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二次函数典型题解题技巧

（一）有关角

2

1、已知抛物线y ax bx c

的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与

y

轴

交于点C (0

，

3)

，过点 C 作x轴的平行线与抛物线交于点 D ，抛物线的顶点为M ，直线

y x 5

经过 D 、 M 两点.

（1）求此抛物线的解析式；

（2）连接AM、 AC 、 BC ，试比较MAB 和ACB的大小，并说明你的理由.

思路点拨：对于第（ 1）问，需要注意的是CD和 x 轴平行（过点 C 作x轴的平行线与抛物线交于点 D ）

对于第（ 2）问，比较角的大小

a、如果是特殊角，也就是我们能分别计算出这两个角的大小，那么他们之间的大小关系就

清楚了

b、如果这两个角可以转化成某个三角形的一个外角和一个不相邻的内角，那么大小关系就

确定了

c、如果稍难一点，这两个角转化成某个三角形的两个内角，根据大边对大角来判断角的大

小

d、除了上述情况外，那只有可能两个角相等，那么证明角相等的方法我们学过什么呢，

全等三角形、相似三角形和简单三角函数，从这个题来看，很明显没有全等三角形，剩下

的就是相似三角形和简单三角函数了，其实简单三角函数证明角相等和相似三角形证明角相等的本质是一样的，都是对应边的比相等

e、可能还有人会问，这么想我不习惯，太复杂了，那么我再说一个最简单的方法，如何快

速的找出题目的结论问题，在本题中，需要用到的点只有M、 C、A、 B 这四个点，而这四个点的坐标是很容易求出来的，那么请你把这四个点规范的在直角坐标系内标出来，

再用量角器去量这两个角大大小，你就能得出结论了，得出结论以后你再看 d 这一条解：（ 1）∵ CD∥x轴且点 C（0， 3），

∴设点 D 的坐标为 (x ， 3)．

∵直线 y= x+5 经过 D 点，

∴3= x+5 ．∴ x=－ 2．

即点 D( － 2， 3)．

根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为M（－ 1， y），

又∵直线y= x+5 经过 M点，

∴y = － 1+5， y =4 ．即 M（－ 1， 4）．

∴设抛物线的解析式为y a(x 1)2 4 ．

∵点 C（ 0， 3）在抛物线上，∴ a=－ 1．

即抛物线的解析式为y

x2 2x

3

．????3分

（2）作 BP⊥AC 于点 P，MN⊥AB 于点 N．由（1）中抛物线y x22x 3 可得点 A（－ 3， 0）， B（1， 0），

∴A B=4， AO=CO=3， AC=3 2．

∴∠ PAB＝45°．

∵∠ ABP=45°，∴ PA=PB= 2 2

．

∴PC=AC－ PA= 2．

PB

在Rt△BPC中， tan ∠BCP= PC =2．

在Rt△ANM中，∵ M（ -1 ， 4），∴ MN=4．∴ AN=2．

MN

tan ∠NAM=AN =2．

∴∠ BCP＝∠ NAM．

即∠ ACB＝∠ MAB．

后记：对于几何题来说，因为组成平面图形的最基本的元素就是线段和角（圆分开再说），所以几何的证明无非就是线段之间的关系，角之间的关系，在二次函数综合题里，我主张首先要想到的是利用角之间的关系来解题，其次才是利用线段之间的关系来解题，除非你很快就能看出利用线段之间的关系来解题很简单，因为在直角坐标系里要求两点之间的距离是很

麻烦的，尤其是不知道某个点的确切坐标时，那么这个题给了我们一个如果判断角之间关系

的基本思路

2 、如图，抛物线y ax

2 bx 3与 x轴交于 A, B两点，与 y 轴交于点C，且

OB OC

3OA ．

（I ）求抛物线的解析式；

（II ）探究坐标轴上是否存在点

P ，使得以点

P, A,C

为顶点的三角形为直角三角形

若存在，求出 P 点坐标，若不存在，请说明理由；

1 x 1

（III

y

）直线

3

交

y

轴于 D 点， E 为抛物线顶点．若DBC

，

CBE ,求

的值．

思路点拨：（ II ）问题的关键是直角，已知的是

AC 边，那么 AC 边可能为直角边，可能为斜

边，当 AC 为斜边的时，可知

P 点是已 AC 为直径的圆与坐标轴的交点，且不能与

A 、

C 重合，明显只有 O 点；当 AC 为直角边时，又有两种情况，即 A 、 C 分别为直角顶

点，这时候我们要知道无论是

A 或者 C 为直角顶点，总有一个锐角等于∠

OCA （或

Rt △ PAC 和 Rt △OAC 相似），利用这点就可以求出 OP 的长度了

（ I II ）从题目的已知条件看，除了∠ABC=45°外没有知道其他角的度数，那么这两个角要么全

是特殊角（ 30°， 45°， 60°， 90°），在这种情况下，他们的差才有可能不是特殊的角，很明显，这两个角不是特殊角，那只有一种可能（在没有学反三角函数

的前提下），就是他们的差是特殊角，

再联系到∠ ABC=45°，可知，这两个角的差就

是 45°，那么我们需要证明的就是∠

ABD=∠CBE ，再想想上一题所说的，就明白是

利用相似三角形来证明了，即证明△ BCE 是一个直角三角形且与△ BAD 相似

解：（ I ） 抛物线 y ax 2

bx 3与y 轴交 C 点 0, 3 ，且 OB OC 3OA ．

A 1,0 , B(3,0) ．

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代入 y

ax 2 bx

3 ，得

a b 3 0

a 1

9a 3b 3 0

b 2

y x

2

2x

3

（ II ）①当

P AC 90 时,

可证

P 1

AO

∽

ACO

1

Rt P 1 AO 中，tan P 1 AO tan ACO

1 P 1 (0, 1

)

3 ． 3

②同理 : 如图当 P 2CA 90 时， P 2 (9,0)

③当

CP 3 A 90 时， P 3 ( 0,0)

综上，坐标轴上存在三个点 P ，使得以点

P,A,C

为顶点的三角形为直角三角形，分别

1

)

P 2 (9,0) ， P 3 (0,0) ． 是 P 1 (0, 3

） 由 y

1

x 1, 得 D 0 ,1 ． 由y x 2 2x

3，得顶点 E 1, 4 ．

（ III

3

∴

BC 3 2,CE 2,BE 2 5．

BC 2 CE 2 BE 2 , BCE 为直角三角形 ．

tan

CE 1

CB

3 ．

Rt DOB 中

tan

OD 1

DBO

3 ．DBO

又

OB

．

DBOOBC 45 ．

（二）线段最值问题

引子：初中阶段学过的有关线段最小值的有两点之间线段最短和垂线段最短，

无论是两点之

间选段最短还是垂线段最短，它们的本质就是要线段首尾相接，或者说线段要有公共端点，

如果我们公共端点， 我们要想办法把它们构造成有公共端点来解决；

有关线段最大值的问题，

学过的有三角形三边之间的关系，

两边之差小于第三边， 我们可以利用这个来求第三边的最

大值，还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值

y ax 2 bx c a 0

交

v1.0 可编辑可修改为直线 x = -1，B(1,0) ， C(0,-3).

⑴求二次函数 y ax2 bx c a

0 的解析式；

⑵ 在抛物线对称轴上是否存在一点P，使点 P 到 A、C 两点距离之差最大若存在，求出点P

坐标；若不存在，请说明理由 .

思路点拨：点 P到 A、 C两点距离之差最大，即求|PA－ PC|的最大值，因 P 点在对称轴上，有 PA=PB，也就是求 |PB － PC|，到了这儿，易知当P 点是 BC 所在直线与对称轴的交点，易知最大值就是线段BC的长。

具体解题过程略

4、研究发现，二次函数y ax2 （ a 0 ）图象上任何一点到定点（0，1

）和到定直线

1 1 4a

y 的距离相等. 我们把定点（0 ，）叫做抛物线 y ax2的焦点，定直线4a 4a

y 1 叫做抛物线 y ax 2的准线.

4a 1

x 2图象的焦点坐标和准线方程；

（ 1）写出函数y

4 1

x 2图象上，O为坐标原点，（ 2）等边三角形OAB的三个顶点都在二次函数y

4

求等边三角形的边长；

（ 3）M为抛物线y 1

x2上的一个动点，F为抛物线 y

1

x 2的焦点，P（1，3）4 4

为定点，求MP+MF的最小值 .

思路点拨：（ 2）因△ OAB是等边三角形，易知AB 平行于 X 轴，且∠ AOB=60°，知 OA、OB于y 轴的夹角等于30°，利用这点容易求出三角形的边长

（3）由题目可知MF的长度等于M点到直线y=－ 1 的距离，那么 MP+MF就是 P 点到达抛物线上某一点再到y= － 1 上某一点的距离和，易知最小值就是过P 点做 y=－ 1 的垂线段的长解：（ 1）焦点坐标为（ 0， 1），准线方程是y 1 ；

（2）设等边OAB的边长为 x，则 AD=1

x， OD=

3

x .

2 2

故 A 点的坐标为（1

x ，

3

x ）.

2 2

v1.0可编辑可修改把 A 点坐标代入函数y 1 x 2，得

4

3 x 1 ( 1

x) 2，

2 4 2

解得 x 0 （舍去），或 x 8 3 .

∴等边三角形的边长为8 3 .

（ 3）如图，过 M作准线y1的垂线，垂足为N，则 MN=MF过. P 作准线y1的垂线PQ，垂足为 Q，当 M运动到 PQ与抛物线交点位置时，MP+MF最小，最小值为PQ=4.

5、

v1.0可编辑可修改思路点拨：（ 2）要求 AE和 AM的长，对于求线段的长度我们学过的是勾股定理，相似三角形

和简单三角函数，从题目可知OA和 OE的长以及 E 点到 x 轴的距离，我们作 EG⊥x 轴，垂足为G，那么容易求出 OG的长，从而求出 AE 的长；要求 AM的长，先做 OK⊥ AE，垂足为 K，

要求 AM的长，首先我们利用已知的 OA的长和∠ EAO的函数值来求出 AK和 OK的长，利用 OK

的长和三角形OMN是等边三角形求出MK和 NK的长， AM的长也就知道了

（3）这个是著名的费马点的问题，第 2 问给了我们提示，我们可以猜想当P 点在什么位置

时， PA+PB+PO才能取最小值， P 点应该在线段AE上，至于具体的位置我们还不知道，我们

就在线段AE上任取一点P，把 PA、 PB、PO连起来，要取最小值，那么这三条线段应该首尾

相接，我们应该能想到它们首尾相接后的位置就是AE 所在直线，这时P 点应该和在△ OAB

内的 M点重合， PA的长就是AM的长， m的最小值就是AE的长

答案详见前段时间发过的《从近近几年北京中考模拟及中考压轴题谈起》

额外讲解一个与二次函数无关的有关线段最值的问题

6、 2009 年中考第25 题

如图，在平面直角坐标系xOy中，△ ABC三个顶点的坐标分别为A(－6，0)，B(6，0)，C(0，

1 AC ，过D点作DE∥AB交BC的延长线于点E．

4 3 )，延长AC到点D，使 CD

2

(1)求 D点的坐标；

(2)作 C点关于直线 DE的对称点 F，分别连结 DF、 EF，若过 B 点的直线 y＝ kx＋ b 将四边

形 CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；

(3) 设G为y轴上一点，点P 从直线 y＝ kx ＋b 与 y 轴的交点出发，先沿y 轴到达 G点，

再沿 GA到达 A点．若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线GA上运动速度的 2 倍，试

确定 G点的位置，使P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短．

( 要求：简述确定G点位置的方法，但不要求证明)

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思路点拨：（ 3）首先要把速度转化成路程，也就是线段的长度，直线与y轴的交点假设为M，则 OM=6 3 , 设 P 点在 y 轴上的速度为2v ，那么在 GA上的速度为v，P 点到达 A 点所用的时

间为，要使时间最短，也就是求AG+GM/2的最小值，那么我

们要把它转化成我们熟悉的两条线段的和，因为∠ BMO=30°，GM/2 也就是 G点到 BM的距离，我们作 GK⊥BM，垂足为 K, 问题转化成求GA+GM的最小值，易知，A、 G、 M必须共线且垂直

BM，所以 G点就是过 A 点作 BM的垂线与y 轴的交点

解： (1) ∵A( － 6， 0) ，C(0 ，43 )，∴OA＝6，OC＝4 3 ．

设DE与 y 轴交于点 M．由 DE∥ AB可得△ DMC∽△ AOC．

又 CD 1 AC ，MD CM CD 1 ．

2 OA CO CA 2

∴CM＝23， MD＝3．

同理可得 EM＝3．∴ OM＝63．

∴D点的坐标为(3，63)．

(2)由 (1) 可得点M的坐标为 (0 ， 6 3 ) ．

由DE∥ AB， EM＝ MD，

可得 y 轴所在直线是线段ED的垂直平分线．

∴点 C关于直线 DE的对称点 F 在 y 轴上．

∴ED与 CF互相垂直平分．

∴CD＝DF＝ FE＝EC．

∴四边形 CDFE为菱形，且点M为其对称中心．作直线BM．

设 BM与 CD、 EF分别交于点S、点 T．可证△ FTM≌△ CSM．

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∴FT＝CS．

∵FE＝CD，∴ TE＝ SD．

∵EC＝DF，∴ TE＋ EC＋ CS＋ ST＝ SD＋DF＋ FT＋ TS．

∴直线 BM将四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形．

由点 B(6，0)，点 M(0，63 )在直线y＝kx＋b上，

可得直线 BM的解析式为y＝－ 3 x＋6 3 ．

第 25 题答图

(3) 确定G点位置的方法：过A点作 AH⊥BM于点 H，则 AH与 y 轴的交点为所求的G点．

由 OB＝6， OM＝63 ，可得∠OBM＝60°．∴∠BAH＝30°．

在 Rt△OAG中，OG＝AO·tan ∠BAH＝ 2 3 ．

∴G点的坐标为(0，2 3 )．(或G点的位置为线段OC的中点)

（三）平移对称旋转问题

引子：平移问题以前讲过了，现在重点将对称旋转问题

我们知道（ a， b）关于 x 轴对称的点的坐标为（a，－ b），

关于 y 轴对称的点的坐标为（－a， b），

关于原点对称的点的坐标为（－a，－ b），

关于直线x=m的对称点为（2m－a， b），

关于直线y=n 的对称点为（a， 2n－ b），

关于点（ m， n）的对称点为（2m－ a， 2n－ b）

任意两点（ x1， y1）和（ x2， y2）的中点为

v1.0可编辑可修改对于抛物线关于x 轴、 y 轴、 x=a、 y=b 的对称抛物线，应该都会了吧，现在重点讲解抛物线

关于某点（ m，n）的对称抛物线解析式（其他平移、关于直线对称都可以用这个方法解决），为了方便，选取抛物线的顶点式来证明

例：对于一个抛物线y=a（x－ h）2+k（ a≠ 0）来说，坐标为（x， y）的所有点都在他的图像上，关于（ m， n）的对称点为（2m－ x， 2n－y），那么坐标为（2m－ x， 2n－y）都在抛物线

关于（ m，n）对称的抛物线上，我们把（2m－ x， 2n－ y）代入 y=a（ x－ h）2+k（ a≠ 0）就可

以得到它关于（m， n）对称的抛物线的解析式为2n－ y=a（ 2m－ x－h）2+k，变形为

y=－ a（ x－2m+h）2+2n－ k

现在利用待定系数法来验证这个方法是否正确

首先 y=a（ x－ h）2+k（ a≠ 0）和它关于点（m，n）的对称的抛物线的开口大小是一样的，所

以二次项系数的绝对值是相同的，由于关于点对称，开口方向是相反的，故二次项系数互为

相反数；其次原抛物线与对称抛物线的顶点是关于（m，n）对称的，原抛物线的顶点为（h，k），它关于（ m， n）的对称点的坐标为（2m－ h， 2n－k），那么对称抛物线的解析式可以写

成 y=－ a（x－ 2m+h）2+2n－ k，和利用上述方法所得结果一致

7、已知抛物线

2 2

A，抛物线C2的对称轴是 y C1： y=ax － 2amx+am+2m+1(a>0， m>1)的顶点为

轴，顶点为B，且抛物线C1和 C2关于 P(1 ，3) 成中心对称

（1）用含 m的代数式表示抛物线 C1的顶点坐标

（2）求 m的值和抛物线 C2的解析式

（3）设抛物线C2与 x 正半轴的交点是C，当△ ABC 为等腰三角形时，求 a 的值

思路点拨：（1）很多人一看到求抛物线的顶点，习惯使用顶点的坐标公式来求，如果你熟悉

因式分解和抛物线的顶点公式是如何得到的，那么这个题明显利用配方更容易得到顶点坐

标， y=a（ x－ m）2+2m+1，故顶点坐标为（m， 2m+1）

（2）C1和 C2关于点对称，利用上述方法容易求出C2的解析式和顶点坐标，易知m=2 详解过程略