立体几何大题

2016年7月9日数学周测试卷

一、解答题（共25小题；共325分）

1. 如图，正方体ABCD?A1B1C1D1的棱长为2．

（1）在图中找出平面ABCD，平面ADD1A1，平面BDD1B1的一个法向量；

（2）以点D为坐标原点建立空间直角坐标系，求出（1）中三个法向量的坐标．

2. 如图，在正方体ABCD?A1B1C1D1中，求BD与平面A1C1D所成角的余弦值．

，求异面直线l l和l2所成的

3. 设a?，b??分别是两条异面直线l1，l2的方向向量，且cos?a?,b???=?1

2

角．

4. 如图，直三棱柱ABC?A′B′C′，∠BAC=90°，AB=AC=√2，AA′=1，点M、N分别

S?，其中S为底面面积，?为高）为A′B和B′C′的中点．（锥体体积公式V=1

3

（1）证明：MN∥平面A′ACC′；

（2）求三棱锥A′?MNC的体积．

5. 三棱锥P?ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA=PB=PC=3．

（1）求证：AB⊥BC；

（2）设AB=BC=2√3，求AC与平面PBC所成角的大小．

6. 如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，

E，F分别为AC，DC的中点．

（1）求证：EF⊥BC；

（2）求二面角E?BF?C的正弦值

7. 如图，四边形ABCD为正方形，QA⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=1

2

PD．

（1）证明：PQ⊥平面DCQ；

（2）求棱锥Q?ABCD的体积与棱锥P?DCQ的体积比值．

8. 如图，在△ABC中，B=90°，AC=15

2，D，E两点分别在AB，AC上，使AD

DB

=AE

EC

=2，DE=

3．现将△ABC沿DE折成直二面角，求：

（1）异面直线AD与BC的距离；

（2）二面角A?EC?B的大小（用反三角函数表示）．

9. 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点．

（1）证明：BC1∥平面A1CD；

（2）设AA1=AC=CB=2，AB=2√2，求三棱锥E?A1CD的体积．

10. 如图，正四棱锥S?ABCD的所有棱长均为2，E，F，G分别为棱AB，AD，SB的中点．

（1）求证：BD∥平面EFG，并求出直线BD到平面EFG的距离；

（2）求点C到平面EFG的距离．

11. 已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=

4．计算球的表面积与体积．

12. 如图，三棱柱ABC?A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90°，BC=

1，AC=CC1=2．

（1）证明：AC1⊥A1B；

（2）设直线AA1与平面BCC1B1的距离为√3，求二面角A1?AB?C的大小．

13. 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，BA=BD=√2，AD=2，PA=PD=

√5，E,F分别是棱AD,PC的中点．

（1）证明：EF∥平面PAB；

（2）若二面角P?AD?B为60°，

① 证明：平面PBC⊥平面ABCD；

② 求直线EF与平面PBC所成角的正弦值．

14. 如图，在四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=

AA1=2，AD=CD=√5．用向量法解决下列问题：

（1）若AC的中点为E，求A1C与DE所成的角；

（2）求二面角B1?AC?D1（锐角）的余弦值．

15. 已知在四棱锥P?ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD=2，AB=1，PA⊥平面ABCD，E，

F分别是线段AB，BC的中点．

（1）证明：PF⊥FD；

（2）在线段PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD ?若存在，确定点G的位置；若不存在，说明理由．

（3）若PB与平面ABCD所成的角为45°，求二面角A?PD?F的余弦值．

16. 如图，直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC=BC，AA1=AB，D为BB1的中点，E为AB1上的一

点，AE=3EB1．

（1）证明：DE为异面直线AB1与CD的公垂线；

（2）设异面直线AB1与CD的夹角为45°，求二面角A1?AC1?B1的大小．

17. 已知在四棱锥P?ABCD中，AD∥BC，AD⊥CD，PA=PD=AD=2BC=2CD，E，F分别

为AD，PC的中点．

（1）求证：AD⊥平面PBE；

（2）求证：PA∥平面BEF；

（3）若PB=AD，求二面角F?BE?C的大小．

18. 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=4，AC=BC=3，D为AB的中点．

（1）求异面直线CC1和AB的距离；

（2）若AB1⊥A1C，求二面角A1?CD?B1的平面角的余弦值．

AD=2．∠A=60°，E为AD中点，点O，19. 如图1，在等腰梯形ABCD中，BC∥AD，BC=1

2

F分别为BE，DE的中点，将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使得平面A1BE⊥平面BCDE（如图2）

（1）求证：A1O⊥CE

（2）求直线A1B与平面A1CE所成角的正弦值

的值，若不存在，（3）侧棱A1C上是否存在点P，使得BP∥平面A1OF，若存在，求处A1P

A1C

说明理由．

20. 在正三角形ABC中，E，F，P分别是AB，AC，BC边上的点，满足AE:EB=CF:FA=

CP:PB=1:2（如图1）．将△AEF沿EF折起到△A1EF的位置，使二面角A1?EF?B成直二面角，连接A1B，A1P（如图2）．

（1）求证：A1E⊥平面BEP；

（2）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；

（3）求二面角B?A1P?F的余弦值．

21. 如图，四面体ABCD中，O是BD的中点，△ABD和△BCD均为等边三角形，AB=2，AC=

√6．

（1）求证：AO⊥平面BCD；

（2）求二面角A?BC?D的余弦值；

（3）求O点到平面ACD的距离．

22. 如图，已知AB⊥平面BEC，AB∥CD，AB=BC=4，CD=2，△BEC为等边三角形．

（1）求证：平面ABE⊥平面ADE．

（2）求二面角A?DE?B的平面角的余弦值．

，OA⊥底面ABCD，23. 如图，在四棱锥O?ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，∠ABC=π

4 OA=2，M为OA的中点，N为BC的中点，以A为原点，建立适当的空间坐标系，利用空间向量解答以下问题：

（1）证明：直线MN∥平面OCD；

（2）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（3）求点B到平面OCD的距离．

24. 如图，已知边长为4的菱形ABCD中，AC∩BD=O，∠ABC=60°．将菱形ABCD沿对角线

AC折起得到三棱锥D?ABC，设二面角D?AC?B的大小为θ．

（1）当θ=90°时，求异面直线AD与BC所成角的余弦值；

（2）当θ=60°时，求直线BC与平面DAB所成角的正弦值．

25. 如图，在四棱锥A?BCDE中，底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=

AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°．

（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；

（2）求二面角B?AE?C的余弦值．

答案

第一部分

1. （1） 由正方体可得 DD 1⊥平面ABCD ，AB ⊥平面ADD 1A 1， 平面 ABCD 的一个法向量为 DD 1?????????，平面 ADD 1A 1 的一个法向量为 AB ??????；

连接 AC ，AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，得 AC ⊥平面BB 1D 1D ，平面 BDD 1B 1 的一个法向量为 AC ??????． （2） 如图，

建立空间直角坐标系 D ?xyz ，可得 D 1(0,0,2)，A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)． DD 1?????????=(0,0,2)，AB ??????=(0,2,0)，AC ??????=(?2,2,0)．

2. 以 AB ，AD ，AA 1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为 1，则 A 1(0,0,1)，C 1(1,1,1)，D (0,1,0)，

设平面 A 1C 1D 的法向量为 n ??=(x,y,z )，则 n ???A 1C 1??????????=0，n ???A 1D ?????????=0，解得 n ??=(?1,1,1)，BD ???????=(?1,1,0)，所以 BD 与平面 A 1C 1D 所成角 cos =2√2×√3

=

√6

3

． 所以 BD 与平面 A 1C 1D 所成角的余弦值是 √3

3． 3. 因为 cos?a ?,b ???=?12，?a ?,b ???∈[0,π]， 所以 ?a ?,b

???=2π3

．

所以 l 1 和 l 2 所成的角为 π

3．

4. （1） 证法一：连接 AB ′，AC ′，由已知 ∠BAC =90°，AB =AC ， 三棱柱 ABC ?A ′B ′C ′ 为直三棱柱，所以 M 为 AB ′ 中点． 又因为 N 为 B ′C ′ 的中点，所以 MN ∥AC ′． 又 MN ?平面A ′ACC ′，AC ′?平面A ′ACC ′， 因此 MN ∥平面A ′ACC ′．

证法二：取 A ′B ′ 中点 P ，连接 MP ，NP ． 因为 M ，N 分别为 AB ′ 与 B ′C ′ 的中点， 所以 MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，

所以 MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′， 又 MP ∩NP =P ，因此平面 MPN ∥平面A ′ACC ′， 而 MN ?平面MPN ．因此 MN ∥平面A ′ACC ′． （2） 解法一：连接 BN ，如图，

由题意得A′N⊥B′C′，A′N⊥B′B，

所以A′N⊥平面NBC．

又A′N=1

2

B′C′=1，故

V A′?MNC=V N?A′MC

=1

2

V N?A′BC

=1

2

V A′?NBC=

1

6

.

解法二：

V A′?MNC=V A′?NBC?V M?NBC

=1

2

V A′?NBC=

1

6

.

5. （1）如图，取AC中点O，连接PO,BO．

∵PA=PC，∴PO⊥AC．

又∵侧面PAC⊥底面ABC，

∴PO⊥底面ABC．

又PA=PB=PC，∴AO=BO=CO．

∴△ABC为直角三角形．

∴AB⊥BC．

（2）如图，取BC的中点M，连接OM,PM，

则有

OM=1

2

AB=√3,

AO=1

2

√(2√3)2+(2√3)2=√6,

PO=√PA2?AO2=√3,

由（1）有PO⊥平面ABC，OM⊥BC，再结合PB=PC，

可知

PM⊥BC.

∴平面POM⊥平面PBC，又∵PO=OM=√3．

∴△POM是等腰直角三角形，取PM的中点N，连接ON,NC，则

ON⊥PM,

又∵平面POM⊥平面PBC，且交线是PM，

∴ON⊥平面PBC．

∴∠OCN即为AC与平面PBC所成的角．

ON=1

2

PM=

1

2

√32?(√3)2=√6

2

,OC=√6,

∴sin∠OCN=ON

OC =1

2

，∴∠OCN=π

6

，

故AC与平面PBC所成的角为π

6

．

6. （1）法一：

如图，

过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF，

由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC，

所以∠EOC=∠FOC=π

2

，即FO⊥BC．

又EO⊥BC，因此BC⊥面EFO，

又EF?面EFO，所以EF⊥BC．

法二：

由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

易得

B (0,0,0),A(0,?1,√3),D(√3,?1,0),

C (0,2,0),

因而

E (0,12,√32),

F (√32,1

2

,0),

所以

EF

??????=(√32,0,?√3

2

),BC ??????=(0,2,0), 因此 EF ???????BC ??????=0，从而 EF ??????⊥BC ??????，所以 EF ⊥BC ． （2） 法一：

在图中，过 O 作 OG ⊥BF ，垂足为 G ，连 EG ，由平面 ABC ⊥ 平面 BDC ，从而 EO ⊥ 平面 BDC ， 所以 EO ⊥BF ．又 OG ⊥BF ，所以 BF ⊥ 平面 EOG ，从而 EG ⊥BF. 因此 ∠EGO 为二面角 E ?BF ?C 的平面角； 在 △EOC 中，可得

EO =12EC =12BC ?cos30°=√3

2

,

由 △BGO ∽△BFC 知

OG =

BO BC ?FC =√3

4

, 因此

tan∠EGO =

EO

OG =2, 从而

sin∠EGO =

2√5

5

, 即二面角 E ?BF ?C 的正弦值为 2√5

5

． 法二：

在图中，平面 BFC 的一个法向量为 n 1?????=(0,0,1)，设平面 BEF 的法向量 n 2?????=(x,y,z )，又

BF ??????=(√32,12,0),BE

??????=(0,12,√32

), 由

{n 2??????BF ??????=0,n 2

??????BE ??????=0,

得其中一个

n 2?????=(1,?√3,1),

设二面角 E ?BF ?C 的大小为 θ，且由题意知 θ 为锐角，则

cosθ=∣cos ?n 1?????,n 2??????∣=∣∣∣∣n 1??????n 2?????∣n 1?????∣?∣n 2

?????∣∣∣∣∣=1√5, 因

sinθ=

2√5

=

2√5

5

, 即二面角 E ?BF ?C 的正弦值为

2√5

5

． 7. （1） 由条件知 PDAQ 为直角梯形．

∵ QA ⊥ 平面 ABCD ，∴ 平面 PDAQ ⊥ 平面 ABCD ，交线为 AD ．

又四边形 ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，∴ DC ⊥ 平面 PDAQ ，可得 PQ ⊥DC ． 在直角梯形 PDAQ 中可得

DQ =PQ =

√22

PD, 则 PQ ⊥QD ．所以 PQ ⊥ 平面 DCQ ．

（2） 设 AB =a ．由题设知 AQ 为棱锥 Q ?ABCD 的高， 所以棱锥 Q ?ABCD 的体积

V 1=13

a 3.

由（1）知 PQ 为棱锥 P ?DCQ 的高，而 PQ =√2a ，△DCQ 的面积为 √22

a 2

，所以棱锥 P ?DCQ 的体

积

V 2=13

a 3.

故棱锥 Q ?ABCD 的体积与棱锥 P ?DCQ 的体积比值为 1． 8. （1） 如图1中，

因为 AD

DB =AE

CE ，所以 BE ∥BC ． 又因为 B =90°，从而 AD ⊥DE ． 在图2中，

因 A ?DE ?B 是直二面角，AD ⊥DE ， 故 AD ⊥底面DBCE ，从而 AD ⊥DB ．

而 DB ⊥BC ，故 DB 为异面直线 AD 与 BC 的公垂线． 下面求 DB 之长．在图 1 中，由

AD DB =AE

EC

=2, 得

DE BC =AD AB =2

3

. 又已知 DE =3，从而

BC =32DE =92,AB

=√AC 2?BC 2=√(152)2

?(92)

2

=6.

因 DB

AB =1

3，故

DB =2.

即异面直线 AD 与 BC 的距离为 2．

（2） 方法一：在图2中，过 D 作 DF ⊥CE ，交 CE 的延长线于 F ，连接 AF ． 由（1）知，AD ⊥底面DBCE ，由三垂线定理知 AF ⊥FC ， 故 ∠AFD 为二面角 A ?EC ?B 的平面角． 在底面 DBCE 中，∠DEF =∠BCE ，所以

DB =2,

EC

=13?152=52

, 因此

sin∠BCE =

DB EC =4

5. 从而在 Rt △DFE 中，

DE

=3,

DF

=DEsin∠DEF =DEsin∠BCE =125

. 在 Rt △AFD ，中

AD =4,

tan∠AFD

=AD DF =53

. 因此所求二面角 A ?EC ?B 的大小为 arctan 5

3． 方法二：如图3，

由（1）知，以 D 点为坐标原点，DB ???????,DE ??????,DA ?????? 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则

D (0,0,0),A (0,0,4),C (2,9

2

,0),E (0,3,0).

所以

CE

??????=(?2,?3

2

,0),AD ??????=(0,0,?4), 过 D 作 DF ⊥CE ，交 CE 的延长线于 F ，连接 AF ． 设 F (x 0,y 0,0)，从而

DF ??????=(x 0,y 0,0),

EF

??????=(x 0,y 0?3,0),

由 DF ⊥CE ，有

DF ???????CE

??????=0, 即

2x 0+3

2

y 0=0,???①

又由 CE ??????∥EF

??????，得 x 02

=y 0?3

32

,???②

联立①、②，解得

x 0=?

3625,y 0=4825, 即

F (?

3625,48

25,0), 得

AF

??????=(?3625,48

25,?4), 因为

AF

???????CE ??????=(?3625)?(?2)+4825?(?3

2

)=0, 故 AF ⊥CE ，又因 DF ⊥CE ，

所以 ∠DFA 为所求的二面角 A ?EC ?B 的平面角． 因 DF ??????=(?3625,48

25

,0)，有 ∣∣DF ??????∣∣=√(?3625)2+(4825)2=12

5,∣∣AD ??????∣∣=4,

所以

tan∠AFD =

∣∣AD ??????∣∣∣∣DF ??????∣∣=5

3

. 因此所求二面角 A ?EC ?B 的大小为 arctan 5

3．

9. （1）

连接 AC 1 交 A 1C 于 O ，可得 OD ∥BC 1， 又 OD ?面A 1CD ，BC 1?面A 1CD ， 所以 BC 1∥平面A 1CD ．

（2） 直棱柱 ABC ?A 1B 1C 1 中，AA 1⊥面ABC ， 所以 AA 1⊥CD ，

又 AB ⊥CD ，AA 1∩AB =A ， 所以 CD ⊥面A 1DE ，

所以三棱锥 E ?A 1CD 可以把面 A 1DE 作为底面，高就是 CD =√2，底面 A 1DE 的面积为 4√2?√2?

√2

2

?√2=

3√22

，

所以三棱锥 E ?A 1CD 的体积为

3√22

×√2×1

3=1．

10. （1） 因为 E ，F 分别为棱 AB ，AD 的中点，所以 EF ∥BD ． 又 EF ?平面EFG ，BD ?平面EFG ， 所以 BD ∥平面EFG ． 如图建立空间直角坐标系，

则 A(√2,0,0)，B(0,√2,0)，D(0,?√2,0)，S(0,0,√2)，E (√22,√22,0)，F (√22,?√22,0)，G (0,√22,√2

2

)． 设平面 EFG 的法向量为 m ???=(x,y,z )，

EF ??????=(0,?√2,0)，EG ??????=(?√22

,0,√22

)，可得 m ???=(1,0,1)，

所以点 B 到平面 EFG 的距离为 d =∣

∣EB ???????m ????∣

∣∣m

????∣=1

2．

即直线 BD 到平面 EFG 的距离为 12

． （2） 因为 EC

??????=(?3√22

,?√22

,0)， 所以点 C 到平面 EFG 的距离为 d =∣

∣EC ???????m ????∣∣∣m

????∣=3

2

．

11. 如图，设球面的半径为 r ，O? 是 △ABC 的外心，外接圆半径为 R ，则 OO?⊥面ABC ．

在 Rt △ACD 中，cosA =2

6=1

3，则 sinA =2√2

3

， 在 △ABC 中，由正弦定理得

6sinA =2R ，R =

9√24

，即 O?C =

9√24

．

在 Rt △OCO? 中，由题意得 r 2?1

4r 2=81×216

，得 r =3√62

．

球的表面积 S =4πr 2=4π×

9×64

=54π．

球的体积为 4

3π(3√6

2)

3

=27√6π．

12. （1） A 1D ⊥ 平面 ABC ，A 1D ? 平面 AA 1C 1C ， 故平面 AA 1C 1C ⊥ 平面 ABC ．

又 BC ⊥AC ，所以 BC ⊥ 平面 AA 1C 1C ． 如图，连接 A 1C ，

因为侧面 AA 1C 1C 为菱形，故 AC 1⊥A 1C ， 由 BC ⊥ 平面 AA 1C 1C 知 AC 1⊥BC ， 而 A 1C ∩BC =C ，

故可得 AC 1⊥面A 1CB ，所以 AC 1⊥A 1B ．

（2） BC ⊥ 平面 AA 1C 1C ，BC ? 平面 BCC 1B 1， 故平面 AA 1C 1C ⊥ 平面 BCC 1B 1．

作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1．

又直线AA1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线AA1与平面BCC1B1的距离，A1E=√3．因为A1C为∠ACC1的角平分线，故A1D=A1E=√3．

作DF⊥AB，F为垂足，连接A1F，

由题可知A1D⊥面ACB，所以A1D⊥AB．

因此，可知AB⊥面A1DF，因此A1F⊥AB，

故∠A1FD为二面角A1?AB?C的平面角．

由

AD=√AA12?A1D2=1,

得D为AC的中点，

DF=1

2

×

AC×BC

AB

=

√5

5

,

所以

tan∠A1FD=A1D

DF

=√15,

所以二面角A1?AB?C的大小为arctan√15．

13. （1）如图，取PB中点M，连接FM，

因为F为PC中点，所以FM为△PBC中位线，

所以FM∥BC∥AE且FM=1

2

BC=AE，

所以四边形EFMA为平行四边形，EF∥AM．

因为EF?平面PAB，AM?平面PAB，所以EF∥平面PAB．

（2）① 连接PE,BE．

因为PA=PD，BA=BD，而E为AD中点，故PE⊥AD，BE⊥AD，所以∠PEB为二面角P?AD?B的平面角．

在△PAD中，由

AD=2,PA=PD=√5,

可解得

PE=2.

△ABD中，由

BA=BD=√2,

可解得

BE=1.

在三角形PEB中，PE=2，BE=1，∠PEB=60°，由余弦定理，可解得

PB =√3,

从而 ∠PBE =90°，即 BE ⊥PB ，

又 BC ∥AD ，BE ⊥AD ，从而 BE ⊥BC ，因此 BE ⊥ 平面 PBC ． 又 BE ? 平面 ABCD ，所以平面 PBC ⊥ 平面 ABCD ； ②连接 BF ，由 ① 知 BE ⊥ 平面 PBC ． 所以 ∠EFB 为直线 EF 与平面 PBC 所成的角，由

PB =√3,PA =√5,AB =√2,

得 ∠ABP 为直角，而

MB =12PB =√32

,

可得 AM =

√11

2

，故 EF =

√11

2

．又 BE =1，故在 Rt △EBF 中，可得 sin∠EFB =

BE EF =2√11

11

. 所以，直线 EF 与平面 PBC 所成角的正弦值为

2√1111

． 14. （1） 由 AD =CD ，AC 的中点为 E ，所以 DE ⊥AC ．如图，以 A 为原点建立空间直角坐标系，

依题意可得 A (0,0,0)，B (1,0,0)，A 1(0,0,2)，C (0,2,0)，D (?2,1,0)，B 1(1,0,2)，D 1(?2,1,2)，E (0,1,0)． A 1C ????????=(0,2,?2)，DE ??????=(2,0,0)，

因为 A 1C ?????????DE ??????=(0,2,?2)?(2,0,0)=0+0+0=0， 所以 A 1C ⊥DE ，即 A 1C 与 DE 所成的角为 π

2．

（2） 设平面 B 1AC 与平面 D 1AC 所成的角为 θ，平面 B 1AC 的法向量为 m ???=(x 1,y 1,1)， 平面 D 1AC 的法向量为 n ??=(x 2,y 2,1)．

B 1A ????????=(?1,0,?2)，D 1A ????????=(2,?1,?2)，A

C ??????=(0,2,0)． 由 {

m ????B 1A ????????=0,m ????AC ??????=0,

得 {?x 1?2=0,2y 1=0, 解得 {x 1=?2,y 1=0,

所以 m ???=(?2,0,1)，同理可得 n ??=(1,0,1)， 设的夹角为 α，则 cosα=m

?????n ??∣∣m ????∣∣∣∣n ??∣∣=

?2+1√5√2

=?

√10

10

，由图知 cosθ=?cosα=

√10

10

， 所以二面角 B 1?AC ?D 1 （锐角）的余弦值为 √10

10．

15. （1） ∵PA ⊥平面ABCD ，∠BAD =90°，AB =1，AD =2，建立如图所示的空间直角坐标系 A ?xyz ，

则 A (0,0,0)，B (1,0,0)，F (1,1,0)，D (0,2,0)． 不妨令 P (0,0,t )，

∵PF ??????=(1,1,?t )，DF ??????=(1,?1,0)，

∴PF ???????DF ??????=1×1+1×(?1)+(?t )×0=0，即 PF ⊥FD ． （2） 如图所示，

设平面 PFD 的法向量为 n ??=(x,y,z )，由 {

n ???PF

??????=0,n ???DF ??????=0,

得

{x +y ?tz =0,x ?y =0.

令 z =1，得 x =y =t 2，所以 n ??=(t 2,t

2,1)．

设 G 点坐标为 (0,0,m ) (0≤m ≤t )，E (1

2,0,0)，则 EG ??????=(?12

,0,m)． 要使 EG ∥平面PFD ，只需 EG ???????n ??=0，即 (?12)×t 2+0×t 2+1×m =m ?t

4=0，得

m =1

4

t,

从而满足 AG =1

4AP 的点 G 即为所求． （3） ∵AB ⊥平面PAD ，

∴AB

?????? 是平面 PAD 的法向量，易得 AB ??????=(1,0,0)， 又 ∵PA ⊥平面ABCD ，

∴∠PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角，得 ∠PBA =45°，PA =1，平面 PFD 的法向量为 n ??=(12,1

2,1)，所以

cos?AB ??????,n ???=AB ???????n ??

∣∣AB ??????∣

∣?∣n ??∣=

1

2√14+14

+1=√66

, 因为所求二面角为锐角，故所求二面角 A ?PD ?F 的余弦值为 √6

6． 16. （1） 法一：如图，连接 A 1B ，记 A 1B 与 AB 1 的交点为 F ．

因为面 AA 1B 1B 为正方形，故 A 1B ⊥AB 1，且 AF =FB 1． 又 AE =3EB 1，所以 FE =EB 1，又 D 为 BB 1 的中点， 故 DE ∥BF ，DE ⊥AB 1．

作 CG ⊥AB ，G 为垂足，由 AC =BC 知，G 为 AB 中点． 又由底面 ABC ⊥面AA 1B 1B ，得 CG ⊥面AA 1B 1B ． 连接 DG ，则 DG ∥AB 1，故 DE ⊥DG ，易得 DE ⊥CD ． 所以 DE 为异面直线 AB 1 与 CD 的公垂线．

法二：以 B 为坐标原点，射线 BA 为 x 轴正半轴，射线 BB 1 为 y 轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系 B ?xyz ．

设 AB =2，则

A (2,0,0),

B 1(0,2,0),D (0,1,0),E (12,3

2

,0).

又设 C (1,0,c )，则

DE ??????=(12,1

2

,0),B 1A ????????=(2,?2,0),DC ??????=(1,?1,c ). 于是 DE ???????B 1A ????????=0，DE ???????DC ??????=0，故 DE ??????⊥B 1A ????????，DE ??????⊥DC ??????． 所以 DE 为异面直线 AB 1 与 CD 的公垂线．

（2） 解法一：因为 DG ∥AB 1，故 ∠CDG 为异面直线 AB 1 与 CD 的夹角，∠CDG =45°． 设 AB =2，则

AB 1=2√2,DG =√2,CG =√2,AC =√3.

如图，作 B 1H ⊥A 1C 1，H 为垂足．因为底面 A 1B 1C 1⊥面AA 1C 1C ，故 B 1H ⊥面AA 1C 1C ，又作 HK ⊥AC 1，K 为垂足，连接 B 1K ，易得 B 1K ⊥AC 1，因此 ∠B 1KH 为二面角 A 1?AC 1?B 1 的平面角． 又

B 1H =A 1B 1×√A 1

C 1

2?(1

2A 1B 1)2

A 1C 1=2√2√3

,HC 1=√B 1C 12

?B 1H 2=√33,

AC 1=√22+(√3)2

=√7,HK =AA 1×HC 1AC 1=2√33√7

,

所以 tan∠B 1KH =

B 1H HK

=√14，所以二面角 A 1?AC 1?B 1 的大小为 arctan √14．

解法二：因为 ?B 1A ????????,DC ??????? 等于异面直线 AB 1 与 CD 的夹角，故

B 1A ?????????D

C ??????=∣∣B 1A ????????∣∣?∣∣DC ??????∣∣cos45°,

即

2√2×√c 2+2×

√2

2

=4, 解得 c =√2，故 AC

??????=(?1,0,√2)． 又 AA 1????????=BB 1????????=(0,2,0)，所以

AC 1????????=AC ??????+AA 1????????=(?1,2,√2).

设平面 AA 1C 1 的法向量为 m ???=(x,y,z )，则

m ????AC 1????????=0,m ????AA 1????????=0,

即

?x +2y +√2z =0,2y =0.

令 x =√2，则 z =1,y =0，故 m ???=(√2,0,1)． 设平面 AB 1C 1 的法向量为 n ??=(p,q,r )，则

n ???AC 1????????=0,n ???B 1A ????????=0,

即

?p +2q +√2r =0,2p ?2q =0.

令 p =√2，则 q =√2,r =?1，故 n ??=(√2,√2,?1)． 所以

cos ?m ???,n ???=

m ????n ??∣m

???∣∣n ??∣=1

√15. 由于 ?m ???,n ??? 等于二面角 A 1?AC 1?B 1 的平面角，所以二面角 A 1?AC 1?B 1 的大小为 arccos √15

15

． 17. （1） 因为 PA =PD =AD ，E 为 AD 中点， 所以 AD ⊥PE ，

又 AD ∥BC ，AD ⊥CD ，得 AD ⊥BE ，

因为 PE ，BE 都在平面 PBE 内，且 PE ∩BE =E ， 所以 AD ⊥平面PBE ．

（2） 连接 AC 交 BE 于点 G ，连接 FG ，

因为 BC 平行且等于 AE ， 所以 G 为 BE 中点， 又 F 为 PC 中点， 所以 PA ∥FG ，

因为 PA ?平面BEF ，FG ?平面BEF ， 所以 PA ∥平面BEF ；

（3） 取 CD 中点 H ，连接 GH ，FH ，