专题七 第3讲 统计与统计案例(理)(教师)资料讲解

专题七第3讲统计与统计案例

(理)(教师)

专题七概率与统计（理）

概率与统计应以随机变量及其分布列为中心，求解时应抓住建模、解模、用模这三个基本点．

排列组合是求解概率的工具，利用排列组合解题时应抓住特殊元素或特殊位置，注意元素是否相邻及元素是否定序，同时还应注意题中是否还涉及两个计数原理．

随机变量的均值和方差是概率初步的关键点，解决概率应用问题时，首先要熟悉几种常见的概率类型，熟练掌握其计算公式；其次还要弄清问题所涉及的事件具有什么特点、事件之间有什么联系；再次要明确随机变量所取的值，同时要正确求出所对应的概率．

统计的主要内容是随机抽样、样本估计总体、变量的相关性，复习时应关注直方图、茎叶图与概率的结合，同时注意直方图与茎叶图的数据特点．

第3讲 统计与统计案例

考情解读 1.该部分常考内容：样本数字特征的计算、各种统计图表、线性回归方程、独立性检验等；有时也会在知识交汇点处命题，如概率与统计交汇等.2.从考查形式上来看，大部分为选择题、填空题，重在考查基础知识、基本技能，有时在知识交汇点处命题，也会出现解答题，都属于中、低档题．

1．明确直方图的三个结论 (1)小长方形的面积＝组距×

频率

组距

＝频率． (2)各小长方形的面积之和等于1.

(3)小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1

组距.

2．把握统计中的四个数据特征

(1)众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．

(2)中位数：样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数．

(3)平均数：样本数据的算术平均数，即 x ＝1

n (x 1＋x 2＋…＋x n )．

(4)方差与标准差

方差：s 2＝1

n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．

标准差： s ＝

1

n [(x 1

－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].

热点一 抽样方法

1．(1)(2013·陕西)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为() A．11 B．12 C．13 D．14

(2)(2014·石家庄高三调研)某学校共有师生3 200人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为160的样本，已知从学生中抽取的人数为150，那么该学校的教师人数是________．

思维启迪(1)系统抽样时需要抽取几个个体，样本就分成几组，且抽取号码的间隔相同；(2)分层抽样最重要的是各层的比例．

答案(1)B(2)200

解析(1)由840

42＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为

720－480

20＝240

20＝12.

(2)本题属于分层抽样，设该学校的教师人数为x，所以

160

3 200＝

160－150

x，所以x＝200.

思维升华(1)随机抽样各种方法中，每个个体被抽到的概率都是相等的；(2)系统抽样又称“等距”抽样，被抽到的各个号码间隔相同；分层抽样满足：各层抽取的比例都等于样本容量在总体容量中的比例．

2．(1)某校高一、高二、高三分别有学生人数为495,493,482，现采用系统抽样方法，抽取49人做问卷调查，将高一、高二、高三学生依次随机按1,2,3，…，1 470编号，若第1组有简单随机抽样方法抽取的号码为23，则高二应抽取的学生人数为()

A．15 B．16 C．17 D．18

(2)(2014·广东)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()

A．200,20 B．100,20

C．200,10 D．100,10

答案(1)C(2)A

解析(1)由系统抽样方法，知按编号依次每30个编号作为一组，共分49组，高二学生的编号为496到988，在第17组到第33组内，第17组抽取的编号为16×30＋23＝503，为高二学生，第33组抽取的编号为32×30＋23＝983，为高二学生，故共抽取高二学生人数为33－16＝17，故选C.

(2)该地区中、小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，

则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.

热点二用样本估计总体

3．(1)(2014·山东)为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据(单位：kPa)的分组区间为[12,13)，[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17]，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，…，第五组，如图是根据试验数据制成的频率分布直方图．已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为()

A．6 B．8 C．12 D．18

(2)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，如图是根据某地某日早7点至晚8点甲、乙两个PM2.5监测点统计的数据(单位：毫克/每立方米)列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是()

A．甲B．乙

C．甲乙相等D．无法确定

甲乙

20.04123 6

930.059

6210.0629

3310.079

640.087

70.09246

思维启迪(1)根据第一组与第二组的人数和对应频率估计样本总数，然后利用第三组的频

率和无疗效人数计算；(2)直接根据公式计算方差．答案(1)C(2)A

解析(1)志愿者的总人数为

20

(0.16＋0.24)×1

＝50，

所以第三组人数为50×0.36＝18，

有疗效的人数为18－6＝12.

(2)x甲＝(0.042＋0.053＋0.059＋0.061＋0.062＋0.066＋0.071＋0.073＋0.073＋0.084＋0.086＋0.097)÷12≈0.068 9，

x乙＝(0.041＋0.042＋0.043＋0.046＋0.059＋0.062＋0.069＋0.079＋0.087＋0.092＋0.094＋0.096)÷12≈0.067 5，

s2＝1

12

[(0.042－0.068 9)2＋(0.053－0.068 9)2＋…＋(0.097－0.068 9)2]≈0.000 212.

s2＝1

12

[(0.041－0.067 5)2＋(0.042－0.067 5)2＋…＋(0.096－0.067 5)2]≈0.000 429.

所以甲、乙两地浓度的方差较小的是甲地．

思维升华(1)反映样本数据分布的主要方式：频率分布表、频率分布直方图、茎叶图．关于频率分布直方图要明确每个小矩形的面积即为对应的频率，其高低能够描述频率的大小，高考中常常考查频率分布直方图的基本知识，同时考查借助频率分布直方图估计总体的概率分布和总体的特征数，具体问题中要能够根据公式求解数据的均值、众数和中位数、方差等．

(2)由样本数据估计总体时，样本方差越小，数据越稳定，波动越小．

4．(1)某商场在庆元宵促销活动中，对元宵节9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为 2.5万元，则11时至12时的销售额为________万元．

(2)(2014·陕西)设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1,2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( ) A ．1＋a,4 B ．1＋a,4＋a C ．1,4

D ．1,4＋a

答案 (1)10 (2)A

解析 (1)由频率分布直方图可知： 0.100.40＝2.5

x

，所以x ＝10. (2)x 1＋x 2＋…＋x 1010

＝1，y i ＝x i ＋a ，

所以y 1，y 2，…，y 10的均值为1＋a ，方差不变仍为4. 故选A.

热点三 统计案例

5．(1)以下是某年2月某地区搜集到的新房屋的销售价格y 和房屋的面积x 的数据.

根据上表可得线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝0.196 2，则面积为150 m 2的房屋的销售价格约为________万元．

(2)(2014·江西)某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )

表1

表3

表4

A.成绩 B ．视力 C 思维启迪 (1)回归直线过样本点中心(x ，y )； (2)根据列联表，计算K 2的值 答案 (1)31.244 2 (2)D

解析 (1)由表格可知x ＝1

5(115＋110＋80＋135＋105)＝109，

y ＝1

5(24.8＋21.6＋18.4＋29.2＋22)＝23.2.

所以a ^

＝y －b ^

x ＝23.2－0.196 2×109＝1.814 2. 所以所求线性回归方程为y ^

＝0.196 2x ＋1.814 2.

故当x ＝150时，销售价格的估计值为y ^

＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元)．

(2)A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝

52×(6×22－14×10)220×32×16×36

＝13

1 440. B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝

52×(4×20－16×12)220×32×16×36

＝637360. C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2＝

52×(8×24－12×8)220×32×16×36

＝1310.

D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， K 2

＝52×(14×30－6×2)220×32×16×36

＝3 757160.

∵

131 440<1310<637360<3 757

160

， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量．

思维升华 (1)线性回归方程求解的关键在于准确求出样本点中心．回归系数的求解可直接把相应数据代入公式中求解，回归常数的确定则需要利用中心点在回归直线上建立方程求解；(2)独立性检验问题，要确定2×2列联表中的对应数据，然后代入K 2(χ2)计算公式求其值，根据K 2(χ2)取值范围求解即可． 6．(1)已知x 、y 取值如下表：

从所得的散点图分析可知：y 与x 线性相关，且y ＝0.95x ＋a ，则a 等于( ) A ．1.30 B ．1.45 C ．1.65 D ．1.80

(2)某研究机构为了研究人的脚的大小与身高之间的关系，随机抽测了20人，若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”，“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”．得以下2×2列联表：

(附：

)

答案 (1)B (2)0.01

解析 (1)依题意得，x ＝1

6×(0＋1＋4＋5＋6＋8)＝4，

y ＝1

6

(1.3＋1.8＋5.6＋6.1＋7.4＋9.3)＝5.25；

又直线y ^

＝0.95x ＋a ^

必过样本点中心(x ，y )，即点(4，5.25)，于是有5.25＝0.95×4＋a ^

，由