《运筹学》复习参考资料知识点及习题

第一部分线性规划问题的求解

一、两个变量的线性规划问题的图解法：

㈠概念准备：定义：满足所有约束条件的解为可行解；可行解的全体称为可行（解）域。

定义：达到目标的可行解为最优解。

㈡图解法：

图解法采用直角坐标求解：x1——横轴；x2——竖轴。1、将约束条件（取等号）用直线绘出；

2、确定可行解域；

3、绘出目标函数的图形（等值线），确定它向最优解的移动方向；

注：求极大值沿价值系数向量的正向移动；求极小值沿价值系数向量的反向移动。

4、确定最优解及目标函数值。

㈢参考例题：（只要求下面这些有唯一最优解的类型）

例1：某厂生产甲、乙两种产品，这两种产品均需在A、B、C三种不同的设备上加工，每种产品在不同设备上加工所需的工时不同，这些产品销售后所能获得利润以及这三种加工设备因各种条件限制所能使用的有效加工总时数如下表所示：

问：该厂应如何组织生产，即生产多少甲、乙产品使得该厂的总利润为最大？

（此题也可用“单纯形法”或化“对偶问题”用大M法求解）

解：设x 1、x 2为生产甲、乙产品的数量。

max z = 70x 1+30x 2 s.t.

???????≥≤+≤+≤+0

72039450555409321212121x x x x x x x x ，

可行解域为oabcd0，最优解为b 点。 由方程组

???=+=+72039450

5521

21x x x x 解出x 1=75，x 2=15 ∴X *

=???

? ??21x x =（75，15）

T

∴max z =Z *= 70×75+30×15=5700

⑴

⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

max z = 6x 1+4x 2 s.t.

???????≥≤≤+≤+0781022122121x x x x x x x ， 解：

可行解域为oabcd0，最优解为b 点。 由方程组

???=+=+810

22

121x x x x 解出x 1=2，x 2=6 ∴X *

=???

? ??21x x =（2，6）T

∴max z = 6×2+4×6=36

⑴

⑵ ⑶ ⑷ ⑸、⑹

min z =－3x 1+x 2 s.t.

?????

????≥≤+≥+≤≤08

2125234212

12121

x x x x x x x x ， 解：

可行解域为bcdefb ，最优解为b 点。

由方程组???=+=1252421

1x x x 解出x 1=4，x 2=54

∴X *

=???

? ??21x x =（4，54）T

∴min z =－3×4+5

4=－1151

⑴

⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹、⑺

二、标准型线性规划问题的单纯形解法： ㈠一般思路：

1、用简单易行的方法获得初始基本可行解；

2、对上述解进行检验，检验其是否为最优解，若是，停止迭代，否则转入3；

3、根据θL 规则确定改进解的方向；

4、根据可能改进的方向进行迭代得到新的解；

5、根据检验规则对新解进行检验，若是最优解，则停止迭代，否则转入3，直至最优解。

㈡具体做法（可化归标准型的情况）：

设已知

max z = c 1x 1+ c 2x 2+…+x n

s.t.

????

?

??

??=≥≤+++≤+++≤+++n j x b

x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a j m

n mn m m n n n n ，，，，...210 (2)

211222221211

1212111 对第i 个方程加入松弛变量x n+i ，i =1，2，…，m ，得到

??

??

?

??

??=≥=++++=++++=+++++++n j x b x x a x a x a b x x a x a x a b x x a x a x a j m m n n mn m m n n n n n n ，，，，...210 (22112)

222221211

11212111 列表计算，格式、算法如下：

注①： z j =c n+1 a 1j ++2 a 2j +…++m a mj =

∑=+m

i ij i

n a c

1

，（j=1，2，…，n+m ）

σj =c j －z j ,当σj ≤0时，当前解最优。

注②：由max{σj }确定所对应的行的变量为“入基变量”；

由θL =?

??

??

?>0min ik ik i i

a a

b 确定所对应的行的变量为“出基变量”，行、列交叉处为主元素，迭代时要求将主元素变为1，此列其余元素变为0。

例1：用单纯形法求解（本题即是本资料P2“图解法”例1的单纯形解法；也可化“对偶

问题”求解）

max z =70x 1+30x 2 s.t.

???????≥≤+≤+≤+0

72039450555409321212121x x x x x x x x ， 解：加入松弛变量x 3，x 4，x 5，得到等效的标准模型：

max z =70x 1+30x 2+0 x 3+0 x 4+0 x 5