解三角形题型总结(原创)

解三角形题型总结（原创）

解三角形题型总结

ABC 中的常见结论和定理：

一、内角和定理及诱导公式:

1 .因为A B C ? 所

以 sin(A B) =sin C,

(2)A 、B 、C 成等差数列的充要条件是 B=60°; ⑶△ ABC 是正三角形的充要条件是 A 、B 、C 成等差数列且a 、b 、c 成等比数列.

二、正弦定理：

cos(A B) = _cosC,

tan (A B) = _ ta nC ； sin( A C)

二 sin B, sin( B C)二 sin A, 因为ABC 二

cos(A C)二-cosB, cos(B C)二-cos 代 tan (A C)二- ta n B ； tan(B C)二-2 2 所以

sin =cos C ， 2 ?大边对大角 A B . C cos sin ， 2 ?

3.在△ ABC 记并会证 tanA+tanB+tanC=tanA tanB tanC;

公式变形：① a=2Rsin A b=2Rsin B c = 2RsinC （边转化成 角）

边）

a:b: c =sin A: sinB: sinC

文字：在- ABC 中，任意一边的平方，等于另外两

边的平方和，减去这两边与它们夹角的余 弦值的乘积的两倍。 符号 : a 2 二 b 2 e 2 —2bccos A 2 2 2 c a b - 2ab cosC a sin A =— 2R b

sin B =—

2R c sin C =— 2R （角转化成

④ __ a

be sin A +sinB +sin a _ b _ e sin A sinB sinC

=2R 余弦定理:

2 2 2 b a c - 2ac cos B

cosC 二

.2 2 2 cosA = b +c t

2bc a 2 b 2

-c 2ab cosB 二 c 2

「b

2ac

四、面积公式：

（1 ）^2ah a（2）^-2 r（a b c）（其中r为三

角形内切圆半径）

(3)

S = [absin C =1 bcsin A =1 acsin B

2 2 2

五、常见三角形的基本类型及解法：

（1）已知两角和一边（如已知代B,边c）解法：根据内角和求出角C「—（A B）；

根据正弦定理旦=丄=亠“R求出其余两

sin A sin B sinC

边a,b

（2）已知两边和夹角（如已知a,b,C）解法：根据余弦定理c2 a2 b2—2abcosC求出边c；

2 2 2

根据余弦定理的变形cos^b 2b~a求A ；2bc 1

根据内角和定理求角B「—（AC）.

（3）已知三边（如:a,b,c）

2 2 2

解法：根据余弦定理的变形cosA二匕严求A ；

2bc 1

2 2 2 根据余弦定

理的变形cosB二一一—求角B ；

2 ac

根据内角和定理求角C八- （A B）

（4）已知两边和其中一边对角（如 : a,b, A ）（注意讨论

解的情况’

解法1 :若只求第三边，用余弦定理：

2 2 2

c = a b -2abcosC ；

两解或无解的情况，见题型一）； 再根据内角和定理求角C —（A B ）；.

先看一道例题：

例：在-ABC 中，已知b 「6，c a3，B =3O 0

，求角C 。（答 案：C =45° 或 1350

） 六、 在ABC 中，已知a,b,A ，则ABC 解的情况为： 法一：几何法（不建议使用

（注：表中，A 为锐角时，若a ：bsinA ，无解；A 为 钝角或直角时，若a 兰b ，无解. 解法 2 :若不是只求第三边，先用正弦定理

a b sin A sin B c sin

=2R 求 B （可能出现一解，