广东省仲元中学2017_2018学年高一数学上学期期中试题(含解析)
广东仲元中学学年第一学期期中考试高一年级数学学科必修一模块试
卷
一、选择题：本大题共个小题,每小题分,共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
. 已知全集，，则( )
. {，，} . {，，} . {，，} . {，}
【答案】
【解析】，则，故选
. 下列四组函数，表示同一函数的是（）
. .
. .
【答案】
【解析】相等函数判断要（）定义域相同，（）解析式相同。、、都是定义域不同，是相等函数，故选。
. 函数的定义域为 ( )
. .
. .
【答案】
【解析】根据题意，，解得，且，故选。
. 幂函数的图象过点(),则的值为（）
. . . .
【答案】
【解析】由幂函数图象过点得，故选
. 设,,, 则,,的大小关系为（）
. .
. .
【答案】
【解析】，因为，所以，所以
，故选
. 函数的零点个数为（）
. . . .
【答案】
【解析】由题意得：，
由图可知，有个零点，故选。
. 已知函数为奇函数，且当时，，则( )
. . . .
【答案】
【解析】试题分析：由已知
考点：函数的性质、分段函数求值
. 函数的单调递减区间为（）
. . . .
【答案】
【解析】定义域为，令，则，
. 函数的图象如图，则该函数可能是（）
. . . .
【答案】
【解析】由图可知，该函数为奇函数，则排除，又，排除，
、由函数的增长趋势判断，当时，，，
由图观察可得，应选。
点睛：根据图象选择解析式，或根据解析式选择图象，一般通过奇偶性和特殊点进行排除法选出正确答案。本题中、比较同意排除，在、中，根据增长的趋势进行进一步选择。
. 用表示三个数中的最小值。设 ,则的最大值为 ( )
. . . .
【答案】
【解析】画出函数的图象()，易得的最大值为,选.
. 是上的减函数,则实数的取值范围是（）
. . . .
【答案】
【解析】试题分析：由题意得，函数是上的单调减函数，则
，解得，故选.
考点：函数的单调性的应用.
. 函数有且只有一个零点，则实数的值为（）. . . .
【答案】
【解析】有题可知，，令，，
：令，由复合函数的单调性质可知：
在山单调递减，上单调递增，
在上单调递增，上单调递减，
因为有且只有一个零点，则两个图象过点，解得，故选。
点睛：零点个数问题的基本方法是转化为两个图象的交点个数问题。本题中转化为
，但右边的图象不是常规的基本初等函数，则转化为复合函数去处理。再者，本题利用两个函数的单调性作为突破口，解得答案。
二．填空题：本大题共小题，每小题分,共分.
. 满足＞的的取值范围是.
【答案】
【解析】，则，
. 函数的反函数图像经过点，则
【答案】
【解析】反函数过，则原函数过，所以。
. 函数的对称中心为，则
【答案】
【解析】因为是对称中心，则将图象左移个单位，上移个单位后，图象关于对称，奇函数。
移动之后的函数，
，解得。
点睛：对称性问题，可以通过移动将函数图象移动成奇偶对称性函数。本题中原函数是中心对称，则我们可以将对称中心移动到原点，则移动后的图象为奇函数，再利用奇函数的特点进行解题。
. 函数的最大值为，最小值为，则
【答案】
【解析】，令，
则，
则是奇函数，
设取到最大值，则取到最小值，
，，
又，则，
即
三．解答题：共分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
. 求值：
（）
（）
【答案】（）（）
【解析】试题分析：（）本题先化简成指数幂形式，再进一步计算；（）本题先整理为同底对数进行计算，然后考察的公式应用。
试题解析：
解：（）
（）
. 全集，函数的定义域为集合，集合．（）求；
（）若,求实数的取值范围．
【答案】（）（）
试题解析：
解：()∵∴
∴() ∴
（）当时，满足
当时，
∵∴
∴∴
综上所述：实数的范围是
. 已知函数
（）求实数的取值范围，使函数在区间上是单调函数;
若, 记的最小值为, 求的表达式
【答案】（）（）
【解析】试题分析：（）函数的对称轴为，要使得函数在区间上是单调函数，则对称轴在的左侧或在的右侧，即；（）当时，的最大值为，当时，的最大值为，可得的表达式，在根据奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性
试题解析：（）
∴
（）
（）偶函数
考点：．二次函数的单调性以及最值；．函数的奇偶性
. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为元，每生产一台仪器需增加投入元，已知总收益满足函数：，其中是仪器的月产量
()将利润表示为月产量的函数
（）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？（总收益总成本利润）
【答案】（）（）当月产量为台时,利润最大,最大利润是元.
【解析】试题分析：（）;利润总收益总成本，而总成本包括固定成本元和生产台仪器所增加投入的元；
（）根据上一问所列利润的分段函数，分别求每段函数的最大值，或是取值范围，再进行比
较最大值，就是最大利润．
试题解析：（）
（）当时，
∴当时，有最大值为
当时，
是减函数，
∴当时，的最大值为
答：每月生产台仪器时，利润最大，最大利润为元．
考点：函数的应用
. 已知函数
⑴求函数的定义域；
⑵讨论函数的奇偶性；
⑶判断函数的单调性，并用定义证明.
【答案】（）（）奇函数（）见解析
【解析】试题分析：（）对数的真数部分大于零，求得定义域；（）利用奇偶性的定义判断函数奇偶性；（）利用定义判断并证明函数的单调性，本题根据定义域分两部分进行证明判断。
试题解析：
解：（）使得函数有意义，
则有解得：.
所以函数的定义域为
（）由（）可知函数的定义域关于原点对称，
且
所以函数为奇函数.
（）
证明：设，
单调递
为奇函数，上也为减函数
. 已知函数，，记
。
() 判断的奇偶性（不用证明）并写出的单调区间；
（）若对于一切恒成立，求实数的取值范围.
（）对任意，都存在，使得，.若，求实数的值；
【答案】（）奇函数，在上单调递增（）（）
【解析】试题分析：（）利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性，利用复合函数的单调性性质写出单调区间；（）含参数的恒成立问题采用分离参数法，得到，解得，的最大值，则即可；（）由题意可知，
，，所以，解得。
试题解析：
（Ⅰ）函数为奇函数，在上单调递增
（Ⅱ）当时，
即，
，
令，
下面求函数的最大值。
，
∴
故的取值范围是
（Ⅲ）据题意知，当时，，
∵在区间上单调递增，
∴，即
又∵
∴函数的对称轴为
∴函数在区间上单调递减
∴，即
由，得，
∴
点睛：（）复合函数的单调性“同增异减”，本题熟悉此性质的应用来判断单调区间；（）含参的函数恒成立问题，我们一般都采取分离参数法进行解题，再进行恒成立的最值求解；（）本题先由题意分析得，，再解得答案。