汇总高校量子力学考研试题
习题1
一、填空题
1．玻尔的量子化条件为。
2．德布罗意关系为。
3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。
4．波函数的统计解释：_____________________________________
__________________________________________________________
5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率
为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几率
为。
6．波函数的标准条件为。
7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。
8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子
___________守恒。
9．力学量算符应满足的两个性质是。
10．厄密算符的本征函数具有。
11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为
_______________________________________________。
12.______;_______;_________。
28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。
13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。
14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。
15．隧道效应是指__________________________________________。
16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。
17．为氢原子的波函数，的取值范围分别
为。
18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。
19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符
与态矢量的关系为__________。
20．力学量算符在态下的平均值可写为的条件为
____________________________。
21．量子力学中的态是希尔伯特空间的____________；算符是希尔伯特空间的____________。
21．设粒子处于态，为归一化波函数，为球谐函数，则系数c的取值为，的可能值为
，本征值为出现的几率为。
22．原子跃迁的选择定则为。
23．自旋角动量与自旋磁矩的关系为。
24．为泡利算符，则，，
。
25．为自旋算符，则，，
。
26．乌伦贝克和哥德斯密脱关于自旋的两个基本假设是 ________________________，
_______________________________。
27．轨道磁矩与轨道角动量的关系是______________;自旋磁矩与自旋角动量的关系是
______________。
27．费米子所组成的全同粒子体系的波函数具有______________,
玻色子所组成的全同粒子体系的波函数具有_________。
27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则在态下，自
旋算符对自旋的平均可表示为_______________；对坐标和自旋同时求平均的结果可表示为______________________。
27．考虑自旋后，波函数在自旋空间表示为（已归一化），则
的意义为_____________________；
_________________。
二、计算题
1．在和的共同表象中，算符和的矩阵分别为
，。
求它们的本征值和归一化本征函数，并将矩阵和对角化。
2．一维运动粒子的状态是
其中，求
（1）粒子动量的几率分布函数；（2）粒子的平均动量。
（利用公式）
3．设在表象中，的矩阵表示为
其中，试用微扰论求能级二级修正。（10分）
4．在自旋态中，求。（10分）
5．各是厄密算符。试证明，也是厄密算符的条件是对易。6．在动量表象中角动量的矩阵元和的矩阵元。
7．求自旋角动量在方向的投影
的本征值和所属的本征函数。
8．转动惯量为，电偶极矩为的空间转子处在均匀电场
中，如果电场很小，用微扰论求转子基态能量的二级修正。（10分）
（基态波函数，利用公式
）
9．证明下列关系式：
1．， 2.
3. ,
4.
(其中为角动量算符，，为泡利算符，为动量算符)
10．设时，粒子的状态为，求此时粒子的平均动量和平均动能。
11．为厄密算符，（为单位算符），。（1）求算符的本征值；（2）在A表象下求算符的矩阵表示。
12．已知体系的哈密顿量，试求出（1）体系能量本征值及相应的归一化本征矢量。（2）将H对角化，并给出对角化的么正变换矩阵。
13．一质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，
， b为小量，用微扰法求粒子的能级（近似到一级）。
14．证明下列算符的对易关系。
1．；
2. ()
3.设算符与它们的对易式对易，即：，证
明：
15．设有两个电子，自旋态分别
，，证明两个电子处于自旋单态（）及三重态（）的几率分别为：（20分）。
16．求自旋角动量在方向的投影的本征值和所属的本征函数（20分）。
17．由任意一对已归一化的共轭右矢和左矢构成的投影算符。试证明（1）是厄密算符；（2）有；（3）的本征值为0和1（20分）。
18．设在表象中，的矩阵表示为，其中，试用微扰论求能级二级修正（14分）。
19．证明下列算符的对易关系（24分）：
1．
2. ()
3.设算符与它们的对易式对易，即：，证明：
20．一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有
两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？21．求证在的共同本征态下，角动量沿与z轴成角的方向的分量的平均值为。
22．证明如算符有共同的本征函数完备集，则对易。
23．求及的本征值和所属的本征函数。
三问答题
1．电子在均匀电场中运动，哈密顿量为，试判断各量中哪些是守恒量，为什么？
2．经典的波和量子力学中的几率波有什么本质区别？
3．量子力学中的力学量用什么算符表示？为什么？力学量算符在自身表象中的矩阵是什么形式？
4．什么是全同性原理和泡利不相容原理，二者是什么关系？
5．表明电子有自旋的实验事实有哪些？自旋有什么特征？
6．乌伦贝克关于自旋的的基本假设是什么？
7．什么是塞曼效应，对简单塞曼效应，没有外磁场时的一条谱线在外磁场中分裂为几条？8．什么是光谱的精细结构？产生精细结构的原因是什么？考虑精细结构后能级的简并度是多少？
9．什么是斯塔克效应？
10．不同表象之间的变换是一种什么变换？在不同表象中不变的量有哪些？
11．量子力学中如何判断一个力学量是否是守恒量，量子力学中的守恒量和经典力学的守恒量定义有什么不同？
12．什么是定态？定态有什么性质？
13．量子力学中的守恒量是如何定义的？守恒量有什么性质？ 14．简述力学量与力学量算符的关系？
15．轨道角动量和自旋角动量有什么区别和联系？ 16．简述量子力学的五个基本假设。
17．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 18．什么是光电效应？光电效应有什么规律？
19．什么是光电效应？爱因斯坦是如何解释光电效应的。
20．简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的。 21．简述波函数的统计解释，为什么说波函数可以完全描述微观体系的状态。 22．能量的本征态的叠加还是能量本征态吗？为什么？ 23．原子的轨道半径在量子力学中是如何解释的？
习题2
1.1924年，德布洛意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子、质子等，也具有波动性，对于具有一定动量p 的自由粒子，满足德布洛意关系：_____________________________
2. 假设电子由静止被150伏电压加速，求加速后电子的的物质波波长：_____________________________
3. 计算1K 时，60C 团簇（由60个C 原子构成的足球状分子）热运动所对应的物质波波长
_____________________________
4. 计算对易式)](,?[x f p x 和)]?(,[x p f x ，其中x p
?为动量算符的x 分量，)(x f 为坐标的x 函数. 5. 如果算符βα??、满足关系式1????=-αββα，求证 (1) βαβ
βα
?2????22
=- (2) 233
?3????βαβ
βα=- 6. 设波函数x x sin )(=ψ，求?][][(
2
2
=ψ-dx
d x
x dx
d ψ
7. 求角动量能量算符?
??-= i L z
?的本证值和本征态 8. 试求算符dx
d i
e F
ix -=?的本征函数 9. 证明一维束缚定态方程的能量E 是非简并的
10. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：)()(x U x U =-，证明粒子的定态波函数具有确定的宇称
11. 一粒子在一维势场
??
?
??>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)(
中运动，求粒子的能级和对应的波函数 12. 设t=0时，粒子的状态为
]cos [sin
)(2
12
kx kx A x +
=ψ
求此时粒子的动量期望值和动能期望值 13. 一维运动粒子的状态是
??
?<≥=-0
,0 0
,)(x x Axe x x 当当λψ 其中0>λ，求：
(1)粒子动量的几率分布函数； (2)粒子的动量期望值。
14. 在一维无限深势阱中运动的粒子，势阱的宽度为a ，如果粒子的状态由波函数
)()(x a Ax x -=ψ 描写，A 为归一化常数，求粒子的几率分布和能量的期望值.
15.设粒子处于范围在],0[a 的一维无限深势阱中状态用函数a
x a
x a
x ππ2
cos
sin
4)(=ψ，求粒
子能量的可能测量值及相应的几率 16. 设氢原子处在0
3
1
),,(a r
e
a r -=
πφθψ的态（0a 为第一玻尔轨道半径），求
(1) r 的平均值；(2)势能r
e
2
-
的平均值
17. 质量为m 的一个粒子在边长为a 的立方盒子中运动，粒子所受势能(,,)V x y z 由下式给出：
()()()
0,0,;0,;0,(,,),x a y a z a V x y z others ∈∈∈??=?
∞??；试写出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数； 18. 氢原子处于态()433141104111122,,3
3
3
r R Y R Y R Y ψθ?-=
+
-
中，问
（1）(),,r ψθ?是否为能量的本征态？若是，写出其本征值。若不是，说明理由； （2）在(),,r ψθ?中，测角动量平方的结果有几种可能值？相应几率为多少 19. 在一维谐振子能量表象中写出坐标x 和动量p 的矩阵表示 20. 在t=0时，自由粒子波函数为
()??
??
?
≥
<=b
2x 0b 2x bx
sin 2b 0,x πππψ (1) 给出在该态中粒子动量的可能测得值及相应的几率振幅；
[
22
2
1)(22sin
)2()
(41x
x
p
b b
b p i b -+ ππ
]
(2) 求出几率最大的动量值；b p x ±=
(3) 求出发现粒子在x dp b b +- 区间中的几率；[x
x
2
dp
b
1dp
)b ( =
?]
21. 设一体系未受微扰作用时有两个能级：0201E E 及，现在受到微扰H
'?的作用，微扰矩阵元为b H H a H H ='='='='22112112
，；b a 、都是实数。用微扰公式求能量至二级修正值 22. 一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子受到微扰
???
???
?
≤≤-≤≤=')2( )1(2)2
0( 2)(a x a a x a x a x x H λλ 作用，试求基态能级的一级修正。)2
2
1(
2
π
λ+
=
23. 具有电荷为q 的离子，在其平衡位置附近作一维简谐振动，在光的照射下发生跃迁。设入射光的能量为)(ωI 。其波长较长，求：
①原来处于基态的离子，单位时间内跃迁到第一激发态的几率。
α
21②讨论跃迁的选择定则。
1±=m ?
24. 电荷e 的谐振子，在0=t 时处于基态，0>t 时处于弱电场τ
εε/0t e -=之中(τ为常数)，
试求谐振子处于第一激发态的几率。 25.质量为m 的粒子处于位势
()??
?∞
≤<≤<≤<=其他
和a
z 0a y 0,a x 00
z ,y ,x V
中。假设它又经受微扰bxy H
?='，试求第一激发态能量的一级修正。
26. 用试探波函数
a
/x )x (e
-=ψ，
估计一维谐振子基态能量和波函数
27.设粒子在一维空间中运动，其哈密顿量为 H
，它在 H 0表象中的表示为 ()
?
???
?
???=00E E E E H ?， A. 求 H 的本征值和本征态； E E E ?+=+0， ???
?
??=+
1121u E E E ?-=-0, ???
? ??-=
-1121u B. 若t =0时，粒子处于φ1，它在0H ?表象中的表示为???
?
??01。试求出t > 0时的粒子波函数；???
? ??
?-?=- Et sin i Et cos e
t iE 0 28. 一个电荷为的一维谐振子受到弱电场的作用，利用微扰理论求能量至二级修正值并与其精确结果比较
28. 若S
?是电子的自旋算符，求 (1) x S ?z S ?x S ?y S ?x
S ?=? (2) ?S ?S
?=? 29. 二个自旋
2
1的粒子组成的系统由等效哈密顿算符2
121)(?S S B S S A H z z
?++=描述，其中21,S S 是二个自旋，z z S S 21,是他们的分量，B A ,为常数，求系统的所有能级 30. 一体系由三个全同的玻色子组成，玻色子之间无相互作用。玻色子只有两个可能的单粒子态。问体系可能的状态有几个？它们的波函数怎样用单粒子波函数构成？
31.一量子体系的哈密顿算符0
???,H H H '=+在0?H 表象中 4
0?0200
100
H ??
?=
? ?
?? ，0
0?0000
0k H k ??
?'=
? ??
?
其中常数1k <<，
（1）用微扰法求体系的能级，精确到二级近似； （2）求出体系能量的精确解，并与（1）式结果比较
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学
(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()a
x a x x V x V ><<
??∞=000
在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分 一个取向用角坐标θ和?确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
()?2c os ??22 B L A H
+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L
是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率()2
p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）
i j x i p j
x i p
e
e
e
2
1????????-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(????,?'
x f p
i
p x f p p
x x x x = ？式中x
i p x ??= ? ，
（3）系统的哈密顿算符为()r V p H
+=
μ
2??2 ，设()r n ?
是归一化的束缚态波函数，则有：
(
)n n n n r V r p ???μ
?
??=
2
12?2 ？
（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为B
ls
H H H ???1+= ，其中
S L dr dV r c H ls
???? ??=121
?2
2μ ，()
Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()?
θπ
im m
l
lm e m l m l l Y P cos !
!
412+
-
+=
()x x P =
1；()(
)
2
/121
11x
x P -=；
()()x x x P 2
/12
1
2
13-=
()()2
2
2
13x x P -= 南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理 (20分)一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin
)(2
kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几
率，并计算动量的平均值。
二、粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动
(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在00φφ<<的一段圆弧上运动：
??
?<<∞
<<=)
2()0(0
)(00πφφφφφV
求解粒子的能量本征值和本征函数。
(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
低能量态的几率是多少?
(20分)三、边长为 a 的刚性立方势箱中的电子，具有能量
2
2
23ma
π，如微扰哈密顿bxy H =1，
试求对能量的一级修正(式中b 为常数)。
(15分) 四、对自旋为1／2的粒子，S y 和 S z 是自旋角动量算符，求AS y +BS z 的本征函数和本征
值(A 和B 是实常数)。
(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
)/exp()exp()(02
h x ip x Nx x α?-=； ])(exp[)()(200p p b p p c p ---=φ
式中b c N 、、、α和0p 都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均值,
??00=><=><>>t t p x ，（><
A
?表示力学量算符A ?的平均值）。 *
a
a
dx e x ax
π
412
2
=
-∞
?
南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等 一. 一维谐振子处在2
22
12
/1)(x e
x απ
α-=
ψ状态,
ωαm =
, 求:
(1) 势能的平均值(7分) (2) 动能的几率分布函数(7分) (3) 动能的平均值(7分) 提示:
π
β=?
+∞
∞
---dx e
i x 2
)
(
二. 质量为m 的粒子在一维势场???
??∞
=0
0)(V x V a x a x x ><<<00中运动,求,
(1) 决定束缚态能级的方程式(15分) (2) 至少存在一个束缚态的条件(5分)
三. 质量为m
的粒子在一维势场?
??∞=cx x V )(a x a
x x <<><0,
0中运动,其中c 是小的实常
数，试用微扰论求准到c 一次方的基态能量.(20分) 四. 两个自旋
2
1的非全同粒子系的哈密顿量
)]2(?)1(?[?S S J H s
?-=0>J
求s
H ?的能量本征值和相应的简并度. (20分) 五．(1) 设氢原子处于沿z 方向的均匀静磁场B
中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级的
分裂情况. (10分)
(2) 如果沿z 方向不仅有均匀静磁场B ,还有均匀静电场E
, 再用微扰论求n=2能级的分
裂情况. (9分)
提示
:
a
z 3210200-=
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等
一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()???<<><∞=a
x a x x x V 0,0;0,，在t=0
时刻，粒子的状态由波函数()?
??<<-><=a x x a Ax a
x x x 0),(;0,0ψ描述。求： （20分）
1. 归一化常数A;
2. 粒子能量的平均值；
3. t=0时刻，粒子能量的几率分布；
4. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。 提示：
96
14
5,3,14
π
=
∑
?
??=n n
二、考虑势能为()?
??<>=0,00
,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。若一能量为E 的粒子从
-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。（20分）
三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2
22
1x x V μω=
中运动。在动能μ
22
p
T =
的非
相对论极限下，基态能
ω 21
=E ，基态波函数为()??
? ??-??? ??=ψ241
02exp x x μωπμω。
考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ?至
21
c
阶。（c 为光速）（20分） 四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）
提示：电子质量fm MeV c MeV mc
?≈=197,511.02
，晶格常数0
1A a ≈
五、考虑自旋 2
1=
S 的系统，
1． 求算符z
y S B S A T ???+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 2． 若此时系统正处在T ?的某一个本征态上，求此时测量y
S ?结果为??
? ??+2 的几率。（20分） 南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
一、 一维自由粒子的状态由波函数()kx kx x cos 2
1sin
2
+
=ψ描述。求粒子的动量平均值和
动能平均值。（20分）
二、 粒子被约束在半径为r 的圆周上运动
1） 设立“路障”进一步限制粒子在00??<<的一段圆弧上运动，即
()?
?
?<<∞<<=
π?????2,0,000
V ，求解粒子的能量本征值和本征函数； 2） 设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在
最低能量态的几率是多少？（20
分）提示：在柱坐标系下
2
2
2222
11z u
u u u ??+??+???
? ??????=??ρρρρρ 三、 设算符
???N a a +=且??,1a a +??=??
，证明：如果ψ是N ?
的本征函数，对应的本征值为λ，
那么，波函数ψ=ψa ?1也是N ?的本征函数，对应的本征值为1-λ，而波函数ψ=ψ+a ?2也是N ?的本征函数，对应的本征值为1+λ。（20分）
四、 一个粒子在二维无限深势阱()?
??∞<<=elsewhere a
y x x V ,,0,0中运动，设加上微扰xy
H λ=1()a y x <<,0，求基态和第一激发态的一阶能量修正（20分）
五、 若电子处于z S ?的本征态，试证在此态中，y S ?取值为
2
-或
2
的几率各为
2
1。（20分）
南京大学2003年硕士研究生入学考试试题——量子力学专 业: 理论物理,凝聚态物理 一、一个质量为μ的粒子处于一维谐振子势()22
12
V
x x μω=
中运动，ω为谐振子的本征振动
频率。如果0t =时，该粒子处于态(
)()()02,0x x c x ψ
ψ=
+，其中()0x ψ和()
2x ψ分别为一维谐振子的基态和第二激发态的能量本征波函数，c 为待定常数且0c >。 1） 根据归一化条件，求待定常数c ；（5分） 2） 求t 时刻粒子所处的状态(),x t ψ
；
（5分） 3） 求测量粒子的能量所能得到的可能值和测到这些值的几率； （10分） 4） 求粒子能量的平均值； （5分）
5） 若在t τ=时刻，粒子所处的势场突然变为()'
221
3
V
x x μω=，求粒子在τ
时刻处于新
的势场 ()'
V
x 的第一激发态的几率。 （5分）
二、一根长为l 的无质量的绳子一端固定，另一端系质点m 。在重力作用下，质点在竖直平面内摆动，
1） 写出质点运动的哈密顿量； （10分） 2） 在小角近似下求系统的能级；
（10分）
3） 求由于小角近似的误差而产生的基态能量的最低阶修正。 （10分）
提示：质量为m ，本征频率为ω的一维谐振子的基态波函数为()2201exp 2x C x ψα??=- ???
，
其中C
是归一化常数，α=
；(
)2
exp x dx +∞-∞
-=
?
三、质量为μ的粒子从左向右作一维运动，穿越了一个宽度为a ，高度为0V 的一维势垒
()00 ||/2
||/2
x a V x V x a >?=?。试求发生共振透射（即透射系数为1）
的条件。（30分）
四、两个自旋为1/2的粒子组成的系统由哈密顿量()1212z
z H A S S BS S =++
描述，其中1S 和
分别是两个粒子的自旋，而1z S 和2z S 则分别是这两个粒子自旋的z 分量，A 和B 是实常数。求该哈密顿量的所有能级。 （30分）
五、一个质量为μ，带电荷为q 的粒子，束缚在宽度为a 的一维无限深势阱
()0 ||/2
||/2x a V x x a ?中运动。如果在入射光的照射下，该粒子能在不同能级间发生偶
极辐射跃迁，求跃迁的选择规则。
（30分）
六、两个粒子被束缚在一个边长为a b c >>的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为
()()1212,V x x A x x δ=- 可以作为微扰，
其中1x 和2x
分别为两个粒子的坐标，A 为实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准至A 的一次方。 1） 两个粒子为自旋为零的全同玻色子；
（15分）
2） 两个粒子为自旋为1/2的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为1)。（15
分）
南京大学2004年硕士研究生入学考试试题——量子力学
一、已知电子质量为μ，电子电量为(-e)，回答以下问题：
1) 一个电子被限制在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，请写出该体系的能级公式；（5分） 2) 五个电子被限制在宽度为a 的一维无限深势阱中运动，不考虑电子和电子之间的库仑相
互作用，请写出该体系的基态和第一激发态的能级公式。（10分） 3) 一个电子处于一维谐振子势场
2
22
1
x μω中运动，其中ω是谐振子的本征园频率，x 是
电子的坐标，请写出该体系的能级公式。（5分）
4) 如果电子在上题中的一维谐振子势场中运动，并且假定电子恰好处在某个能量本征态上，
求电子的坐标和动量的平均值，这些平均值随时间变化么？（10分）
5) 请写出氢原子体系的能级公式和电子的基态波函数，这里假定原子核是不动的；（10分） 6) 假定氢原子处于基态，求电子势能r
e
2
-
的平均值，其中r 是电子的径向坐标。（10分）
二、假定电子的波函数在球坐标体系下写为：)()cos sin (),,(r g e
r i θθ?θψ?
+=，其中)
(r g 仅是径向坐标r 的函数。1）求角动量平方2?L 的可能测量值和相应的几率；（10分）2）求角动量的z 分量z
L ?的可能测量值和平均值。（10分） 三、S 代表电子的自旋算符，)cos ,sin sin ,cos (sin θ?θ?θ=n 为从原点指向单位球面上
),(?θ方向上的单位向量，其中θ是纬度，?是经度。
1) 在),(2
z S S 表象下求自旋S 在n 方向上的投影S n S n ?=的本征值和相应的本征波函
数。（10分）
2) 假定电子处于n S 的某个本征态，那么测量z S 会得到哪些数值，相应的几率是多少，
测量z S 的平均值又是多少？（10分）
四、一个质量为m ，无电荷但自旋为1/2，磁矩为s
02μμ-
=的粒子在一维无限深势阱
?????>∞+<=L x L
x x V ; ;0)(中运动，其中0μ和L 是正常数，x 是粒子的坐标，s 是粒子的自旋算
符。现在考虑在0
有一同样大小但沿x 方向的均匀磁场。在弱磁场极限下用微扰论找出体系基态的能级和波函数，并指出B 能作为弱磁场处理的具体条件。（微扰只须计算到最低阶，自选空间的波函数在Pauli 表象下写出。）（30分）
五、一个质量为m 的无自旋的粒子在三维情形下与一个球对称势)()(a r C r V --=δ作用，其中C ，a 为正常数，r 是径向坐标，为了保证该体系至少有一个束缚态存在，试问C 的值最小可以取多少？ （30分）
六、一个质量为m 的无自旋的粒子受到中心势)
/(cosh 1)(2
2
2a r ma
r V
-
=的散射，其中a 是常
数。已知方程
0cosh
22
2
2
2
=+
+y x
y k dx
y d 有解)(tanh ik x e
y ikx
±=，在低能极限下，求粒子
能量为E 时，s 分波的散射截面及其角分布。（30分）
南京大学2005年硕士研究生入学考试试题——量子力学
一、问答题
1、试述量子态的叠加原理。（5分）
讨论自由粒子的波函数是否一定是平面波？问什么？（5分） 2、为什么波函数),(t x ψ必定是复数？（5分）
一维定态薛定谔方程的解)(x ψ是否也必定是复数？（5分） 3、以下的波函数是否代表同一个量子态，并说明为什么： （1）、),(t x ψ和),(t x e i ψ?
，其中?是实常数；（5分） （2）、),(t x ψ和),()(t x e
z i ψ?，其中)(x ?是实函数。（5分）
4、为什么力学量算符A
?应是线性厄米算符？（10分） 5、为什么全同粒子的波函数对于粒子的交换应是对称或反对称的？（10分）
二、质量为μ的粒子在一维无穷深势阱中运动，?????><=a
x a x x V ;1 ;0)(
其中a 是正实数，求解定态薛定谔方程。（20分）
三、质量为μ的粒子在一维势场中运动，势能为：??
???<∞>=0 x ; 0
x ;21)(2
2x x V μω ，
其中x>0区)(x V 为谐振子势能，求解基态的能量和归一化的波函数。（20分）
四、设质子是半径为R 的薄球壳，其电荷e 均匀分布在球壳表面上。对于氢原子，以电子所受
势能偏离质子为点粒子模型时的值为微扰，求氢原子第一激发态能量的一级修正)
1(2E （积分公式列出后不必计算）。（20分）
五、中子有内禀磁矩：S Mc
e g M ?? -=，其中g=1.9，M 为中子质量。当自旋在z 方向向上极化的中子束，沿x 轴作一维运动时，在x<0区没有磁场而在x>0区域存在恒定磁场B ，其方向沿z 方向。若能量Mc
B e g
E 2 >，求解中子的一维散射运动。（20分）
六、求两个关在一维无穷深势阱?
??><∞<<=a x a
x x V 0, x ;0 ;0)(（a 为正常数）
中，并以接触势)1( )(),(2121<<-=d x x d x x U δ相互作用的全同中子系统的零级近似归一化波函数（考虑自旋态），并以接触势为微扰，求准到一次方的基态能量。（20分）
南京大学1998年硕士研究生考试试题——量子力学
(一) 20分 有半壁无限高势垒的一维阱 ()a
x a x x V x V ><<
??∞
=000
在0V E <的情形下，该系统是否总存在一个束缚态？如果回答是否定的，那么系统中至少有一个束缚态的存在的充要条件是什么？
（二）20分 一个取向用角坐标θ和?确定的转子，作受碍转动，用下述哈密顿量描述：
()?2c os ??22 B L A H
+=，式中A 和B 均为常数，且B A >>，2?L
是角动量平方算符，试用一级微扰论计算系统的p 能级（1=l ）的分裂，并标出微扰后的零级近似波函数。
（三）20分求在一维无限深势阱中，处于()x n ψ态时的粒子的动量分布几率
()
2
p n φ 。
（四）20分 试判断下列诸等式的正误，如果等式不能成立，试写出正确的结果： （1）
i j x i p j
x i p
e
e
e
2
1????????-?+???=? ？式中i ?和j ?分别是x 和y 方向的单位矢量。
（2）()[])(????,?'
x f p
i
p x f p p
x x x x = ？式中x
i p x ??= ? ，
（3）系统的哈密顿算符为()r V p H
+=
μ
2??2 ，设()r n ?
是归一化的束缚态波函数，则有：
(
)n n n n r V r p ???μ
?
??=
2
12?2 ？
（五）20分碱金属原子处在z 方向的外磁场B 中，微扰哈密顿为B
ls
H H H ???1+= ，其中
S L dr dV r c H ls
???? ??=121
?2
2μ ，()
Z Z B S L c eB H 22+=μ ， 当外磁场很弱时，那些力学量算符是运动积分（守恒量），应取什么样的零级近似波函数，能使微扰计算比较简单，为什么？ 注： ()()()()?
θπ
im m
l
lm e m l m l l Y P cos !
!
412+
-
+=
()x x P =
1；()(
)
2
/121
11x
x P -=；
()()
x x x P 2
/12
1
213-=
()()2
22
13x x P -=
南京大学1999年硕士研究生考试试题——量子力学专业: 理论物理、粒子物理与原子核物理 (20分)一、 t ＝0时，粒子的状态为][sin
)(2
kx A x =φ，求此时动量的可能测值和相应的几
率，并计算动量的平均值。
二、粒子被约束在半径为 r 的圆周上运动
(20分) (a) 设立“路障”进一步限制粒子在00φφ<<的一段圆弧上运动：
??
?<<∞
<<=)
2()0(0
)(00πφφφφφV
求解粒子的能量本征值和本征函数。
(10分) (b) 设粒子处在情形(a)的基态，求突然撤去“路障”后，粒子仍然处于最
低能量态的几率是多少?
(20分)三、边长为 a 的刚性立方势箱中的电子，具有能量
2
2
23ma
π，如微扰哈密顿bxy H =1，
试求对能量的一级修正(式中b 为常数)。
(15分) 四、对自旋为1／2的粒子，S y 和 S z 是自旋角动量算符，求AS y +BS z 的本征函数和本征
值(A 和B 是实常数)。
(15分) 五、已知t=0时，一维自由粒子波函数在坐标表象和动量表象的表示分别是
)/exp()exp()(02
h x ip x Nx x α?-=； ])(exp[)()(200p p b p p c p ---=φ
式中b c N 、、、α和0p 都是已知实常数．试求t=0和t>0时粒子坐标和动量的平均值,
??00=><=><>>t t p x ，（><
A
?表示力学量算符A ?的平均值）。 *
a
a
dx e x ax
π
412
2
=
-∞
?
南京大学2000年硕士研究生入学考试试题——量子力学专业:理论物理,凝聚态物理,光学等 五. 一维谐振子处在2
22
12
/1)(x e
x απ
α-=
ψ状态,
ωαm =
, 求:
(1) 势能的平均值(7分)
(2) 动能的几率分布函数(7分) (3) 动能的平均值(7分)
提示:
π
β=?
+∞
∞
---dx e
i x 2
)
(
六. 质量为m 的粒子在一维势场???
??∞
=0
0)(V x V a x a x x ><<<00中运动,求,
(1) 决定束缚态能级的方程式(15分) (2) 至少存在一个束缚态的条件(5分)
七. 质量为m
的粒子在一维势场?
??∞=cx x V )(a x a x x <<><0,
0中运动,其中c 是小的实常
数，试用微扰论求准到c 一次方的基态能量.(20分) 八. 两个自旋
2
1的非全同粒子系的哈密顿量
)]
2(?)1(?[?S S J H s ?-=0>J
求s
H ?的能量本征值和相应的简并度. (20分) 五．(1) 设氢原子处于沿z 方向的均匀静磁场B
中, 不考虑自旋,在弱磁场情形下求n=2能级的
分裂情况. (10分)
(2) 如果沿z 方向不仅有均匀静磁场B ,还有均匀静电场E
, 再用微扰论求n=2能级的分
裂情况. (9分)
提示
:
a
z 3210200-=
南京大学2001年硕士研究生入学考试试题———量子力学专业： 理论物理、、凝聚态物理、光学等
一、有一质量为μ的粒子处于长度为a 的一维无限深势阱中()???<<><∞=a x a x x x V 0,0;0,，在t=0
时刻，粒子的状态由波函数()??
?<<-><=a
x x a Ax a x x x 0),(;0,0ψ描述。求： （20分）
5. 归一化常数A;
6. 粒子能量的平均值；
7. t=0时刻，粒子能量的几率分布； 8. 人艺t>0时刻的波函数的级数表达式。 提示：
96
14
5,3,14
π
=
∑
?
??=n n
二、考虑势能为()?
??<>=0,00
,0x x V x V 的一维系统，其中0V 为正常数。若一能量为E 的粒子从
-∞=x 处入射，其透射系数和反射系数各为多少？考虑E 的所有可能值。（20分） 三、有一质量为μ的粒子，在一维谐振子势场()2
22
1x x V μω=
中运动。在动能μ
22
p
T =
的非
相对论极限下，基态能
ω 21
=E ，基态波函数为()??
? ??-??? ??=ψ241
02exp x x μωπμω。考虑T 与p 的关系的相对论修正，计算基态能级的移动E ?至
2
1
c
阶。（c 为光速）（20分）
四、氯化钠晶体中有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子。可将这些电子看成束缚在一个尺度为晶格常数的三维无限深势阱中。晶体处于室温，试粗略地估计被这些电子强烈吸收的电磁波的最长的波长。 （20分）
提示：电子质量fm MeV c MeV mc
?≈=197,511.02
，晶格常数0
1A a ≈
五、考虑自旋 2
1=
S 的系统，
3． 求算符z
y S B S A T ???+=的本征值和归一化本征波函数；（A 、B 为实常数） 4． 若此时系统正处在T ?的某一个本征态上，求此时测量y
S ?结果为??
? ??+2 的几率。（20分） 南京大学2002年硕士研究生入学考试试题———量子力学
六、 一维自由粒子的状态由波函数()kx kx x cos 2
1sin
2
+
=ψ描述。求粒子的动量平均值和
动能平均值。（20分）
七、 粒子被约束在半径为r 的圆周上运动
3） 设立“路障”进一步限制粒子在00??<<的一段圆弧上运动，即
()?
??<<∞<<=π?????2,0,000
V ，求解粒子的能量本征值和本征函数；
4） 设粒子处在上述情形的基态，现突然撤去“路障”，问撤去“路障”后，粒子仍然处在
最低能量态的几率是多少？（20
分）提示：在柱坐标系下
2
2
2222
11z u
u u u ??+??+???? ??????=??
ρρρρρ 八、 设算符
???N a a +=且??,1a a +??=??
，证明：如果ψ是N ?
的本征函数，对应的本征值为λ，
那么，波函数ψ=ψa ?1也是N ?的本征函数，对应的本征值为1-λ，而波函数ψ=ψ+a
?2