浙江省杭州市高考数学命题比赛模拟(一)

浙江省杭州市高考命题比赛模拟（一）

数 学

本试卷分选择题和非选择题两部分。全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。满分150分，考试时间120分钟。 考生注意：

1.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填在试题卷和答题卷规定的位置上。

2.答题前，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效。 参考公式：

若事件,A B 互斥，则()()()P A B P A P B +=+ 棱柱的体积公式V Sh = 若事件,A B 相互独立，则()()()P A B P A P B ?=? 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高

若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则n 次 棱锥的体积公式 1

3

V Sh =

独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高

()(1),(0,1,2,

,)k k

n k n n P k C p p k n -=-= 球的表面积公式

台体的体积公式 24S R π=

)(3

1

2211S S S S h V ++=

球的体积公式 其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积，h 表示 33

4R V π=

棱台的高 其中R 表示球的半径

选择题部分（共40分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

1}2

15

412{≤-

=x

x M ，}1{x y x N -==，那么=N M （ ） }1<≤x B ．}12{≤≤-x x C ．}

2{-

D ．}2{≤x x 2．（原创）设ααsin 2sin =，)0,2

(π

α-

∈，则tan 2α的值是 （ ）

A ．3

B ．3-

C ．

33 D ．3

3

- 3．（原创）若复数i z +=1(i 是虚数单位)，则 （ ） A ．01222

=--z z B ．01222

=+-z z C ．0222

=--z z D ．0222

=+-z z 4．(摘抄)已知q 是等比数列}{n a 的公比，则“1>q ”是“数列}{n a 是递增数列”的 （ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

5．(摘抄)已知n m ,为异面直线，βα,为两个不同平面，α⊥m ，β⊥n ，且直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，

α?l ，β?l ，则 （ ） A ．βα//且α//l B ．βα⊥且β⊥l

C ．α与β相交，且交线垂直于l

D ．α与β相交，且交线平行于l

6．（改编）若正数,a b 满足111a b +=，则

14

111

a b +=--的最小值为 （ ）

A ．4

B ．6

C ．9

D ．16

7．（原创）已知21,F F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，若点2F 关于直线x a

b

y =的对称

点M 也在双曲线上，则该双曲线的离心率为 （ ）

A ．2

5 B ．2 C ．5 D ．2

8．（原创）已知关于x 的方程2

(2)0ax a b x mb +-+=有解，其中,a b 不共线，则参数m 的解的集合为（ ）

A ．{0}或{2}- B. {0,2}- C.{|20}m m -≤≤ D.Φ

9．(摘抄)已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，,,A B C 为抛物线C 上三点，当0FA FB FC ++=时，称ABC

?为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有 （ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．无数个

10．(摘抄)已知函数2()f x x ax b =++，,m n 满足m n <且()f m n =，()f n m =，则当m x n <<时， （ ）

A ．()f x x m n

+<+

B ．()f x x m n

+>+ C ．()0

f x x -< D ．()0

f x x ->

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 11．（原创）二项式6

1(2)2x x

-

的展开式中，（1）常数项是 ；（2）所有项的系数和是 ． 12．(摘抄)正四面体（即各条棱长均相等的三棱锥）的棱长 为6，某学生画出该正四面体的三视图如下，其中有一个视 图是错误的，则该视图修改正确后对应图形的面积为______， 该四面体的体积为_________.

13．(原创)若将向量(2,3)a =围绕起点按逆时针方向旋转23π

到向量b ，则向量b 的坐标为_____，与b 共线的单位向量=14．（原创）在1,2,3,,9这9个自然数中，任取3个数， （1）这3个数中恰有1个是偶数的概率是 ；（用数字作答）

（2）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数

1,2和2,3，此时ξ的值是2）

．则随机变量ξ的数学期望E ξ= ． 15．（原创）若变量,x y 满足：220

2403110x y x y x y -+≤??

+-≥??-+≥?

，且满足：(1)(2)0t x t y t ++++=，则参数t 的取值范围

为______________． 16．（原创）若点G 为ABC ?的重心，且BG AG ⊥，则C sin 的最大值为_________________． 17．（改编）若存在[]1,2a ∈，使得方程2

2

()()x x a a a t -=+有三个不等的实数根，则实数t 的取值范围

是 ．

三、解答题：本大题共5小题，满分74分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本小题满分14分）

E

C1

A

A

（原创）在ABC

?中，内角,,

A B C的对边分别为,,

a b c，且sin

5

B c

=，

11

cos

14

B=．

（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）设BC边的中点为D，AD=，求ABC

?的面积．

19．（本小题满分15分）

（原创）正方体

1111

ABCD A B C D

-的棱长为1，E是边

11

D C的中点，点F在正方体内部或正方体的面上，且满足：//

EF面

11

A BC。

（Ⅰ）求动点F轨迹在正方体内形成的平面区域的面积；

（Ⅱ）设直线

1

BD与动点F轨迹所在平面所成的角记为θ，求cosθ．

20．（本小题满分15分）

（原创）已知数列}

{

n

a是等差数列，3

2

=

a，6

5

=

a，数列}

{

n

b的前n项和为

n

S，且2

2=

-

n

n

S

b．（Ⅰ）求数列}

{

n

a、}

{

n

b的通项公式；

（Ⅱ）记

n

n

n

n

n b

a

a

a

c

?

?

=

+

+

1

2，若数列}

{

n

c的前n项和为

n

T，证明：

2

1

<

n

T．

21．（本小题满分15分）

（原创）已知椭圆

2

21

2

x

y

+=的左右焦点分别为

1

F，

2

F，直线l过椭圆的右焦点

2

F与椭圆交于,A B两点．（Ⅰ）当直线l的斜率为1，点P为椭圆上的动点，满足条件的P使得ABP

?的面积

ABP

S

?

=的点有几个，并说明理由；

（Ⅱ）

1

ABF

?的内切圆的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值及此直线l的方程，若不存在，请说明理由．

22．（本小题满分15分）

(摘抄)已知函数)

,0

(

)

ln(

)

(R

b

a

x

b

a

x

x

f∈

<

-

+

=，且曲线()

y f x

=在点(2,(2))

f处的切线方程为

2y x =-．

（Ⅰ）求实数a ，b 的值；

（Ⅱ）函数()(1)g x f x mx =+-有两个不同的零点1x ，2x ，求证：2

12x x e >．

2019年高考模拟试卷数学卷答题卷

本次考试时间120分钟，满分150分，所有试题均答在答题卷上

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．

11、 ， ； 12、 ， ； 13、 ， ；

14、 ， ； 15、 ； 16、 ；

17、 .

三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

2019年高考模拟试卷数学卷参考答案与评分标准

一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．B 2．A 3．D 4． D 5．D 6．A 7．C

8．B 9．D 10．A

二、填空题部分（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，满分

36分） 11． 20-；

729

64

12． 66，218

13. 53

(,)22

-，)1421,1475(-

与)1421,1475(- 14．1021；23

15.423

t -≤≤- 16．

53 17．3(,0)18

-

三、解答题：本大题共5小题，共72分．

18．本题主要考查两角和差公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，同时考查运算求解能力．本题满分14分．

（Ⅰ）由11

cos 14

B =

，得53sin 14B =，……………………………………………………………… 1分

又23sin 5a B c =，代入得37a c =，

由sin sin a c A C

=

，得3sin 7sin A C =，……………………………………………………… 3分 3sin 7sin()A A B =+， 3sin 7sin cos 7cos sin A A B A B =+………………………………5分

得tan 3A =-，23

A π

=…………………………………………………………………………7分

（Ⅱ）4

19cos 22

2=??-+B BD AB BD AB ，…………………………………………………………… 9分

x

1F

M

2F y

G

E

C 1

1

A

4

19

1411)6

7(2)67

(22=?

?-+c c c c ，3=c ，则7=a ………………………………………………11分 4

3

1514357321sin 21=???==B ac S …………………………………………………………14分

19．本题主要考查空间点、线、面位置关系，线面角等基础知识．同时考查空间向量的应用，考查空间想

象能力和运算求解能力．满分15分． 解：（Ⅰ）如图，在正方体内作出截面EFGHIJ

，（或画出平面图形）…………4分

正六边形…………………………5分

7分

（Ⅱ）法一：如图，连11B D 交11A C 于O 点，连BO ，

所求面//面11A BC ，∴所求角=1BD 与面11A BC 所成的角，

面11A BC ⊥面11B D DB ，∴线1BD 在面11A BC 的投影为BO ，

1D BO ∴∠即为所求的角…………………………………………11分

在1BOD ?中，由余弦定理知1cos 3

D BO ∠=

所以，cos θ=………………………………………………15分

法二：以DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴建议直角坐标系，

则111(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,1)A B C D …………………………………………………………10分

可求出平面11A BC 的法向量为(1,1,1)n =，又

1(1,1,1)BD =--………………………………12分

11

cos ,3n BD ∴<>=-

所以，cos 3

θ=……………………………………………………………………………………15分

20．本题主要考查等差数列、等比数列概念、通项公式、判定，一般数列的前n 项和n S 与n a 的关系等基础

知识．同时考查数列单调性的探究方法，运算求解能力等．本题满分15分． （1）由已知得??

?=+=+643

1

1d a d a ，解得1,21==d a ，所以1+=n a n ………………………………3分

当1n =时，2211=-b b ，21=∴b （1）…………………………………………4分 ??

?=-≥=---2222

211n n n n S b n S b 时，

当，当2≥n 时，12-=n n b b （2）………………………6分

由（1），（2）得n

n b 2=…………………………………………………………………………7分

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，所以)

2()1(23

+?+?+=

n n n c n n ……………………………………………………9分

)2(21

)1(211+?-+?=?-n n c n n n ……………………………………………………………12分

)2(21

21+?-=?n T n n …………………………………………………………………………14分

2

1

21．本题主要考查，直线、圆、圆锥曲线的方程，直线与椭圆的位置关系等基本知识．同时考查解析几何

的基本思想方法和综合解题能力．满分15分．

解：（Ⅰ）由题意，得:1l y x =-代入椭圆方程2212x y +=中得2340x x -=，124

0,3

x x ==……1分

得到12|||AB x x =-=2分

设点P 到直线l 的距离为d ，由112

||223

ABP S AB d d ?===

得到d = (4)

设

00(,)P x y d ?=

令001t x y =--，又

2

20012

x y +=，代入得到22002(1)2x x t +--=， 化简得到：22

0034(1)240x t x t t -+++=，则于0?≥，

得到11t ≤≤，

当10t ≤<时，?椭圆上方的点到直线l >

?椭圆上方存在两个这样的P 点，使得ABP ?的面积2

3ABP S ?=

；

当01t ≤≤?椭圆下方的点到直线l >

?椭圆下方仅存在一个P 点，使得ABP ?的面积2

3

ABP S ?=

； 综上，椭圆上存在这样的P 点有三个………………………………………………………………7分

（Ⅱ）设1ABF ?的内切圆的半径为r ，1111

(||||||)2

ABF S AF BF AB r ??=++?

111

42

ABF ABF S a r S ???=???=，∴要使内切圆的面积最大，即使得1ABF S ?最大……9分

设直线:1l x my =+，代入椭圆得到22

(2)210m y my ++-=…………………………………………10分

2

8(1)m ??=+，122||2y y m -==+…………………………………………………11分

设点1F 到直线l 的距离为h

1

1121|||22ABF S AB h y y h m ??=??=-?==

+…………………………………………………………………………………………………………………13分

令1t =≥

121

1ABF S t t t

??=

=++1t ?=时，即0m =时，1ABF S ?取得最大值，所以1max ()ABF S ?= max 12r ?=

，∴1ABF ?的内切圆面积的最大值为4

π

，此时直线l 的方程为1x =……………………15分 22．本题主要考查函数的基本性质、导数的概念、导数的应用等综合应用能力，同时考查逻辑推理能力和

创新意识．满分15分．

解：（1）由曲线)(x f y =在点))2(,2(f 处的切线方程为2-=x y ，故?

??==-=0)2('0

22)2(f f ，……2分

又x b a x x f -+=)ln()(，21)('x b

a x x f ++=，………………………………………………4分

所以???????

=++=-+14

2102

)2ln(b a b a ，解得0,1=-=b a ……………………………………………………6分

（2）由（1）知，)1ln()(-=x x f ，故x x f ln )1(=+，所以)(ln )(R m mx x x g ∈-=， mx x x g -=ln )(的两个不同的零点21,x x ，不妨设021>>x x ， 因为0)()(21==x g x g ，所以2211ln ,ln mx x mx x ==，

要证明2

21e x x >?，即证明2ln )ln(221=>?e x x ，而)()ln(2121x x m x x +=?

故只需证明2)(21>+x x m 即可，…………………………………………………………8分

又2121ln ln mx mx x x -=-，所以2

12

1ln ln x x x x m --=，

故只需证明2

121212

ln ln x x x x x x +>--………………………………………………………10分

即需证212121)(2ln ln x x x x x x +->-，即证1)

1(2ln 2

12

12

1+->x x x x

x x

即只需证01)1(2ln 2

1

2

121>+--

x x x x

x x 即可，…………………………………………………12分 令2

1x x

t =，由于021>>x x ，故1>t ，

设)1(1)

1(2ln )(>+--=t t t t t F ，

)1(,)1()1()1(41)('2

2

2>+-=+-

=t t t t t t t F ， 显然0)('>t F ，故)1(1

)

1(2ln )(>+--=t t t t t F 是增函数，

所以)1()(F t F >，又0)1(=F ，所以0)(>t F 恒成立，

即)1(1

)

1(2ln >+->t t t t 成立，因此221e x x >?，得证……………………………………15分