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学位论文

三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线

作者姓名：钱金花

指导教师：李建华 副教授

东北大学理学院数学系

申请学位级别：硕士 学科类别：理学

学科专业名称：基础数学

论文提交日期：2006年11月 论文答辩日期：2006年12月 学位授予日期：答辩委员会主席：

评阅人：

东北大学

2006年12月

A Thesis in Pure Mathematics

Null Bertrand Curves in 3-Dimensional

Minkowski Space

By Qian Jinhua

Supervisor：Associate Professor Li Jianhua

Northeastern University

December 2006

独创性声明

本人声明，所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包括本人为获得其他学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。

学位论文作者签名：

日期：

学位论文版权使用授权书

本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人同意东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索、交流。

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学位论文作者签名：导师签名：

签字日期：签字日期：

东北大学硕士学位论文 摘 要 三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线

摘 要

数学是历史十分悠久的一门学科. 几何学作为描述宇宙空间的一门分科，反映了现实世界的不同范围和方面．尤其是非欧几何的诞生构成了数学史上最光辉的篇章．自从爱因斯坦创立了相对论以后，其所用的时空模型——Minkowski空间倍受数学界和物理学界的关注，对它的研究一直没有间断过．

本文主要讨论三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线. 在三维Minkowski空间中，由于度量的不同，向量可以分为类空、类时和类光三种类型，因此在研究三维Minkowski空间的曲线论时，标架的选取就有正交标架和伪正交标架两种情况．本文系统而全面地讨论了伪正交标架下Bertrand曲线及其侣线的性质．在第二章介绍Minkowski空间及Bertrand曲线的基础知识．在第三章针对三种标架分别讨论Bertrand 曲线及侣线的曲率、挠率及相互关系，并与欧氏空间中的结论进行对比．例如，在三维欧氏空间中有这样的结论：具有常曲率的曲线是Bertrand曲线．而在本文的第二种标架（α类光，β类空，γ类光）下得到了具有常挠率的曲线是Bertrand曲线的结论．

关键词：非欧几何；三维Minkowski空间；Bertrand曲线

东北大学硕士学位论文 Abstract

Null Bertrand Curves in 3-Dimensional Minkowski Space

Abstract

Mathematics is a subject which has a long-standing history. As a science of describing physical space, geometry reflects different aspects and areas. Especially, the appearance of the Non-Euclidean geometry is the most glorious event in the history of mathematics. Since Einstein built the theory of relativity, Minkowski Space, the space-time model he used, is paid more and more attention in mathematics and physics. The research works on it have never been ceased.

In this thesis we mainly discuss Bertrand curves in 3-dimensional Minkowski space. In 3-dimensional Minkowski space, the metric is different from Euclidean space, so vectors in this space are divided into three kinds, respectively called space-like, time-like and light-like. So when we study the theory of curves in 3-dimensional Minkowski space, there are two kinds of frames, namely orthogonal frame and pseudo-orthogonal frame. In this thesis we discuss the properties of Bertrand curves and Bertrand partner curves completely and systematically. In Chapter Two, we introduce the basic knowledge about 3-dimensional Minkowski space and Bertrand curves. In Chapter Three, we discuss the curvatures, torsions and their relations of Bertrand curves and their partner curves under three different frames respectively and carry out comparison with Euclidean space. For example, if a curve has a constant curvature in 3-dimensional Euclidean space, then it is a Bertrand curve. In this thesis we get a result that if a curve has a constant torsion, then it is a Bertrand curve under the second frame in 3-dimensional Minkowski space.

Key words：Non-Euclidean geometry; 3-dimensional Minkowski space; Bertrand curve

目 录

声明 (i)

摘要 (ii)

Abstract (iii)

第一章引言 (1)

1.1 几何学发展简史 (1)

1.2 非欧几何的诞生与发展 (3)

1.3 本文的主要内容、研究目的及意义 (5)

第二章 预备知识 (7)

2.1n维Minkowski空间（伪欧氏空间） (7)

2.1.1n维Minkowski空间的定义 (7)

2.1.2 n维Minkowski空间中的向量 (7)

2.1.3 n维Minkowski空间中的标架 (8)

2.2三维Minkowski空间中向量的运算及Frenet标架 (8)

2.2.1 三维Minkowski空间中向量的内积和外积 (8)

2.2.2 三维Minkowski空间中的曲线 (11)

2.2.3三维Minkowski空间中曲线的Frenet公式 (12)

2.3 Bertrand曲线 (18)

2.3.1Bertrand曲线的定义 (18)

2.3.2 曲线为Bertrand曲线的充要条件 (18)

2.3.3 Bertrand曲线的性质 (18)

2.4 曲率中心轨迹 (19)

第三章 三维Minkowski空间中的类光Bertrand曲线 (21)

3.1标架（一）下的Bertrand曲线 (21)

3.1.1第一种侣线的情况 (21)

3.1.2 第二种侣线的情况 (24)

3.2 标架（二）下的Bertrand曲线 (24)

3.2.1 第一种侣线的情况 (25)

3.2.2第二种侣线的情况 (28)

3.2.3 第三种侣线的情况 (30)

3.3标架（三）下的Bertrand曲线 (33)

3.3.1第一种侣线的情况 (33)

3.3.2 第二种侣线的情况 (34)

第四章 总结 (37)

参考文献 (39)

致 谢 (41)