苏教版数学高一-【学案导学设计】 必修1试题 2.1.2函数的表示方法

2.1.2 函数的表示方法

课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数．

1．函数的三种表示法

(1)列表法：用列表来表示两个变量之间函数关系的方法． (2)解析法：用等式来表示两个变量之间函数关系的方法． (3)图象法：用图象表示两个变量之间函数关系的方法． 2．分段函数

在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通常叫做分段函数．

一、填空题

1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为________．

2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口)

给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水．则正确论断的个数是________． 3．如果f (1x )＝x

1－x

，则当x ≠0时，f (x )＝________.

4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )＝__________________________________.

5．已知f (x )＝?????

x －5 (x ≥6)

f (x ＋2) (x <6)，则f (3)＝_________________________________.

6．已知f (x )＝?

????

x －3 (x ≥9)

f [f (x ＋4)] (x <9)，则f (7)＝________________________________.

7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为________________________________． 8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1

x )＋x ，则f (x )的解析式为____________．

9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________． 二、解答题

10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式．

11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1

能力提升

12．在交通拥挤及事故多发地段，为了确保交通安全，规定在此地段内，车距d是车速v(公里/小时)的平方与车身长S(米)的积的正比例函数，且最小车距不得小于车身长的一半．现假定车速为50公里/小时，车距恰好等于车身长，试写出d关于v的函数关系式(其中S为常数)．

13．设f(x)是R上的函数，且满足f(0)＝1，并且对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x －y＋1)，求f(x)的解析式．

1．如何作函数的图象

一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式(可能有的要表示为分段函数)，再列表描出图象，并在画图象的同时注意一些关键点，如与坐标轴的交点、分段函数的区间端点等．2．如何求函数的解析式

求函数的解析式的关键是理解对应法则f的本质与特点(对应法则就是对自变量进行对

应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)． 3．分段函数是一个函数而非几个函数．

分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集． 分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取区间端点处时函数的取值情况，以决定这些点的实虚情况．

2．1.2 函数的表示方法

作业设计 1．y ＝

50

x

(x>0) 解析 由x ＋3x

2·y ＝100，得2xy ＝100.

∴y ＝50

x

(x>0)． 2．1

解析 由题意可知在0点到3点这段时间，每小时进水量为2，即2个进水口同时进水且不出水，所以①正确；从丙图可知3点到4点水量减少了1，所以应该是有一个进水口进水，同时出水口也出水，故②错；当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变，也可由题干中的“至少打开一个水口”知③错． 3.1x －1

解析 令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f(1x )＝x

1－x ，

则有f(t)＝1t

1－

1t ＝1

t －1.

4．2x －1

解析 由已知得：g(x ＋2)＝2x ＋3， 令t ＝x ＋2，则x ＝t －2， 代入g(x ＋2)＝2x ＋3， 则有g(t)＝2(t －2)＋3＝2t －1. 5．2

解析 ∵3<6，

∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2. 6．6

解析 ∵7<9，

∴f(7)＝f [f(7＋4)]＝f [f(11)]＝f(11－3)＝f(8)． 又∵8<9，∴f(8)＝f [f(12)]＝f(9)＝9－3＝6. 即f(7)＝6. 7．y ＝1

2

x ＋12

解析 设所求函数解析式为y ＝kx ＋12，把x ＝3，y ＝13.5代入，得13.5＝3k ＋12，k ＝12

. 所以所求的函数解析式为y ＝1

2x ＋12.

8．f(x)＝－x 2＋2

3x (x ≠0)

解析 ∵f(x)＝2f(1

x )＋x ，①

∴将x 换成1x ，得f(1x )＝2f(x)＋1

x .②

由①②消去f(1x )，得f(x)＝－23x －x

3，

即f(x)＝－x 2＋2

3x (x ≠0)．

9．f(x)＝2x ＋8

3或f(x)＝－2x －8

解析 设f(x)＝ax ＋b(a ≠0)， 则f(f(x))＝f(ax ＋b)＝a 2x ＋ab ＋b.

∴?????

a 2＝4

ab ＋b ＝8，解得?????

a ＝2

b ＝

83

或?????

a ＝－2

b ＝－8

. 10．解 设f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)． 由f(0)＝f(4)知????

?

f (0)＝c ，f (4)＝16a ＋4b ＋c ，

f (0)＝f (4)，

得4a ＋b ＝0.① 又图象过(0,3)点， 所以c ＝3.②

设f(x)＝0的两实根为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c

a

.

所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2

－2x 1x 2＝(－b a )2－2·c a ＝10. 即b 2－2ac ＝10a 2.③

由①②③得a ＝1，b ＝－4，c ＝3.所以f(x)＝x 2－4x ＋3. 11．解 因为函数f(x)＝－x 2＋2x ＋3的定义域为R ，列表：

x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y

…

－5

3

4

3

－5

…

连线，描点，得函数图象如图：

(1)根据图象，容易发现f (0)＝3， f (1)＝4，f (3)＝0， 所以f (3)

(2)根据图象，容易发现当x 1

(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．

12．解 根据题意可得d ＝k v 2S . ∵v ＝50时，d ＝S ，代入d ＝k v 2S 中， 解得k ＝12 500.

∴d ＝12 500

v 2

S .

当d ＝S

2

时，可解得v ＝25 2.

∴d ＝???

S

2 (0≤v <252)1

2 500v 2

S (v ≥252)

.

13．解 因为对任意实数x ，y ，有 f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)， 所以令y ＝x ，

有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，

即f(0)＝f(x)－x(x＋1)．又f(0)＝1，∴f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1.