人教版中考数学压轴题 复习专题强化试卷检测试卷

一、中考数学压轴题

1．平面直角坐标系中，点A 、B 分别在x 轴正半轴、y 轴正半轴上，AO =BO ，△ABO 的面积为8.

（1）求点A 的坐标；

（2）点C 、D 分别在x 轴负半轴、y 轴正半轴上（D 在B 点上方），AB ⊥CD 于E ，设点D 纵坐标为t ，△BCE 的面积为S ，求S 与t 的函数关系；

（3）在（2）的条件下，点F 为BE 中点，连接OF 交BC 于G ，当∠FOB +∠DAE =45°时，求点E 坐标.

2．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；

（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数”

求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

3．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接

BE ，DE ．

（1）如图1，若310DE =，23BC =CE 的长；

（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且

DF CD =，求证：12

AB EF =；

（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系

4．如图，已知正方形ABCD 中，4,BC AC BD =、相交于点O ，过点A 作射线

AM AC ⊥，点E 是射线AM 上一动点，连接OE 交AB 于点F ，以OE 为一边，作正方形OEGH ，且点A 在正方形OEGH 的内部，连接DH ． （1）求证：EDO EAO ???；

（2）设BF x =，正方形OEGH 的边长为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；

（3）连接AG ，当AEG ?是等腰三角形时，求BF 的长．

5．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得

3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．

（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B

-，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，

()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；

（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范

围；

（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围． 6．问题提出

（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．

7．如图，在ABC ?中，14AB =，45B ∠=?，4

tan 3

A =

，点D 为AB 中点．动点P 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位长度的速度向终点A 运动，点P 关于点D 对称点为点Q ，以PQ 为边向上作正方形PQMN ．设点P 的运动时间为t 秒．

（1）当t =_______秒时，点N 落在AC 边上．

（2）设正方形PQMN 与ABC ?重叠部分面积为S ，当点N 在ABC ?内部时，求S 关于

t 的函数关系式．

（3）当正方形PQMN 的对角线所在直线将ABC ?的分为面积相等的两部分时，直接写出

t 的值．

8．如图，直线y ＝

12x ﹣2与x 轴交于点B ，与y 轴交于点A ，抛物线y ＝ax 2﹣3

2

x+c 经过A ，B 两点，与x 轴的另一交点为C ． （1）求抛物线的解析式；

（2）M 为抛物线上一点，直线AM 与x 轴交于点N ，当

3

2

MN AN =时，求点M 的坐标； （3）P 为抛物线上的动点，连接AP ，当∠PAB 与△AOB 的一个内角相等时，直接写出点P 的坐标．

9．如图，平面上存在点P 、点M 与线段AB ．若线段AB 上存在一点Q ，使得点M 在以PQ 为直径的圆上，则称点M 为点P 与线段AB 的共圆点． 已知点P （0，1），点A （﹣2，﹣1），点B （2，﹣1）．

（1）在点O （0，0），C （﹣2，1），D （3，0）中，可以成为点P 与线段AB 的共圆点的是 ；

（2）点K 为x 轴上一点，若点K 为点P 与线段AB 的共圆点，请求出点K 横坐标x K 的取值范围；

（3）已知点M （m ，﹣1），若直线y ＝1

2

x +3上存在点P 与线段AM 的共圆点，请直接写出m 的取值范围．

10．如图一，矩形ABCD 中，AB=m ，BC=n ，将此矩形绕点B 顺时针方向旋转θ（0°＜θ＜90°）得到矩形A 1BC 1D 1，点A 1在边CD 上．

（1）若m=2，n=1，求在旋转过程中，点D 到点D 1所经过路径的长度；

（2）将矩形A 1BC 1D 1继续绕点B 顺时针方向旋转得到矩形A 2BC 2D 2，点D 2在BC 的延长线上，设边A 2B 与CD 交于点E ，若

161A E EC

=，求n

m 的值．

（3）如图二，在（2）的条件下，直线AB 上有一点P ，BP=2，点E 是直线DC 上一动点，在BE 左侧作矩形BEFG 且始终保持

BE n

BG m

=，设AB=33E 移动过程中，PF

是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．

11．如图，抛物线2

y x bx c =-++与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C ，且点

B 与点

C 的坐标分别为()3,0B ，()0,3C ，点M 是抛物线的顶点．

（1）求二次函数的关系式．

（2）点P 为线段MB 上一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ．若OD m =，PCD 的面积为S ．

①求S 与m 的函数关系式，写出自变量m 的取值范围． ②当S 取得最值时，求点P 的坐标．

（3）在MB 上是否存在点P ，使PCD 为直角三角形？如果存在，请直接写出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．

12．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与

y 轴交于点C 0,3（）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点

D 作D

E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，

PDE

ABMC 1

S

S 9

=四边形． 13．定义：两个相似等腰三角形，如果它们的底角有一个公共的顶点，那么把这两个三角形称为“关联等腰三角形”．如图，在ABC ?与AED ?中，,BA BC EA ED == ，且

,ABC

AED ??所以称ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，设它们的顶角为α，连接

,EB DC ，则称

DC

EB

会为“关联比"． 下面是小颖探究“关联比”与α之间的关系的思维过程，请阅读后，解答下列问题： [特例感知]

()1当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且90α?

=时，

①在图1中，若点E 落在AB 上，则“关联比”

DC

EB

=

②在图2中，探究ABE ?与ACD ?的关系，并求出“关联比”

DC

EB

的值．

[类比探究]

()2如图3，

①当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且120a ?=时，“关联比”

DC

EB

= ②猜想：当ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”，且n α=?时，“关联比”DC

EB

= (直接写出结果，用含n 的式子表示) [迁移运用]

()3如图4， ABC ?与AED ?为“关联等腰三角形”．若90,4,ABC AED AC ?∠=∠==点

P 为AC 边上一点，且1PA =，点E 为PB 上一动点，求点E 自点B 运动至点P 时，点

D 所经过的路径长．

14．在ABC ?中，若存在一个内角角度，是另外一个内角角度的n 倍（n 为大于1的正整数），则称ABC ?为n 倍角三角形．例如，在ABC ?中，80A ∠=?，75B ∠=?，

25C ∠=?，可知3∠=∠B C ，所以ABC ?为3倍角三角形．

（1）在ABC ?中，55A ∠=?，25B ∠=?，则ABC ?为________倍角三角形；

（2）若DEF ?是3倍角三角形，且其中一个内角的度数是另外一个内角的余角的度数的1

3

，求DEF ?的最小内角． （3）若MNP ?是2倍角三角形，且90M N P ∠<∠<∠

15．小明研究了这样一道几何题：如图1，在ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转

()0180a a ?<

180a β+=?时，请问AB C ''△边B C ''上的中线AD 与BC 的数量关系是什么？以下是

他的研究过程：

特例验证：（1）①如图2，当ABC 为等边三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系为

AD =_______BC ；②如图3，当90BAC ∠=?，8BC =时，则AD 长为________． 猜想论证：（2）在图1中，当ABC 为任意三角形时，猜想AD 与BC 的数量关系，并

给予证明．

拓展应用：（3）如图4，在四边形ABCD ，90C ∠=?，120A B ∠+∠=?，

3BC =6CD =，3DA =P ，使PDC △与PAB △之

间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P 的位置（保留作图痕迹，不需要说明）并直接写出PDC △的边DC 上的中线PQ 的长度；若不存在，说明理由． 16．已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），2，点 P 从点 O 出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．

（1）求点 B 的坐标；

（2）设点 P 的运动时间为点 t 秒，△BDP 的面积为 S ，求 S 与 t 的函数关系式； （3）当点 P 与点 D 重合时，连接 BP ，点 E 在线段 AB 上，连接 PE ，当∠BPE =2∠OBP 时， 求点 E 的坐标．

17．如图，在等边△ABC中，AB=BC=AC=6cm，点P从点B出发，沿B→C方向以1．5cm/s 的速度运动到点C停止，同时点Q从点A出发，沿A→B方向以1cm/s的速度运动，当点P停止运动时，点Q也随之停止运动，连接PQ，过点P作BC的垂线，过点Q作BC的平行线，两直线相交于点M．设点P的运动时间为x（s），△MPQ与△ABC重叠部分的面积为y（cm2）（规定：线段是面积为0的图形）．

（1）当x= （s）时，PQ⊥BC；

（2）当点M落在AC边上时，x= （s）；

（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．

18．如图，等腰△ABC，AB＝CB，边AC落在x轴上，点B落在y轴上，将△ABC沿y轴翻折，得到△ADC

（1）直接写出四边形ABCD的形状：______；

（2）在x轴上取一点E，使OE＝OB，连结BE，作AF⊥BC交BE于点F．

①直接写出AF与AD的关系：____（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）；

②取BF的中点G，连接OG，判断OG与AD的数量关系，并说明理由；

（3）若四边形ABCD的周长为8，直接写出GE2＋GF2＝____．

19．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，过点A的抛物线y＝ax2+bx与直线y＝﹣x+4交于另一点B，且点B的横坐标为1．

（1）该抛物线的解析式为；

（2）如图1，Q为抛物线上位于直线AB上方的一动点（不与B、A重合），过Q作QP⊥x 轴，交x轴于P，连接AQ，M为AQ中点，连接PM，过M作MN⊥PM交直线AB于N，若点P的横坐标为t，点N的横坐标为n，求n与t的函数关系式；在此条件下，如图2，连接QN并延长，交y轴于E，连接AE，求t为何值时，MN∥AE．

（3）如图3，将直线AB绕点A顺时针旋转15度交抛物线对称轴于点C，点T为线段OA 上的一动点（不与O、A重合），以点O为圆心、以OT为半径的圆弧与线段OC交于点D，以点A为圆心、以AT为半径的圆弧与线段AC交于点F，连接DF．在点T运动的过程中，四边形ODFA的面积有最大值还是有最小值？请求出该值．

20．已知菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=4，点M在BC边上，过点M作PM∥AB交对角线BD于点P，连接PC．

（1）如图1，当BM=1时，求PC的长；

（2）如图2，设AM与BD交于点E，当∠PCM=45°时，求证：BE

DE33

；

（3）如图3，取PC 的中点Q ，连接MQ ，AQ ． ①请探究AQ 和MQ 之间的数量关系，并写出探究过程；

②△AMQ 的面积有最小值吗？如果有，请直接写出这个最小值；如果没有，请说明理由．

21．如图，直角梯形ABCD 中，

1//,90,60,3,9,AD BC A C AD cm BC cm O ??∠∠＝＝＝＝的圆心1O 从点A 开始沿折线

——A D C 以1/cm s 的速度向点C 运动，2O 的圆心2O 从点B 开始沿BA 边以

3/cm s 的速度向点A 运动，1O 半径为22,cm O 的半径为4cm ，若12,O O 分别从点

A 、点

B 同时出发，运动的时间为ts

（1）请求出2O 与腰CD 相切时t 的值； （2）在03s t s ≤＜范围内，当t 为何值时，

1O 与2O 外切？

22．如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，矩形OACB 的顶点A 、B 分别在x 轴和

y 轴上，已知OA=5，OB=3，点D 的坐标是（0，1），点P 从点B 出发以每秒1个单位的

速度沿折线BCA 的方向运动，当点P 与点A 重合时，运动停止，设运动的时间为t 秒．

（1）点P 运动到与点C 重合时，求直线DP 的函数解析式；

（2）求△OPD 的面积S 关于t 的函数解析式，并写出对应t 的取值范围；

（3）点P 在运动过程中，是否存在某些位置使△ADP 是不以DP 为底边的等腰三角形，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

23．已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DC ，点E 在BC 延长线上，连接DE ，∠A ＋∠E ＝180°．

（1）如图1，求证：CD=DE ；

（2）如图2，过点C 作BE 的垂线，交AD 于点F ，请直接写出BE 、AF 、DF 之间的数量关系_______________________；

（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC 的平分线，交CD 于G ，交CF 于H ，连接FG ，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE 的长．

24．在平面直角坐标系xOy 中，点A 为x 轴上的动点，点B 为x 轴上方的动点，连接

OA ，OB ，AB ．

（1）如图1，当点B 在y 轴上，且满足OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点

P ，请直接写出P ∠的度数；

（2）如图2，当点B 在y 轴上，OAB ∠的角平分线与OBA ∠的角平分线交于点P ，点C 在BP 的延长线上，且满足45AOC ∠=?，求

OAB

OCB

∠∠；

（3）如图3，当点B 在第一象限内，点P 是AOB ?内一点，点M ，N 分别是线段OA ，

OB 上一点，满足：1902

APB AOB ∠=?+∠，PM PN =，180ONP OMP ∠+∠=?．

以下结论：①OM ON =；②AP 平分OAB ∠；③BP 平分OBA ∠；④AM BN AB +=．

正确的是：________．（请填写正确结论序号，并选择一个正确的结论证明，简写证明过

程）．

25．综合与探究:如图1,在平面直角坐标系xOy 中,四边形OABC 是边长为4的菱形，

60C ?∠=

（1）把菱形OABC 先向右平移4个单位后，再向下平移()03m m <<个单位，得到菱形

''''O A B C ,在向下平移的过程中，易知菱形''''O A B C 与菱形OABC 重叠部分的四边形'AEC F 为平行四边形，如图2.试探究:当m 为何值时，平行四边形'AEC F 为菱形:

（2）如图，在()1的条件下，连接''',AC B O G 、为CE 的中点J 为EB 的中点，H 为

AC 上一动点，I 为''B O 上一动点，连接,,,GH HI IJ 求GH HI IJ ++的最小值，并直

接写出此时,H I 点的坐标.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．A

解析：（1）A （4，0）；（2）2

144

S t =-；（3）(4,8)E -

【解析】 【分析】

（1）利用三角形的面积公式构建方程即可解决问题．

（2）证明△CEA 和△COD 是等腰直角三角形，由EN ⊥AC ，推出4

2

t CN NE NA +===，AC=4+t ，根据S=S △AEC -S △ABC 计算即可．

（3）过点F 作FM ⊥AC 于点M ，由（2）求出点F 的坐标为(1,3)44

t t

-

+，从而得到 1144t t OM =-

=-，34

t

FM =+，由∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°，得出∠FOB=∠BDA ，进而得出∠MFO=∠ODA ，tan ∠MFO =tan ∠ODA ，故而

OA OM

OD MF

=， 即1443

4t t t -=+，解出t 的值，再求点E 的坐标即可. 【详解】

（1）由题意可得：2

11???822

AOB S OA OB OA ==＝，

∴OA 2=16， ∵OA ＞0， ∴OA=OB=4，

∴A （4，0），B （0，4）．

（2）如图，过点E 作EN ⊥AC 于点N ．

∵∠AOB=90°，OA=OB ， ∴∠OAB=45°， ∵AB ⊥CD ， ∴∠CEA=90°， ∴∠ECA=45°，

∴△CEA 是等腰直角三角形， ∵∠ECA=45°，∠COD=90°， ∴∠CDO=45°，

∴△CDO 是等腰直角三角形. ∵点D 纵坐标为t ， ∴CO=DO=t. ∵OA=OB=4, ∴AC=t+4.

∴4

2

t CN NE NA +===， ∴()()2141144442224AEC

ABC

t S S

S

t t t +??=-=?+?-?+?=- ???

； ∴S 与t 的函数关系是：2

144

S t =

-. （3）如图，过点F 作FM ⊥AC 于点M ，

由（2）可知，4

2

t CN NE +==， ∴22

t

ON OC CN =-=-， ∴点E 的坐标为(2,2)22

t t

-

+， ∵点B （0,4），点F 为BE 中点， ∴点F 的坐标为(1,3)44

t t

-+， ∴1144t t OM =-

=-，34

t

FM =+，

∵∠ABO=∠BDA+∠BAD=45°，∠FOB +∠DAE =45°， ∴∠FOB=∠BDA ， ∴OF ∥AD ， ∵FM ⊥AC ， ∴FM ∥DO ， ∴∠MFO=∠ODA ， ∴tan ∠MFO =tan ∠ODA ， ∴

OA OM

OD MF

=， 即14434

t t t -=+，

解得t=12或4=-4（不合题意，舍去） ∴点E 的坐标为(4,8)-. 【点睛】

本题考查三角形综合题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用所学知识，利用参数构建方程解决问题．

2．（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知m +n =12，得到12

2

a m +=，由a 的可能取值可得m 的取值，即可求得符合条件的“和平数”；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ，计算它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ，因式分解可得原式= 1111(a+b )，即可证明． 【详解】

解：（1）根据“和平数”的定义可得： 最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999， 故答案为1001；9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤， 则个位数字是2a ，

又∵029a ≤≤，

∴a 的可能取值为1，2，3，4；

∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数， ∴m+n =0或m+n =12， ∵“和平数”中a+m =n+2a ，

当m+n =0时，即m=n =0，则此时a =0，不符合题意， ∴m+n =12，

∴a+m =12?m +2a ，解得：12

2

a m +=

， ∵a 的可能取值为1，2，3，4；且m 为正整数， ∴m 的可能取值为7，8；

当a =2时，m =7，这个“和平数”是2754； 当a =4时，m =8，这个“和平数”是4848； 综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ， ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++ 110011001111a b c d =+++

1100()11()a b c d =+++

由“和平数”的定义可知：a+b =c+d ， ∴原式1100()11()a b a b =+++ 1111()a b =+，

∵a ，b 为正整数，则1111()a b +能被1111整除，

即(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++能被1111整除， ∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数． 【点睛】

本题考查新定义运算、因式分解的应用；能够读懂题意，根据数的特点，确定数的取值范围，进行正确的因式分解是解题关键．

3．B

解析：（1）9CE =-2）详见解析；（3）1

32

BD DE EF =- 【解析】 【分析】

（1）过点B 作BH AC ⊥于点H ，分别求出BH ，BE ，根据勾股定理问题得解； （2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG ，先证明

()ACD GFD SAS ??≌，再证明()ECB DGE AAS ??≌，问题得证；

（3）过点D 作AE 的垂线，构造出一个30，60?，90?的三角形和一个等腰直角三角形,

借助（2）的结论，设222EF AB AC x ===，ED =

，通过解两个直角三角形，代

换x 和y 的关系，得出结论． 【详解】

解：（1）如图，过点B 作BH AC ⊥于点H ， 在等边ABC ?中∵23BC =

∴3AH HC ==，223BH BC CH =-=,

∵点E 在BD 的垂直平分线上，

∴310BE DE == ， 在Rt BHE ?中229EH BE BH =

-=

∴93CE EH HC =-=-

（2）如图在FE 上取一点G ，使FG AC =，连接DG ∵DF CD = ∴FCD CFD ∠=∠ ∴ACD EFD ∠=∠ 在ACD ?和GFD ?中，

DF CD ACD EFD FG AC =??

∠=∠??=?

∴()ACD GFD SAS ??≌ ∴AD DG = ∴60A DGA ∠=∠=? ∴60A DGA ADG ∠=∠=∠=? 设EBD EDB α∠=∠= ∴120CBE α∠=?- 在ADE ?中

∴18060120AED αα∠=?-?-=?- ∴120AED CBE α∠=∠=?- 在ECB ?和DGE ?中

120AED CBE ECB ECD EB DE ∠=∠??

∠=∠=???=?

∴()ECB DGE AAS ??≌ ∴BC GE =

∴AB AC BC GE FG ====

1

2

AB EF =

（3）如图，设222EF AB AC x ===，DP=y ， 过点DP ⊥AE ，垂足为P ， ∵∠AED=45°, ∠A=60°, ∴2sin sin 45DP y ED y AED =

==∠?，23sin sin 603

DP y y

AD A ===

∠?， ∴2

=

y DE , ∴BD=AD-AB =

2323

2161

22

y x DE EF DE EF -=-=-， 故答案为：61

2

BD DE EF =

-． 【点睛】

本题涉及知识点较多，设计新颖，综合性强，难度较大，根据题意添加适当辅助线，构造直角三角形或构造全等是解题关键．

4．A

解析：（1）详见解析；（2）2

448

x x y -+=（04x <<）；（3）当AEG ?是等腰

三角形时，2BF =或43

【解析】 【分析】

（1）根据正方形的性质得到∠AOD=90°，AO=OD ，∠EOH=90°，OE=OH ，由全等三角形的性质即可得到结论；

（2）如图1，过O 作ON ⊥AB 于N ，根据等腰直角三角形的性质得到

1

22

AN BN ON AB ===

=， 根据勾股定理得到()

2

22222248OF FN ON x x x =

+=

-+=-+，根据平行线分

线段成比例定理即可得到结论；

（3）①当AE=EG 时，△AEG 是等腰三角形，②当AE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图2，过A 作AP ⊥EG 于P ③当GE=AG 时，△AEG 是等腰三角形，如图3，过G 作GQ ⊥AE 于Q ，根据相似三角形的性质或全等三角形的性质健即可得到结论． 【详解】

（1）∵四边形ABCD 是正方形，

,OA OD AC BD ∴=⊥，

90AOD ∴∠=?，

∵四边形OEGH 是正方形，

,90OE OH EOH ∴=∠=?，

AOD EOH ∴∠=∠，

AOD AOH EOH AOH ∴∠-∠=∠-∠， 即HOD EOA ∠=∠， HDO EAO ∴???．

（2）如图1，过O 作ON⊥AB 于N ，

则1

22

AN BN ON AB ===

=，