2019-2020年高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修

2019-2020年高三数学 1.5正态分布(第一课时)大纲人教版选修

课时安排

2课时

从容说课

正态分布是很抽象的概念,如何使学生从抽象转化到具体、直观中的问题里来,是我们教学的一个重点和难点.要借助具体实例及多媒体课件演示,有条件的让学生也上机进行实习,通过实验了解一些概念的形成过程.具体的方法是：利用直方图来引进正态曲线与正态分布.具体的步骤如下：①先作出二项分布B(n,0.5)的直方图(n=10).对n进行变化;②如果用一条平滑的曲线把每个长方形的中点联结起来,就能得到一条钟形曲线(演示图形的形成过程),称为正态曲线;③给出其函数解析式为x∈R,其中μ=np,σ=npq,e≈2.71828.对于正态曲线,如果规定,试验的观察值x落在区间(a,b)内的概率P(a＜x＜b)就是由这条曲线、x轴、直线x=a及x=b 所围成的图形的面积,那么称这种概率分布为正态分布.一个平均数为μ,标准差为b的正态分布可以用公式将它变换成平均数为0,标准差为1的正态分布.平均数为0,标准差为1的正态分布称为标准正态分布(利用投影或多媒体,将其图象描绘出来),公式为,其中.一般的正态分布问题,能转化成标准正态分布问题来处理,即将正态分布中观察值x的概率P(a＜x＜b)表示成标准正态分布中的P(z1≤z≤z2),其中,.在教学中应多用多媒体进行教学,增强动态感觉.

第九课时

课题

正态分布(一)

教学目标

一、教学知识点

1.深刻理解并掌握正态分布和正态曲线的概念、意义及性质.

2.理解和掌握标准正态总体、标准正态曲线的概念、意义及性质.

二、能力训练要求

1.能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律.

2.会画有关正态分布的正态曲线和标准正态曲线.

3.会用函数的概念、性质解决有关正态分布的问题.

三、德育渗透目标

1.培养学生数形结合、函数与方程、分类讨论、等价转化等数学思想方法.

2.培养学生辩证唯物主义的观点(运动观、静止观).

3.培养学生的动手操作能力和概括归纳能力,让学生真正地学会学习,也就是让学生主动建构式地学习,真正掌握学习方法.

教学重点

正态分布的意义、正态分布的主要性质是本节课的教学重点.通过具体实例,结合研究函数的方法来研究正态分布的意义和性质.正态分布之所以成为概率统计中最重要的一种分布的原因有两方面：一方面,正态分布是自然界最常见的一种分布,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布；另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布可以用正态分布来近似描述,另外一些分布又可以通过正态分布来推导.

教学难点

正态分布的意义及性质、标准正态总体、标准正态曲线的概念教学是难点,正态分布的性质的抽象与概括是难点,要利用函数的观点、函数与方程的思想方法研究正态曲线的五条性质.

教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.在学生已经掌握总体密度曲线、累积分布曲线的基础上,让学生通过函数观点主动建构出正态分布、正态曲线、标准正态曲线.利用函数的性质(定义域、值域、对称轴、奇偶性、单调性等等).

教具准备

实物投影仪(或幻灯机、幻灯片).

幻灯片记作A

例1.设ξ~N(0,1)借助于标准正态分布的函数表计算：

(1)P(ξ>1.24);(2)P(ξ<-1.24);

(3)P(|ξ|<1).

幻灯片记作B

例2.某城市从南郊某地乘公共汽车前往北区火车站有两条路线,可是,第一条路线穿过市区,路线较短,但交通拥挤,所需时间(单位：mi n)服从正态分布N(50,102)；第二条路线沿环城公路走,路程较长,但交通阻塞较少,所需时间服从正态分布N(60,42).

(1)若只有70 mi n可用,问应走哪条路线？

(2)若只有65 mi n可用,又应走哪条路线？

幻灯片记作C

例3.某市210名高中学生参加全国高中数学联赛预赛,随机调阅了60名学生的答卷,成绩列下表：

(1)

(2)若总体服从正态分布,求正态曲线的近似方程;

(3)若规定,预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛,试估计有多少个学生可以进入复赛?

教学过程

Ⅰ.课题导入

在上节课,我们作出了100个产品尺寸的频率分布直方图,并指出了当样本容量无限增大时,这个频率分布直方图无限接近于如图1－11所示的一条总体密度曲线.

图1－11

产品尺寸是一类典型的总体,对于成批生产的产品,如果生产条件正常并稳定,即工艺、设备、技术、操作、原料、环境等条件都相对稳定,而且不存在生产系统误差的明显因素,那么,产品尺寸的总体密度曲线就可以用一个函数y=f(x)图象来拟合.这个函数的图象叫做正态曲线.这节课我们将来学习正态分布(一).(板书课题)

Ⅱ．讲授新课

［师］总体密度曲线可以用一个函数y=f(x)的图象来拟合,我们选用什么样的函数呢？换

句话讲,由这个曲线,我们可以想到哪类函数图象与它相近似？

［生甲］可以用二次函数y=a(x-m)2+n(a<0)的图象来拟合.

［师］这个二次函数定义域和值域如何确定呢？

［生甲］定义域为{x|x>0},值域为{y|y>0}.

［师］你规定的定义域和值域是否符合函数组成的三要素呢？

［生乙］他的这种规定是无道理的,也是不符合构成函数的三要素的.我认为可以用二次函数与指数函数复合以后的函数图象来拟合,即f(x)=a p(x-m)2+n,这样就符合题设的条件.由图形和实际可以知道,函数的值域是正实数组成的.函数图象也是一对称曲线,关于直线x=x0对称,所以联想到二次函数y=p(x-m)2+q和指数函数y=a x进行复合以后再拟合.

［师］太好了！太好了！(这时教室里报以热烈的掌声和赞叹声,同学们都投以敬佩的目光,这位同学在大家的目光中,显得十分自豪但又很谦逊)

［生乙］感谢生甲的提醒和老师的帮助,更要感谢同学们的鼓励,我的设想是与广大同学们的合作研究分不开的.

(建构主义观点的教学模式所倡导的就是要广大同学有合作精神、参与意识,要求每一位同学都要有智力参与,这也正是数学新课程标准所要求的：数学文化和人文精神) ［师］学生甲和乙给出了我们一条曲线的拟合函数的大致设想,经过研究和计算我们得到：总体密度曲线就是或近似地是函数,x∈(-∞,+∞)的图象,式中的实数μ、σ(σ>0)是参数,分别表示总体的平均数和标准差(总体标准差是衡量总体波动大小的特征数,常用样本标准差去估计).这个总体是有无限容量的抽象总体,其分布叫做正态分布.正态分布由参数μ、σ唯一确定.因此,正态分布常记作N(μ,σ2).

函数,x∈(-∞,+∞)的图象被称为正态曲线.

［师］找三位同学分别画出下列正态曲线：

(1)μ=-1,σ=0.5;

(2)μ=0,σ=1;

(3)μ=1,σ=2.

［生］三位学生画的图如图1－12所示：

图1－12

［师］从正态曲线上看,你们直观上可以得出正态曲线具有什么特征？

［生］正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征.

［师］在实际中遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布.

例如：生产中,在对正常生产条件下各种产品的质量指标(如电子管的使用寿命、电容器的电容量、零件的尺寸、铁水的含碳量、纤维的纤度……)测量的误差；炮弹落点的分布；人的生理特征的尺寸：身高、体重等；农作物的收获量；工厂产品的尺寸：直径、长度、宽度、高度……都近似服从正态分布.

一般说来,若影响某一数量指标的随机因素很多,而每个因素所起的作用都不太大,则这个指标服从正态分布.

［师］在测量中,测量结果一般可以表示为ξ=a+η,其中a表示测量的量的真值(未知常数),η表示测量的随机误差,ξ和η一般都服从正态分布.你们能再举一些实例吗？

［生］在生物学中,同一群体的某种特征(如某一地区同年龄组青少年特征,如身高、体重、

肺活量、胸围等),在一定条件下生产的小麦的株高、穗长、单位面积产量等,一般也服从正态分布.在气象中,某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等,水文中的水位,也都服从或近似服从正态分布.

［师］由此看来：正态分布广泛存在于自然现象、生产及科学技术的许多领域中,正态分布在概率和统计中占有重要地位.

对于μ=0,σ=1时,正态总体称为标准正态总体,这时相应的函数表示式是：,x∈(-∞,+∞),相应的曲线称为标准正态曲线,如上图(2)所示.

［师］从上述三张图中,你们能总结出正态曲线具有哪些性质？

［生1］函数的定义域为一切实数,值域为正的实数集的子集,对应的曲线在x轴的上方,与x轴不相交.这是因为：由函数的性质有e u>0,∴,

∴.故曲线与x轴不相交,在x轴上方.

［生2］曲线关于直线x=μ对称：

证明如下(口述证明过程)：在曲线y=f(x)上任取一点A(x0,y0),关于直线x=μ的对称点为A′(x′,y′),∴y′=y0且x′=2μ-x0.∴x0=2μ-x′,y0=y′.又∵A在曲线上,∴.由反代法知即, ∴有.也就是点A′在曲线上,由A点的任意性.∴曲线y=f(x)关于直线x=μ对称.

［生3］函数有最大值,因为当x=μ时,有最大值0,所以y=f(x)有最大值,也就是曲线在x=μ时位于最高点.

［生4］函数在x∈(-∞,μ］上单调递增；在［μ,+∞)上单调递减.这是因为：由指数函数y=e v是单调递增函数,在x∈(-∞,μ］上是增函数,在x∈［μ,+∞)上是单调递减函数,由复合函数单调性可知,“同性增、异性减”,所以f(x)在x∈(-∞,μ］上是增函数,在x∈［上是减函数.故当x<μ时,曲线上升；当x>μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.

［师］刚才四位同学不仅总结出性质,而且给予了详细的证明,现将性质总结如下：

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交;

(2)曲线关于直线x=μ对称;

(3)曲线在x=μ时位于最高点;

(4)当x<μ时,曲线上升；当x>μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.

现将上面的三幅图对称轴重叠在一起即x=0时,如图1－13所示,你们能总结出什么性质？

图1－13

［生5］当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散；σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

［师］以上就是我们总结的正态曲线五条性质.由于标准正态总体N(0,1),在正态总体的研究中有非常重要的地位,为了便于应用,已专门制作了“标准正态分布表”.在这个表中,相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率,即Φ(x0)=P(x

图1－14

由于标准正态曲线关于y轴对称,表中给出了x0≥0时的函数值Φ(x0).

如果x0<0时,Φ(x0)的值又如何求呢？

［生］由对称性知图(2)中两个阴影部分的面积是相等的,Φ(x0)=1-Φ(-x0).这一点也可以从对立事件角度来解释.

［师］利用这个表,可求出标准正态总体在任一区间(x1,x2)内取值的概率P=Φ(x2)-Φ(x1).请同学们求出它在(-1,2)内取值的概率.

［生］所求概率为P=Φ(2)-Φ(-1)=Φ(2)-{1-Φ［-(-1)］}=Φ(2)+Φ(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185.

［师］一般的正态总体N(μ,σ2)均可以化成标准正态总体N(0,1)来进行研究.事实上,可以证明：对于任一正态总体N(μ,σ2)来说,取值小于x的概率.事实上,标准正态总体,对应的函数表达式为,将x变化为即可.例如对于正态总体N(1,4)来说,取值小于3的概率P是什么？

［生］P=F(3)=Φ()=Φ(1).查表知Φ(1)=0.8413.

精典例题

［师］(打出幻灯片§ 1.5.1 A)

［生］(1)P(ξ>1.24)=1-P(ξ≤1.24)

=1-P(ξ<1.24)

=1-Φ(1.24)

=1-0.8925

=0.1075.

(2)P(ξ<-1.24)=P(ξ>1.24)

=1-Φ(1.24)

=0.1075.

(3)P(|ξ|<1)=P(-1<ξ<1)

=Φ(1)-Φ(-1)

=Φ(1)-［1-Φ(1)］

=2Φ(1)-1

=2×0.8431-1

=0.6826.

［师生共析］①若ξ~N(0,1),则ξ的概率密度函数关于y轴对称,

∴P(ξ≤-x0)=P(ξ≥x0).

②若ξ~N(0,1),Φ(x)=P(ξ

则P(|ξ|≤x)=P(-x≤ξ≤x)=2Φ(x)-1,

P(a<ξ≤b)=Φ(b)-Φ(a).

［师］(打出幻灯片B)

［生析］最佳路线是在允许的时间内有较大概率及时赶到火车站的那条路线.

［生］解：设ξ为行车时间.

(1)走第一条路线,及时赶到的概率为

P(0<ξ≤70)=Φ()-Φ()

≈Φ()=Φ(2)=0.9772,

走第二条路线及时赶到的概率为

P(0<ξ≤70)≈Φ()

=Φ(2.5)

=0.9938,

因此在这种情况下应走第二条路线.

(2)走第一条路线及时赶到的概率为

P(0<ξ≤65)≈Φ()

=Φ(1.5)=0.9332,

走第二条路线及时赶到的概率为

P(0<ξ≤65)≈Φ()

=Φ(1.25)=0.8944,

因此在这种情况下应走第一条路线.

［师］(打出幻灯片C)

［生］解：(1)=(4×6+5×15+6×21+7×12+8×3+9×3)=6.

s2=［6(4-6)2+15(5-6)2+21(6-6)2+12(7-6)2+3(8-6)2+3(9-6)2］=1.5.

∴s≈1.22.

答：样本的数学平均成绩为6分,标准差为1.22.

(2)以x=6,s≈1.22作为总体数学平均成绩和标准差的估计值,即μ=6,σ≈1.22,则总体服从正态分布N(6,1.222).

正态曲线的近似方程为

.

(3)F(7)=Φ()≈Φ(0.8)≈0.7881.

1-F(7)≈1-0.7881=0.2119.

210×0.2119=45.

根据规定,大约有45名学生可以参加复赛.

Ⅲ.课堂练习

(一)课本P35练习题1、2.

(二)补充练习

1.(xx年长沙市重点中学模拟题)若随机变量ξ~N(3,1)(服从正态分布),则P(-1<ξ≤1)等于()

A.2Φ(1)-1

B.Φ(4)-Φ(2)

C.Φ(-4)-Φ(-2)

D.Φ(2)-Φ(4)

解析：P(-1<ξ≤1)=F(1)-F(-1),

又∵F(1)=Φ()=Φ(-2)=1-Φ(2),

F(-1)=Φ()=Φ(-4)=1-Φ(4).

代入得P(-1<ξ≤1)=Φ(4)-Φ(2).

故选B.

答案：B

2.设随机变量ξ服从正态N(0,1)分布,记Φ(x)=P(ξ0,则下列结论错误的是()

A.Φ(0)=0.5

B.Φ(x)=1-Φ(-x)

C.P(|ξ|>a)=1-Φ(a)

D.P(ξ=0)=0

解析：P(|ξ|>a)=P(ξ>a)+P(ξ<-a)

=［1-P(ξ

=2-2Φ(a).

∴C是错误的,应选C.

答案：C

Ⅳ.课时小结

本节课我们学习了正态分布、正态曲线、标准正态总体、标准正态曲线等基本概念,以及函数关系式及曲线的性质.(请同学们总结概括)

［师］从这节课中,我们用到或学到哪些数学思想方法？

［生］我们学到了函数与方程、数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想,还学到了配方法、对称法、直觉类比法、猜想法、由特殊到一般等数学基本方法.(学生总结,教师板书) Ⅴ．课后作业

课本P35习题1.51、2、3.

板书设计

正态分布(一)

一、正态分布的定义：

二、正态曲线定义：

三、标准正态总体：N(0,1)

四、标准正态曲线

五、正态曲线性质

1.曲线在x轴的上方,与x轴不相交.

2.曲线关于直线x=μ对称.

3.曲线在x=μ时位于最高点.

4.当x<μ时,曲线上升,当x>μ时,曲线下降.

5.当μ一定时,曲线的形状由σ确定.

六、标准正态N(0,1)表,相应于x0的值Φ(x0)是指总体取值小于x0的概率x0)=P(x

在(x1,x2)内取值的概率为P=Φ(x2)-Φ(x1).

例题1.

2(交通路线问题)

3(成绩统计问题)

小结：数学思想：数学方法：

2019-2020年高三数学 1.5正态分布(第二课时)大纲人教版选修

课题

正态分布(二)

教学目标

一、教学知识点

1.进一步加深理解并真正掌握正态分布N(μ,σ2)和正态曲线对应函数式的意义和性质(五条).

2.理解和掌握标准正态总体N(0,1)的意义和特征.

3.掌握正态总体N(μ,σ2)中,取值小于x的概率F(x)=Φ()及在任一区间(x1,x2)内取值的概率P=F(x2)-F(x1)=Φ()-Φ().

4.介绍统计中常用的假设检验方法的基本思想和小概率事件,生产过程的质量控制图.

二、能力训练要求

1.能用正态分布、正态曲线求有关事件的概率问题,特别会求一般正态总体N(μ,σ2),取值小于x的概率P=F(x)=Φ()及在任一区间(a,b)内取值的概率P=F(b)-F(a)=Φ()-Φ().

2.能用函数的观点(变化观、运动观)求解有关实际问题.

3.能用假设检验方法的基本思想和小概率事件解决生产实践的问题.

三、德育渗透目标

1.培养学生动静结合、数形结合、分与合的数学思想方法和辩证唯物主义观点.

2.培养学生的实际动手操作能力,分析问题与解决问题的能力.

3.培养学生“学生活的知识、学生存的技能、学生命的意义”的新学生观,培养学生严谨求是求实的优良作风.

教学重点

正态分布N(μ,σ2),正态曲线.标准正态总体N(0,1)仍然是教学的重点内容,在此基础上引出“小概率事件”和假设检验的基本思想,小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的原理.

教学难点

小概率事件几乎不可能发生的原理和假设检验的基本思想是这节课的教学难点.在概率的意义上所作的推理与过去确定性数学中的“若a则b”式的推理有所不同的理解和运用.

教学方法

建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学思想.在学生已经初步理解正态分布N(μ,σ2),正态曲线及标准正态总体N(0,1)和初步会用的基础上,以正态总体为例,引入“小概率事件”和假设检验的基本思想.让学生学会学习,让他们在问题解决的过程中概括出基本概念和基本思想,让学生体验成功的愉悦,增强学生积极主动学习的意识.

教具准备

实物投影仪(或幻灯机)、幻灯片等.

第一张：幻灯片(记作A)

正态曲线的性质：

图1－15

(1)曲线在x轴的上方,与x轴不相交.

(2)曲线关于直线x=μ对称.

(3)曲线在x=μ时位于最高点.

(4)当x<μ时,曲线上升；当x>μ时,曲线下降,并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以x 轴为渐近线,向它无限靠近.

(5)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散；σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中.

第二张：幻灯片(记作B)

例 1.公共汽车门的高度是按照保证成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下设计的.

如果某地成年男子的身高η~N(175,36)(单位：c m),则车门应设计为_________高.

第三张：幻灯片(记作C)

例2.某接待站在某一周曾接待过12次来访,已知所有这12次接待都是在周二和周四进行的,问是否可以推断接待时间是有规定的？请你说明理由.

教学过程

Ⅰ.课题导入

同学们,上节课我们学习了正态分布2、正态曲线,x∈(-∞,+∞)、标准正态总体N(0,1)和标准正态曲线,x∈(-进一步研究了正态曲线的性质,请同学们回顾有哪五条？

［生］(稍等片刻)(回答全对、板书略)

［师］(打出幻灯片A)请同学再看看银幕上的内容.接下来,我们再来回顾如何求出标准总体N(0,1)在任一区间(x1,x2)内取值的概率.

［生］P=Φ(x2)-Φ(x1),它就是标准总体在任一区间(x1,x2)内取值的概率.

［师］对任一正态总体N(μ,σ2)来说,取值小于x0的概率是什么？在任一区间(a,b)内取值的概率又如何求呢？

［生］取值小于x0的概率是P=F(x0)=Φ()；在任一区间(a,b)内取值的概率P=F(b)-F(a)=Φ()-Φ().

Ⅱ．讲授新课

［师］上节课我们也学习了用这些公式解题.现在来看一道应用题(教师打出第二张幻灯片B),请同学读题后再分析,说出求解的策略.

［生甲］(读完题后)本题为正态总体N(175,36)下的概率问题逆向运用,即已知概率,求车门的高度,我们可以利用待定系数法设出车门的高为x,利用η≥x时的概率是小于1%的,建立不等式P(η≥x)<1%,求解出x的最小值.

［生乙］解：设公共汽车门高设计为x,由题意P(η≥x)小于1%,

∵η~N(175,36),∴P(η≥x)=1-P(η0.99.查表得>2.33,即x>188.98.故公共汽车门的高度至少应设计为189 c m.

［师］这两位同学完成的都很好.要会灵活运用知识解决我们日常生活中的实际问题.在日常生活和科学技术生产实践中,经常遇到一些事件发生的概率很小很小,如该题成年男子与车门顶部碰头的概率在1%以下.像这样的概率,我们就把它定义为“小概率事件”,那么什么叫小概率事件呢？

［生］一个事件发生的概率很小很小,可以忽略不计,就叫做小概率事件.

［师］怎么样来描述很小很小呢？能否量化呢？

［生］概率小于1%,…,不对,可能还小.

［师］可以这样认为,一般情况是：“小概率事件”通常指发生的概率小于5%的事件.因为对于这类事件来说,在大量重复试验中,平均每试验20次,才能发生1次,所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.

下面我们再来看一个问题(教师打出幻灯片C)

［生］(读题并分析)该题是一道探索型问题,解决这类问题,我们可以先假设存在,然后在假设的条件下进行推理,看与事实是否相符,再来下结论.

［生］(板演)解：假设接待站的接待时间没有规定,而各来访者在一周内的任一天中去接待站是等可能的,那么12次接待来访者都在周二、周四的概率为,即千万分之三.根据“小概率事件”在一次试验中几乎不可能发生的思想,可知假设不成立,即可以推断接待时间是有规定的.

［师］由这道实际问题可以看出：“小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理”

可帮助我们进行统计假设推断.这种思想方法就是统计中常用的假设检验方法的基本思想

再看一道例题(课本P32例1),分别求正态总体N(μ,σ2)在区间(1)(μ-σ,μ+σ),(2)(μ-2σ,μ+2σ),(3)(μ-3σ,μ+3σ)内的取值的概率.(请三位同学板演)

［生］解：(1)F(μ+σ)=Φ［］=Φ(1);F(μ-σ)=Φ［］=Φ(-1),

∴正态总体N(μ,σ2)在(μ-σ,μ+σ)内取值的概率是P1=F(μ+σ)-F(μ-σ)=Φ(1)-Φ(-1)=Φ(1)-［1-Φ(1)］=2Φ(1)-1=2×0.8413-1≈0.683.

(2)F(μ+2σ)=Φ［］=Φ(2),F(μ-2σ)=Φ［］=Φ(-2)=1-Φ(2).

∴正态总体N(μ,σ2)在(μ-2σ,μ+2σ)内取值的概率为P2=F(μ+2σ)-F(μ-2σ)=Φ(2)-［1-Φ(2)］=2Φ(2)-1=2×0.9772-1≈0.954.

(3)F(μ+3σ)=Φ［］

=Φ(3),F(μ-3σ)=Φ［］

=Φ(-3)=1-Φ(3).

∴正态总体N(μ,σ2)在(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率是

P3=F(μ+3σ)-F(μ-3σ)

=Φ(3)-［1-Φ(3)］=2Φ(3)-1

=2×0.9987-1≈0.997.

［师］同学们,这三位同学的计算正确吗？

［生］(齐声回答)完全正确.

图1－16

图1－17

图1－18

我们从上表和图示中可以看到：正态总体在(μ-2σ,μ+2σ)、(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率分别是多少？这些事件是否可能发生？

［生］在(μ-2σ,μ+2σ)以外取值的概率只有4.6%,在(μ-3σ,μ+3σ)以外取值的概率只有0.3%,由于这些概率值很小,通常称这些情况发生为小概率事件.也就是说,通常认为这些情况在一次试验中几乎是不可能发生的.

［师］我们再利用“小概率在一次试验中几乎不可能发生”的思想解决生产实践中的问题：假设2人制造的零件尺寸在正常情况下服从正态分布N(μ,σ2).从上面知道,零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以内取值的概率为99.7%,即零件尺寸落在(μ-3σ,μ+3σ)以外的概率只有0.3%,这是一个小概率事件.它表明在大量重复试验中,平均每抽取1000个零件,属于这个范围以外的零件尺寸只有3个.因此在一次试验中,零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)以外是几乎不可能发生的,而如果这种事件一旦发生,即产品尺寸a满足|a-μ|≥3σ,我们就有理由认为这时制造的产品尺寸服从正态分布N(μ,σ2)的假设是不成立的,它说明生产中可能出现了异常情况,比如可能原料、刀具、机器出了问题,或可能工艺规程不完善,或可能工人操作时精力不集中、未遵守操作规程等,需要停机检查,找出原因,以将生产过程重新控制在一种正常状态,从而及时避免继续生产废、次品,保证产品的质量.上面控制生产过程的方法,运用了统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原理和从总体中抽测的个体的数值,对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设,还是接受假设.

目前在生产中广泛运用的控制图,就是根据上述假设检验的基本思想制作的.把图甲按顺时针方向旋转90°就得到一张控制图乙.图甲中的直线x=μ,x=μ-3σ,x=μ+3σ分别成为图乙中的中心线、控制下界和控制上界.

图1－19

在生产过程中,从某一时刻起(例如从上午9时起),每隔一定时间(例如1 h)任取1个零件进行检查,并把尺寸用小圆点在图上表示出来,为了便于看出小圆点变动趋势,常用折线将它们连接起来.从图乙中看到,前3个圆点都在控制界限之内,可认为生产情况正常,但第4个点超出了控制上界,可认为有异常情况发生,应该立即停机检查.

［师］进行假设检验一般可分为哪几步呢？

［生］第一步：提出统计假设,其具体问题里的统计假设是这个工人制造的零件尺寸服从正态分布N(μ,σ2);

第二步：确定一次试验中的取值a是否落入范围(μ-3σ,μ+3σ);

第三步：作出推断：如果a∈(μ-3σ,μ+3σ),接受统计假设；如果a(μ-3σ,μ+3σ),由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.

［师］上面这种拒绝统计假设的推理,与我们学过的反证法有其类似之处.事实上,用反证法证明一个问题时,先否定待证命题的结论——这本身可看成一个新的命题,当从它出发进行推理时,如果出现了矛盾,就把这个矛盾归因于前述命题的不正确,否定了这个新命题,也就等于证明了原命题的结论.

Ⅲ.课堂练习

1.某学校高考数学成绩近似地服从正态分布N(100,102),则该校高考数学成绩在90分至130分的考生占总人数的百分比为_________.(已知Φ(3)=0.9987,Φ(1)=0.8413)

解析：F(130)-F(90)=Φ()-Φ()=Φ(3)-Φ(-1)=Φ(3)-［1-Φ(1)］=Φ(3)+Φ(1)-1=0.84=84%. 答案：84%

2.正态总体N(0,σ2)在区间(-1.5σ,1.5σ)内取值的概率为( ) (参考数据：Φ(0)=0.5,Φ(0.5)=0.6915,Φ(1)=0.8413,Φ(1.5)=0.9332) A.0.6915 B.0.9332 C.0.8664 D.0.6823 解析：P (-1.5σ<ξ<1.5σ) =P (ξ<1.5σ)-P (ξ<-1.5σ) =Φ()-Φ()

=Φ(1.5)-Φ(-1.5) =2Φ(1.5)-1=0.8664. 答案：C Ⅳ.课时小结

本节课主要学习了正态分布N(μ,σ2)、正态曲线、小概率事件和假设检验的基本思想、小概率事件几乎不可能发生的原理.

Ⅴ．课后作业

1.设随机变量η~N(μ,σ2),而且已知P (η<0.5)=0.0793,P (η>1.5)=0.7611,求μ及σ. 解：由题意,η~N(μ,σ2), ∴P (η<0.5)=Φ()=0.0793, 即1-Φ()=0.0793. ∴Φ()=0.9207.查表得 =1.41.

同理,由P (η>1.5)=0.7611,得 =0.71.

解方程组???????--,71.05.1,41.15

.0＝＝σ

μσ

μ得

2.一台机床生产一种尺寸为10 mm 的零件.现从中抽测10个,它们的尺寸分别如下(单位：

mm):10.2,10.1,10,9.8,9.9,10.3,9.7,10,9.9,10.1.如果机床生产零件的尺寸η服从正态分布,求该正态分布的概率密度函数.

解：依题意,可得,即E η=μ=10.

∴s *2=［(10.2-10)2+(10.1-10)2+(10-10)2+(9.8-10)2+(9.9-10)2+(10.3-10)2+(9.7-10)2+(10-10) 2

+(9.9-10)2+(10.1-10)2］=×0.3=0.03.

∴D η=σ2=S *2=0.03, ∴,

∴η的概率密度函数为)(3)10(50610

)(2

∞<<-∞--?=

x x e x f π

.

板书设计

正态分布(二)

一、1.正态分布N(μ,σ2). 2.正态曲线.

二、正态总体N(μ,σ2)取值小于x 0的概率P =F(x 0)=Φ(). 在区间(a ,b )内取值的概率P =F(b )-F(a ). 三、小概率事件的定义. 四、假设检验基本原理.

五、生产过程中的质量控制图. 例1.(汽车门的高度设计问题) 例2.(信访接待站信访问题)

例3.(课本例题1)分别求正态分布总体N(μ,σ2)在区间(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)内取值的概率.

解题过程及分布图.