微积分第一章

第一章

习题1-1

1.用区间表示下列不等式的解.

2(1)9;(2)

1;

1(3)(1)(2)0;(4)00.01

1x x x x x ≤>--+<<<+

解 (1)原不等式可化为(3)(3)0x x -+≤,其解为33x -≤≤,用区间表示是[-3,3].

(2)原不等式可化为11x ->或11x -<-,其解为2x >或0x <,用区间表示是(-∞,0)∪(2,+ ∞).

(3)原不等式的解为21x -<<,用区间表示是(-2,1).

(4)原不等式可化为0.0110.0110x x -<+

+≠?即 1.010.99

1

x x -<<-??≠?

用区间表示是(-1.01,-1)∪(-1,-0.99).

2.用区间表示下列函数的定义域

:

1

(1)(2)arcsin(1)lg(lg );1

(3).

ln(2) y y x x x

y x =

=-+=-

解 (1)要使函数有意义,必须2

010x x ≠??-≥?

即0

11x x ≠??-≤≤? 所以函数的定义域为[-1,0)∪(0,1].

(2)要使函数有意义,必须111lg 00x x x -≤-≤??>??>?即02

10x x x ≤≤??

>??>?

所以函数的定义域是12x <≤,用区间表示就是(1,2].

(3)要使函数有意义,必须2650ln(2)020x x x x ?--≥?-≠??->?

即6112

x x x -≤≤??

≠??

所以函数的定义域是-6≤x <1,用区间表示就是[-6,1).

3.确定下列函数的定义域及求函数值f (0),f

),f (a )(a 为实数),并作出图形

(1)

1

,0, 2,01 1,12

x

x

y

x x

x

?

<

??

=?

≤<

?

?<≤

?

；(2)y＝

2

2

1,1

1,12

x x

x x

?-≤

?

?

-<<

??

解(1)函数的定义域

(){|0}{|01}{|12}

{|112}(,1)(1,2]

或

D f x x x x x x

x x x

=<≤<<≤

=<<≤=-∞

()

1

(0)200,1,()

2201

112

a

a

f f f a

a a

a

?

<

??

=?===?

≤<

?

?<≤

?

,

图1-1 图1-2

(2)函数的定义域

(){|1}{|12}{|2}(2,2)

D f x x x

x x x

=≤<<=<=-

2

2

2

2

11

(0)101,11,()

22

112

a a

f f f a

a a

??-≤=-==-==?

-<<

??

4※.设

1,1

()

1,1

x

f x

x

?≤

?

=?

->

??

,求f(f(x)).

解当|x|≤1时, f(x)=1, f(f(x))= f(1)=1;

当|x|>1时, f(x)=-1, f(f(x))= f(-1)=1,

综上所述f(f(x))=1(x∈R).

5.判定下列函数的奇偶性：

(1) f(x)＝

2

1

cos

x

x

-

；(2)f(x)＝(x2＋x)sin x；

(3)※f(x)＝

1e,0

e1,0

x

x

x

x

-

?-≤

?

->

?

解 (1) ∵22

1()1()()cos()cos x x f x f x x x

----=

==- ∴f (x )是偶函数.

(2)∵222

()[()()]sin()()(sin )()sin ()f x x x x x x x x x x f x -=-+--=--=--≠ 且()()f x f x -≠-, ∴f (x )是非奇非偶函数. (3) ※

当x <0时,-x >0, ()1(1)()e

e x

x f x f x ---=-=--=-; 当x ≥0时,-x ≤0, ()

()11(1)()e

e e x x x

f x f x ---=-=-=--=-,

综上所述, x ?∈R ,有f (-x )=-f (x ),所以f (x )是奇函数. 6.设f (x )在区间(-l ,l )内有定义,试证明：

(1) f (-x )+f (x )为偶函数； (2) f (-x ) -f (x )为奇函数. 证 (1)令()()()F x f x f x =-+

(,)x l l ?∈-有()[()]()()()()F x f x f x f x f x F x -=--+-=+-=

所以()()()F x f x f x =-+是偶函数;

(2)令()()()F x f x f x =--,

(,)x l l ?∈-有()[()]()()()[()()]()F x f x f x f x f x f x f x F x -=----=--=---=-

所以()()()F x f x f x =--是奇函数.

7. 试证：(1) 两个偶函数的代数和仍为偶函数； (2) 奇函数与偶函数的积是奇函数. 证 (1)设f (x ),g (x )均为偶函数,令()()()F x f x g x =±

则 ()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-±-=±=, 所以()()f x g x ±是偶函数,即两个偶函数的代数和仍为偶函数.

(2)设f (x )为奇函数,g (x )为偶函数,令()()()F x f x g x =?, 则 ()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=-?-=-=-, 所以()()f x g x ?是奇函数,即奇函数与偶函数之积是奇函数. 8. 求下列函数的反函数:

*2

2(1)2sin 3,,;(2);

662121

01,(3)()2(2)1 2.

x x y x x y x x f x x x ππ??

=∈-=??+??

-≤≤?=?--<≤?

解 (1)由2sin3y x =得1arcsin 32

y

x =所以函数2sin3y x =的反函数为

1arcsin (22)32

x

y x =-≤≤.

(2)由221x x y =+得21x

y y =-,即2log 1y x y =-.

所以函数221x x y =+的反函数为2log (01)1x

y x x

=<<-.

(3) ※

当01x ≤≤时,由21y x =-得1,112

y

x y +=

-≤≤; 当12x <≤时,由2

2(2)y x =--

得22x y =<≤;

于是有

1112212

y y x y +?-≤≤?

=?

?<≤?

,

所以函数2

21

01()2(2)12x x f x x x -≤≤?=?--<≤?

的反函数是1112()212

x

x f x x +?-≤≤?

=?

?<≤?

.

9. 将y 表示成x 的函数,并求定义域:

22

2

(1)10,1;(2)ln ,2,sin ;(3)arctan ,().

为实数u v y u x y u u v x y u u v a x a ==+======+

解 (1)2

11010

u

x y +==,定义域为(-∞,+∞);

(2) sin ln ln 2ln 2

sin ln 2v

x

y u x ====?定义域为(-∞,+∞);

(3) arctan y u ===(a 为实数),定义域为(-∞,+∞).

习题1-2

1.下列初等函数是由哪些基本初等函数复合而成的? (1) y

=

(2) y =sin 3ln x ;

(3) y = tan 2

x a ； (4) y =ln ［ln 2(ln 3x )］.

解 (1)令arcsin x

u a =,则y =

再令x v a =,则arcsin u v =,因此y =

本初等函数arcsin ,x

y u v v a ===复合而成的.

(2)令sinln u x =,则3y u =,再令ln v x =,则sin u v =.因此3

sin ln y x =是由基本初等函数3

,sin ,ln y u u v v x ===复合而成.

(3)令2tan u x =,则u

y a =,再令2

v x =,则tan u v =,因此2

tan x y a =是由基本初等函数

2,tan ,u y a u v v x ===复合而成.

(4)令2

3

ln (ln )u x =,则ln y u =,再令3

ln(ln )v x =则2u v =,再令3

ln w x =,则ln v w =,再令ln t x =,则3

w t =,因此2

3

ln[ln (ln )]y x =是由基本初等函数2

ln ,,ln ,y u u v v w ===

3,ln w t t x ==复合而成.

2.设f (x )的定义域为［0,1］,分别求下列函数的定义域： (1) f (x 2)； (2) f (sin x ); (3) f (x +a ),(a ＞0)； (4) f (e x +1).

解 (1)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x 2≤1,于是-1≤x ≤1,所以f (x 2)的定义域为[-1,1].

(2)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤sin x ≤1,于是2k π≤x ≤(2k +1)π,k ∈z ,所以f (sin x )的定义域为[2k π,(2k +1) π], k ∈Z .

(3)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤x+a ≤1即-a ≤x ≤1-a 所以f (x+a )的定义域为[-a ,1-a ].

(4)由f (x )的定义域为[0,1]得0≤e x +1≤1,解此不等式得x ≤-1,所以f (e x +1)的定义域为(-∞,-1]. 3. 求下列函数的表达式：

(1) 设?(sin x )=cos 2x +sin x +5,求?(x ); (2) 设g (x -1)=x 2+x +1,求g (x ); (3) 设1()f x x +=x 2+

21

x

,求f (x ). 解 (1)法一:令sin t x =,则2

2

2

cos 1sin 1x x t =-=-,代入函数式,得:

22()156t t t t t ?=-++=+-,

即 2

()6x x x ?=+-.

法二:将函数的表达式变形得:

22(sin )(1sin )sin 56sin sin x x x x x ?=-++=+-

令sin t x =,得 2

()6t t t ?=+-, 即 2()6x x x ?=+-.

(2)法一:令1t x =-,则1x t =+,将其代入函数式,得

22()(1)(1)133g t t t t t =++++=++

即 2

()33g x x x =++.

法二:将函数表达式变形,得

22(1)(21)(33)3(1)3(1)3g x x x x x x -=-++-+=-+-+

令1x t -=,得 2

()33g t t t =++, 即 2()33g x x x =++.

(3)法一:令1x t x +=,两边平方得2221

2x t x

++= 即2

221

2x t x

+

=-,将其代入函数式,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-. 法二:将函数表达式变形,得

2

22111222f x x x x x x ?????

?=-=-++++ ? ? ??????

?

令1

x t x

+

=,得2()2f t t =-,即2()2f x x =-.

习题1-3

1.设销售商品的总收入是销售量x 的二次函数,已知x =0,2,4时,总收入分别是0,6,8,试确定总收入函数TR(x ).

解 设2

()TR x ax bx c =++,由已知(0)0,(2)6,(4)8TR TR TR ===

即 04261648c a b c a b c =??++=??++=? 解得 124

a b c ?=-??

?=??=?

所以总收入函数2

1()42

TR x x x =-

+. 2.设某厂生产某种产品1000吨,定价为130元/吨,当一次售出700吨以内时,按原价出售；若一次成交超过700吨时,超过700吨的部分按原价的9折出售,试将总收入表示成销售量的函数.

解 设销售量为x ,实际每吨售价为P 元,由题设可得P 与x 间函数关系为

130

7001177001000

x P x ≤?=?

<≤?,

总收入 130700()130700(700)1177001000

TR x x x x x ≤?

=?

?+-?<≤?,

即 130700()91001177001000

TR x

x x x x ≤?=?

+<≤?.

3. 已知需求函数为105

Q

P =-

,成本函数为C =50+2Q ,P 、Q 分别表示价格和销售量.写出利润L 与销售量Q 的关系,并求平均利润.

解 由题设知总收入2

()105

Q R Q PQ Q ==- ,则

总利润 ()221()()()8505021055Q L Q R Q C Q Q Q Q Q ??

=-=-=--+- ??

?, 平均利润 ()150()85L Q AL Q Q Q Q

=

=--. 4. 已知需求函数Q d 和供给函数Q s ,分别为Q d =1002

33

P -,Q s =-20+10P ,求相应的市场均衡价格.

解 当d s Q Q =时供需平衡,由d s Q Q =得

1002

201033

P P -=-+,解得5P = 所以市场均衡价格5P =.