高考数学模拟复习试卷试题模拟卷138 3
高考模拟复习试卷试题模拟卷
【考情解读】
1. 掌握数列的求和方法:(1) 直接利用等差、等比数列求和公式;(2) 通过适当变形(构造)将未知数列转化为等差、等比数列,再用公式求和;(3) 根据数列特征,采用累加、累乘、错位相减、逆序相加等方法求和;(4) 通过分组、拆项、裂项等手段分别求和;(5) 在证明有关数列和的不等式时要能用放缩的思想来解题(如n(n -1) 2. 数列是特殊的函数,这部分内容中蕴含的数学思想方法有函数与方程思想、分类讨论思想、化归转化思想、数形结合思想等,高考题中所涉及的知识综合性很强,既有较繁的运算又有一定的技巧,在解题时要注意从整体去把握. 【高频考点突破】 考点一等差、等比数列求和公式及利用 例1 已知{a n}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn -an}为等比数列. (1) 求数列{an}和{bn}的通项公式; (2) 求数列{bn}的前n 项和. 考点二可转化为等差、等比数列求和 例2 已知数列{an}的前n 项和Sn =n2+n 2,n ∈N*. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设bn =2an +(-1)nan ,求数列{bn}的前2n 项和. 考点三根据数列特征,用适当的方法求和 例3 已知数列{an}的前n 项和Sn =-1 2n2+kn(k ∈N*),且Sn 的最大值为8. (1) 确定常数k ,求an ; (2) 求数列? ??? ?? 9-2an 2n 的前n 项和Tn. 【变式探究】 已知数列{an}和{bn}满足a1=1,a2=2,an>0,bn =anan +1(n ∈N*),且{bn}是以q 为公比的等比数列. (1) 证明:an +2=anq2; (2) 若cn =a2n -1+2a2n ,证明:数列{cn}是等比数列; (3) 求和:1a1+1a2+1a3+1a4+…+1a2n -1+1 a2n . 考点四数列求和的综合应用 例4 将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2a3 a4a5a6 a7a8a9a10 … 记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn},b1=a1=1,Sn 为数列{bn}的前n 项和,且满足2bn bnSn -S2n =1(n≥2). 【真题感悟】 【高考四川,文16】设数列{an}(n =1,2,3…)的前n 项和Sn 满足Sn =2an -a3,且a1,a2+1,a3成等差数列. (Ⅰ)求数列的通项公式; (Ⅱ)设数列1 {}n a 的前n 项和为Tn ,求Tn. .【 高考浙江,文17】(本题满分15分)已知数列 n a 和n b 满足, *1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈ *1231111 1(n N )23 n n b b b b b n ++++ +=-∈. (1)求n a 与n b ; (2)记数列n n a b 的前n 项和为n T ,求n T . 1.(·湖南卷) 已知数列{an}满足a1=1,|an +1-an|=pn ,n ∈N*. (1)若{an}是递增数列,且a1,2a2,3a3成等差数列,求p 的值; (2)若p =1 2,且{a2n -1}是递增数列,{a2n}是递减数列,求数列{an}的通项公式. 2.(·安徽卷) 设实数c >0,整数p >1,n ∈N*. (1)证明:当x >-1且x≠0时,(1+x)p >1+px ; (2)数列{an}满足a1>c 1p ,an +1=p -1p an +c p a1-p n ,证明:an >an +1>c 1p . 3.(·湖北卷) 已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式. (2)记Sn 为数列{an}的前n 项和,是否存在正整数n ,使得Sn>60n +800?若存在,求n 的最小值;若不存在,说明理由. 4.(·江西卷) 已知首项都是1的两个数列{an},{b n}(bn≠0,n ∈N*)满足anbn +1-an +1bn +2bn +1bn =0. (1)令cn =an bn ,求数列{cn}的通项公式; (2)若bn =3n -1,求数列{an}的前n 项和Sn. 5.(·新课标全国卷Ⅱ] 已知数列{an}满足a1=1,an +1=3an +1. (1)证明? ??? ?? an +12是等比数列,并求{an}的通项公式; (2)证明1a1+1a2+…+1an <3 2. 6.(·四川卷) 设等差数列{an}的公差为d ,点(an ,bn)在函数f(x)=2x 的图像上(n ∈N*). (1)若a1=-2,点(a8,4b7)在函数f(x)的图像上,求数列{an}的前n 项和Sn ; (2)若a1=1,函数f(x)的图像在点(a2,b2)处的切线在x 轴上的截距为2-1 ln 2,求数列???? ??an bn 的前n 项和Tn. 7.(·浙江卷) 已知数列{an}和{bn}满足a1a2a3…an =(2)bn(n ∈N*).若{an}为等比数列,且a1=2, b3=6+b2. (1)求an 与bn. (2)设cn =1an -1 bn (n ∈N*).记数列{cn}的前n 项和为Sn. (i)求Sn ; (i i)求正整数k ,使得对任意n ∈均有Sk≥Sn. 8.(高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个命题: P1:数列{an}是递增数列; P2:数列{nan}是递增数列; P3:数列{an n }是递增数列; P4:数列{an +3nd}是递增数列. 其中的真命题为() A .p1,p2 B .p3,p4 C .p2,p3 D .p1,p4 9.(高考重庆卷)已知{an}是等差数列,a1=1,公差d≠0,Sn 为其前n 项和,若a1,a2,a5成等比数列,则S8=________. 10. (高考广东卷)设数列{an}的前n 项和为Sn.已知a1=1,2Sn n =an +1-13n2-n -2 3,n ∈N*. (1)求a2的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对一切正整数n ,有1a1+1a2+…+1an <7 4. 【押题专练】 1. 两个正数a 、b 的等差中项是52,一个等比中项是6,且a >b ,则双曲线x2a2-y2 b2=1的离心率e =________. 2. 在等比数列{an}中,前n 项和为Sn ,若Sm ,Sm +2,Sm +1成等差数列,则am ,am +2,am +1成等差数列. (1) 写出这个命题的逆命题; (2) 判断逆命题是否为真,并给出证明. 3. 已知等差数列{an}满足a3+a6=-13,a1·a8=-4 3,a1>a8. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 把数列{an}的第1项、第4项、第7项、…、第3n -2项、…分别作为数列{bn}的第1项、第2项、第3项、…、第n 项、…,求数列{2bn}的前n 项之和; (3) 设数列{cn}的通项为cn =n·2bn ,试比较(n +1)(n +2)cn +n(n +1)cn +2与2n(n +2)cn +1的大小. 4.已知数列{an}满足an =2an -1+2n -1(n≥2),且a4=81. (1) 求数列{an}的前三项a1,a2,a3; (2)求证:数列???? ?? an -12n 为等差数列,并求an. 5.已知二次函数y =f(x)的图象经过坐标原点,其导函数为f′(x)=6x -2,数列{an}的前n 项和为Sn ,点(n ,Sn)(n ∈N*)均在函数y =f(x)的图象上. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 设bn =3anan +1 ,Tn 是数列{bn}的前n 项和,求使得Tn <m 20对所有n ∈N*都成立的最小正整数m. 6.各项均为正数的数列{an}中,设Sn =a1+a2+…+an ,Tn =1a1+1a2+…+1 an ,且(2-Sn)(1+Tn)=2,n ∈N*. (1) 设bn =2-Sn ,证明数列{bn}是等比数列; (2) 设cn =1 2nan ,求集合{(m ,k ,r)|cm +cr =2ck ,m 7. 设函数f(x)=sinxcosx -3cos(x +π)cosx(x ∈R). (1) 求f(x)的最小正周期; (2) 若函数y =f(x)的图象向右平移π4个单位后再向上平移3 2个单位得到函数y =g(x)的图象,求y =g(x) 在? ?? ?0,π4上的最大值. 8. 某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元. (1) 用d表示a1、a2,并写出an+1与an的关系式; (2) 若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m 表示). 9. 已知函数f(x)=lnx-ax+1,a∈R是常数. (1) 求函数y=f(x)的图象在点P(1,f(1))处的切线l的方程; (2) 证明函数y=f(x)(x≠1)的图象在直线l的下方; (3) 讨论函数y=f(x)零点的个数. 10. 设数列{an}的前n项积为Tn,已知对n,m∈N*,当n>m时,总有Tn Tm=Tn-m·q(n-m)m(q>0是常数). (1) 求证:数列{an}是等比数列; (2) 设正整数k,m,n(k<m<n)成等差数列,试比较Tn·Tk和(Tm)2的大小,并说明理由.高考模拟复习试卷试题模拟卷 高考模拟复习试卷试题模拟卷第03节 直接证明与间接证明 一、选择题 1. 给出命题:若,a b 是正常数,且a b ≠,,(0,)x y ∈+∞,则222()a b a b x y x y ++≥+(当且仅当a b x y =时等号成立).根据上面命题,可以得到函数29 ()12f x x x =+ -(1(0,)2x ∈)的最小值及取最小值时的x 值分别为( ) A .1162+,13 2 B .1162+,15 C .25, 13 2 D .25,15 【答案】D 2. 在证明命题“对于任意角θ,cos4θsin4θ=cos2θ”的过 程:“cos4θsin4θ=(cos2θ+sin2θ)·(cos2θsin2θ)=cos2θsin2θ=cos2θ”中应用了( ) (A)分析法 (B)综合法 (C)分析法和综合法综合使用 (D)间接证法 【答案】B 【解析】从已知条件出发,推出要证的结论,满足综合法. 3. 关于综合法和分析法说法错误的是 ( ) A.综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B. 综合法又叫顺推证法或由因导果法 C. 分析法又叫逆推证法或执果索因法 D. 综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 【答案】D 4.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3a”索的因应是() A.a-b>0 B.a-c>0 C.(a-b)(a-c)>0D.(a-b)(a-c)<0 【答案】C 5. 已知函数f(x)=x2-2ax+5在(-∞,2]上是减函数,且对任意的x1,x2∈[1,a+1],总有|f(x1)-f(x2)|≤4,则实数a的取值范围为() A.[1,4] B.[2,3] C.[2,5] D.[3,+∞) 【答案】B 【解析】由题意知a≥2,所以二次函数f(x)=x2-2ax+5的图象的对称轴为x=a∈[1,a+1],且(a+1)-a≤a-1,∴f(x)max=f(1)=6-2a,f(x)min=f(a)=5-a2, ∴(6-2a)-(5-a2)≤4,解得-1≤a≤3.又a≥2,∴2≤a≤3. 6.用反证法证明某命题时,对结论:“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设为() A.a,b,c中至少有两个偶数 B.a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 C.a,b,c都是奇数 D.a,b,c都是偶数 【答案】B 7. 用反证法证明“如果a>b,那么3 a> 3 b”假设内容应是() A.3a =3 b B.3a<3b C.3a =3b 且3a<3b D.3a =3b 或3a<3b 【答案】D 【解析】假设结论不成立,即3a>3b 的否定为3a ≤ 3 b. 8. (·银川模拟)设a ,b ,c 是不全相等的正数,给出下列判断: ①(a -b)2+(b -c)2+(c -a)2≠0; ②a>b ,a 【答案】C 【解析】①②正确;③中,a≠b ,b≠c ,a≠c 可以同时成立,如a =1,b =2,c =3,故正确的判断有2个. 9. 在R 上定义运算:??????ab cd =ad -bc.若不等式???? ?? x -1a -2a +1x ≥1对任意实数x 恒成立,则实数a 的最大值为() A .-1 2 B .-3 2 C.12 D.32 【答案】D 【解析】 据已知定义可得不等式x2-x -a2+a +1≥0恒成立,故Δ=1-4(-a2+a +1)≤0,解得- 1 2≤a≤32,故a 的最大值为32 . 10. 如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值,则() A .△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B .△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C .△A1B1C1是钝角三角形,△A2B2C2是锐角三角形 D .△A1B1C1是锐角三角形,△A2B2C2是钝角三角形 【答案】D 二、填空题 11. 要证明“2310+<”可选择的方法有以下几种,其中最合理的是。(填序号) ①反证法 ②分析法 ③综合法 【答案】② 12. 在不等边三角形中,a 为最大边,要想得到∠A 为钝角的结论,三边a ,b ,c 应满足________. 【答案】a5>b5 【解析】由余弦定理cos A =b2+c2-a2 2bc <0,所以b2+c2-a2<0,即a2>b2+c2. 13. 在等比数列{an}和等差数列{bn}中,a1=b1>0,a3=b3>0,a1≠a3,则a5和b5的大小关系为________. 【答案】a2>b2+c2 【解析】方法一:设公比为q ,公差为d , 则a3=a1q2,b3=b1+2d =a 1+2d , 故由a3=b3,得2d =a1(q2-1). 又∵a1≠a3,∴q2≠1. ∴a5-b5=a1q4-(a1+4d) =a1q4-[a1+2a1(q2-1)] =a1(q2-1)2>0. ∴a5>b5. 方法二:∵在等比数列{an}中,a1≠a3, ∴公比不为1.∴a1≠a5. 又∵a1=b1,a3=b3,a5=a3q2>0(q 为公比), ∴b3=b1+b52=a3=a1a5<a1+a52=b1+a5 2. ∴a5>b5. 三、解答题 14. (1)用综合法证明:a b c ab bc ca ++≥ ++(,,a b c R +∈) (2)用反证法证明:若,,a b c 均为实数,且222 a x y π =-+ ,223 b y z π =-+ ,226 c z x π =-+ 求证: ,,a b c 中至少有一个大于0 15. 设函数2 ()f x ax bx c =++中,a 为奇数,,b c 均为整数,且)1(),0(f f 均为奇数.求证:0)(=x f 无 16. 设x e x x f ?=)(0,10211()(),()(),,()()(*)n n f x f x f x f x f x f x n N -'''===∈. (1)请写出)(x f n 的表达式(不需证明); (2)求)(x f n 的极小值; (3)设2 ()2(1)88,()n n g x x n x n g x =--+-+的最大值为a ,)(x f n 的最小值为b ,求a b -的最小值. (3)将2()2(1)88,()n n g x x n x n g x =--+-+配方得22 ()[(1)](3)n g x x n n =--++-, 所以2 )3())1((-=+-=n n g a n . 又因为) 1())1((+--=+-=n n e n f b ,所以) 1(2)3(+-+-=-n e n b a ,10分 问题转化为求)1(2)3(+-+-=n n e n c 的最小值. 解法1(构造函数): 令2 (1) ()(3)(0)x h x x e x -+=-+≥, 则) 1()3(2)(+---='x e x x h ,又)(x h 在区间[)0,+∞上单调递增, 所以1 6)0()(---='≥'e h x h . 又因为0)3(4 <-='-e h ,02)4(5>-='-e h , 所以存在)4,3(0∈x 使得0)(0='x h . 又有)(x h '在区间[)0,+∞上单调递增,所以00x x <≤时,0)(0<'x h ; 当0x x >时,0)(0>'x h , 即)(x h 在区间[)∞+,0x 上单调递增,在区间[)0,0x 上单调递减, 所以)())((0min x h x h =. 又由于4 )3(-=e h ,5 1)4(-+=e h ,)3()4(h h >, 所以当3=n 时,b a -取得最小值`4-e . 高考模拟复习试卷试题模拟卷 高考模拟复习试卷试题模拟卷第八章 直线与圆 一.基础题组 1.(重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、1)若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直,那么a 的值等于( ) A .1 B .13- C .2 3 - D .2- 2.(文昌中学高三模拟考试、文、15)圆心在直线x -2y =0上的圆C 与y 轴的正半轴相切,圆C 截x 轴所得弦的长为23,则圆C 的标准方程为________________. 3.(重庆市巴蜀中学高三月考数学、文、15)在平面直角坐标系xOy 中,以点)0,1(为圆心且与直线 )(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为. 4.(重庆市部分区县高三上学期入学考试、文、16)若实数c b a ,,成等差数列,点)0,1(-P 在动直线 0:==+c by ax l 上的射影为M ,点)3,0(N ,则线段MN 长度的最小值是. 二.能力题组 1.(五校协作体高三上学期期初考试数学、文、9)曲线2 1y x =+在点(1,2)处的切线为l ,则直线l 上的任意点P 与圆22 430x y x +++=上的任意点Q 之间的最近距离是( ) A. 4515- B.25 15 - C.51- D.2 2.(示范高中高三第一次联考、文、14)已知圆的方程为()2 2 14x y +-=。若过点11,2P ?? ??? 的直线l 与此圆交于,A B 两点,圆心为C ,则当ACB ∠最小时,直线l 的方程为。 3.(武汉市部分学校 新高三调研、文、15)圆O 的半径为1,P 为圆周上一点,现将如图放置的边长为1的正方形(实线所示,正方形的顶点A 与点P 重合)沿圆周逆时针滚动,点A 第一次回到点P 的位置,则点A 走过的路径的长度为_________. 三.拔高题组 1.(东北师大附中、吉林市第一中学校等高三五校联考、文、7)过点),(a a A 可作圆 0322222=-++-+a a ax y x 的两条切线,则实数a 的取值范围为( ) A .3-a B .2 3< a C .13<<-a 或2 3 >