高二数学人教A版必修五《正弦定理》word教案

1．1正弦定理（教学设计）

教学目标

1．知识与技能:通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。

2. 过程与方法:让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重、难点

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 学法与教学用具

学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：

sin sin sin a

b

c

A

B

C

=

=

，接着就一般斜

三角形进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。 教学过程：

一、创设情景、新课引入

如图1．1-1，固定?ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动。 A 思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而增大。能否

用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B

二、新课讲解： (图1．1-1)

在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在Rt ?ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数

的定义，有

sin a A c =，sin b B c =，又sin 1c

C c ==, A 则sin sin sin a b c c A B C

=== b c 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b c

A B C

==

C a B (图1．1-2)

思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析）

可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：

如图1．1-3，当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD=sin sin a B b A =,则sin sin a

b

A

B

=

，

C 同理可得sin sin c

b

C B =

， b a

从而

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

A c B

(图1．1-3) 思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。

（证法二）：过点A 作j AC ⊥， C

由向量的加法可得 AB AC CB =+

则 ()j AB j AC CB ?=?+∴j AB j AC j CB ?=?+? j

()()00cos 900cos 90-=+-j AB A j CB C

∴sin sin =c A a C ，即

sin sin =a c

A C

同理，过点C 作⊥j BC ，可得 sin sin =b c B C

从而

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

类似可推出，当?ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

[理解定理]

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =； （2）

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

等价于

sin sin a

b

A

B

=

，

sin sin c

b

C

B

=

，

sin a

A

=

sin c

C

从而知正弦定理的基本作用为：

①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b A

a B

=

； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b

=。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。 [例题分析]

例1（课本例题）．在?ABC 中，已知032.0=A ，081.8=B ，42.9=a cm ，解三角形。 解：根据三角形内角和定理，

0180()=-+C A B

000180(32.081.8)=-+

066.2=； 根据正弦定理，

00

sin 42.9sin81.880.1()sin sin32.0==≈a B b cm A ；

根据正弦定理，

00

sin 42.9sin66.274.1().sin sin32.0==≈a C c cm A

评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。

变式训练1：已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,100

===?

解：0030,45,10===C A c ∴00105)(180=+-=C A B

由C

c

A a sin sin =

得 21030sin 45sin 10sin sin 00=?==C A c a 由

C

c

B b sin sin =

得 25654262075sin 2030

sin 105sin 10sin sin 00

0+=+?==?==C B c b 例2．（课本例题）在?ABC 中，已知20=a cm ，28=b cm ，040=A ，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm ）。

解：根据正弦定理，

sin 28sin40sin 0.8999.20

==≈b A B a

因为00＜B ＜0180，所以064≈B ，或0116.≈B ⑴ 当064≈B 时，

00000180()180(4064)76=-+≈-+=C A B ，

00

sin 20sin7630().sin sin40==≈a C c cm A

⑵ 当0116≈B 时，

00000180()180(40116)24=-+≈-+=C A B ，

00

sin 20sin2413().sin sin40==≈a C c cm A

评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。

变式训练2：

（1）在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===

?

（2）在C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===?

解：（1）∵

21

3

60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角，

∴222=+=c b a

（2）2

3

245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A c C C c A a

0012060,sin 或=∴<

1360sin 75sin 6sin sin ,75600

+=====∴C B c b B C 时，当，

1360

sin 15sin 6sin sin ,151200

-=====∴C B c b B C 时，当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b

例3：已知?ABC 中，∠A 060=，a 求

sin sin sin a b c

A B C ++++

分析：可通过设一参数k(k>0)使sin sin a b A B =sin c

k C

==,

证明出sin sin a b A B =sin c C ==

sin sin sin a b c

A B C

++++ 解：设sin sin a b A B =(>o)sin c

k k C

==

则有sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =

从而sin sin sin a b c A B C ++++=sin sin sin sin sin sin k A k B k C

A B C

++++=k

又sin a A =

02sin60k ==，所以sin sin sin a b c

A B C

++++=2 评述：在?ABC 中，等式sin sin a b A B =sin c C ==()0sin sin sin a b c

k k A B C

++=>++

恒成立。

变式训练3：已知?ABC 中，sin :sin :sin 1:2:3A B C =，求::a b c

（答案：1：2：3）

例4：在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，

求证：三角形面积111

sin sin sin 222

ABC S ab C bc A ac B ?=

== （记忆：两边夹角正弦值的一半）

附：（课本P8探究与发现的分析）

已知a, b 和A, 用正弦定理求B 时的各种情况: ⑴若A 为锐角时:

??

?

??

?

?≥<<=<)( b a ) ,( b a bsinA )

( bsinA a sin 锐角一解一钝一锐二解直角一解无解A b a b

a

b

a

b a b

a

a 已知边a,

b 和∠A

仅有一个解有两个解

仅有一个解无解

a ≥

b CH=bsinA

A

C B A

C

B1A

B

A

C

B2

C

H H

H

⑵若A 为直角或钝角时:?

??>≤)( b a 锐角一解无解

b a

三、课堂小结 （1）定理的表示形式：

sin sin a

b

A B =

sin c

C

=

=

()0sin sin sin a b c

k k A B C

++=>++；

或sin a k A =，sin b k B =，sin c k C =(0)k >

（2）正弦定理的应用范围：

①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 四、课时必记：（优化设计P1知识拓展）

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sin sin a

b

A

B

=

sin c

C

=

=2R （其中R 指的是三角形外接圆的半

径）

五、分层作业： A 组：：

1在△ABC 中，sin 2A =sin 2B +sin 2C ，则△ABC 为( A )

A 直角三角形

B 等腰直角三角形

C 等边三角形

D 等腰三角形

2．在△ABC 中，已知角043

45,22,3

B c b ===

,则角A 的值是（ D ） A ．15° B ．75° C ．105° D ．75°或15° 3．若

sin cos cos A B C

a b c

==

,则△ABC 是（ C ） A ．等边三角形 B ．有一内角是30°

C ．等腰直角三角形

D ．有一内角是30°的等腰三角形

4、(tb0146101)已知?ABC 中，a=50，b=256，A=450，求B 。 （答：600或1200）

5、(tb0146102)在?ABC 中，已知a=3，b=2，B=450，求角A 、C 和边c 。

（答：A=600，C=750,c=226+或A=1200，C=150，c=2

2

6-）

B 组：

1、在△ABC 中，::1:3:2a b c =，则::A B C 等于（ A ） A ．

B ．

C ．

D ．

2、(tb4800310)已知在?ABC 中，三内角正弦之比为4：5：6，又周长为15

2

，求三边长。 （略解：2，

5

2

，3） C 组：

1、(tb4800302)已知△ABC ，B Ｄ为B 的平分线，求证：AB ∶BC ＝A Ｄ∶ＤC （备注：内角平分线定理）

分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B 的平分线BD 将△ABC 分成了两个三角形：△ABD 与△CBD ，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB ∶AD ＝BC ∶DC ，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为DBC DC

BDC BC ABD AD ABD AB sin sin ,sin sin ==，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦

值也相等即可证明结论

证明：在△ABD 内，利用正弦定理得：

ABD

ADB

AD AB ABD AD ADB AB sin sin sin sin ==即

在△BCD 内，利用正弦定理得：

.sin sin ,sin sin DBC BDC

DC BC DBC DC BDC BC ==即

∵BD 是B 的平分线

∴∠ABD ＝∠DBC ∴sin ABD ＝sin DBC ∵∠ADB ＋∠BDC ＝180°

∴sin ADB ＝sin （180°－∠BDC ）＝sin BDC ∴CD BC DBC BDC ABD ADB AD AB ===sin sin sin sin ∴DC

AD BC AB = 评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用