人教版高中数学必修三尖子班讲义
算法与程序框图
知识讲解
一、算法的概念
概念：由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照一定规则解决某一类问题的明确的和有限的步骤，称为算法（algorithm）．通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题．
二、算法的特征
1.有穷性：算法必须在执行有限步后结束，通常还理解为实际上能够容忍的合理限度；
2.确定性：算法的每一个步骤必须有确定的含义；
3.可行性：组成算法的每个步骤和操作必须是相当基本的，原则上都是能精确地执行的；
4.输入：有零个或多个输入；
5.输出：有一个或多个输出．
三、算法的描述
描述：自然语言、数学语言、算法语言（程序设计语言）、程序框图（流程图）．
四、算法的三种基本逻辑结构
1.顺序结构：最简单的算法结构，语句与语句之间，框与框之间是按从上到下的顺
序进行的．如下左图，只有在执行完A框指定的操作后，才能接着执行B框指定的操作；
2.条件（分支）结构：在一个算法中，用来处理需要根据条件是否成立有不同的流
向的结构．常见的条件结构的程序框图有下面两种形式：
3.循环结构：从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况，就是循环结构，其中反复执行的步骤称为循环体．常见的循环结构的框图对应为：
五、程序框图的概念及常用图形符号
1.概念：用一些通用的图形符号构成的一张图来表示算法，称为程序框图（简称框图）．
2.常用图形符号：
典型例题
一．选择题（共4小题）
1．（2016?沈阳校级模拟）《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相
乘，以高乘之，十二而一．”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V=×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率π的取值为（）
A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.3
2．阅读如图程序框图，输出的结果的值为（）
A． B． C． D．
3．（2016?河南模拟）右边程序框图的功能是求出的值，则框图中①、②两处应分别填写的是（）
A．i≥1，a B．i≥1，a﹣6 C．i＞1，a D．i＞1，a﹣6
4．（2012秋?莱芜期末）执行如图所示的程序框图，输出的结果是511，则判断框中应填入（）
A．A＞8 B．A＜8 C．A＞9 D．A＜9
二．填空题（共3小题）
5．（2015春?临沂校级月考）定义某种运算?，S=a?b的运算原理如图所示．设f （x）=（0?x）x﹣（3?x）．则f（3）=；f（x）在区间[﹣3，3]上的最小值为．
6．（2014?黄山三模）阅读下列程序框图，运行相应程序，则输出的S值为．
7．（2014?龙海市校级模拟）按如图所示的程序框图运算，若输出k=2，则输入x 的取值范围是．
三．解答题（共3小题）
8．（2014?湖南校级模拟）在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P沿着折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y，且y与x之间的函数关系式用如图所示的程序框图给出．
（1）写出框图中①、②、③处应填充的式子；
（2）若输出的面积y值为6，则路程x的值为多少？并指出此时点P的在正方形的什么位置上？
9．（2014秋?漳浦县校级月考）已知如图的程序框图如图所示
（1）写出程序框图所对应的算法语句；
（2）将右边的“直到型循环结构”改为“当型循环结构”，并写出当型循环相对应的算法语句．
10．（2012春?凤凰县校级期中）请认真阅读下列程序框图：
已知程序框图x i=f（x i﹣1）中的函数关系式为，程序框图中的D为函数f（x）的定义域，把此程序框图中所输出的数x i组成一个数列{x n}．
（1）若输入，请写出数列{x n}的所有项；
（2）若输出的无穷数列{x n}是一个常数列，试求输入的初始值x0的值；
，（3）若输入一个正数x0时，产生的数列{x n}满足：任意一项x n，都有x n＜x n
+1试求正数x0的取值范围．
算法与程序框图
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 执行如图所示的程序框图，若输入的的值为，则输出的值为
A. B. C. D.
2. 下列问题的算法适宜用条件结构表示的是
A. 求点到的距离
B. 由直角三角形的两直角边求斜边
C. 解不等式
D. 计算个数的平均数
3. 执行如图所示的程序框图，若输入的，分别为，，则输出的
A. B. C. D.
4. 下列四种叙述，不能称为算法的是
A. 解方程的过程是移项和系数化为
B. 从济南到温哥华要先乘火车到北京，再转乘飞机
C. 解方程
D. 利用公式计算半径为的圆的面积应是计算
5. 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为
A. B. C. D.
6. 某店一个月的收入和支出总共记录了个数据，其中收入记为正数，支出记为负
数．该店用如图的程序框图计算月总收入和月净盈利，那么在图中空白的判断
框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
7. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果为
A. B. C. D.
8. 计算下列各式中的的值，能设计算法求解的是
①；②；③（
且）．
A. ①②
B. ①③
C. ②③
D. ①②③
9. 阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的值为
A. B. C. D.
10. 阅读下面的算法：第一步，输入两个实数，．第二步，若，则交换，的
值，否则执行第三步．第三步，输出．这个算法输出的是
A. ，中的较大数
B. ，中的较小数
C. 原来的的值
D. 原来的的值
11. 如图所示的程序框图是为了求出满足的最小偶数，那么在
和两个空白框中，可以分别填入
A. 和
B. 和
C. 和
D. 和
12. 算法：
输入；
判断是否是；若，则满足条件，
若，则执行；
依次从到检验能否整除，
若都不能整除，则满足条件；
A. 奇数
B. 偶数
C. 质数
D. 合数
二、填空题（共5小题；共25分）
13. 已知直角三角形两条直角边的长分别为，（）．写出求两条直角边所对的
最大角的余弦值的算法如下：
第一步：输入两直角边长，的值；
第三步：；
第四步：输出．
将算法补充完整，横线处应填．
14. 给出下面的算法：
第一步输入；
第二步判断是否小于，若是，则输出，否则执行第三步；
第三步输出．
当输入的值分别为，，时，输出的结果分别
为，，．
15. 阅读如图所示的流程图，运行相应的程序，输出的结果．
16. （）图所示的是一个算法的程序框图，已知，输出的结果为，则的
值为．
（）图所示的是某个函数求值的程序框图，则满足该程序的函数解析式
为．
（）图所示的是求某个数列和的程序框图，此程序输出的结果
为．
17. 已知某程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是．
三、解答题（共5小题；共65分）
18. 试设计一个求的值的框图．
19. 设计一个算法，求一元一次不等式的解，用自然语言描述该算
法．
20. 一列数，，，，，其规律是：从第项起每个数都是前一个数的平方加，
求其前项和，画出流程图．
21. 有三个农夫A，B，C 和三只狼D，E，F 一起过河，且只有一艘小船可供他们使用．该
船最多可坐两个农夫（或两只狼，或一个农夫一只狼），并且在过河过程中，当河的任一边农夫的个数少于狼的个数时，狼就会把农夫吃掉．请你设计一个算法，使三个农夫和三只狼都安全过河．
22. 伦敦获得了2012年第届奥林匹克运动会的主办权．你知道在申办奥运会的最后
阶段，国际奥委会是如何通过投票决定主办权归属地的吗?
对已选出的个申办城市进行表决的操作程序如下：首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得主办权；如果所有申办城市得票数都不超过总票数的一半，则将得票数最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止：
试绘制出算法的程序框图．
算法案例
知识讲解
一、更相减损术
1.概念：求两个整数的最大公约数的算法.
2.步骤：以两个数中较大的数减去较小的数，以差数和较小的数构成一对新的数，对这一
对数再用大数减小数，以同样的操作一直做下去，直到产生一对相等的数，此数就是这两个数的最大公约数．
3.等值算法：用“更相减损术”设计出来的算法求最大公约数的算法称为“等值算法”，用等
值算法可以求任意两个正整数的最大公约数．
4.原理：《九章算法》是中国古代的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的
最大公约数．以具体的例子来说明更相减损术求最大公约数的原理：以求117和182的最大公约数为例：(117182)(11765)(6552)(5213)(1339)(1326)(1313)→→→→→→，，，，，，，， 每次操作后得到的两个数与前两个数的最大公约数相同，而且逐渐减少，故总能得到相等的两个数，即为所求的最大公约数．
二、辗转相除法
1.概念：辗转相除法又称欧几里得算法，是由欧几里得在公元前300年左右首先提出来的
求两个数的最大公约数的算法．
2.步骤：对于给定的两个数，以其中较大的数除以较小的数得到一个余数，将较小的数与
余数看成一对新的数，重复上面的步骤，直到余数为零为止，此时上一步中较小的数即为所求的最大公约数．
如：(117182)(11765)(6552)(5213)(130)→→→→，，，，，,故13即为所求．
三、秦九韶算法
1.用途：秦九韶算法求多项式的值
2.具体内容：已知一个多项式函数，计算多项式在某点处的函数值的一种算法，是我国古
代数学家秦九韶提出的，具体如下： 对任意一个n 元多项式1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++， 改写成如下形式：12110()()n n n n f x a x a x a x a ---=++
++ 231210(())n n n n a x a x a x a x a ---=++
+++
=
1210((()))n n n a x a x a x a x a --=+++++，
求多项式的值时，先计算最内层括号内的一次多项式的值，即11n n v a x a -=+， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值， 即212n v v x a -=+，323n v v x a -=+，
，10n n v v x a -=+．
这样，求一个n 次多项式的值，就转化为求n 个一次多项式的值． 令1(1)(())k n n n k n k v a x a x a x a ----=++++，则递推公式为01n
k
k n k v a v v x a --=??=+?,
其中12k n =，，，．
到目前为止，此算法仍然是世界上多项式求值的最先进的算法．
3.秦九韶算法与其它算法的比较：1110()n n n n f x a x a x a x a --=++
++，
（1）直接求和法：先计算各个单项式的值，再把它们相加，乘法次数为
(1)
(1)212
n n n n ++-+++=
，加法次数n ； （2）逐项求和法：先计算x 的各项幂的值，再分别相乘，计算幂值需要乘法1n -次，将幂值与多项式系数k a 相乘需要乘法n 次，故共需要乘法21n -次，加法n 次． 注：此方法对直接求和法有所改进，但仍然比秦九韶算法计算量大很多． （3）秦九韶算法：计算量仅为乘法n 次，加法n 次．
4.秦九韶算法的特点：
1）化高次多项式求值为一次多项式求值； 2）减少了运算次数，提高了效率； 3）步骤重复执行，容易用计算机实现．
注意：
利用秦九韶算法计算多项式的值关键是能正确地将所给多项式改写，然后由内向外逐次计算，由于后项计算用到前项的结果，故应认真、细心，确保中间结果的准确性．若在多项式中有几项不存在时，可将这些项的系数看成0，即把这些项看做0·x n
四、进位制
内容：K 进制数的基数为K ，K 进制数是由0~1K -之间的数字构成. 将十进制的数转化为
K 进制数的方法是除K 取余法.把K 进制数1
10110(0,0,
,)n n n n a a a a a K a a a K --<<≤< 化
为十进制数的方法为11
10()110n n n n k n n a a a a a k a k a k a ---=++
++.
典型例题
一．选择题（共6小题）
1．（2016春?漳平市期中）把“二进制”数101101（2）化为“八进制”数是（）A．40（8）B．45（8）C．50（8）D．55（8）
2．（2018?玉溪模拟）南宋时期的数学家秦九韶独立发现的计算三角形面积的“三斜求积术”，与著名的海伦公式等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减小，余四约之，为实．一为从隅，开平
方得积．”若把以上这段文字写成公式，即．现有
周长为的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（+1），用“三斜求积术”求得△ABC的面积为（）
A．B．C．D．
3．（2016秋?滨州期中）已知函数f（x）=e x+4x﹣3的零点为x0，则x0所在的区间是（）
A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）
4．（2016秋?湖北期中）下列函数能用二分法求零点的是（）
A．f（x）=x2B．f（x）=C．f（x）=ln（x+2）2D．f（x）=
5．（2009秋?西湖区校级期末）用二分法求方程x3﹣x﹣1=0在区间[1.0，2.0]上的根的所在区间为（）
A．[1.0，1.25]B．[1.25，1.5]C．[1.5，1.75]D．[1.75，2.0]
6．（2017秋?孝感期中）用秦九昭算法计算多项式f（x）=x4+4x3+3x2+x+1当x=2时的值时，则V2=（）
A．6 B．15 C．31 D．63