高中数学典型例题解析导数及其应用
三、经典例题导讲
［例１]已知2)
2
cos
1(x
y+
=,则='y．
错因：复合函数求导数计算不熟练,其x
2与x系数不一样也是一个复合的过程,有的同学忽视了，导致错解为：
)
2
cos
1(
2
sin
2x
x
y+
-
='.
正解：设2
u
y=,x
u2
cos
1+
=，则)
2(
)
2
sin
(
2
)
2
cos
1(
2'
?
-
?
='
+
=
'
'
=
'x
x
u
x
u
u
y
y
x
u
x
)
2
cos
1(
2
sin
4
2
)
2
sin
(
2x
x
x
u+
-
=
?
-
?
=∴)
2
cos
1(
2
sin
4x
x
y+
-
='.
[例2]已知函数
?
?
?
??
?
?
>
+
≤
+
=
)1
)(1
(
2
1
)1
)(1
(
2
1
)
(
2
x
x
x
x
x
f判断f(x)在ｘ=1处是否可导?
错解:1
)1(
,1
)1
1(
2
1
]1
)
1
[(
2
1
lim
2
2
=
'
∴
=
?
+
-
+
?
+
→
?
f
x
x
x
。
分析: 分段函数在“分界点”处的导数,须根据定义来判断是否可导．
解:1
)1
1(
2
1
]1
)
1
[(
2
1
lim
lim
2
2
=
?
+
-
+
?
+
=
?
?
-
-→
?
→
?x
x
x
y
x
x
∴f(x)在ｘ=1处不可导.
注:+
→
?0
x，指x?逐渐减小趋近于0;-
→
?0
x,指x?逐渐增大趋近于０。
点评：函数在某一点的导数，是一个极限值，即
x
x
f
x
x
f
x?
-
?
+
→
?
)
(
)
(
lim0
,△x→0,包括△x→０+,与△x→0-，因此,在判定分段函数在“分界点”处的导数是否存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等,如果都存在且相等,才能判定这点存在导数,否则不存在导数.
[例３］求3
22+
=x
y在点)5,1(P和)9,2(
Q处的切线方程。
错因:直接将P，Q看作曲线上的点用导数求解。
分析:点P在函数的曲线上,因此过点P的切线的斜率就是y'在1
=
x处的函数值；
点Q不在函数曲线上,因此不能够直接用导数求值,要通过设切点的方法求切线.
解:4
.
4
,3
2
1
2=
'
∴
='
∴
+
==x
y
x
y
x
y
即过点P的切线的斜率为４，故切线为:1
4+
=x
y．
设过点Q的切线的切点为)
,
(
y
x
T，则切线的斜率为0
4x，又
2
9
-
-
=
x
y
k PQ,
故002
042
62x x x =--,3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。
即切线QT 的斜率为４或12，从而过点Q 的切线为:
15
12,14-=-=x y x y 点评: 要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导数的方法求;不是则需设出切点坐标.［例4]求证：函数x
x y 1
+
=图象上的各点处切线的斜率小于1,并求出其斜率为0的切线方程．分析: 由导数的几何意义知,要证函数x
x y 1
+=的图象上各点处切线的斜率都小于1,只要证它的导函数的函数值都
小于1，因此,应先对函数求导后，再进行论证与求解． 解:（１)111,12<-='∴+
=x
y x x y ,即对函数x x y 1
+=定义域内的任一x ,其导数值都小于1,于是由导数的几何意义可知,函数x
x y 1
+=图象上各点处切线的斜率都小于１．（2）令0112
=-
x
,得1±=x ,当1=x 时,2111=+=y ；当1-=x 时，2-=y ,∴曲线x
x y 1
+
=的斜率为０的切线有两条，其切点分别为)2,1(与)2,1(--,切线方程分别为2=y 或2-=y 。点评： 在已知曲线 )(x f y =切线斜率为k 的情况下，要求其切线方程，需要求出切点，而切点的横坐标就是)(x f y =的导数值为k 时的解,即方程k x f =')(的解，将方程k x f =')(的解代入)(x f y =就可得切点的纵坐标,求出了切点坐标即可写出切线方程,要注意的是方程k x f =')(有多少个相异实根，则所求的切线就有多少条.
[例5]已知0>a ,函数a x x f -=3
)(,[)+∞∈,0x ,设01>x ，记曲线)(x f y =在点))(,(11x f x M 处的切线为
l ．
(1)求l 的方程；
(2)设 l 与 x 轴交点为)0,(2x ，求证：
① 31
2a x ≥；
②若31
1a x >
,则1
23
1x x a <<分析:本题考查导数的几何意义,利用其求出切线斜率,导出切线方程 .
解：(1)x
a x a x x x y x f x x ?+--?+=??=→?→?3300/
)(lim lim
)( x
x x x x x x ??+?+?=→?3
220)()(33lim
2
220
3])(33[lim x x x x x x =?+?+=→?2
113)(x x f ='∴∴切线l 的方程为)
)(()(111x x x f x f y -'=-
即)(3)(12
13
1x x x a x y -=--
.
(2）①依题意，切线方程中令y ＝0得，
②由①知2
1
31123x a x x x --
=,2
1
31123x a x x x --
=-∴[例6]求抛物线 2
x y =上的点到直线02=--y x 的最短距离．
分析：可设 ),(2
x x P 为抛物线上任意一点，则可把点P 到直线的距离表示为自变量x 的函数,然后求函数最小值即可，
另外，也可把直线向靠近抛物线方向平移，当直线与抛物线相切时的切点到直线02=--y x 的距离即为本题所求.
解:根据题意可知，与直线 x-y-2=0平行的抛物线y=x 2
的切线对应的切点到直线ｘ-y －２=0的距离最短,设切点坐标为（
），那么12|2|0'
00=====x x y x x x x ,∴2
1
0=
x ∴ 切点坐标为)41,21(,切点到直线x-y －２＝0的距离8272
|
24121|
=--=d ， ∴ 抛物线上的点到直线的最短距离为8
2
7．
三、经典例题导讲 [例1］已知曲线x x x y S 43
2:23
++-
=及点)0,0(P ,求过点P 的曲线S 的切线方程. 错解：4222
++-='x x y ，∴过点P 的切线斜率40
='==x y k ，∴过点P 的曲线S 的切线方程为x y 4=.
错因：曲线在某点处的切线斜率是该曲线对应的函数在该点处的导数值，这是导数的几何意义.在此题中，点P 凑巧在曲线S 上，求过点P 的切线方程，却并非说切点就是点P ，上述解法对求过点P 的切线方程和求曲线在点P 处的切线方程,认识不到位,发生了混淆.
正解:设过点P 的切线与曲线S 切于点),(00y x Q ,则过点P 的曲线S 的切线斜率
[例2]已知函数13)(2
3
+-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围． 错解:,163)(2
-+='x ax x f )(x f 在R 上是减函数,0)(<'∴x f 在R 上恒成立，
01632<-+∴x ax 对一切R x ∈恒成立,0
正解:+='2