清华大学高等数学期末考试

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清华大学

2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷

命题教师:

一. 填空题(将正确答案填在横线上。本大题共3小题,每小题3分,总计9分 )

1、若在),(b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调

,曲线是 的。

2、设?????+=+=232322t

t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。

3、=?

dx x x 1cos 12 。 二. 单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中。本大题共3小题,每小题3分,总计 9分)

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1、设A x x ax x x =-+--→1

4lim 231,则必有 . 104)( ; 64)(;

104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A , ,, ,

答( )

2、设211)(x

x f -=,则)(x f 的一个原函数为 x

x D x x C x

B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( )

3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F

)0()1()( 0)()

1()( )(f f D C f B e A -

答( )

三. 解答下列各题(本大题共2小题,每小题5分,总计10分 )

1、求极限x

e e x x x cos 12lim 0--+-→。

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2、x y 2ln 1+=,求y '。

四. 解答下列各题 (本大题共3小题,每小题8分,总计24分 )

1、讨论??

???=≠=0,00arctan )(2

x x x x x f ,,在0=x 处的可导性。

2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。

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3、证明不等式:当4>x 时,22x x >。

五. 解答下列各题 (本大题共3小题,每小题8分,总计24分 )

1、求函数x e y x cos =的极值。

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2、求不定积分?

x x x d cos sin 3。

3、计算积分?-+-+2

222)cos 233(ln sin ππdx x x

x x 。

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六. 解答下列各题 (本大题共4小题,每小题6分,总计24分 )

1、求不定积分?+)

1(10x x dx 。

2、计算积分?

+πθθ430 2cos 1d 。

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3、求抛物线22

1x y =

被圆822=+y x 所截下部分的长度。

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4、求微分方程''-'-=++y y y x e x

2331的一个特解。

清华大学微积分习题(有答案版)

第十二周习题课 一.关于积分的不等式 1. 离散变量的不等式 (1) Jensen 不等式:设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数,则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ,有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ (2) 广义AG 不等式:记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数,由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ,有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时,就是AG 不等式。 (3) Young 不等式:由(2)可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ,q y p x y x q p +≤1 1 。 (4) Holder 不等式:设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ,则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在(3)中,令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 (5) Schwarz 不等式: 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 (6) Minkowski 不等式:设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ,则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明: ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1

清华大学微积分A(1)期中考试样题

一元微积分期中考试答案 一. 填空题(每空3分,共15题) 1. e 1 2。21 3. 31 4。3 4 5. 1 6.第一类间断点 7。()dx x x x ln 1+ 8。 22sin(1)2cos(1)x x x e ++ 9。 0 10。11?????? ?+x e x 11.x x ne xe + 12。13 13。0 14。)1(223 +? =x y 15. 13y x =+ 二. 计算题 1. 解:,)(lim ,0)(lim 00b x f x f x x ==+?→→故0=b 。 …………………3分 a x f x f f x =?=′? →?)0()(lim )0(0 …………………3分 1)0()(lim )0(0=?=′+→+x f x f f x …………………3分 1=a 故当1=a ,0=b 时,)(x f 在),(+∞?∞内可导。 …………………1分 2. 解:=?+∞→])arctan ln[(lim ln /12x x x πx x x ln )arctan ln(lim 2?+∞→π = x x x x /1arctan ) 1/(1lim 22?+?+∞→π …………罗比达法则…………4分 =x x x x arctan )1/(lim 2+?++∞→π = )1/(1)1/()1(lim 2222x x x x ++?+∞→ = 2211lim x x x +?+∞→ = 1? ………………………4分 所以,原极限=1?e ………………………………………………………………………2分 3. 解:)'1)((''y y x f y ++= ,故 1) ('11)('1)(''?+?=+?+=y x f y x f y x f y ;……4分 3 2)]('1[)('')]('1[)'1)((''''y x f y x f y x f y y x f y +?+=+?++= …………………………………………6分 4.解:

清华大学高等数学期末考试

... 清华大学 2010- 2011 学年第一学期期末考试试卷( A 卷)考试科目:高等数学A(上)考试班级:2010 级工科各班 考试方式:闭卷命题教师: 大题一二三四五六总分 得分 得分评卷人 一 . 填空题(将正确答案填在横线上。本大题共 3 小题,每小题 3 分,总计 9 分) 1、若在( a, b)内,函数f ( x)的一阶导数 f (x)0 ,二阶导数 f ( x) 0 ,则函数 f (x) 在此区间内单调,曲线是的。 x t 22t 2确定函数 y d 2 y 2、设 2t 3 3t y(x) ,求2。 y dx 3、12cos 1 dx。 x x 得分评卷人 二. 单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号 中。本大题共 3 小题,每小题 3 分,总计 9 分)

... x 3 ax 2 x 4 1、设 lim x 1 A ,则必有 x 1 ( A)a 2, A 5 ; (B)a 4, A 10 ; (C )a 4, A 6 ; (D ) a 4,A 10 . 答 ( ) 2、设 f ( x) 1 ,则 f (x) 的一个原函数为 2 1 x ( A) arcsin x (B) arctanx 1 1 x 1 1 x (C ) ln 1 x (D) ln x 2 2 1 答 ( ) e x 3、设 f 为连续函数,又, F ( x) x 3 f (t) dt 则 F (0) ( A) e (B) f (1) (C)0 (D ) f (1) f (0) 答 ( ) 得分 评卷人 三 . 解答下列各题(本大题共 2 小题,每小题 5分,总计 10分) 1、求极限 lim e x e x 2 。 x 0 1 cos x 2、 y 1 ln 2 x , 求 y 。

清华大学 2016-2017学年第2 学期 高等数学A期末考试试卷

清华大学高等数学A 期末考试试卷 2016~2017学年第2 学期 考试科目:高等数学A 考试类型:(闭卷)考试 考试时间: 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =,(4,1,10)b =-,c b a λ=-,且a c ⊥,则λ= 。 3.经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4.设yz u x =,则du = 。 5.级数11 (1)n p n n ∞ =-∑,当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 1.微分方程2()'xy x y y +=的通解是 ( ) A .2x y Ce = B .22x y Ce = C .22y y e Cx = D .2y e Cxy = 2.求极限 (,)(0,0)lim x y →= ( ) A . 14 B .12- C .1 4 - D .12 3 .直线: 327 x y z L ==-和平面:327 80x y z π-+-=的位置关系是 ( ) A .直线L 平行于平面π B .直线L 在平面π上

C .直线L 垂直于平面π D .直线L 与平面π斜交 4.D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤, 则D σ= ( ) A .33()2 b a π - B .332()3b a π- C .334()3b a π- D .333()2b a π- 5.下列级数收敛的是 ( ) A .11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B .2111n n n ∞=++∑ C .1121n n ∞=-∑ D .1 n ∞ = 三、计算题(本大题共7小题,每小题7分,共49分) 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =,2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ,其中22{(,)1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 3.设(,)z z x y =为方程2sin(23)43x y z x y z +-=-+确定的隐函数,求z z x y ??+??。

清华大学高等数学期末考试备课讲稿

清华大学高等数学期 末考试

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 3小题,每小题3分,总计9分 ) 1、若在),(b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=?dx x x 1cos 12 。 中。本大题共3小题,每小题3分,总计 9分) 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231,则必有

. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A , ,, , 答( ) 2、设211)(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F ) 0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2ln 1+=,求y '。

3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、讨论?????=≠ =0 ,00arctan )(2 x x x x x f ,,在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式:当4>x 时,22x x >。

清华大学高等数学期末考试

第 1 页 共 8 页 清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 一. 填空题(将正确答案填在横线上。本大题共3小题,每小题3分,总计9分 ) 1、若在),(b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=? dx x x 1cos 12 。 二. 单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中。本大题共3小题,每小题3分,总计 9分)

第 2 页 共 8 页 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231,则必有 . 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A , ,, , 答( ) 2、设211)(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F )0()1()( 0)() 1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 三. 解答下列各题(本大题共2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

清华大学高等数学期末考试

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 3小题,每小题3分,总计9分 ) 1、若在),(b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232 322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=?dx x x 1cos 12 。 中。本大题共3小题,每小题3分,总计 9分) 1、设A x x ax x x =-+--→1 4 lim 231,则必有

. 104)( ; 64)(; 104)( ; 52)(=-=-==-====A a D A a C A a B A a A , ,, , 答( ) 2、设211 )(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 x x D x x C x B x A -++-11ln 21)(11ln 21)(arctan )(arcsin )( 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F ) 0()1()( 0)()1()( )(f f D C f B e A - 答( ) 2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。 2、x y 2 ln 1+=,求y '。

3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、讨论??? ? ?=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ,,在处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式:当4>x 时,2 2x x >。

清华大学本科生高等数学微积分A期末模拟试题解答

微积分A (A) 答案 一. 填空题(每空3分,共15题)(请将答案直接填写在横线上!) 1. ∑=∞→++n i n i n i n n 1)2)((lim = 。 答案:2ln 3ln ? 2. ∫dx e x x 2= 。 答案:C e xe e x x x x ++?222 3. =∫→3020)sin(lim x dt t x x 。 答案: 31 4. ∫+x x t d t dx d 22 )sin 1ln(= 。 答案:)sin 1ln(2)2sin 1ln(22x x x +?+ 5. 求曲线x e y =、x y πcos ?=、21?=x 、2 1=x 围成的区域面积 。 答案:π2 21 21 +??e e 6. =?∫π 03sin sin dx x x 。 答案:3 4 7. ∫=+) 1(2x x dx 。 答案:C x x ++? )1ln(21ln 2 8. =+∫2 1x x dx 。 答案:2ln 2)12ln(2?+ 9. 悬链线 )(2 1x x e e y ?+=,1||≤x 的弧长 =L 。

答案:1 ??e e 10. 二阶方程 03'''2=??y xy y x 的通解为 。 答案:x c x c y /231+= 11. 常微分方程组?????+=+=z y dx dz z y dx dy 22的通解为 。 答案:??? ?????+?????????=??????????x x x x e e C e e C z y 3321 12. 设2,x x 是二阶齐次线线性常微分方程解,则该微分方程为 。 答案:0222=+′?′′y x y x y 13. 0106=+′+′′y y y 的通解为 。 答案:x e C x e C y x x sin cos 3231??+= 14. x y x y dx dy tan +=的通解为 。 答案:Cx x y =sin 15. 常微分方程26xy y x y ?=?′的通解为 。 答案:8 12 6x x C y += 二. 计算题(每题10分,共4题)(请写出详细计算过程和必要的根据!) 1. 计算 ∫+4/022cos 3sin πx x dx . 解:原式 = ∫+4 /022)tan 3(cos πx x dx ∫=+=102tan 3t dt x t = 363arctan 3110π=t 。….(10分)

关于清华大学高等数学期末考试

关于清华大学高等数学期 末考试 Last revision on 21 December 2020

清华大学 2010-2011学年第 一 学期期末考试试卷(A 卷) 考试科目: 高等数学A (上) 考试班级: 2010级工科各班 考试方式: 闭卷 命题教师: 一. 9分 ) 1、若在), (b a 内,函数)(x f 的一阶导数0)(>'x f ,二阶导数0)(<''x f ,则函数)(x f 在此区间内单调 ,曲线是 的。 2、设?????+=+=232322t t y t t x 确定函数)(x y y =,求=22dx y d 。 3、=? dx 1cos 12 。 本大题共3小题,每小题3分,总计 9分) 1、设A x x ax x x =-+--→1 4lim 231,则必有 答( ) 2、设211)(x x f -=,则)(x f 的一个原函数为 答( ) 3、设f 为连续函数,又,?=x e x dt t f x F 3)()(则=')0(F 答( ) 2小题,每小题5分,总计10分 ) 1、求极限x e e x x x cos 12lim 0--+-→。

2、x y 2ln 1+=,求y '。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、讨论?? ???=≠=0,00arctan )(2 x x x x x f ,,在0=x 处的可导性。 2、设)(x f 在]1,0[上连续,且1)(0≤≤x f ,证明:至少存在一点]1,0[∈ξ,使得 ξξ=)(f 。 3、证明不等式:当4>x 时,22x x >。 3小题,每小题8分,总计24分 ) 1、求函数x e y x cos =的极值。 2、求不定积分? x x x d cos sin 3。 3、计算积分?-+-+2222)cos 233(ln sin ππdx x x x x 。 4小题,每小题6分,总计24分 ) 1、求不定积分? +)1(10x x dx 。 2、计算积分?+πθθ4 30 2cos 1d 。 3、求抛物线221x y = 被圆822=+y x 所截下部分的长度。 4、求微分方程''-'-=++y y y x e x 2331的一个特解。

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