16 电磁感应习题详解

习题五

一、选择题

1．一闭合圆形线圈在均匀磁场中运动，在下列几种情况中那种会产生感应电流 [ ]

（A ）线圈沿磁场方向平移； （B ）线圈沿垂直磁场方向平移；

（C ）线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向平行； （D ）线圈以自身的直径为轴转动，轴与磁场方向垂直。 答案：D

解：（A ）、（B ）、（C ）问中当闭合圆形线圈运动时，穿过线圈的磁通量不发生变化，线圈中的感应电动势为零，所以不产生感应电流。（D ）问中当闭合圆形线圈运动时，穿过线圈的磁通量发生了变化，线圈中产生了感应电动势，所以产生了感应电流。

2．如图5-1所示，M 为一闭合金属轻环，当右侧线圈通以如下所说哪种情况的电流时，将在环内产生图示方向的感生电流，同时环向线圈方向移动 [ ]。

（A ）电流由b 点流入，a 点流出，并逐渐减少；

（B ）电流由a 点流入，b 点流出，并逐渐减少；

（C ）电流由b 点流入，a 点流出，并逐渐增大； （D ）电流由a 点流入，b 点流出，并逐渐增大。 答案：A

解：环M 向右移动，可判断线圈内磁力线的方向由右向左，即电流由b 点流入，a

点流出；根据环内感应电流的方向，应用楞次定

图5-1

律可判断线圈内的磁通量在减少。

3．如图5-2所示，一矩形线圈以一定的速度ν穿过一均匀磁场，

若规定线圈中感应电动势ε沿顺时针方向为正值，则下面哪个曲线图正确表示了线圈中的ε和x 的关系[ ] 答案：a

解：依题意，回路中的感应电动势由导线切割磁力线的情况确定。当线圈右边进入磁场，右边导线切割磁力线，动生电动势的方向由右手定则判断，方向逆时针；整个线圈进入磁场，磁通量无变化，感应电动势为零；当线圈右边从磁场中穿出，左边导线切割磁力线，动生电动势的方向由右手定则判断，方向顺时针。

4．在圆柱形空间内有一磁感应强度为B 的均匀磁场，如图5-3所示，B 的大小以速率/dB dt 变化。

有一长度为l 0的金属棒先后放在磁场的两个不同位置1（ab ）和2（a b ''），则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为 [ ]

（A ）a b ab εε''>； （B ）a b ab εε''<； （C ）0a b ab εε''=≠； （D ）

0a b ab εε''==。

εε

ε

ε

答案：A

解：感应电动势i L E dl ε=??感。 连接Oa 、Ob 、Oa '、Ob '，依题意有

OabO Oa ab bO Oa ab Ob εεεεεεε=++=+-。

由对称性可知，在圆形截面上，E 感场线为以O 为中心的一族同心圆，所以沿着半径方向上的积分为0，即0Oa Ob εε==。所以

OabO ab εε=。同理，Oa b O

a b ε

ε''''=。而ab Oab

dB S dt

ε?=，a b Oa b dB

S dt

ε''''

?=。根据题意可知，两个三角形等底不等高，Oa b Oab S S ''??>，所以a b ab εε''>。

5．有一细长螺线管其自感系数V n L 2μ=，若将此螺线管平分成两个，每一个螺线管的自感系数为1L 及2L ，它们的互感系数为M ，以下答案哪一个正确 [ ]

（A ）由V n L 2μ=可以看出，细长螺线管其自感系数与螺线管的

体积成正比，把螺线管平分成两个，则每一个螺线管的体积为原来的一半，所以21L L L +=；

（B ）由两个线圈串联时的自感系数12122L M L L L >++=； （C ）由两个线圈串联时的自感系数1212L M L L L >++=； （D ）由两个线圈串联时的自感系数12122L M L L L >-+=。 答案：B

解：因为当把细长螺线管平分成两个螺线管时，原螺线管的自感系数应包括两个螺线管的自感系数1L 、2L 及它们之间的互感系数M 。 至于螺线管的自感系数与螺线管的体积成正比的公式，利用了无限长螺线管内磁场的结论。对有限体积的实际螺线管来说，它只是

B ?图5-3

一个近似的关系。如果该螺线管足够长，1L 远远大于M 时，以上四个答案趋向一致。

二、填空题

1．如图5-4所示，一个矩形线圈在均匀磁场中以角速度ω旋转，当它转到图a 和图b 位置时感应电动势的大小分别为=a ε ；

b ε=

。

答案：a BS εω=；0b ε=。

解：回路中感应电动势的大小由穿过回路的磁通量的变化率决定。矩形线圈转到图中位置a 时，感应电动势最大；转到位置b 时，感应电动势为零。

初始时刻（t = 0）矩形线圈平面的法线n 与均匀磁场的磁感应强度B 平行，则穿过线圈的磁通量为BS Φ=，经过t 后，n 与B 的夹角为

t ?ω=，此时通过矩形线圈磁通量为：

cos cos BS BS t ?ωΦ==

故感应电动势 s i n d B S t

dt

εωωΦ=-=- 在位置a ，90t ω=?，电动势最大，a BS εω=； 在位置b ，0t ω=，电动势最小，0b ε=。

2．半径为R 的无限长园柱导体电流（图5-5），电流强度为I 。横截面上各点的电流密度相等，求每单位长度导体内所储存的

图5-5

B

a

b

图5-4

磁能 。 答案：

2

016I μπ

。

解：设导体电流方向由下向上，则磁感应强度的方向如俯视图（图5-5）所示，根据安培环路定理，无限长载流园柱导体内部离轴线距离为r 处的磁感应强度

02

2I

B r R

μπ=

磁场能量体密度为

2

2m B w μ=

取半径为r ，厚为dr ，长为l 的体积元 2dV rldr π=，则磁场能量为

2

122R m m v

B W w dV rldr πμ==???

每单位长度所储存的磁能为

22

2

23

00024

000

0112()2222416R R R

m W I I B rI rdr rdr r dr l R R μμπμπμπππ

=?===???

3．如图5-6，一矩形导体回路ABCD 放在均匀外磁场中，磁场的磁感应强度B 的大小为

3

6.0

10B =?高斯，B 与矩形平面的法线n 夹角

60α=?；回路的

CD 段长为l =1.0m ，以速度v =5.0m/s 平行于两边

向外滑动，如图所示。则求回路中的感应电动势的大小和方向分别为 和

；感应电流方向

。

答案： 1.5V i ε=，方向D → C ；感应电流方向

D C B A D →→→→。

解：回路中的感应电动势为

()cos cos cos i d BS d dS B Blv dt dt dt

αεααΦ=-

=-=-=- 34= 6.010101050cos60 1.5V o --???????=-

负号表示i ε的方向(非静电力的方向)为

D C B A D →→→→，这个方向就是感应电流的方向。

4．如图5-7所示，两根平行长直导线置于空气中，横截面半径都

是a ，两导线中心相距为d ，属于同一回路。设两导线内部的磁通量可忽略不计。求这一对导线单位长度的自感系数

。

答案：0ln

d a

L a

μπ-=

。 解：自感一般用LI Φ=进行计算。设电流为I ，算出电流I 的磁场分布，进而算出自感磁通量Φ，即可求出结果。

设电流和坐标的方向如图5-7所示，则在离o 为x 处的总磁感应强度

()

0022I I

B x d x μμππ=

+- 通过图中阴影部分面元的磁通量 0112I d Bldx ldx x d x μπ??

Φ==

+ ?-??

通过整个中心平面的磁通量

0011ln 2d a a Il Il d a d dx x d x a μμππ--??

Φ=Φ=

+= ?-??

?? 所以，平行导线单位长度的自感系数 0ln

d a

L Il a

μπΦ-=

=

5．真空中一均匀磁场的能量密度m w 与一均匀电场的能量密度e w 相等，已知0.5T B =，则电场强度为 。 答案：81.510V/m ?。 解：依题意，有

22

00

1122B E εμ=

883100.5 1.510V/m E cB =

==??=?

三、计算题

1．长为L 的金属细杆ab 与载有电流的无限长直导线共面，且绕端点a 以角速度ω 在公共平面内转动，如图5-8所示 。当细杆转到与水平线夹角为θ 时，求ab 两点的电势差ab U 。 答案：000

20cos cos ln 2cos ab I r L U L r r ωμθθπθ??

+=

- ???

。

解：积分路径选为b →a

0()2i I

d v B dl vBdl l

dl r

μεωπ=??== 0cos r r l θ=+，θ

为常量。

00000

2(cos )22cos cos 2cos i I I r r I r r l d dl d l dr r r r

ωμωμωμεθππθθπθ--=

=?=?

00000022cos 0cos cos ln 2cos 2cos a

r i i b

r L I

r r I r L d dr L r r r θωμωμθεεθπθ

πθ+??

-+==

=-- ???

?

? 000

20cos cos ln 2cos ab a b i I r L U U U L r r ωμθεθπθ??

+=-=-=

- ???

2．如图5-9所示直角三角形金属PQS 框放在均匀磁场B 中，B 平行于边PQ ，PQ 边长为b ，PQ 边与QS 边夹角为α，当金属框绕PQ 边以角速度ω 转动时，求（1）回路的总感应电动势；（2）各边的感应电动势。 答案：（1）0ε=；（2）PQ 边：10ε=，PS 边：

2221

tan 2

Bb εωα=，QS

边：αωε223tan 2

1Bb -=。

解：本题先求回路的总感应电动势，再求各边的感应电动势较为方便。

（1）在线圈旋转过程中，磁力线总与线圈平面平行，通过线圈的磁通量恒为零，其感应电动势

0i d dt

εΦ

=-

= （2）求各边的动生电动势 ()i L v B dl ε=??? PQ 边：v = 0，所以其动生电动势10ε=。 PS 边：2()d v B dl vBdl ε=??=

即 tan 2220

1tan 2

b lBdl Bb α

εωωα==?（其中tan PS b α=）

QS 边：312εεεε=--，所以 22321tan 2

Bb εεωα=-=-。

3．限制在圆柱形体积内的均匀磁场，磁感应强度为

B ，方向如图

5-10所示。圆柱的半径为R ，B 的数

?

?

?b

R B r B

b

Q

图5-9

值以610T/s -的恒定速率减小。当电子分别位于磁场中a 点、b 点与c 点时，假定r = 0.5m ，求电子获得的瞬时加速度的大小和方向。 答案：（1）424.410(ms )a a -=?，方向水平向左；（2）0b a =；

（3）424410(ms )c a -=??，方向水平向右。

解：本题先用i L S B

E dl

dS t

??=-????求出涡旋电场i E 的分布，再由

i e F eE m a =-=求出电子的加速度。

i E 线是围绕轴线

b 的同心圆，B t

??为常量，面积元dS 的方向取与

B 的方向一致，于是由i L

S B E dl dS t

??=-????

，得

22i B

E r r t

ππ??=-??，

2i r B E t

?=-

?

电子位于b 点时，因r = 0，0i E =，其加速度0b a =；电子位于a 点

时，其加速度

1964231

161005()104410(ms )291102

i a e e eE e r B a m m t ----????=-=--=-??=-?????，方向水平向左；

电子位于c 点时的加速度424410(ms )c a -=??，方向水平向右。 因6-110Ts B t

-?=-?，所以i E 线的方向是顺时针的。电子带负电，其加速

度方向与i E 相反，故有以上结果。

4．在垂直于半径为a ，厚为b 的金属圆盘面方向上，加一均匀磁场，如图5-11所示，今使磁场随

时间变化，k dt

dB

=，k

为一常量，已知金属圆盘的

电导率为σ，求属圆盘内总的涡流。

图 5-11

B

b

答案：214

i k ba σ=。

解：在半径为r 的导体回路中产生的感生电动势为

22i d dB d r r k dt dt

φεππ=

==

内半径为r ，外半径r dr +，长为b 的圆柱体的电阻为

2r

dR bdr

πρ

=

在这体元中的涡流为（忽略自感的影响）

21

22

i d bdr di r k k brdr dR r επσρπ=

=?= 故金属圆盘中的总涡流为

20011

24

i a i di k b rdr k ba σσ===??

5．一个n 匝圆形细线圈，半径为b ，电阻为R ，以匀角速绕其某一直径为轴而转动，该转轴与均匀磁场B 垂直。假定有一个面积为A （很小）的小铜环固定在该转动线圈的圆心上，环面与磁场垂直，如图5-12所示，求在小铜环内产生的感应电动势（忽略小铜环对圆形线圈的感应）。 答案：20cos22i n b BA

t R

μπωεω=-

。

解：设大圆形线圈的法线与磁场夹角为θ，线圈由0=θ的初位置开始转动，任一时刻t θω=，则线圈在磁场中转动时所产生的感应电动势和电流为

()

()22cos sin i d d d

B S n b B t n b B t dt dt dt

επωπωωΦ=-

=-?=-?= 2sin i

n b B

i t R R

επωω== （1）

感应电流在小铜环处产生的磁场B '，在环面范围内视为均匀（因A

图 5-12

?????????????

很小）。考虑到式（1），有

00sin 22i

n b B

B t b

R

μμπωω'=

=

所以在铜环中的感应电动势为

()

()cos i d d d

B A B A t dt dt dt

εω'Φ''=-

=-?=-

200sin cos cos222n b BA n b BA d t t t dt R R μπωμπωωωω??=-=- ???