s --=??、20.296a m s -=? ？？211.6310v m s --=??
4.18 在一平板上放一质量为m=2kg 的物体，平板在竖直方向作简谐振动，其振动周期为T=0.5s ，振幅A=4cm ，求：（1）物体对平板的压力的表达式；（2）平板以多大的振幅振动时，物体才能离开平板？
解析：（1）设平衡位置为坐标原点，向上为正方向，t=0时刻，振动的相位为零，
124rad s T
π
ωπ-=
=? 则平板的运动方程是
0.04cos(4)y t m π=
物体的运动和平板相同。分析物体受力可知：
N mg ma -=
222cos()d x
a A t dt
ωω?==-+
所以2cos(4)N mg m A t ωπ=-+
根据牛顿第三定律可知物体对平板的压力与平板对物体的支持力是一对作用力与反作用力。所以物体对平板的压力2'cos(4)N mg m A t ωπ=-+ （2）当平板振动的最大加速度大于g 时，物体能离开平板
2g A ω=
0.062A m =
4.19一弹簧振子由弹性系数为k 的轻弹簧和质量为M 的物块组成，将弹簧的一端与顶板相连。开始时物块静止，一颗质量为m 、速度为v 0的子弹由下而上射入物块，且留在物块中。求子弹留在物块中系统的振幅与周期，并求出系统的总振动能量。
解析：子弹击中物块后系统的角频率为ω=
，所以周期
为22T π
π
ω
=
=。设子弹击中物块后系统获得速率为v ，由动量守恒定律可得0m
v v M m
=
+. 子弹进入物块后，振子的平衡位置改变了，以新的平衡位置为坐标原点Ｏ，竖直向下为x 轴正方向。以子弹进入物块的瞬间为计时零点，则t=0时刻，振子的初
位移为021()x x x =--，其中1x 为子弹未进入物块时弹簧的伸长量，
1Mg kx =;2x 为子弹进入物块后弹簧的伸长量，2()M m g kx +=，因此
0(
)M m M m
x g g k k k
+=--=- 方法一：根据已知条件可得振子的振幅为：
A ===系统的总振动能量
习题4.19图
22222
22002111(1)()22()2kv v m g g E kA m k m M g k m M
==+=+++
方法2：子弹射入物块后，系统的机械能守恒，所以系统的总振动能量即为初始
时刻的振动能量，2222
200111()()222v g E kx m M v m k m M
=++=+
+
4.20 一物体质量为0.25 kg ，在弹性力作用下作简谐振动，弹簧的劲度系数k = 25 N ?m －1，如果起始振动时具有势能0.06J 和动能0.02J ，求
(1) 振幅；
(2) 动能恰等于势能时的位移； (3) 经过平衡位置时物体的速度。
解析：物体做简谐振动时，振子势能的表达式是2
p 12
E kx =
，动能表达式是2
k 12
E mv =
。其动能和势能都随时间做周期性变化，物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值；位移最大时，势能达到最大值2p 1
2
E kA =，动能为零，
但其总机械能却保持不变为21
2
E kA =。
（1） 由于振动过程总机械能却保持不变，21
0.060.02252
A +=??，A=0.08m 。
（2） 动能恰等于势能时，也就是此时势能是总机械能的一半，
22
p 111'222
E kx kA =
=?，0.057x A m ==± （3）通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，此时
21
0.060.022
mv +=?， 10.8v m s -=?.
4.21一作简谐振动的振动系统，振子质量为2kg ，系统振动频率为1000Hz ，振幅为0.5cm ，则其振动能量是多少？ 解析：简谐振动系统的能量221
2E m A ω=
，把已知量代入上式可得： 222211
(2)2986.96J 2
E m A m A ωπν===
4.22一质点作简谐振动，其振动方程为26.010cos()()34x t SI ππ
-=?-。求：
（1）当x 值为多大时，系统的势能为总能量的一半？ （2）质点从平衡位置移动到上述位置所需最短时间为多少？ 解析：
226.010 4.2410x m m --=?=±? 6
0.7588
T t s s =
==
4.23 一质点同时参与两个同方向的简谐振动，其振动方程分别为
21510cos(4)()3
x t SI π
-=?+
22310sin(4)()6
x t SI π
-=?-
画出两振动的旋转矢量图，并求合振动的振动方程。
解析：22222310sin(4)310cos(4)310cos(4)6623
x t t t ππππ
---=?-=?--=?-
作两振动的旋转矢量图，如图所示。
由图得合振动的振幅和初相分别为 A ＝(5-3)cm=2cm ，3
π
?=
合振动方程为2210cos(4)()3x t m π
-=?+
4.24 质量为m 的质点同时参与互相垂直的两个振动，其振动方程分别为
224.010cos(
)()33x t SI ππ
-=?+ 223.010cos()()36
y t SI ππ
-=?-
试求：（1）质点的运动轨迹方程；（2）质点在任一位置时所受的作用力。
解析：（1）由题意：224.010cos(
)33
x t ππ
-=?+， 2222223.010cos() 3.010cos() 3.010sin()3633233
y t t t πππππππ
---=?-=?+-=?+
以上两式化简后得：
22
22
10.040.03x y += （2）t 时刻质点的位矢为
22224.010cos(
) 3.010cos()3336
x y t t ππππ
--=+=?++?-r i j i j ，所以加速度为 2222()3
d dt π
==-r a r
因此质点在任一位置所受的作用力2
2(
)3
F m r π=- 方向始终指向原点 4.25 火车在铁轨上行驶，每经过铁轨接缝处即受到一次振动，从而使装在弹簧上面的车厢上下振动。设每段铁轨长12.5ｍ，弹簧平均负重5.4×10４N ，而弹簧每受9.8×103N 的力将压缩1.6mm 。试问火车速度多大时，振动特别强?
解析：由题意可得弹簧劲度系数3
1613
9.810 6.125101.610
k N m N m ---?=?=???
系统的振动角频率11
33.34s rad s ω--==?=? 火车的固有周期22 3.14
0.1833.34
T s s π
ω
?=
=
= 因此，当火车在接轨处受到振动周期等于固有周期时，振动将最强，于是
1112.569.40.18
L v m s m s T --==?=?时，振动将特别强烈。
4.26 阻尼振动起始振幅为3.0cm ，经过10s 后振幅变为1.0cm ，经过多长时间振幅将变为 0.30cm?
解析：阻尼振动的振幅表达式是：0e t A A δ-=，代入数据可得：
101.0 3.0e δ-= '0.3 3.0e t δ-=
解得： t ’=20.96s 4 开放性习题
6.27 请以“共振”为关键词，通过互联网了解物理学、社会学、管理学等领域里共振效应。(略)
机械振动习题及答案
机械振动 一、选择题 1. 下列4种运动（忽略阻力）中哪一种是简谐运动 （ C ） ()A 小球在地面上作完全弹性的上下运动 ()B 细线悬挂一小球在竖直平面上做大角度的来回摆动 ()C 浮在水里的一均匀矩形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 ()D 浮在水里的一均匀球形木块，把它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动 解析：A 小球不是做往复运动，故A 不是简谐振动。B 做大角度的来回摆动显然错误。D 由于球形是非线性形体，故D 错误。 2．如图1所示，以向右为正方向，用向左的力压缩一弹簧，然后松手任其振动。若从松手时开始计时，则该弹簧振子的初相位应为 图 一 （ D ） ()0A ()2 πB
()2 π-C ()πD 解析： 3.一质量为m 的物体挂在劲度系数为k 的轻质弹簧下面，其振动周期为T 。若将此轻质弹簧分割成3等份，将一质量为2m 的物体挂在分割后的一根弹簧上，则此弹簧振子的周期为 （ B ） ()63T A ()36T B ()T C 2 ()T D 6 解析：有题可知：分割后的弹簧的劲度系数变为k 3，且分割后的物体质量变为m 2。故由公式k m T π2=，可得此弹簧振子的周期为3 6T 4．两相同的轻质弹簧各系一物体（质量分别为21,m m ）做简谐运动（振 幅分别为21,A A ）,问下列哪一种情况两振动周期不同 （ B ） ()21m m A =，21A A =,一个在光滑水平面上振动，另一个在竖直方向上 振动 ()B 212m m =，212A A =,两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()C 21m m =，212A A =，两个都在光滑的水平面上作水平振动 ()D 21m m =，21A A =，一个在地球上作竖直振动，另一个在月球上作 竖直振动
机械振动习题集与答案
《机械振动噪声学》习题集 1－1 阐明下列概念，必要时可用插图。 (a) 振动； (b) 周期振动和周期； (c) 简谐振动。振幅、频率和相位角。 1－2 一简谐运动，振幅为 0.20 cm，周期为 0.15 s，求最大的速度和加速度。 1－3 一加速度计指示结构谐振在 82 Hz 时具有最大加速度 50 g，求其振动的振幅。 1－4 一简谐振动频率为 10 Hz，最大速度为 4.57 m/s，求其振幅、周期和最大加速度。1－5 证明两个同频率但不同相位角的简谐运动的合成仍是同频率的简谐运动。即： A cos n t + B cos (n t + ) = C cos (n t + ' )，并讨论＝0、/2 和三种特例。 1－6 一台面以一定频率作垂直正弦运动，如要求台面上的物体保持与台面接触，则台面的最大振幅可有多大？ 1－7 计算两简谐运动x1 = X1 cos t和x2 = X2 cos ( + ) t之和。其中<< 。如发生拍的现象，求其振幅和拍频。 1－8 将下列复数写成指数A e i 形式： (a) 1 + i3 (b) 2 (c) 3 / (3 - i ) (d) 5 i (e) 3 / (3 - i ) 2 (f) (3 + i ) (3 + 4 i ) (g) (3 - i ) (3 - 4 i ) (h) ( 2 i ) 2 + 3 i + 8 2－1 钢结构桌子的周期＝0.4 s，今在桌子上放W = 30 N 的重物，如图2－1所示。 已知周期的变化＝0.1 s。求：( a ) 放重物后桌子的周期；( b )桌子的质量和刚度。 2－2 如图2－2所示，长度为 L、质量为 m 的均质刚性杆由两根刚度为k 的弹簧系住，求杆绕O点微幅振动的微分方程。 2－3 如图2－3所示，质量为m、半径为r的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，它的圆心O 用刚度为k的弹簧相连，求系统的振动微分方程。 图2－1 图2－2 图2－3 2－4 如图2－4所示，质量为m、半径为R的圆柱体，可沿水平面作纯滚动，与圆心O距离为a 处用两根刚度为k的弹簧相连，求系统作微振动的微分方程。 2－5 求图2－5所示弹簧－质量－滑轮系统的振动微分方程。
15机械振动习题解答
第十五章 机械振动 一 选择题 1. 对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的？( ) A. 物体在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； B. 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； C. 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； D. 物体处负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 解：根据简谐振动的速度和加速度公式分析。 答案选C 。 2.下列四种运动（忽略阻力）中哪一种不是简谐振动？（ ） A. 小球在地面上作完全弹性的上下跳动； B. 竖直悬挂的弹簧振子的运动； C. 放在光滑斜面上弹簧振子的运动； D. 浮在水里的一均匀球形木块，将它部分按入水中，然后松开，使木块上下浮动。 解：A 中小球没有受到回复力的作用。 答案选A 。 3. 一个轻质弹簧竖直悬挂，当一物体系于弹簧的下端时，弹簧伸长了l 而平衡。则此系统作简谐振动时振动的角频率为（ ） A. l g B. l g C. g l D. g l 解 由kl =mg 可得k =mg /l ，系统作简谐振动时振动的固有角频率为l g m k ==ω。 故本题答案为B 。 4. 一质点作简谐振动（用余弦函数表达），若将振动速度处于正最大值的某时刻取作t =0，则振动初相?为（ ） A. 2π- B. 0 C. 2π D. π 解 由 ) cos(?ω+=t A x 可得振动速度为 ) sin(d d ?ωω+-==t A t x v 。速度正最大时有0) cos(=+?ωt ，1) sin(-=+?ωt ，若t =0，则 2 π-=?。 故本题答案为A 。 5. 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接，在光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 ( )
机械振动习题答案【最新】
机械振动测验 一、填空题 1、所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大值 和③极小值而往复变化。 2、一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、XXXX在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入：而系 统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。 4、常见的振动问题可以分成下而几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、环 境预测 5、按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类，振 动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势能， 阻尼元件③耗散振动能量。 8、如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振 动。 9、常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无关。 二、试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中％是经过〃个循环后的振幅。
利用前面给出的解 x =而一m sin皿」+ 0)可得到衰减率为 对数衰减率为 8 = 1叫=叫克=-: 气 ”=&星.…JC L=2^O今 K 知X” X” 〃1叫=/浴=1』书］/=_LiJ邑 m 口顷〃
吉轿大拳龙年工犊拳院.玉魔平 3. 有阻尼自山振动 ?对数衰减率 ?测定阻尼白山振动的 振幅衰减率是计算系 统阻尼比的一个常用 的易行方法。 ?在振动试验中，可以 测 出系统阻尼白山振 动 时的响应，求出对 数 衰减率，进而得到 系统的阻尼比。 例 2.5-2 证明对数衰减率也可用下式表示; 式中％是经过〃个循环后的振阳。并画出不同￡值下振幅减小 到50%的循坏数常。 触g 任意两相邻振幅比是 客0 孙 的 一?一——J .?.?.??,—. 勒一的一 *3 比值札/粉可以写成； 求图示振动系统的固有频率和振型。已知以=必=川，k 】=y=kq=k 。In DAE 29 札一 从此可得到要求证明的公式】 Q 2 C 4 Q. 5 。8 1. 更厄比5>￡ x I X —= ；iJ=> H = —In —1 S ' 8羽 气骨 ?*? 有
6.机械振动习题及答案
一、 选择题 1、一质点作简谐振动，其运动速度与时间的曲线如图所示，若质点的振动按余弦函数描述，则其初相为 [ D ] （A ） 6π (B) 56π (C) 56π- (D) 6π- (E) 23 π- 2、已知一质点沿y 轴作简谐振动，如图所示。其振动方程为3cos()4 y A t π ω=+，与之对应的振动曲线为 [ B ] 3、一质点作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，则质点从平衡位置运动到离最大 振幅 2A 处需最短时间为 [ B ] （A ）;4T (B) ;6T (C) ;8 T (D) .12T 4、如图所示，在一竖直悬挂的弹簧下系一质量为m 的物体，再用此弹簧改系一质量为m 4的物体，最后将此弹簧截断为两个弹簧后并联悬挂质量为m 的物体， 此三个系统振动周期之比为 (A);2 1 : 2:1 (B) ;2:21:1 [ C ] (C) ;21:2:1 (D) .4 1 :2:1
5、一质点在x 轴上作简谐振动，振幅cm A 4=，周期s T 2=，其平衡位置取坐标原点。若0=t 时刻质点第一次通过cm x 2-=处，且向x 轴负方向运动，则质点第二次通过cm x 2-=处的时刻为 (A);1s (B) ;32s (C) ;34 s (D) .2s [ B ] 6、一长度为l ，劲度系数为k 的均匀轻弹簧分割成长度分别为21,l l 的两部分， 且21nl l =，则相应的劲度系数1k ，2k 为 [ C ] （A ）;)1(,121k n k k n n k +=+= （B ）;11,121k n k k n n k +=+= (C) ;)1(,121k n k k n n k +=+= (D) .1 1 ,121k n k k n n k +=+= 7、对一个作简谐振动的物体，下面哪种说法是正确的 [ C ] （A ） 物体处在运动正方向的端点时，速度和加速度都达到最大值； （B ） 物体位于平衡位置且向负方向运动时，速度和加速度都为零； （C ） 物体位于平衡位置且向正方向运动时，速度最大，加速度为零； （D ） 物体处于负方向的端点时，速度最大，加速度为零。 8、 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为 A 2 1 ，且向x 轴的正方向运动，代表此简谐振动的旋转矢量图为 ［ B ］
大物习题答案第4章机械振动
第4章 机械振动 基本要求 1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系 2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析 3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义 4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点 基本概念 1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。 简谐振动的运动方程 cos()x A t ω?=+ 2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。 4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1 T ν = 5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为 22T π ωπν= = 6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ω?+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位? 7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。 弹性势能22 2p 11cos ()22 E kx kA t ω?= =+
动能[]2 2222k 111sin()sin ()222 E m m A t m A t ωω?ωω?==-+=+v 弹簧振子系统的机械能为222k p 11 22E E E m A kA ω=+== 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。 9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。 基本规律 1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的 物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（0?=）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t 曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。 2．简谐振动的合成 若一个质点同时参与了两个同方向、同频率的简谐振动，即 111cos()x A t ω?=+ 222cos()x A t ω?=+ 图 弹簧振子的动能和势能随时间的变化 E p E O O x k E 2 1 2 E kA =t t
(完整版)机械振动习题答案
机械振动测验 一、 填空题 1、 所谓振动，广义地讲，指一个物理量在它的①平均值附近不停地经过②极大 值和③极小值而往复变化。 2、 一般来说，任何具有④弹性和⑤惯性的力学系统均可能产生机械振动。 3、 XXXX 在机械振动中，把外界对振动系统的激励或作用，①激励或输入；而 系统对外界影响的反应，称为振动系统的⑦响应或输出。 4、 常见的振动问题可以分成下面几种基本课题：1、振动设计2、系统识别3、 环境预测 5、 按激励情况分类，振动分为：①自由振动和②强迫振动；按响应情况分类， 振动分为：③简谐振动、④周期振动和⑤瞬态振动。 6、 ①惯性元件、②弹性元件和③阻尼元件是离散振动系统三个最基本的元件。 7、 在系统振动过程中惯性元件储存和释放①动能，弹性元件储存和释放②势 能，阻尼元件③耗散振动能量。 8、 如果振动时系统的物理量随时间的变化为简谐函数，称此振动为①简谐振动。 9、 常用的度量振动幅值的参数有：1、峰值2、平均值3、均方值4、均方根值。 10、 系统的固有频率只与系统的①质量和②刚度有关，与系统受到的激励无 关。 二、 试证明：对数衰减率也可以用下式表示，式中n x 是经过n 个循环后的振幅。 1 ln n x x n δ=
三、 求图示振动系统的固有频率和振型。已知12m m m ==，123k k k k ===。
北京理工大学1996年研究生入学考试理论力学（含振动理论基础）试题 自己去查双（二）自由度振动 J，在平面上在弹簧k的限制下作纯滚动，如图所示，四、圆筒质量m。质量惯性矩 o 求其固有频率。
五、物块M质量为m1。滑轮A与滚子B的半径相等，可看作质量均为m2、半径均 为r的匀质圆盘。斜面和弹簧的轴线均与水平面夹角为β，弹簧的刚度系数为k。 又m1 g>m2 g sinβ , 滚子B作纯滚动。试用能量法求：（1）系统的微分方程；（2）系统的振动周期。
机械振动课后习题和答案第三章习题和答案
如图所示扭转系统。设12122;t t I I k k == 1．写出系统的刚度矩阵和质量矩阵； 2．写出系统的频率方程并求出固有频率和振型，画出振型图。 解：1)以静平衡位置为原点，设12,I I 的转角12,θθ为广义坐标，画出12,I I 隔离体，根据牛顿第二定律得到运动微分方程： 111121222221()0()0t t t I k k I k θθθθθθθ?++-=?? +-=??，即：1112122222122()0 t t t t t I k k k I k k θθθθθθ?++-=??-+=?? 所以：[][]12 21 2220,0t t t t t k k k I M K k k I +-?? ??==????-???? 系统运动微分方程可写为：[][]11220M K θθθθ?????? +=????????? ? ………… (a) 或者采用能量法：系统的动能和势能分别为 θθ= +22112211 22T E I I θθθθθθθ=+-=++-222211212121221121111 ()()2222t t t t t t U k k k k k k
求偏导也可以得到[][],M K 由于12122;t t I I k k ==，所以[][]212021,0111t M I K k -???? ==????-???? 2)设系统固有振动的解为： 1122cos u t u θωθ???? =????????，代入（a ）可得： [][]12 2()0u K M u ω?? -=???? ………… (b) 得到频率方程：22 12 1 2 1 12 22()0t t t t k I k k k I ωωω--= =-- 即：224 222 121() 240t t I k I k ωωω=-+= 解得：2 1 1,22 2 (22t k I ω±= = 所以：1ω= 2ω =………… (c) 将（c ）代入（b ）可得： 1 121 2 121112 2(22)22 20(22t t t t t t k k I k I u u k k k I I ?? ±--?? ????=????????--?? ??
大物习题集答案解析第4章机械振动
第4章 机械振动 4.1基本要求 1．掌握描述简谐振动的振幅、周期、频率、相位和初相位的物理意义及之间的相互关系 2．掌握描述简谐振动的解析法、旋转矢量法和图线表示法，并会用于简谐振动规律的讨论和分析 3．掌握简谐振动的基本特征，能建立一维简谐振动的微分方程，能根据给定的初始条件写出一维简谐振动的运动方程，并理解其物理意义 4．理解同方向、同频率简谐振动的合成规律，了解拍和相互垂直简谐振动合成的特点 4.2基本概念 1．简谐振动 离开平衡位置的位移按余弦函数（或正弦函数）规律随时间变化的运动称为简谐振动。 简谐振动的运动方程 cos()x A t ω?=+ 2．振幅A 作简谐振动的物体的最大位置坐标的绝对值。 3．周期T 作简谐振动的物体完成一次全振动所需的时间。 4．频率ν 单位时间内完成的振动次数，周期与频率互为倒数，即1 T ν = 5．圆频率ω 作简谐振动的物体在2π秒内完成振动的次数，它与频率的关系为 22T π ωπν= =
6．相位和初相位 简谐振动的运动方程中t ω?+项称为相位，它决定着作简谐振动的物体状态；t=0时的相位称为初相位? 7．简谐振动的能量 作简谐振动的系统具有动能和势能。 弹性势能22 2p 11cos ()22E kx kA t ω?= =+ 动能[]2 2222k 111sin()sin ()222 E m m A t m A t ωω?ωω?==-+=+v 弹簧振子系统的机械能为222k p 11 22 E E E m A kA ω=+== 8．阻尼振动 振动系统因受阻尼力作用，振幅不断减小。 9．受迫振动 系统在周期性外力作用下的振动。周期性外力称为驱动力。 10．共振 驱动力的角频率为某一值时，受迫振动的振幅达到极大值的现象。 4.3基本规律 1．一个孤立的简谐振动系统的能量是守恒的 物体做简谐振动时，其动能和势能都随时间做周期性变化，位移最大时，势能达到最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达到最大值，但其总机械能却保持不变，且机械能与振幅的平方成正比。图4.1表示了弹簧振子的动能和势能随时间的变化（0?=）。为了便于将此变化与位移随时间的变化相比较，在下面画了x-t 曲线，由图可以看出，动能和势能的变化频率是弹簧振子振动频率的两倍。
机械振动习题及答案
第一章 概述 1.一简谐振动,振幅为0、20cm,周期为0、15s,求最大速度与加速度。 解: max max max 1*2***2***8.37/x w x f x A cm s T ππ==== .. 2222max max max 1*(2**)*(2**)*350.56/x w x f x A cm s T ππ==== 2.一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最大加速度50g,求振动的振幅。(g=10m/s2) 解:.. 22max max max *(2**)*x w x f x π== ..22max max /(2**)(50*10)/(2*3.14*80) 1.98x x f mm π=== 3.一简谐振动,频率为10Hz,最大速度为4、57m/s,求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 解: .max max /(2**) 4.57/(2*3.14*10)72.77x x f mm π=== 110.110T s f = == .. 2max max max *2***2*3.14*10*4.57287.00/x w x f x m s π==== 4、 机械振动按激励输入类型分为哪几类？按自由度分为哪几类？ 答:按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动 按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动
5、 什么就是线性振动？什么就是非 线性振动？其中哪种振动满足叠加原理？ 答:描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统,如00I mga θθ+= 描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+= 线性系统满足线性叠加原理 6、 请画出同一方向的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形 7、请画出互相垂直的两个运动:1()2sin(4)x t t π=,2()2sin(4)x t t π=合成的结果。 如果就是1()2sin(4/2)x t t ππ=+,2()2sin(4)x t t π=
高考复习——《机械振动》典型例题复习
九、机械振动 一、知识网络 二、画龙点睛 概念 1、机械振动 (1)平衡位置：物体振动时的中心位置，振动物体未开始振动时相对于参考系静止的位置，或沿振动方向所受合力等于零时所处的位置叫平衡位置。 (2)机械振动：物体在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动，通常简称为振动。 (3)振动特点：振动是一种往复运动，具有周期性和重复性 2、简谐运动 (1)弹簧振子：一个轻质弹簧联接一个质点，弹簧的另一端固定，就构成了一个弹簧振子。 (2)振动形成的原因 ①回复力：振动物体受到的总能使振动物体回到平衡位置，且始终指向平衡位置的力，叫回复力。 振动物体的平衡位置也可说成是振动物体振动时受到的回复力为零的位置。
②形成原因：振子离开平衡位置后，回复力的作用使振了回到平衡位置，振子的惯性使振子离开平衡位置；系统的阻力足够小。 (4)简谐运动的力学特征 ①简谐运动：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫做简谐运动。 ②动力学特征：回复力F与位移x之间的关系为 F＝－kx 式中F为回复力，x为偏离平衡位置的位移，k是常数。简谐运动的动力学特征是判断物体是否为简谐运动的依据。 ③简谐运动的运动学特征 a＝－k m x 加速度的大小与振动物体相对平衡位置的位移成正比，方向始终与位移方向相反，总指向平衡位置。 简谐运动加速度的大小和方向都在变化，是一种变加速运动。简谐运动的运动学特征也可用来判断物体是否为简谐运动。 例题：试证明在竖直方向的弹簧振子做的也是简谐振运动。 证明：设O为振子的平衡位置，向下方向为正方向，此时弹簧形变量为ｘ0，根据胡克定律得 ｘ0＝mg/k 当振子向下偏离平衡位置ｘ时，回复力为 F＝mg－ｋ(ｘ＋ｘ0) 则Ｆ＝－kx 所以此振动为简谐运动。 3、振幅、周期和频率 ⑴振幅 ①物理意义：振幅是描述振动强弱的物理量。 ②定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振动的振幅。 ③单位：在国际单位制中，振幅的单位是米(m)。
大学物理 机械振动习题 含答案
题图 第三章 机械振动 一、选择题 1． 质点作简谐振动，距平衡位置2。0cm 时，加速度a=4.0cm 2 /s ,则该质点从一端运动到另一端的时间为（ C ） A: B: C: D: 解： s T t T x a x a 2.242 2,2 222,22===∴==== =ππ ωπ ωω 2．一个弹簧振子振幅为2210m -?,当0t =时振子在21.010m x -=?处，且向正方向运 动，则振子的振动方程是：[ A ] A ：2210cos()m 3 x t π ω-=?-； B ：2 210cos()m 6 x t π ω-=?-； C ：2210cos()m 3 x t π ω-=?+ ； D ：2210cos()m 6 x t π ω-=?+ ； 解：由旋转矢量可以得出振动的出现初相为：3 π- 3．用余弦函数描述一简谐振动，若其速度与时间（v —t ）关系曲线如图示，则振动的初相位为：[ A ] A ：6π； B ：3π； C ：2 π ； D ：23π； E ：56 π 解：振动速度为：max 0sin()v v t ω?=-+ 0t =时，01sin 2?= ，所以06π?=或056 π?= 由知图，0t =时，速度的大小是在增加，由旋转矢量图知， 旋转矢量在第一象限内，对应质点的运动是由正最大位移向平衡位置运动，速度是逐渐增加的，旋转矢量在第二象限内，对 应质点的运动是由平衡位置向负最大位移运动，速度是逐渐减小的，所以只有06 π ?= 是符 合条件的。 4．某人欲测钟摆摆长，将钟摆摆锤上移1毫米，测得此钟每分快0。1秒，则此钟摆的摆长为（ B ） A:15cm B:30cm C:45cm D:60cm 解：单摆周期 ,2g l T π =两侧分别对T ，和l 求导，有： cm mm T dT dl l l dl T dT 3060) 1.0(21 21,21=-?-= =∴=
机械振动 课后习题和答案 第二章 习题和答案
精选范本 2.1 弹簧下悬挂一物体，弹簧静伸长为δ。设将物体向下拉，使弹簧有静伸长3δ，然后无初速度地释放，求此后的运动方程。 解：设物体质量为m ，弹簧刚度为k ，则： mg k δ= ，即：n ω== 取系统静平衡位置为原点0x =，系统运动方程为： δ ?+=? =??=?&&&00 020mx kx x x （参考教材P14） 解得：δω=()2cos n x t t
精选范本 2.2 弹簧不受力时长度为65cm ，下端挂上1kg 物体后弹簧长85cm 。设用手托住物体使弹簧回到原长后无初速度地释放，试求物体的运动方程、振幅、周期及弹簧力的最大值。 解：由题可知：弹簧的静伸长0.850.650.2()m =-=V 所以：7(/)n rad s ω= == 取系统的平衡位置为原点，得到： 系统的运动微分方程为：20n x x ω+=& & 其中，初始条件：(0)0.2 (0)0x x =-??=?& （参考教材P14） 所以系统的响应为：()0.2cos ()n x t t m ω=- 弹簧力为：()()cos ()k n mg F kx t x t t N ω== =-V 因此：振幅为0.2m 、周期为2()7 s π 、弹簧力最大值为1N 。
精选范本 2.3 重物1m 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静平衡位置，另一重物2m 从高度为h 处自由落到1m 上而无弹跳，如图所示，求其后的运动。 解：取系统的上下运动x 为坐标，向上为正，静平衡位置为原点0x =，则当m 有x 位移时，系统有： 2 121()2T E m m x =+& 212 U kx = 由()0T d E U +=可知：12()0m m x kx ++=&& 即：12/()n k m m ω=+ 系统的初始条件为：?=??=-?+?&202012 2m g x k m x gh m m （能量守恒得：2 21201()2 m gh m m x = +&） 因此系统的响应为：01()cos sin n n x t A t A t ωω=+ 其中:ω?==??==-?+? &200 2112 2n m g A x k x m g ghk A k m m
第四章机械振动
第二篇振动与波 振动和波动是物质的基本运动形式。 在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波 量子力学又叫波动力学。 第四章机械振动 教学时数：6学时 本章教学目标 了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。 教学方法：讲授法、讨论法等 教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程 机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。 广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间
作周期性的变化，因此都可以称为振动。 §4—1 简谐振动的动力学特征 简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。 定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化，即 x = A cos(ωt + φ0) 则这种振动称之为简谐振动。 研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。 一、弹簧振子模型 将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m 的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。 如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x 时，其受到的弹力作用为 F= - kx 式中k 为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子 偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。 如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其 222==-m k dt x d m kx ω
机械振动基础习题
机械振动分析与应用习题 第一部分问答题 1．一简谐振动，振幅为0.20cm，周期为0.15s，求最大速度和加速度。 2．一加速度计指示结构谐振在80HZ时具有最大加速度50g，求振动的振幅。 3．一简谐振动，频率为10Hz，最大速度为4.57m/s，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 4．阻尼对系统的自由振动有何影响？若仪器表头可等效为具有黏性阻尼的单自由度系统，欲使其在受扰动后尽快回零，最有效的办法是什么？ 5．什么是振动？研究振动的目的是什么？简述振动理论分析的一般过程。 6．何为隔振？一般分为哪几类？有何区别？试用力法写出系统的传递率，画出力传递率的曲线草图，分析其有何指导意义。 第二部分计算题 1．求图2-1所示两系统的等效刚度。 图2-1 图2-2 图2-3 2．如图2-2所示，均匀刚性杆质量为m，长度为l，距左端O为l0处有一支点，求O点等效质量。3．如图2-3所示系统，求轴1的等效转动惯量。 图2-4 图2-5 图2-6 图2-7 4．一个飞轮其内侧支承在刀刃上摆动，如图2-4所示。现测得振荡周期为1.2s，飞轮质量为35kg，求飞轮绕中心的转动惯量。(注：飞轮外径100mm，R＝150mm。) 5．质量为0.5kg的重物悬挂在细弹簧上，伸长为8mm，求系统的固有频率。 6．质量为m1的重物悬挂在刚度为k的弹簧上并处于静平衡位置；另一质量为m2的重物从高度为h处自由降落到m l上而无弹跳，如图2-5所示，求其后的运动。 7．一质量为m、转动惯量为J的圆柱体作自由纯滚动，但圆心有一弹簧k约束，如图2-6所示，求振动的固有频率。 8．一薄长条板被弯成半圆形，如图2-7所示，让它在平面上摇摆，求它的摇摆周期。
4第四章 机械振动
- 81 - 第二篇振动与波 振动和波动是物质的基本运动形式。 在力学中有机械振动和机械波 在电学中有电磁振荡和电磁波 声是一种机械波 光则是电磁波 量子力学又叫波动力学。 第四章 机械振动 教学时数：6学时 本章教学目标 了解简谐振动的动力学特征，掌握描述简谐振动的重要参量，理解简谐振动的运动学方程，知道弹簧振子的动能和势能随时间变化的规律；了解简谐振动的合成，掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程，了解同方向不同频率简谐振动的合成，了解阻尼振动、受迫振动、共振的含义。 教学方法：讲授法、讨论法等 教学重点：掌握同方向、同频率谐振动的合成方法，能够求相关问题的合振动方程 机械振动：物体在某固定位置附近的往复运动叫做机械振动，它是物体一种普遍的运动形式。例如活塞的往复运动、树叶在空气中的抖动、琴弦的振动、心脏的跳动等都是振动。 广义地说，任何一个物理量在某一量值附近随时间作周期性变化都可以叫做振动。例如交流电路中的电流、电压，振荡电路中的电场强度和磁场强度等均随时间
- 82 - 作周期性的变化，因此都可以称为振动。 §4—1 简谐振动的动力学特征 简谐振动是振动中最基本最简单的振动形式，任何一个复杂的振动都可以看成是若干个或是无限多个谐振动的合成。 定义：一个作往复运动的物体，如果其偏离平衡位置的位移z(或角位移口)随时间f 按余弦(或正弦)规律变化，即 x = A cos(ωt + φ0) 则这种振动称之为简谐振动。 研究表明，作简谐振动的物体(或系统)，尽管描述它们偏离平衡位置位移的物理量可以千差万别，但描述它们动力学特征的运动微分方程则完全相同。 一、弹簧振子模型 将轻弹簧(质量可忽略不计)一端固定，另一端与质量为m 的物体相连，若该系统在振动过程中，弹簧的形变较小(即形变弹簧作用于物体的力总是满足胡克定律)，那么，这样的弹簧——物体系统称为弹簧振子。 如图所示，将弹簧振子水平放置，使振子在水平光滑支撑面上振动。以弹簧处于自然状态(弹簧既未伸长也未压缩的状态)的稳定平衡位置为坐标原点，当振子偏离平衡位置的位移为x 时，其受到的弹力作用为 F= - kx 式中k 为弹簧的劲度系数，负号表示弹力的方向与振子的位移方向相反。即振子在运动过程中受到的力总是指向平衡位置，且力的大小与振子 偏离平衡位置的位移成正比，这种力就称之为线性回复力。 如果不计阻力(如振子与支撑面的摩擦力，在空气中运动时受到的介质阻力及其 2=-x d m kx
机械振动总结复习习题及解答
欢迎阅读 1、某测量低频振动用的测振仪（倒置摆）如下图所示。试根据能量原理推导系统静平衡稳定条件。若已知整个系统的转动惯量23010725.1m kg I ??=-，弹簧刚度m N k /5.24=，小球质量 kg m 0856.0=，直角折杆的一边cm l 4=。另一边cm b 5=。试求固有频率。 k b l θθ I 0m 解：弹性势能 2 )(2 1θb k U k =, 重力势能 )cos (θl l mg U g --= 总势能 m g l m g l kb U U U g k -+=+=θθcos 2 122 代入0==i x x dx dU 可得 可求得0=θ满足上式。 再根据公式02 2>=i x x dx U d 判别0=θ位置是否稳定及其条件： 即满足mgl kb >2条件时，振动系统方可在0=θ位置附近作微幅振动。 系统的动能为 22 10θ?=I T 代入0)(=+dt U T d 可得
由0=θ为稳定位置，则在微振动时0sin ≈θ，可得线性振动方程为： 固有频率 代入已知数据，可得 2、用能量法解此题：一个质量为均匀半圆柱体在水平面上做无滑动的往复滚动，如上图所示，设圆柱体半径为R ，重心在c 点,oc=r,，物体对重心的回转体半径为L ，试导出运动微分方程。 解：如图所示，在任意角度θ（t ）时，重心c 的升高量为 ?=r （1－cos θ）=2rsin 22θ 取重心c 的最低位置为势能零点，并进行线性化处理，则柱体势能为 V=mg ?=2mg r sin 22θ ≈ 21mgr 2θ （a ） I b =I c +m bc 2=m(L 2+bc 2) （b ） bc 2=r 2+R 2-2rRcos θ(t) （c ） 而柱体的动能为 T=21 I b ? θ2 把（b ）式，（c ）式两式代入，并线性化有 T=21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2 （d ） 根据能量守恒定理，有 21 m[L 2＋（R －r ）2]? θ2＋21mgr 2θ=E=const 对上式求导并化简，得运动微分方程为 [L 2＋（R －r ）2]? ?θ＋gr θ=0 （e ） 3、一质量为m 、转动惯量为I 的圆柱体作自由纯滚动，圆心受到一弹簧k 约束，如图所示，求系统的固有频率。 解：取圆柱体的转角θ为坐标，逆时针为正，静平衡位置时0θ=，则当m 有θ转角时，系统有： 由()0T d E U +=可知： 解得 22/()n kr I mr ω=+（rad/s ） 4、图中，半径为r 的圆柱在半径为R 的槽内作无滑滚动，试写出系统作微小振动时的微分方程 解 1）建立广义坐标。设槽圆心O 与圆柱轴线O 1的连线偏离平衡位置的转角为广义坐标，逆时针方向为正。
机械振动习题及答案
第一章 概述 1．一简谐振动，振幅为，周期为，求最大速度和加速度。 解： max max max 1 *2***2** *8.37/x w x f x A cm s T ππ==== .. 2222max max max 1 *(2**)*(2**)*350.56/x w x f x A cm s T ππ==== 2．一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最大加速度50g ，求振动的振幅。（g=10m/s2） 解：.. 22 max max max *(2**)*x w x f x π== .. 22max max /(2**)(50*10)/(2*3.14*80) 1.98x x f mm π=== 3．一简谐振动，频率为10Hz ，最大速度为s ，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 解： . max max /(2**) 4.57/(2*3.14*10)72.77x x f mm π=== 110.110 T s f = == .. 2max max max *2***2*3.14*10*4.57287.00/x w x f x m s π==== 4. 机械振动按激励输入类型分为哪几类按自由度分为哪几类 答：按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动 按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动
5. 什么是线性振动什么是非 线性振动其中哪种振动满足叠加原理 答：描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统，如00I mga θθ+= 描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+= 线性系统满足线性叠加原理 6. 请画出同一方向的两个运动：1()2sin(4)x t t π=，2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形 7.请画出互相垂直的两个运动： 1()2sin(4)x t t π=，2()2sin(4)x t t π=合成的结果。 如果是1()2sin(4/2)x t t ππ=+，2()2sin(4)x t t π=
机械振动习题集与答案解析
第一章 概述 1．一简谐振动，振幅为0.20cm ，周期为0.15s ，求最大速度和加速度。 解： max max max 1 *2***2** *8.37/x w x f x A cm s T ππ==== .. 2222max max max 1 *(2**)*(2**)*350.56/x w x f x A cm s T ππ==== 2．一加速度计指示结构谐振在80HZ 时具有最大加速度50g ，求振动的振幅。（g=10m/s2） 解：.. 22 max max max *(2**)*x w x f x π== .. 22max max /(2**)(50*10)/(2*3.14*80) 1.98x x f mm π=== 3．一简谐振动，频率为10Hz ，最大速度为4.57m/s ，求谐振动的振幅、周期、最大加速度。 解： . max max /(2**) 4.57/(2*3.14*10)72.77x x f mm π=== 11 0.110 T s f = == .. 2max max max *2***2*3.14*10*4.57287.00/x w x f x m s π==== 4. 机械振动按激励输入类型分为哪几类？按自由度分为哪几类？ 答：按激励输入类型分为自由振动、强迫振动、自激振动 按自由度分为单自由度系统、多自由度系统、连续系统振动 5. 什么是线性振动？什么是非 线性振动？其中哪种振动满足叠加原理？
答：描述系统的方程为线性微分方程的为线性振动系统，如00I mga θθ+= 描述系统的方程为非线性微分方程的为非线性振动系统0sin 0I mga θθ+= 线性系统满足线性叠加原理 6. 请画出同一方向的两个运动：1()2sin(4)x t t π=，2()4sin(4)x t t π=合成的的振动波形 7.请画出互相垂直的两个运动： 1()2sin(4)x t t π=，2()2sin(4)x t t π=合成的结果。 如果是1()2sin(4/2)x t t ππ=+，2()2sin(4)x t t π=
3机械振动练习与答案
第三次 机 械 振 动练习 班 级 ___________________ 姓 名 ___________________ 班内序号 ___________________ 一．选择题 1．一质点做简谐振动，如振动方程为： ) cos(?ω+=t A x ，周期为T ，则当 2/ T t =时，质点的速度为： [ ] A ．?ωsin A - B ．?ωsin A C ．?ωcos A - D ．?ωcos A 2．图示为一单摆装置，把小球从平衡位置 b ，拉开一小角度 0θ至 a 点， 在 0 =t 时刻松手让其摆动，摆动规律用余弦函数表示，则在 c a →的摆动中， 下列哪个说法是正确的？ [ ] A ．a 处动能最小，相位为0θ； B ．b 处动能最大，相位为2/π； C ．c 处动能为零，相位为0θ-； D ．c b a ..三处能量相同，相位依次减少。 3．如简谐振动在 0 =t 时， 0 ,0 <>v x ，则表示该简谐振动的旋转矢量图 应该是： [ ] 4．质点沿X 轴作简谐振动,振动方程为) 2( cos 104 2ππ+?=-t x (SI)，从0=t 时刻起，到质点位置为cm x 2-=处、且向 X 轴正方向运动的最短时间间隔为： A ．s /21 B ．s /41 C ．s /61 D ．s /81 [ ] 5．质点作简谐振动，运动速度与时间 )( 1-?s m v [ ] 的曲线如图所示，若质点的运动规律用余 v 弦函数描述，则其初相位是： v 5.0 A ．6/π B ．6/5π C ．6/π- D ．6/5π- )
二．填空题 1． 简谐振动的三个基本特征量为___________、___________ 和 ___________； 它们分别取决于 _______________ 、______________ 和 ______________ 。 2． 两个同频率、同方向简谐振动的合振动为__________________，合振动的 振幅取决于_____________________________________ ，两个相互垂直的同频率的 简谐振动，其合振动的运动轨迹一般为 ______________________ ，若两分振动的频率为简单整数比．．． ，则合成运动的轨迹为 _______________________ 。 3．一弹簧振子作简谐振动，振幅为A ，周期为T ，其运动方程用余弦函数表 示，若 0 =t 时； （1）振子在正的最大位移处，则初相位为_____________； （2）振子在平衡位置向负方向运动，则初相位为_____________； （3）振子在位移为 A 5.0 处，且向正方向运动，则初相位为_____________。 4． 物块悬挂在弹簧下方作简谐振动，如物块在受力平衡位置时，弹簧的长度 比原来长l ?，则系统的周期 =T _________；当这物块的位移等于振幅的一半时， 其动能是总能量的__________（以物块的受力平衡位置为各种势能的零势能点）。 5． 一质量为 m 的物体，上端与两根倔强系数分别为 1k 和 2k 的轻弹簧相连， 如下图所示，则当物体被拉离平衡位置而释放时，物体将作简谐振动，其圆频率 =ω_______________ 、周期 =T _______________ 。 6． 设作简谐振动物体的 ~t x 曲线如图所示，则其初相位=0 ?__________ ； 位移的绝对值达最大值的时刻为： t =_________________ ；速度为最大值的时刻 为： t =________________ ；弹性势能为最大值的时刻为： t =_______________ ； 动能为最大值的时刻为： t =_________________。 第5题图 第6题图