2015年广东省中考数学试卷(解析版)

2015年广东省中考数学试卷解析

（本试卷满分120分，考试时间100分钟）

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）

1.（2015年广东3分）【】

A.2

B.

C.

D.

【答案】A.

【考点】绝对值.

【分析】根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴

上，点﹣错误！未找到引用源。到原点的距离是2错误！未找到引用源。，所以，.故选A.

2.（2015年广东3分）据国家统计局网站2014年12月4日发布消息，2014年广东省粮食总产量约为13 573 000吨，将13 573 000用科学记数法表示为【】

A. B. C. D.

【答案】B.

【考点】科学记数法.

【分析】根据科学记数法的定义，科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 在确定n的值时，看该数是大于或等于1还是小于 1. 当该数大于或等于1时，n为它的整数位数减1；当该数小于1时，－n为它第一个有效数字前0的个数（含小数点前的1个0）. 因此，

∵13 573 000一共8位，∴.

故选B.

3.（2015年广东3分）一组数据2，6，5，2，4，则这组数据的中位数是【】

A.2

B. 4

C.

5 D. 6

【答案】B.

【考点】中位数.

【分析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）.因此，

∵将这组数据重新排序为2，2，4，5，6，∴中位数是按从小到大排列后第3个数为：4.

故选B.

4（2015年广东3分）如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是【】

A. 75°

B. 55°

C. 40°

D. 35°

【答案】C.

【考点】平行线的性质；三角形外角性质.

【分析】如答图，∵a∥b，∴∠1=∠4.

∵∠1=75°，∴∠4=75°.

根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”得∠4＝∠2＋∠3，

∵∠2=35°，∴∠3=40°.

故选C.

5.（2015年广东3分）下列所述图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是【】

A. 矩形

B. 平行四边形

C. 正五边形

D. 正三角形

【答案】A.

【考点】轴对称图形和中心对称图形.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是图形沿对称中心旋转180度后与原图重合. 因此，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是矩形. 故选A.

6.（2015年广东3分）【】

A. B. C.

D.

【答案】D.

【考点】幂的乘方和积的乘方.

【分析】根据“幂的乘方，底数不变，指数相乘”的幂的乘方法则和“积的乘方

等于每一个因数乘方的积” 的积的乘方法则得.故选D.

7.（2015年广东3分）在0，2，，这四个数中，最大的数是【】

A. 0

B. 2

C.

D.

【答案】B.

【考点】零指数幂；有理数的大小比较.

【分析】∵，

∴根据有理数“正数大于0，0大于负数，两个负数相比，绝对值大的反

而小”的大小比较法则，得.

∴最大的数是2.

故选B.

8.（2015年广东3分）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是【】

A. B. C.

D.

【答案】C.

【考点】一元二次方程根的判别式；解一元一次不等式.

【分析】∵关于的方程有两个不相等的实数根，

∴，即1＋4－9＞0，解得.

故选C.

9.（2015年广东3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD 变形为以A为圆心，AB为半径的扇形 (忽略铁丝的粗细)，则所得的扇形DAB的面积为【】

A.6

B.7

C.

8 D. 9

【答案】D.

【考点】正方形的性质；扇形的计算.

【分析】∵扇形DAB的弧长等于正方形两边长的和，扇形DAB的半径为正方形的边长3，

∴.

或由变形前后面积不变得：.

故选D.

10.（2015年广东3分）如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE=BF=CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是【】

A. B. C. D.

【答案】D.

【考点】由实际问题列函数关系式（几何问题）；二次函数的性质和图象.

【分析】根据题意，有AE=BF=CG，且正三角形ABC的边长为2，

∴. ∴△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等．

在△AEG中，，

∴.

∴

．

∴其图象为开口向上的二次函数.

故选D.

二、填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）

11.（2015年广东4分）正五边形的外角和等于▲（度）.

【答案】360.

【考点】多边形外角性质.

【分析】根据“n边形的外角和都等于360度”的性质，正五边形的外角和等于360度.

12.（2015年广东4分）如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=60°，则对角线AC 的长是▲ .

【答案】6.

【考点】菱形的性质；等边三角形的判定和性质.

【分析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=B C=6.

∵∠ABC=60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC=AB=B C=6.

13.（2015年广东4分）分式方程的解是▲ .

【答案】.

【考点】解分式方程

【分析】去分母，得：，

解得：，

经检验，是原方程的解，

∴原方程的解是.

14.（2015年广东4分）若两个相似三角形的周长比为2：3，则它们的面积比是▲ .

【答案】4：9.

【考点】相似三角形的性质.

【分析】∵两个相似三角形的周长比为2：3，∴这两个相似三角形的相似比2：3.

又∵相似三角形的面积比等于相似比的平方，∴这两个相似三角形的它们的面积比是4：9.

15.（2015年广东4分）观察下列一组数：，，，，，…，根据该组数的排列规律，可推出第10个数是▲ .

【答案】.

【考点】探索规律题（数字的变化类）.

【分析】观察得该组数的排列规律为：分母为奇数，分子为自然数，第个数为

，所以，第10个数是.

16.（2015年广东4分）如图，△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，若

，则图中阴影部分面积是▲ .

【答案】4.

【考点】等底同高三角形面积的性质；转换思想和数形结合思想的应用.

【分析】如答图，各三角形面积分别记为①②③④⑤⑥，

∵△ABC三边的中线AD，BE，CF的公共点G，∴AG=2GD.

∴①=②，③=⑥，④=⑤，①+②=2③，④+⑤=2⑥.

∵，∴.

∴，

∴

，即图中阴影部分面积是4.

三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

17.（2015年广东6分）解方程：.

【答案】解：，

∴或.

∴，.

【考点】因式分解法解一元二次方程.

【分析】因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题（数学化归思想）.

18.（2015年广东6分）先化简，再求值：，其中.

【答案】解：原式=.

当时，原式=.

【考点】分式的化简；二次根式化简.

【分析】先将括号里面的通分后，将除法转换成乘法，约分化简，然后代x的值，进行二次根式化简.

19.（2015年广东6分）如图，已知锐角△AB C.

（1）过点A作BC边的垂线MN，交BC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）条件下，若BC=5，AD=4，tan∠BAD=，求DC的长.

【答案】解：（1）作图如答图所示，AD为所作.

（2）在Rt△ABD中，AD=4，tan∠BAD=，

∴，解得BD=3.

∵BC=5，∴DC=AD﹣BD=5﹣3=2.

【考点】尺规作图（基本作图）；解直角三角形的应用；锐角三角函数定义.

【分析】（1）①以点A为圆心画弧交BC于点E、F；

②分别以点E、F为圆心，大于长为半径画弧，两交于点G；

③连接AG，即为BC边的垂线MN，交BC于点D.

（2）在Rt△ABD中，根据正切函数定义求出BD的长，从而由BC的长，根据等量减等量差相等求出DC的长.

四、解答题（二）（本大题3小题，每小题7分，共21分）

20.（2015年广东7分）老师和小明同学玩数学游戏，老师取出一个不透明的口袋，口袋中装有三张分别标有数字1，2，3的卡片，卡片除数字个其余都相同，老师要求小明同学两次随机抽取一张卡片，并计算两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率，于是小明同学用画树状图的方法寻求他两次抽取卡片的所有可能结果，图是小明同学所画的正确树状图的一部分.

（1）补全小明同学所画的树状图；

（2）求小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率.

【答案】解：（1）补全树状图如答图：

（2）∵由（1）树状图可知，小明同学两次抽到卡片上的数字之积的情况有9种：1，2，3，2，4，6，3，6，9，数字之积是奇数的情况有4种：1，3，3，9，

∵小明同学两次抽到卡片上的数字之积是奇数的概率是.

【考点】画树状图法；概率.

【分析】（1）根据题意补全树状图.

（2）根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率.

21.（2015年广东7分）如题图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长交BC于点G，连接AG.

（1）求证：△ABG≌△AFG；

（2）求BG的长.

【答案】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D=90°，AD=AB.

由折叠的性质可知，AD=AF，∠AFE=∠D=90°，∴∠AFG=90°，AB=AF.

∴∠AFG=∠B.

又∵AG=AG，∴△ABG≌△AFG（HL）.

（2）∵△ABG≌△AFG，∴BG=FG.

设BG=FG=，则GC=,

∵E为CD的中点，∴CF=EF=DE=3，∴EG=，

在中，由勾股定理，得，解得，

∴BG=2.

【考点】折叠问题；正方形的性质；折叠对称的性质；全等三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用.

【分析】（1）根据正方形和折叠对称的性质，应用HL即可证明△ABG≌△AFG （HL）.

（2）根据全等三角形的性质，得到BG=FG，设BG=FG=，将GC和EG用的代数式表示，从而在中应用勾股定理列方程求解即可.

22.（2015年广东7分）某电器商场销售A，B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元. 商场销售5 台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元. （1）求商场销售A，B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？(利润=销售价格﹣进货价格）

（2）商场准备用不多于2500元的资金购进A，B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？

【答案】解：（1）设A，B型号的计算器的销售价格分别是x元，y元，得：

，解得.

答：A，B两种型号计算器的销售价格分别为42元，56元.

（2）设最少需要购进A型号的计算a台，得

，

解得.

答：最少需要购进A型号的计算器30台.

【考点】二元一次方程组和一元一次不等式的应用（销售问题）.

【分析】（1）要列方程（组），首先要根据题意找出存在的等量关系，本题设A，B型号的计算器的销售价格分别是x元，y元，等量关系为：“销售5 台

A型号和1台B型号计算器的利润76元”和“销售6台A型号和3台B型号计算器的利润120元”.

（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解. 本题设最少需要购进A型号的计算a台，不等量关系为：“购进A，B两种型号计算器共70台的资金不多于2500元”.

五、解答题（三）（本大题3小题，每小题9分，共27分）

23.（2015年广东9分）如图，反比例函数(，)的图象与直线

相交于点C，过直线上点A(1，3)作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3B D.

（1）求k的值；

（2）求点C的坐标；

（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标.

【答案】解：（1）∵A(1，3)，∴OB=1，AB=3.

又∵AB=3BD，∴BD=1. ∴D(1，1).

∵反比例函数(，)的图象经过点D，∴.

（2）由（1）知反比例函数的解析式为，

解方程组，得或（舍去），

∴点C的坐标为(，).

（3）如答图，作点D关于y轴对称点E，则E(,1)，连接CE交y 轴于点M，即为所求.

设直线CE的解析式为，则

，解得，

∴直线CE的解析式为.

当x=0时，y=，

∴点M的坐标为(0，).

【考点】反比例函数和一次函数综合问题；曲线上点的坐标与方程的关系；待定系数法的应用；轴对称的应用（最短距离问题）；方程思想的应用.

【分析】（1）求出点D的坐标，即可根据点在曲线上点的坐标满足方程的关系，求出k的值.

（2）由于点C是反比例函数的图象和直线的交点，二者联立即可求得点C的坐标.

（3）根据轴对称的应用，作点D关于y轴对称点E，则E(,1)，连接CE交y轴于点M，即为所求.

24.（2015年广东9分）⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，过的中点P作⊙O的直径PG交弦BC于点D，连接AG， CP，P B.

（1）如题图1；若D是线段OP的中点，求∠BAC的度数；

（2）如题图2，在DG上取一点k，使DK=DP，连接CK，求证：四边形AGKC是平行四边形；

（3）如题图3，取CP的中点E，连接ED并延长ED交AB于点H，连接PH，求证：PH⊥A B.

【答案】解：（1）∵AB为⊙O直径，点P是的中点，∴PG⊥BC，即∠ODB=90°.

∵D为OP的中点，∴OD=.

∴cos∠BOD=. ∴∠BOD=60°.

∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°. ∴∠ACB=∠ODB.

∴AC∥PG. ∴∠BAC=∠BOD=60°.

（2）证明：由（1）知，CD=BD，

∵∠BDP=∠CDK，DK=DP，∴△PDB≌△CDK（SAS）.

∴CK=BP，∠OPB=∠CKD.

∵∠AOG=∠BOP，∴AG=BP. ∴AG=CK.

∵OP=OB，∴∠OPB=∠OBP.

又∵∠G=∠OBP，∴AG∥CK.

∴四边形AGCK是平行四边形.

（3）证明：∵CE=PE，CD=BD，∴DE∥PB，即DH∥PB.

∵∠G=∠OPB，∴PB∥AG. ∴DH∥AG. ∴∠OAG=∠OHD.

∵OA=OG，∴∠OAG=∠G. ∴∠ODH=∠OHD. ∴OD=OH.

又∵∠ODB=∠HOP，OB=OP，∴△OBD≌△HOP（SAS）.

∴∠OHP=∠ODB=90°. ∴PH⊥A B.

【考点】圆的综合题；圆周角定理；垂径定理；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；平行的判定和性质；全等三角形的判定和性质；等腰三角形的性质；平行四边形的判定.

【分析】（1）一方面，由锐角三角函数定义和特殊角的三角函数值求出∠BOD=60°；另一方面，由证明∠ACB=∠ODB=90°得到AC∥PG，根据平行线的同位角相等的性质得到∠BAC=∠BOD=60°.

（2）一方面，证明通过证明全等并等腰三角形的性质得到AG=CK；另一方面，证明AG∥CK，从而根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定而得证.

（3）通过应用SAS证明△OBD≌△HOP而得到∠OHP=∠ODB=90°，即PH⊥A B.

25.（2015年广东9分）如图，在同一平面上，两块斜边相等的直角三角板Rt△ABC与Rt△ADC拼在一起，使斜边AC完全重合，且顶点B，D分别在AC的两旁，∠ABC=∠ADC=90°，∠CAD=30°，AB=BC=4cm.

（1）填空：AD= ▲ (cm)，DC= ▲ (cm)；

（2）点M，N分别从A点，C点同时以每秒1cm的速度等速出发，且分别在AD，CB 上沿A→D，C→B的方向运动，当N点运动到B点时，M，N两点同时停止运动，连结MN，求当M，N点运动了x秒时，点N到AD的距离(用含x的式子表示)；（3）在（2）的条件下，取DC中点P，连结MP，NP，设△PMN的面积为y(cm2)，在整个运动过程中，△PMN的面积y存在最大值，请求出这个最大值.

(参考数据：sin75°=，sin15°=)

【答案】解：（1）；.

（2）如答图，过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F，则NE=DF.

∵∠ACD=60°，∠ACB=45°，∴∠NCF=75°，∠FNC=15°.∴sin15°=.

又∵NC=x，sin15°=，∴.

∴NE=DF=.

∴点N到AD的距离为cm.

（3）∵NC=x，sin75°=，且sin75°=∴，

∵PD=CP=，∴PF=.

∴

·

即.

∴当时，y有最大值为

.

【考点】双动点问题；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；由实际问题列函数关系式；二次函数的最值；转换思想的应用.

【分析】（1）∵∠ABC=90°，AB=BC=4，∴.

∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，

∴

.

（2）作辅助线“过点N作NE⊥AD于E，作NF⊥DC延长线于F”构造直角三角形CNF，求出FC的长，即可由NE=DF=FC+CD求解.

（3）由列式，根据二次函数的最值原理求解.