人教版高中数学高考总复习等差数列习题及详解及参考答案

高中数学高考总复习等差数列习题

(附参考答案)

一、选择题

1．(2010·宁夏)一个等差数列的前4项是a ，x ，b,2x ，则a

b 等于( )

A.1

4 B.1

2 C.1

3

D.23

[答案] C

[解析] ?????

2x ＝a ＋b 2b ＝x ＋2x

，∴a ＝x 2，b ＝3

2x .

∴a b ＝13

. 2．(文)(2010·茂名市模考)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1

n (n ＋1)，则S 4等于( )

A.45

B.15

C.1

20

D.56

[答案] A

[解析] ∵a n ＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1，

∴S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4

＝????1－12＋????12－13＋????13－14＋????14－15＝4

5

，故选A. (理)已知等差列{a n }共有2008项，所有项的和为2010，所有偶数项的和为2，则a 1004＝( ) A ．1 B ．2 C.1

502

D.1256

[答案] B

[解析] 依题意得2008(a 1＋a 2008)

2

＝2010，

a 1＋a 2008＝1005502，1004(a 2＋a 2008)2＝2，a 2＋a 2008＝1

251，

故a 2－a 1＝－1003

502＝d (d 为公差)，

又a 2＋a 2008＝2a 1005，

∴a 1005＝1502，a 1004＝a 1005－d ＝1502＋1003

502

＝2.

3．(文)(2010·山东日照模拟)已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )

A ．12

B ．8

C ．6

D ．4

[答案] B

[解析] 由等差数列性质知，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10)＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32， ∴a 8＝8. ∴m ＝8.故选B.

(理)(2010·温州中学)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．63 B ．45 C ．43

D ．27

[答案] B

[解析] 由等差数列的性质知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，∴2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)，∴a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2(S 6－S 3)－S 3＝45.

4．(2010·浙江省金华十校)等差数列{a n }中，S n 是{a n }前n 项和，已知S 6＝2，S 9＝5，则S 15＝( ) A ．15 B ．30 C ．45

D ．60

[答案] A

[解析] 解法1：由等差数列的求和公式及?????

S 6＝2

S 9

＝5知，

???

6a 1＋6×52

d ＝2

9a 1

＋9×82d ＝5

，∴???

a 1＝－

127

d ＝4

27

，

∴S 15＝15a 1＋15×14

2

d ＝15.

解法2：由等差数列性质知，{S n n }成等差数列，设其公差为D ，则S 99－S 66＝3D ＝59－26＝2

9，∴D

＝2

27

， ∴S 1515＝S 99＋6D ＝59＋6×2

27

＝1，∴S 15＝15. 5．(文)(2010·福建福州一中)设数列{a n }的通项公式为a n ＝20－4n ，前n 项和为S n ，则S n 中最大的是( )

A ．S 3

B ．S 4或S 5

C ．S 5

D ．S 6

[答案] B

[解析] 由a n ＝20－4n ≥0得n ≤5，故当n >5时，a n <0，所以S 4或S 5最大，选B.

(理)(2010·山师大附中)已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )

A ．21

B ．20

C ．19

D ．18

[答案] B

[解析] ∵3d ＝(a 2＋a 4＋a 6)－(a 1＋a 3＋a 5)＝99－105＝－6，∴d ＝－2，由a 1＋a 3＋a 5＝105得3a 1＋6d ＝105，∴a 1＝39，∴a n ＝39－2(n －1)＝41－2n ，

由a n ≥0，n ∈N 得，n ≤20，∴a 20>0，a 21<0，故选B.

6．(文)(2010·辽宁锦州)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 72＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝( )

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16

[答案] D

[解析] ∵2a 3－a 72＋2a 11＝0，{a n }为等差数列， ∴a 72＝2(a 3＋a 11)＝4a 7，

∵{b n }为等比数列，b 7＝a 7，∴a 7≠0，∴a 7＝4， ∴b 7＝4，∴b 6b 8＝b 72＝16.

(理)(2010·重庆市)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3、S 9、S 6成等差数列，则( ) A ．S 6＝－1

2S 3

B ．S 6＝－2S 3

C ．S 6＝1

2S 3

D ．S 6＝2S 3

[答案] C

[解析] ∵S 3、S 9、S 6成等差数列，∴2S 9＝S 3＋S 6， ∵S n 是等比数列{a n }前n 项的和，∴2q 9＝q 3＋q 6，

∵q ≠0，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝1或－1

2，q 3＝1时，S 3、S 9、S 6不成等差数列，应舍去，∴q 3＝

－12，∴S 6＝(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3)q 3＝S 3(1＋q 3)＝12

S 3. 7．(2010·重庆中学)数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝7，当n ≥1时，a n ＋2等于a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2010＝( )

A ．1

B ．3

C ．7

D ．9

[答案] D

[解析] 由条件知，a 1＝3，a 2＝7，a 3＝1，a 4＝7，a 5＝7，a 6＝9，a 7＝3，……可见{a n }是周期

为6的周期数列，故a 2010＝a 6＝9.

8．(2010·广东五校、启东模拟)在等差数列{a n }中，a 1＝－2010，其前n 项的和为S n .若S 20092009－S 2007

2007

＝2，则S 2010＝( )

A ．－2010

B ．－2008

C ．2009

D ．2010

[答案] A

[解析] ∵S 20092009－S 20072007

＝2，

∴(a 1＋1004d )－(a 1＋1003d )＝2，∴d ＝2， ∴S 2010＝2010a 1＋2010×2009

2d ＝－2010.

9．(文)将正偶数按下表排成4列：

则2010在( A ．第502行，第1列 B ．第502行，第2列 C ．第252行，第4列

D ．第251行，第4列 [答案] C

[解析] 2010是第1005个偶数，

又1005＝8×125＋5，故前面共排了125×2＋1＝251行，余下的一个数2010应排在第4列． (理)已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，那么a 2011的值是( ) A ．2008×2009 B ．2009×2010 C ．2010×2011

D ．2011×2012 [答案] C

[解析] 解法1：a 1＝0，a 2＝2，a 3＝6，a 4＝12，考虑到所给结论都是相邻两整数乘积的形式，可变形为：

a 1＝0×1 a 2＝1×2 a 3＝2×3 a 4＝3×4 猜想a 2011＝2010×2011，故选D. 解法2：a n －a n －1＝2(n －1)， a n －1－a n －2＝2(n －2)， …

a 3－a 2＝2×2，

a 2－a 1＝2×1.

∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]． ＝2(n －1)(n －1＋1)2＝n (n －1)．

∴a 2011＝2010×2011.

10．在函数y ＝f (x )的图象上有点列(x n ，y n )，若数列{x n }是等差数列，数列{y n }是等比数列，则函数y ＝f (x )的解析式可能为( )

A ．f (x )＝2x ＋1

B ．f (x )＝4x 2

C ．f (x )＝log 3x

D ．f (x )＝????34x

[答案] D

[解析] 对于函数f (x )＝????34x

上的点列(x n ，y n )，有y n

＝???

?34x n ，由于{x n }是等差数列，所以x n ＋1－x n ＝d ，因此y n ＋1y n

＝????34x n ＋1

???

?34x n ＝????34x n ＋1－x n

＝????34d

，这是一个与n 无关的常数，故{y n }是等比数列．故选D.

二、填空题

11．一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．

[答案] 11

[解析] ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝26，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝110，∴a 1＋a n ＝26＋110

4＝34，

又∵S n ＝n (a 1＋a n )

2

＝187，∴n ＝11.

12．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，设b n ＝1

a n a n ＋1

，那么数

列{b n }的前n 项和S n ＝________.

[答案]

4n

n ＋1

[解析] 由条件知a n ＝1n ＋1＋2n ＋1＋…＋n n ＋1＝n

2，

∴b n ＝4n (n ＋1)＝4???

?1n －1n ＋1，

∴S n ＝4[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1

n ＋1)]

＝4n n ＋1

.

13．(09·上海)已知函数f (x )＝sin x ＋tan x .项数为27的等差数列{a n }满足a n ∈????－π2，π2，且公差d ≠0.若f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，则当k ＝_______________时，f (a k )＝0.

[答案] 14

[解析] ∵f (x )＝sin x ＋tan x 为奇函数，且在x ＝0处有定义，∴f (0)＝0. ∵{a n }为等差数列且d ≠0， 且f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 27)＝0，

∴a n (1≤n ≤27，n ∈N *)对称分布在原点及原点两侧 ∴f (a 14)＝0. ∴k ＝14.

14．给定81个数排成如图所示的数表，若每行9个数与每列的9个数按表中顺序构成等差数列，且表中正中间一个数a 55＝5，则表中所有数之和为______．

a 11 a 12 … a 19 a 21 a 22 … a 29 … … … … a 91 a 92 … a 99

[答案] 405

[解析] S ＝(a 11＋…＋a 19)＋…＋(a 91＋…＋a 99)＝9(a 15＋a 25＋…＋a 95)＝9×9×a 55＝405. 三、解答题

15．(09·安徽)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋2n ，数列{b n }的前n 项和T n ＝2－b n . (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；

(2)设c n ＝a n 2·b n ，证明：当且仅当n ≥3时，c n ＋1

[解析] (1)a 1＝S 1＝4，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n (n ＋1)－2(n －1)n ＝4n . 又a 1＝4适合上式，∴a n ＝4n (n ∈N *)． 将n ＝1代入T n ＝2－b n ，得b 1＝2－b 1， ∴T 1＝b 1＝1.

当n ≥2时，T n －1＝2－b n －1，T n ＝2－b n ， ∴b n ＝T n －T n －1＝b n －1－b n ，∴b n ＝1

2b n －1，

∴b n ＝21－

n .

(2)解法1：由c n ＝a n 2·b n ＝n 2·25－

n ，

得c n ＋1c n ＝12???

?1＋1n 2. 当且仅当n ≥3时，1＋1n ≤4

3<2，即c n ＋1

解法2：由c n ＝a n 2·b n ＝n 2·25

－n

得，

c n ＋1－c n ＝24－

n [(n ＋1)2－2n 2]

＝24－

n [－(n －1)2＋2]．

当且仅当n ≥3时，c n ＋1－c n <0，即c n ＋1

16．(2010·山东)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；

(2)令b n ＝1

a n 2－1

(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .

[分析] (1)由条件和等差数列的通项公式可列出关于a 1、d 的方程组解出a 1和d ，代入通项公式及前n 项和公式可求得a n ，S n .

(2)由a n 可得b n ，观察b n 的结构特点可裂项求和．

[解析] (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，

所以有?

????

a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，

所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1；S n ＝3n ＋n (n －1)2×2

＝n 2＋2n .

(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a n 2－1＝1(2n ＋1)2－1＝14·1n (n ＋1)＝14·????1n －1n ＋1，

所以T n ＝14·????1－12＋12－1

3＋…＋1n －1n ＋1 ＝14·?

???1－1n ＋1＝n

4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝

n

4(n ＋1)

.

[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积．本题应用了裂项求和．

17．(文)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a n 2＋n －4. (1)求证{a n }为等差数列； (2)求{a n }的通项公式．

[分析] 利用a n 与S n 的关系及条件式可消去S n (或a n )，得到a n 与a n －1(或S n 与S n －1)的关系式，考虑待求问题，故应消去S n .

[解析] (1)当n ＝1时，有2a 1＝a 12＋1－4，即a 12－2a 1－3＝0，解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a n －12＋n －5，又2S n ＝a n 2＋n －4，两式相减得2a n ＝a n 2－a n －12＋1， 即a n 2－2a n ＋1＝a n －12, 也即(a n －1)2＝a n －12， 因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.

若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1，而a 1＝3，所以a 2＝－2这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾，所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此{a n }为等差数列．

(2)由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)＝n ＋2，即a n ＝n ＋2. (理)(2010·新课标全国)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －

1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n . [解析] (1)由已知得，当n ≥1时，

a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －

1＋22n －

3＋…＋2)＋2＝22(n

＋1)－1

.

而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －

1.

(2)由b n ＝na n ＝n ·22n

－1

知

S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －

1.① 从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋

1.②

①－②得

(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －

1－n ·22n ＋

1.

＝23(4n －1)－n ·22n ＋1 ＝13(22n ＋1－2－3n ·22n ＋1) ＝13[(1－3n )2n ＋

1－2] ∴S n ＝19

[(3n －1)22n ＋

1＋2]．