九年级数学韦达定理同步练习题
九年级数学韦达定理同
步练习题
TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
2012湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【】A．－2 B．2 C．3 D．1
（2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则
x1·x2的值是【】
.
.
C.－4.
D.－3.
（2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】
A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0
（2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】
A．－2 B．0 C．1 D．2
练习题：
1.（2007重庆市3分）已知一元二次方程2
--=的两根为x1、x2，则x1+x2=
2x3x10
▲ 。
2. （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程2x12x70
+-=的两个根为x1、x2，则
x1+x2的值是【】
A．－12 B．12 C．－7 D．7
3.（2011广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1、
x2，则x1·x2=▲ ．
4.（2011湖北咸宁3分）若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为
【 】
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
5.（2011云南昆明3分）若x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，则x 1+x 2与x 1x 2的值分别是【 】
A 、﹣7
2，﹣2 B 、﹣7
2，2 C 、72，2 D 、7
2
，﹣2 （2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为【 】
A ． ﹣3
B ． 3
C ． ﹣6
D ． 6 （2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为【 】
A ．9
B ．±3
C ．3
D ．5
（2012江苏南通3分）设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝ ▲ ．
（2012湖北鄂州3分）设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，且
21222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a= ▲ .
练习题：
1. （2012湖南张家界3分）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则
11+m n
= ▲ ．
2. （2012四川泸州3分）设x 1，x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则221212x x 4x x ++的值为 ▲
3. （2012山东日照4分）已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么2112
x x x x +的值为 ▲ .
4. （2012黑龙江绥化3分）设a ，b 是方程x 2＋x －2013=0的两个不相等的实数根，则a 2＋2a ＋b 的值为
▲
5. （2012黑龙江大庆4分）若方程2x x 10--=的两实根为a 、b ，求1
1a b
+的值． （2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如果关于x 的一元二次方程x 2+4x+a=0的两个不相等实数根x 1，x 2满足x 1x 2﹣2x 1﹣2x 2﹣5=0，那么a 的值为【 】
A ．3
B ．﹣3
C ．13
D ．﹣13
（2012湖南株洲3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣bx+c=0的两根分别为x 1=1，x 2=﹣2，则b 与c 的值分别为【 】
A ．b=﹣1，c=2
B ．b=1，c=﹣2
C ．b=1，c=2
D ．b=﹣1，c=﹣2
（2012内蒙古呼和浩特3分）已知：x 1，x 2是一元二次方程x 2+2ax+b=0的两根，且x 1+x 2=3，x 1x 2=1，则a 、b 的值分别是【 】
A ．a=﹣3，b=1
B ．a=3，b=1
C ．3a=2-，b=﹣1
D ．3
a=2-， （2012内蒙古包头3分）关于x 的一元二次方程()2x mx+5m 5=0--的两个正实数根分别为x 1，x 2，且2x 1+x 2=7，则m 的值是【 】
B. 6
C. 2或6 D . 7
最新初中数学之韦达定理
精品文档 精品文档 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根 12,x x ，那么1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 1.不解方程写出下列方程的两根和与两根差 （1）01032=--x x （2）01532=++x x （3）0223422 =--x x 2. 如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 3. 若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 4. 已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += 5. 若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 6. 已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: （1）2212x x += ； （2）2 111x x += ； （3）=-221)(x x = ； （4）)1)(1(21++x x = 7.已知关于x 的方程02)15(22=-++-k x k x ，是否存在负数k ，使方程的两个实数根的 倒数和等于4？若存在，求出满足条件的k 的值；若不存在，说明理由。 8.关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 9.已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B) 3 (C ) 7 (D) －3 10.已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2 111x x +=（ ） (A )－31 (B) 3 1 (C )3 (D) －3 11. 若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是（ ） (A )5或－2 (B) 5 (C ) －2 (D) －5或2 12.若方程04322=--x x 的两根是1x ，2x ，那么)1)(1(21++x x 的值是（ ） (A )－21 (B) －6 (C ) 21 (D) －2 5 13.分别以方程122--x x =0两根的平方为根的方程是（ ）
韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
1、韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
韦达定理在初中数学竞赛应用
韦达定理的应用 例1、 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b 则 b a a a b b +的值为（ ）（2004年全国初中数学竞赛试题第1题） （A ）23 （B ）-23 （C ）-2 （D ）-13 例2、实数t s .分别满足1,01999,01991922≠=++=++st t t s s ，求 t s st 14++的值。 （1999年全国初中数学竞赛试题） 例3、若1≠ab ，且有0520019,092001522=++=++b b a a ，则b a 的值是（ ） （2001年全国初中数学联合竞赛试题） （A ） 59 （B ）95 （C ）52001- （D ）92001 例4、已知0325,052322=-+=--n n m m ，其中n m .为实数，求n m 1- 的值。 （2000年江苏省初中数学竞赛试题）
例5、设0122=-+a a ，01224=--b b ，且012 ≠-ab 。 求200322)12(a a b ab +-+的值。（2003年全国初中数学联合竞赛初赛题） 练习： 1、 已知实数b a ,满足027,02722=+-=+-b b a a ，求 b a a b +的值。 2、 已知实数b a ,满足015,01522=--=--b b a a ，求 b a a b +的值。 3、 已知实数b a ,满足025,02522=++=++b b a a ，求 a b b a +。 4、 已知βα,是方程022)2(322=--++m x m x 的两根且 2=βα，求m 的值。 5、 已知21,x x 是方程06)53(422=---m x m x 的两根，且 2321=x x ，求m 的值。 6、 关于x 的方程)(09)(2b a x b a x <=+--的两实根为βα,，求αββα+的值。
初中数学竞赛辅导-韦达定理及其应用
学科：奥数年级：初三 不分版本期数：346 本周教学内容：韦达定理及其应用 【内容综述】 设一元二次方程有二实数根，则， 。 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。其逆命题也成立。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。本讲重点介绍它在五个方面的应用。 【要点讲解】 1．求代数式的值 应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 ★★例1若a，b 为实数，且，，求的值。 思路注意a，b 为方程的二实根；（隐含）。 解（1）当a=b时， ； （2 ）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得 ，ab=1. 说明此题易漏解a=b 的情况。根的对称多项式，，等都可以用 方程的系数表达出来。一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。 其中n为自然数。由此关系可解一批竞赛题。 附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2 若，且，试求代数式的值。 思路 此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。 解：因为，由根的定义知m ，n 为方程 的二不等实根，再由韦达定理， 得 ， ∴ 2．构造一元二次方程 如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。 ★★★★例3 设一元二次方程的二实根为和。 （1）试求以和为根的一元二次方程； （2）若以 和 为根的一元二次方程仍为 。求所有这样的一元二次方 程。 解 （1）由韦达定理知 ， 。 ， 。 所以，所求方程为 。 （2）由已知条件可得 解之可得由②得，分别讨论 （p,q ）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。 于是，得以下七个方程 ， ， ， ，， 01x 2x 2=++，01x 2=-，其中01x 2=+无实数根，舍去。其余六个方程均为所求。
一元二次方程之韦达定理
一对一个性化辅导教师授课学案 学生姓名年级初三科目数学授课老师相老师总课时数第几次课 3 授课时间审核人 本次课课题一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 教学目标韦达定理 授课内容 教学内容 对于一元二次方程，当判别式△＝ 时，其求根公式为：；若两根为，当△≥0时，则两根的关系为：；，根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当，时，那么 则是的两根。一元二次方程的根与系数的关系，综合 性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还 常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式 存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程 的两个根，进而分解因式，即 。下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例 做些分析，希望能给同学们带来小小的帮助。 一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。 例1：已知关于的方程（1）有两个不相等的实数根，且关于的方程（2）没有实数根，问取什么整数时，方程（1）有整数解？
分析：在同时满足方程（1），（2）条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而 筛选出，这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式△，但△只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定或的正负情况。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中＜0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若＞0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。
初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么 b a a b +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例3】 已知关于x 的方程：04)2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
初中数学代数复习之韦达定理
代数复习三-----------一元二次方程根与系数的关系 现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节有着许多应用．本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述． 一）、一元二次方程的根的判断式? 一元二次方程2 0 (0)a x b x c a ++=≠， 用配方法将其变形为： (1) 当240b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根： (2) 当240b ac -=时，右端是零．(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根． 由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把 24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ?=- 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数： (1) 22310x x -+= (2) 24912y y += (3) 25(3)60x x +-= 解：(1) 2(3)42110?=--??=>，∴ 原方程有两个不相等的实数根． (2) 原方程可化为：241290y y -+= 2(12)4490?=- -??=，∴ 原方程有两个相等的实数根． (3) 原方程可化为：256150x x -+= 2(6)45152640?=--??=-<，∴ 原方程没有实数根． 说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
【例2】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；(2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根； (4) 方程无实数根． 解：2(2)43412k k ?=--??=- (1) 1 41203k k ->?<； (2) 141203k k -=?= ； (3)31 0124≤?≥-k k ； (4) 31 0124>?<-k k ． 【例3】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值． 解：可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得： 22(2)10x y x y y --+-+= 由于x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： 222[(2)]4(1)300y y y y y ?=----+=-≥?=， 代入原方程得：22101x x x ++=?=-．综上知：1,0x y =-= 二）、一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为： x x == 所以：12b x x a += +=-， 22122 2()422(2)4b b b ac c x x a a a a a -+----?=?=== 韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 说明：以通常把此定理称为”韦达定理”． 【例4】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4) 12||x x -． 分析：本题若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂
(人教版初中数学)韦达定理
判别式与韦达定理 〖知识点〗 一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗 1.掌握一元二次方程根的判别式,会判断常数系数一元二次方程根的情况.对含有字母系数的由一元二次方程,会根据字母的取值范围判断根的情况,也会根据根的情况确定字母的取值范围； 2.掌握韦达定理及其简单的应用； 3.会在实数范围内把二次三项式分解因式； 4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题. 内容分析 1.一元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac 当△＞0时,方程有两个不相等的实数根； 当△＝0时,方程有两个相等的实数根, 当△＜0时,方程没有实数根． 2.一元二次方程的根与系数的关系 (1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1,x 2,那么a b x x -=+21,a c x x =21 (2)如果方程x 2 +px+q=0的两个根是x 1,x 2,那么x 1+x 2=-P, x 1x 2=q (3)以x 1,x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是 x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0． 3.二次三项式的因式分解(公式法) 在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时,如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根 是x 1,x 2,那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)． 〖考查重点与常见题型〗 1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况,有关试题出现在选择题或填空题中,如： 关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么梗的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定 2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值,有关问题在中考试题中出现的频率非常高,多为选择题或填空题,如： 设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 3．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题.在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题,考查了考生分析问题、解决问题的能力. 考查题型 1．关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中,如果a<0,那么根的情况是（ ） （A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根 （D ）不能确定 2．设x 1,x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根,则x 12＋x 22的值是（ ）
韦达定理(常见经典题型)
韦达定理(常见经典题型)
一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平 方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02 ≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： 一元二次 定义：等号两边都是整式，只 含有一个未知数（一 解法直接开平方法 因式分解法 配方法 公式 法 22 240404b ac b ac b ac ?-??-???-?? ＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根应用一元二次方程解决实际 问题?? ? 步骤 实际问题的答案
①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一、 一元二次方程的基本概念及解法 1、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a(a≠0)，则a －b 的 值为 A ．－１ B ．0 C ．1 D ．2 2、 程时。 、当方程为一元二次方程时；、当方程为一元一次方的取值范围。 满足下列条件时，当方程21m 05)3()3(1 =+-++-x m x m m 3、一元二次方程x （x －2）=2－x 的根是（ ） A ．－1 B ．2 C ．1和2 D ．－1和2 二 一元二次方程根的判别式 4、关于x 的方程2210x kx k ++-=的根的情况描述正确的是( )． A ．k 为任何实数．方程都没有实数根 B ，k 为任何实数．方程都有两个不相等的实数根 C ．k 为任何实数．方程都有两个相等的实数根 D ．根据k 的取值不同．方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种 5、已知关于x 的一元二次方程（a ﹣l ）x 2﹣2x+l ＝0有两个不相等的实
韦达定理教案
1 教案：韦达定理 一、教学目标 1．通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力； 2．通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养逻辑思维及创新思维能力。 二、教学重点、难点 1．教学重点：根与系数的关系的发现及其推导． 2．教学难点：韦达定理的灵活应用． 三、教学过程 （一）定理的发现及论证 的值的两根，如何求是方程，提出问题：已知3320132βαβα+=--x x 1.你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7 问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？ 观察、思考、 探索：2x 2 -5x+3=0,这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？ 问题2；对于一元二次方程的一般式ax 2 +bx+c=0（a ≠0）是否也具备这个特征？ 结论1．如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，a c x x a b x x =-=+2121,那么 结论2．如果方程x 2 +px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．
2 结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便． （二）定理的应用 例1、关于x 的方程x 2 -2x +m=0 的一根为2 ，求另一根和m 的值。 3222 32.,2310,. 11(1)(2)(1)(1)(3)(4)|| 5x x αβαβαβαβαβαβ--=++++-+例已知是方程的两根不解方程，求下列各式的值（） 例2、已知06,221=+-k x x x x x 的方程是关于的两个实数根且115)(212221=+-x x x x ，求k 值。 例3已知实数b a ,分别满足的值求且b a b a b b a a 11,22,2222+≠=+=+ （三）总结 一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行．它深化了两根的和与积和系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，为进一步学习使用打下坚实基础． 韦达定理的内容 ①如果ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-a b ， x 1·x 2= a c ②如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是x 1，x 2，那么 x 1＋x 2＝-p ，x 1·x 2=q ．
韦达定理与习题
韦达定理与习题Revised on November 25, 2020
一. 本周教学内容：韦达定理的应用 二. 重点、难点： 灵活应用韦达定理与推论(韦达定理的逆定理) 三.知识回顾 在初中数学的学习中，韦达定理及其逆定理的应用是很广泛的，主要有如下的应用： 1. 已知一元二次方程的一根，求另一根。 2. 已知一元二次方程的两根，求作新的一元二次方程。 3. 不解方程，求关于两根的代数式的值。 4. 一元二次方程的验根。 5. 解一类特殊的二元二次方程组和通过换元等方法求解二次根式方程。 6. 与判别式的综合应用。 【典型例题】 例1：已知关于x的方程2x－（m＋1）x＋1－m=0的一个根为4，求另一个根。 解：设另一个根为x则相加，得x 例2：已知方程x－5x＋8=0的两根为x，x，求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为和 解：∵ 又
∴代入得， ∴新方程为 例3：判断是不是方程9x－10x－2=0的一个实数根解：∵二次实数方程实根共轭。 ∴若是，则另一根为 ∴，。 ∴以为根的一元二次方程即为. 例4：解方程组 解：设 ∴. ∴A=5. ∴x-y=5 又xy=-6. ∴解方程组
∴可解得 例5：已知Rt ABC中，两直角边长为方程x－（2m＋7）x＋4m（m－2）=0的两根，且斜边长为13，求S的值 解：不妨设斜边为C=13，两条直角边为a，b。 则2。 又a，b为方程两根。 ∴ab=4m（m-2） ∴S 但a，b为实数且 ∴ ∴ ∴m=5或6 当m=6时， ∴m=5 ∴S. 例6：M为何值时，方程8x－（m－1）x＋m－7=0的两根 ①均为正数②均为负数③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数
拓展知识：韦达与韦达定理
韦达及韦达定理 数学在许多人眼里是很抽象、复杂的，但在这些复杂现象的背后却往往有着 非常和谐、自然的规律，如果能更多地理解和掌握这些规律，就会对数学有更深 刻的认识。很多迷恋数学的人就是被数学的这一特点所吸引，韦达便是其中的一 员。 韦达于1540年生于法国普瓦图地区，1560年就读于法国普瓦图大学，是大 学法律系的毕业生。毕业后长期从事法律工作，一直到1603年去世，数学始终 是韦达的业余爱好，并且达到了酷爱的程度。 韦达研究二次方程时，已经注意到，如果一次项的系数是两个数之和的相反数，而常数项是这两个数的乘积，则这两个数就是这个方程的根。由于时代的局限，他当时没能从理论上证明它，但他的数学思想和他的数学著作都大大充实了数学宝库。1615年(此时，韦达已逝世12年，这些著作是由后人整理的)发表的韦达的著作《论方程的整数与修正》是一部方程论的专著，书中对一元三次方程、一元四次方程的解法做出了改进，并揭示了方程根与系数的关系。其中不仅包括一元二次方程的根与系数的关系，还包含了一元n次方程根与系数的关系： 如果一元n次方程a n x n+a n-1x n-1+…+a1x+a0=0的n个根是x1, x2, …, x n, 那么 人们为了纪念他，把这个关系称为“韦达定理”。 一元二次方程根与系数的关系，就是上述定理在n=2时的情况。 下面是关于韦达的两则趣事。 与罗门的较量：比利时的数学家罗门曾提出一个45次方程的问题向各国数 学家挑战。法国国王便把该问题交给了韦达，韦达当时就得出一解，回家后一鼓 作气，很快又得出了22解。答案公布，震惊了数学界。韦达又回敬了罗门一个
问题。罗门苦思冥想数日方才解出，而韦达却轻而易举地作了出来，为祖国争得了荣誉，他的数学造诣由此可见一斑。 韦达的“魔法”：在法国和西班牙的战争中，法国人对于西班牙的军事动态总是了如指掌，在军事上总能先发制人，因而不到两年功夫就打败了西班牙。可怜西班牙的国王对法国人在战争中的“未卜先知”十分恼火又无法理解，认为是法国人使用了“魔法”。原来，是韦达利用自己精湛的数学方法，成功地破译了西班牙的军事密码，为他的祖国赢得了战争的主动权。另外，韦达还设计并改进了历法。所有这些都体现了韦达作为大数学家的深厚功底。
初中数学韦达定理习题及答案
初中数学韦达定理习题及答案法国数学家韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此，人们把这个关系称为韦达定理。 求实数k，使得方程kx+(k+1)x+(k-1)=0的根都是整数. 解：若k=0，得x=1，即k=0符合要求. 若k≠0，设二次方程的两个整数根为x1、x2，且X1≤X2，由韦达定理得 ∴x1x2-X1-x2=2， (x1-1)( x2-1)=3. 因为x1-1、x2-1均为整数， 所以X1=2，X2=4;X1=—2，X2=0. 所以k=1,或k=-1/7 韦达定理在方程论中有着广泛的应用，在考试中也不例外。 因式分解同步练习(解答题) 关于因式分解同步练习知识学习，下面的题目需要同学们认真完成哦。 因式分解同步练习（解答题） 解答题 9．把下列各式分解因式： ①a2+10a+25 ②m2-12mn+36n2
③xy3-2x2y2+x3y ④（x2+4y2）2-16x2y2 10．已知x=-19，y=12，求代数式4x2+12xy+9y2的值． 11．已知│x-y+1│与x2+8x+16互为相反数，求x2+2xy+y2的值． 答案： 9．①（a+5）2；②（m-6n）2；③xy（x-y）2；④（x+2y）2（x-2y）2 通过上面对因式分解同步练习题目的学习，相信同学们已经能很好的掌握了吧，预祝同学们在考试中取得很好的成绩。 因式分解同步练习(填空题) 同学们对因式分解的内容还熟悉吧，下面需要同学们很好的完成下面的题目练习。 因式分解同步练习（填空题） 填空题 5．已知9x2-6xy+k是完全平方式，则k的值是________． 6．9a2+（________）+25b2=（3a-5b）2 7．-4x2+4xy+（_______）=-（_______）． 8．已知a2+14a+49=25，则a的值是_________．答案： 5．y2 6．-30ab 7．-y2；2x-y 8．-2或-12 通过上面对因式分解同步练习题目的学习，相信同学们已
初三上学期一元二次方程 韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案之欧阳歌谷创作
韦达定理（根与系数的关系） 欧阳歌谷（2021.02.01） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2 x ，那么 1x +2x =， 1x 2x =. 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x =，1x 2x =. 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x =，1x 2x =. 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m =；如果两根互为倒数，那么n =. 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m =，n =. 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是. 7、以13+，13-为根的一元二次方程是. 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为. 9、以23+和23-为根的一元二次方程是. 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为. 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x +=.
12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是，m 的值是. 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k =，若两根互为倒数，则k =. 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么 n mx x ++2在实数范围内可分解为. 二、已知方程0232=--x x 的两根为1x 、2x ，且1x >2x ,求下列各式的值: （1）2212x x +=； （2） 2 111x x +=； （3）=-221)(x x =； （4）)1)(1(21++x x =. 三、选择题： 1、关于x 的方程p x x --822＝０有一个正根，一个负根，则p 的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）－8 （D ）－4 2、已知方程122-+x x =0的两根是1x ，2x ，那么=++1221221x x x x （ ） (A )－7 (B)3 (C ) 7 (D) －3 3、已知方程0322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么2 111x x +=（ ） (A )－3 1 (B)3 1(C )3 (D) －3 4、下列方程中，两个实数根之和为2的一元二次方程是（ ） （A ）0322=-+x x （B ） 0322=+-x x （C ）0322=--x x （D ）0322=++x x 5、若方程04)103(422=+--+a x a a x 的两根互为相反数，则a 的值是
韦达定理在初中数学竞赛中的应用
韦达定理在初中数学竞赛 中的应用 The final edition was revised on December 14th, 2020.
韦达定理在初中数学竞赛题中的应用 湖南省株洲市第三中学 李梅英 设一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根为1x 、2x ，则a b x x -=+21， a c x x =?21这个定理叫韦达定理。 韦达定理是初中数学竞赛的重点内容，题型多样，方法灵活，触及知识面广。现结合2004年“TRULR R 信利杯”全国初中数学竞赛试题为例将韦达定理的解题策略简述如下： 例1、 已知实数b a ≠，且满足)1(33)1(2+-=+a a ，2)1(3)1(3+-=+b b 则 b a a a b b +的值为（ ）（2004年全国初中数学竞赛试题第1题） （A ）23 （B ）-23 （C ）-2 （D ）-13 解：∵a 、b 是关于x 的方程03)1(3)1(2=-+++x x 的两个不相等的实数根，整 理此方程，得 0152=++x x ， ∵△=25-4>0 ∴5-=+b a ，1=ab 故a 、b 均为负数。因此 ab b a ab a b b a a a b b --=+=ab ab b a 22+-=232)(2-=-+- ab ab b a 所以选（B ） 例2、实数t s .分别满足1,01999,01991922≠=++=++st t t s s ，求 t s st 1 4++的值。 （1999年全国初中数学竞赛试题） 解：由题设知0≠t ，∴019992=++t t 可化为01)1 (99)1(192=++t t 又1≠st ，∴t s 1 ≠ ∴s ，t 1 是方程0199192=++x x 的两个不相等的实数根。 ∴=+t s 11999-，1911=?t s t s st 14++=t s t s 141?++=19141999?+- =19 95 -=5-。 例3、若1≠ab ，且有0520019,092001522=++=++b b a a ，则b a 的值是（ ）
九年级数学韦达定理同步练习题
九年级数学韦达定理同 步练习题 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
2012湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2－3x＋2＝0的两根，则x1＋x2的值是【】A．－2 B．2 C．3 D．1 （2001湖北武汉3分）若x1、x2是一元二次方程x2＋4x＋3＝0的两个根，则 x1·x2的值是【】 . . C.－4. D.－3. （2012山东烟台3分）下列一元二次方程两实数根和为﹣4的是【】 A．x2+2x﹣4=0B．x2﹣4x+4=0C．x2+4x+10=0D．x2+4x﹣5=0 （2012广西来宾3分）已知关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个实数根为1，那么它的另一个实数根是【】 A．－2 B．0 C．1 D．2 练习题： 1.（2007重庆市3分）已知一元二次方程2 --=的两根为x1、x2，则x1+x2= 2x3x10 ▲ 。 2. （2005浙江湖州3分）已知一元二次方程2x12x70 +-=的两个根为x1、x2，则 x1+x2的值是【】 A．－12 B．12 C．－7 D．7 3.（2011广西来宾3分）已知一元二次方程x2+mx﹣2=0的两个实数根分别为x1、 x2，则x1·x2=▲ ．
4.（2011湖北咸宁3分）若关于x 的方程022=+-m x x 的一个根为1-，则另一个根为 【 】 A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 5.（2011云南昆明3分）若x 1，x 2是一元二次方程2x 2﹣7x+4=0的两根，则x 1+x 2与x 1x 2的值分别是【 】 A 、﹣7 2，﹣2 B 、﹣7 2，2 C 、72，2 D 、7 2 ，﹣2 （2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程：x 2﹣3x ﹣1=0的两个根分别是x 1、x 2，则x 12x 2+x 1x 22的值为【 】 A ． ﹣3 B ． 3 C ． ﹣6 D ． 6 （2012山东莱芜3分）已知m 、n 是方程x 2＋22x ＋1＝0的两根，则代数式m 2＋n 2＋3mn 的值为【 】 A ．9 B ．±3 C ．3 D ．5 （2012江苏南通3分）设m 、n 是一元二次方程x 2＋3x －7＝0的两个根，则m 2＋4m ＋n ＝ ▲ ． （2012湖北鄂州3分）设x 1、x 2是一元二次方程x 2＋5x －3=0的两个实根，且 21222x (x 6x 3)a 4+-+=，则a= ▲ . 练习题： 1. （2012湖南张家界3分）已知m 和n 是方程2x 2﹣5x ﹣3=0的两根，则 11+m n = ▲ ． 2. （2012四川泸州3分）设x 1，x 2是一元二次方程x 2 – 3x – 1 =0的两个实数根，则221212x x 4x x ++的值为 ▲ 3. （2012山东日照4分）已知x 1、x 2是方程2x 2+14x －16=0的两实数根，那么2112 x x x x +的值为 ▲ .
韦达定理常见经典题型)
一元二次方程知识网络结构图 1．方程中只含有 个未知数，并且整理后未知数的最高次数是 ，这样的方程叫做一元二次方程。 通常可写成如下的一般形式 ( a 、b 、c 、为常数，a )。 2. 一元二次方程的解法： （1）直接开平方法：当一元二次方程的一边是一个含有未知数的 的平方，而另一边是一个 时，可以根据 的意义，通过开平方法求出这个方程的解。 （2）配方法：用配方法解一元二次方程()02≠=++a o c bx ax 的一般步骤是： ①化二次项系数为 ，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为 项和 项，右边为 项； ③配方，即方程两边都加上 的平方； ④化原方程为2 ()x m n +=的形式， 如果n 是非负数，即0n ≥，就可以用 法求出方程的解。 如果n ＜0，则原方程 。 （3）公式法: 方程20(0)ax bx c a ++=≠，当24b ac -_______ 0时，x = ________ （4）因式分解法：用因式分解法解一元二次方程的一般步骤是： ①将方程的右边化为 ； ②将方程的左边化成两个 的乘积； ③令每个因式都等于 ，得到两个 方程； ④解这两个方程，它们的解就是原方程的解。 3、韦达定理 一元二次 方程 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），未 知数的最高次数是2（二次）的方程为一元二次方程 解法（降次） 直接开平方法 因式分解法 配方法 公式法22240404b ac b ac b ac ?-??-???-??＞方程有两个不相等的实数根＝方程有两个相等的实数根＜方程无实数根 应用一元二次方程解决实际问题??? 步骤实际问题的答案
初中数学韦达定理知识点及应用解析
一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）知识点及应用解析 1 、定义：若 x 1 ， x 2 是一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (a ≠ 0) 的两个根，则有 x 1 + x 2 = - ， x 1 · x 2 = 。对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2+px+q=0 ，则有 x 1 + x 2 =-p ， x 1 · x 2 =q 2 、应用的前提条件：根的判别式△≥ 0 方程有实数根。 3 、若一个方程的两个为 x 1 ， x 2 ，那么这个一元二次方程为 a[x 2 +(x 1 +x 2 )x+ x 1 · x 2 ]=0(a ≠ 0) 4 、根与系数的关系求值常用的转化关系： ① x 1 2 +x 2 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -2x 1 x 2 = = ② ③ (x 1 +a)(x 2 +a)= x 1 x 2 +a(x 1 +x 2 ) +a 2 = -b +a 2 ④ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 = 5 、方法归纳：（ 1 ）一元二次方程的根与系数的关系的运用条件条件为一元二次方程，即a ≠ 0 ，且必须有实数根，即△≥ 0 ； （ 2 ）运用一元二次方程的根与系数的关系时，一元二次方程应化为一般形式，若系数中含字母要注意分类讨论； （ 3 ）一元二次方程的根与系数的关系有时与一元二次方程根的定义综合运用，注意观察所求代数式是特点。 （ 4 ）解题思路：将含有根的代数式变形成含有两根和与两根积的式子，再通过韦达定理转化成关于系数的式子，同时要注意参量的值要满足根的实际意义。 6 、一元二次方程的根与系数的关系的应用： （ 1 ）不解方程，判别一元二次方程两根的符号。（判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，判别式判定根的存在与否，若
初中数学竞赛讲义：第03讲-充满活力的韦达定理
第三讲 充满活力的韦达定理 一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。 韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。 【例题求解】 【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。 思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例 【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( ) A 、 22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22 123 或2 思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表 示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧： (1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。 【例3】 已知关于x 的方程：04 )2(2 2 =---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。 思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。 【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。 思路点拨：利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的。 注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性。 【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程04 7 )21(222=+-+-m mx x 的两个根。 (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由。