大学物理上下册课后习题答案

大学物理上下册课后习

题答案

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

习题

1-1. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为

r =R(cosωt i+sinωt j)

其中ω为常量．求：（1）质点的轨道；(2)速度和速率。

解：1）由r=R(cosωt i+sinωt j)知

x= R cos ωt

y= R sin ωt

消去 t 可得轨道方程x2+y2=R2

2）v=d

dt

r

= ?ωR sinωti+ωRcosωt j

v =[(?ωR sinωt)2+(ωR cosωt)2]12=ωR

1-2. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r=4t2i+(3+2t)j，式中r的

单位为m，t的单位为s .求：（1）质点的轨道；（2）从t=0到t=1秒的位移；（3）t =0和t =1秒两时刻的速度。

解：1）由r=4t2i+(3+2t)j可知

x= 4t 2

y= 3 + 2t

消去 t 得轨道方程为：x=(y?3)2

2

3

2）v =

d d r

t = 8t i + 2 j

r =

∫

01 v dt = ∫

01

(8t i + 2 j )dt = 4i + 2 j

3） v (0) = 2 j v (1) = 8i + 2 j

1-3. 已知质点位矢随时间变化的函数形式为r = t 2 i + 2t j ，式中r 的单位为

m ，t 的单位为s .求：（1）任一时刻的速度和加速度；（2）任一时刻的切向加速 度和法向加速度。

解：1）v =

d d r t = 2t i + 2 j

a =

d d v t

= 2i

2）v = [(2t)2 + 4] 12 = 2(t 2 +1) 12 a t

= dv = 2t dt t 2

+1

a = a 2 ? a 2 =

2

t 2 +1

1-4. 一升降机以加速度a 上升，在上升过程中有一螺钉从天花板上松落，升

降机的天花板与底板相距为d ，求螺钉从天花板落到底板上所需的时间。

解：以地面为参照系，坐标如图，升降机与螺丝的运动方程分别为

y = v t + 1

at 2

（1）

图 1-4

2

1

gt

y 2 = h + v 0t ? （2）

2

y 1 = y 2

（3）

4

解之

t =

2d g + a

1-5. 一质量为m 的小球在高度h 处以初速度v 0 水平抛出，求：

（1）小球的运动方程； （2）小球在落地之前的轨迹方程；

（3）落地前瞬时小球的

d r

， d v ， d v .

d t d t

d t

解：（1）

x = v 0 t

式（1）

y = h ? 1

gt 2

式（2） 2

1 gt

2 ) j

r (t) = v 0 t i + (h -

2

（2）联立式（1）、式（2）得

y = h ? gx 2

2v 02

（3）

d r = v 0 i - gt j 而 落地所用时间 t = 2h

g

dt 所以 d r = v 0

i - 2gh j d v = ?g j dt

dt

v = v 2x + v 2y = v 02 + (?gt)2

dv = g 2 t = g 2gh

dt [ v 2 + ( gt ) 2 ] 1 ( v 2 + 2gh ) 1

1-6. 路灯距地面的高度为h 1 ，一身高为h 2 的人在路灯下以匀速v 1 沿直线行

走。试证明人影的顶端作匀速运动，并求其速度v2.

5

证明：设人从O点开始行走，t时刻人影中足的坐标为x1，人影中头的坐标为x2，由几何关系可得图1-6

x2=h1而x= v t

x2? x1h2

所以，人影中头的运动方程为

x2=

h1 x1

=

h1t

v0 h1? h2h1?h2

人影中头的速度v2=dx2=h1v0

dt h1? h2

1-7. 一质点沿直线运动，其运动方程为x=2+4t?2t2(m)，在t从 0 秒到3 秒的时间间隔内，则质点走过的路程为多少

解：v=dx

= 4?4t若v = 0解的t =1s dt

x1= x1? x0=(2+4?2)?2=2m

x= x?x = (2 + 4 ×3?2 ×32)?(2 + 4?2) = ?8m

x =x1+x2= 10m

1-8. 一弹性球直落在一斜面上，下落高度

h =20cm，斜面对水平的倾角θ=30o，问它

第二次碰到斜面的位置距原来的下落点多远

(假设小球碰斜面前后速度数值相等，碰撞时人

射角等于反射角)。

6

图1-8 7

解：小球落地时速度为v0=2gh建立直角坐标系，以小球

第一次落地点为坐标原点如图

v

= v0cos 600x = v0cos 600 t +1

g cos 600 t 2（1）2

v

= v0sin 600y = v0sin 600 t ?1

g sin 600 t 2（2）2

第二次落地时y=0 t =2v0 g

x = v0cos 600 t +1

g cos 60t=

2v

= 0.8m

所以

2g

1-9. 地球的自转角速度最大增加到若干倍时，赤道上的物体仍能保持在地球上而不致离开地球已知现在赤道上物体的向心加速度约为3.4cm / s2，设赤道上

重力加速度为9.80m/s2.

解：赤道上的物体仍能保持在地球必须满足g=Rω2

现在赤道上物体ω′ =3.4 ×10?2

R

ω

=9.8

=17

ω′ 3.4 ×10?2

1-10. 已知子弹的轨迹为抛物线，初速为v0，并且v0与水平面的夹角为θ .试分别求出抛物线顶点及落地点的曲率半径。

8

解：在顶点处子弹的速度v=v0cosθ，顶点处切向加速度为0。

9

因此有：g=v2

=

(v cosθ)2

ρ =

v2 cos2θρρg

在落地点速度为v0g cosθ=v2

ρ =

v2ρg cosθ

1-11. 飞机以v0=100m / s的速度沿水平直线飞行，在离地面高h=98m时，

驾驶员要把物品投到前方某一地面目标上，问：投放物品时，驾驶员看目标的视

线和竖直线应成什么角度此时目标距飞机下方地点多远

解：设此时飞机距目标水平距离为x有：x=v0t h =1

gt 2 2

x

联立方程解得：x≈447mθ =arctan ≈ 77.50

h

1-12. 设将两物体A和B分别以初速v A和v B抛掷出去．v A与水平面的夹角为α；v B与水平面的夹角为β，试证明在任何时刻物体B相对物体A的速度是

常矢量。解：两个物体在任意时刻的速

度为

v A=v0cosαi +(v0sinα?gt) j

v B=v0cosβi +(v0sinβ- gt) j

v BA= v B- v A=(v0cosβ?v0cosα)i +(v0sinβ?v0sinα) j

与时间无关，故B相对物体A的速度是常矢量。

1-13. 一物体和探测气球从同一高度竖直向上运动，物体初速为

v0=49.0m / s，而气球以速度v =19.6m / s匀速上升，问气球中的观察者在第

10

二秒末、第三秒末、第四秒末测得物体的速度各多少物体在任意时刻的速度表达式为v y=v0?gt 故气球中的观察者测得物体的速度v=v y?v

代入时间t可以得到第二秒末物体速度v=9.8m

s

第三秒末物体速度v =0第四秒末物体速度v = ?9.8m s

1-14. 质点沿x在轴向运动，加速度a= ?kv，k为常数．设从原点出发时速度为v0，求运动方程x=x(t).

dv 1

解：= ?kv∫0dv =∫?kdt v = v0 e

dt v

dx

= v0e?k t∫0x dx =∫0t v0 e?k t dt

dt

x =v

k0(1? e?k t)

1-15. 跳水运动员自10m跳台自由下落，入水后因受水的阻碍而减速，设加速度a= ?kv2，k=0.4m?1.求运动员速度减为入水速度的10%时的入水深度。

解：取水面为坐标原点，竖直向下为x轴

跳水运动员入水速度v0=2gh=14 m

s

?kv2 =dv

= v

dv01dv =∫0x?kdx

∫v10

dt dx v

x =1

k ln10=5.76m

11

1-16. 一飞行火箭的运动学方程为：x=ut+u(b 1

?t) ln(1?bt )，其中b是

与燃料燃烧速率有关的量，u为燃气相对火箭的喷射速度。求：（1）火箭飞行速度与时间的关系；（2）火箭的加速度。

解：（1）v=dx

= ?u ln(1?bt) dt

（2）a=dv

=

ub dt1?bt

1-17. 质点的运动方程为：x=R cosωt,y =R sinωt, z =h

ωt,式2π

中R、h、ω为正的常量。求：（1）质点运动的轨道方程；（2）质点的速度大小；（3）质点的加速度大小。

解：（1）轨道方程为x2+y2=R2

z =2h

πωt这是一条空间螺旋线。

在O xy平面上的投影为圆心在原点，半径为R的圆，螺距为h

（2）v x=dx

dt= ?Rωsinωt

v = v x2+ v y2+ v z2=ω R 2+

h 4π2

（3）a x= ?Rω2cosωt a y= ?Rω2sinωt a z=0a = a x2

+ a y2= Rω2

思考题

1-1. 质点作曲线运动，其瞬时速度为v，瞬时速率为v，平均速度为v，平均速率为v，则它们之间的下列四种关系中哪一种是正确的

12

13

14

（1） v = v , v = v ；（2） v ≠ v , v = v ；（3 ） v = v , v ≠ v ；（4） v ≠ v , v ≠ v

答： （3）

1-2. 质点的x~t关系如图，图中a，b，c三条线表示三个

速度不同的运动．问它们属于什么类型的运动哪一个速

度大哪一个速度小

答：v a f v b f v c

1-3. 结合v~t图，说明平均加速度和瞬时加速度的几何意义。答：平均加速度表示速度v在t时间内的平均变化率，它只能粗略地反映

运动速度的变化程度和方向，而瞬时加速度能精确反映质点运动速度的变化及方向。

1-4. 运动物体的加速度随时间减小，而速度随时间增加，是可能的吗答：

是可能的。加速度随时间减小，说明速度随时间的变化率减小。

1-5. 如图所示，

两船A和B相距R，分别以速度v A和v B匀速直线行驶，它们会不会相碰若不相碰，求两船相靠最近的距离．图中α和β为已知。

答：方法一如图，以A船为参考系，在该参考系中船A是静止的，而船B

的速度v′ =v B?v A.

v′是船B相对于船A的速度,从船B作一条平行于v′方向的直线BC,它不与船A相交,这表明两船不会相碰.

由A作BC垂线AC,其长度r min就是两船相靠最近的距离r min=R sinθ

作FD//AB,构成直角三角形DEF,故有

sinθ =v sinβ?v sinα

v′

在三角形BEF中,由余弦定理可得

15

v ′ = v A2+ v B2+2v A v B cos(α+β)

r

=

v B sinβ? v A sinα

R v A2+ v B2 + 2v A v B cos(α + β)

方法二：

两船在任一时刻t的位置矢量分别为

r A=(v A t cosα)i +(v B tsinα) j

r B=(R?v B t cosβ)i +(v B tsinβ) j

r = r B- r A=[R?(v B cosβ+v A cosα)t]i +[(v B sinβ?v A sinα)t] j 任一时刻两船的距离为

r =[R? (v B cos β+v A cosα)t]2+[(v B sin β?v A sin α)t]2

令dr(t)

= 0 dt

t =

v B cosβ+ v A cosα

R (v B cos β+v A cosα)2+ (v B sin β?v A sinα)2

r

=

v B sinβ? v A sinα

R v A2+ v B2 + 2v A v B cos(α + β)

1-6. 若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的各应是什么样的运动

（1）d

d

r

t=0，

d

d

r

t≠0；（2）

d

d

v

t=0，

d

d

v

t≠0；（3）

d

d

a

t=0，

d

d

a

t=0答: (1)质点作圆周运动.

(2)质点作匀速率曲线运动.

(3)质点作抛体运动.

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1-7. 一质点作斜抛运动，用t1代表落地时，.

（1）说明下面三个积分的意义：

111

∫v x d t ,∫v y d t,∫v d t .

（2）用A和B代表抛出点和落地点位置，说明下面三个积分的意义：

∫B d r, ∫B d r,∫B d r.

1

答:∫v x d t表示物体落地时x方向的距离

1

∫v y d t 表示物体落地时y方向的距离

1

∫v d t 表示物体在t1时间内走过的几何路程.

∫B d r抛出点到落地点的位移

∫B d r抛出点到落地点位移的大小

∫B dr 抛出点到落地点位移的大小

17

习题

2-1. 质量为m的子弹以速度v0水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反

向，大小与速度成正比，比例系数为k，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；(2)子弹进入沙土的最大深度。

解：（1）由题意和牛顿第二定律可得：f= ?kv=m dv dt，

k dv

分离变量，可得：?=两边同时积分，所以：v=v0e?

m vdt

（2）子弹进入沙土的最大深度也就是 v=0 的时候子弹的位移，则：

由?k=dv可推出：vdt= ?m dv ，而这个式子两边积分就可以得vdt k

m

= ∫m m

到位移：x max vdt=∫

v0?k

dv=

k

v

。

2-2. 一条质量分布均匀的绳子，质量为M、长度为L ，一端拴在竖直转轴OO′上，并以恒定角速度ω在水平面上旋转．设转动过程中绳子始终伸直不打弯，且忽略重力，求距转轴为r处绳中的张力T(r)．

解：在绳子中距离转轴为r处取一小段绳子，假设其

质量为dm，可知：dm=Md

L，分析这dm的绳子的受力情况，因为它做的

是圆周运动，所以我们可列出：dT（r）=ω2rdm=ω2r Mdr

。

L

距转轴为r处绳中的张力T(r)将提供的是r以外的绳子转动的向心力，所以两边积分：T（r）=∫r L Mω

dT（r）=（L2?r2）

2L

18

1 19

20

2-3. 已知一质量为 m 的质点在 x 轴上运动，质点只受到指向原点的引力作

用，引力大小与质点离原点的距离 x 的平方成反比，即 f = ?k / x 2 ，k 是比例常

数．设质点在 x = A 时的速度为零，求质点在 x = A / 4 处的速度的大小。 解：由题意和牛顿第二定律可得： f = ? x k

2 = m dv dt = m dv dx dx dt = mv dv dx

再采取分离变量法可得：?

k

dx = mvdv ， x 2

k

两边同时取积分，则：

∫

A A / 4

? dx = ∫0v

mvdv

x 所以：v =

6k

mA

2-4. 一质量为2kg 的质点，在 xy 平面上运动，受到外力F = 4i ? 24t 2 j (SI)

的作用，t = 0 时，它的初速度为v 0 = 3i + 4 j (SI)，求t =1s 时质点的速度及受

到的法向力F n .

解：由题意和牛顿第二定律可得： f = m a = m

d dt v

，代入 f 与 v ，并两边积

分，∫01 (4i ? 24t 2 j )dt = ∫

v v 0 md v ， 4i ?8 j = 2 ×[v ? (3i

+ 4 j )] v = 5i

速度是i 方向，也就是切向的，所以法向的力是 j 方向的，则F = ?24j

2-5. 如图，用质量为m 1 的板车运载一质量为

m 2 的木箱，车板与箱底间的摩擦系数为 μ ，车与

路面间的滚动摩擦可不计，计算拉车的力 F 为多少才能保证木箱不致滑动