六年级数学分数与分数相乘、分数连乘、倒数的认识典型例题解析

【同步教育信息】

一、本周主要内容：

分数与分数相乘、分数连乘、倒数的认识、整理与练习

二、本周学习目标：

1、理解分数与分数相乘的意义，掌握分数与分数相乘的计算方法，能够正确进行计算；使学生知道分数乘分数的计算法则也适用于整数和分数相乘，把分数乘法统一成一个法则，进一步巩固分数乘法的计算法则；能够用分数与分数相乘的方法解决一些简单的实际问题。

2、理解倒数的意义，会判断两个数是否互为倒数；掌握求倒数的方法，能熟练得求一个数（0除外）的倒数。

3、使学生经历解决问题的探索过程，进一步培养观察、比较、分析、推理的能力，体验数学学习的乐趣。

三、考点分析：

1、分数和分数相乘，表示求一个数的几分之几相加的和，分数和分数相乘，用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。

2、因为整数可以看成分母是1的假分数，所以分数和分数相乘的计算方法适用于分数和整数相乘。

3、三个数相乘，先把前两个数相乘，得出的积再和第三个数相乘。但为了简便，可以先把所有分数的分子和分母约分，再把约分后的分子和分母相乘。

4、一个数和真分数相乘，所得的积小于这个数；一个数和假分数相乘，所得的积大于这个数。

5、解答分数乘法应用题时，可以借助于线段图来分析数量关系。在画线段图时，先画单位“1”的量。数量关系式是：单位“1”×分率= 分率对应的量。

6、乘积为1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数的分子、分母调换位置。

7、1的倒数是1，0没有倒数，真分数的倒数都大于1，自然数的倒数都是分子为1的

真分数，假分数的倒数小于或等于1。

四、典型例题

例1、下面的长方形代表1公顷，请你在图中表示出

21公顷的3

2

，结果是多少公顷？

分析与解：这个题目要分层次思考，一步一步展开。（1）21公顷是1公顷的2

1

（1公顷的一半）；（2）

21公顷的32，就是将2

1

公顷部分平均分成3份，表示出2份。 第一种解法： 1公顷的2

2

1

公顷

第二种解法： 第三种解法：

21公顷的32 1

公顷

21公顷的3

2

21公顷的32是大长方形的62，21×32 = 62

（公顷）或21×32 = 3

1（公顷）

点评：由于“

21”“3

2”在平分时有多种形式，因而本题的表现形式也有多种。计算时分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积作分母，能约分的先约分。

例2、计算。（1）

109×98 （2）4×6

5

分析与解：计算分数乘分数时，只要按照分数乘法的计算法则进行计算（分子与分子相乘的积作分子，分母与分母相乘的积作分母）。在计算时为了计算简便，也可以先约分再计算。

109 × 98 = 109 × 98 = 31 4 × 65 = 4 × 65 = 3

10

点评：因为整数可以看成分母是1的假分数，所以分数和分数相乘的计算方法适用于分数和整数相乘。

例3、果园里有苹果树400棵，梨树的棵数是苹果树的54，桃树的棵数是梨树的4

3

，果园里有桃树多少棵。

分析与解：先根据梨树的棵数是苹果树的5

4

，把苹果树的棵数看作单位“1”，求出梨树的棵数；再根据桃树的棵数是梨树的

4

3

，把梨树的棵数看作单位“1”，求出桃树的棵数。 线段图如下： 400棵

苹果树：

梨 树：

桃 树：

？棵

400 ×

54 × 43 = 400 × 54 × 4

3

= 240（棵） 答：果园里有桃树240棵。

点评：分数连乘应用题的分析思路和前面所学的一步求一个数的几分之几是多少的应用题的分析思路一样，先根据前面一个条件分析把哪个数量看作单位“1”，求出第一步所要求的问题；再根据后面一个条件分析把哪个数量看作单位“1”，求出第二步要求的问题，也就是题目的结果。

例4、一袋大米重25千克，先吃去这袋大米的

51，又吃去5

1

千克，两次一共吃去多少千克？ 分析与解：求两次共吃去多少千克，要用第一次吃的千克数加上第二次吃的千克数；第一次吃了这袋大米的

51，是把这袋大米看作单位“1”，即吃去25千克的51；第二次吃去5

1

千克。先求出第一次吃去多少千克。

25 ×

51 = 5（千克） 5 + 51 = 55

1

（千克） 答：两次一共吃去55

1

千克。

点评：这一题的关键就是正确理解题目中两个51所表示的不同含义，第一个5

1

表示是一个

数的几分之几，是分率；而第二个51表示的是51千克，是具体的量。要先求出第一天的51

所

对应的量再直接加上第二天吃的5

1

千克就可以了。在解题过程中，一定要注意区分，并作出

正确的判断，再进行解答。

例5、一根钢管截成两段，第一段占

53，第二段长5

3

米。哪一根长？ 分析与解：可以用画图的方法，把题意表示出来。线段图如下：

第一段占

53 第二段长5

3米

通过线段图可以看出，第一段占53，第二段占 1 - 53 = 52 ， 53 > 5

2

。 答：第一段长一些。

点评：乍看上去，两个

5

3

，一个是分率，一个是具体的量。而单位“1”是多少并不知道，所以无法比较大小。与此题类似的课本上的思考题答案也无法比较。其实仔细对比一下，就会发现，课本上的是两根钢管，而这儿是一根钢管，这是本质的不同。所以通过思考得出第一次用得多。所以具体题目还得具体分析。

例6、写出

43、7

10、3、0.5、1.2的倒数。 分析与解：求一个数（0除外）的倒数，只要把这个数分子、分母调换位置，如

43 3

4

。 如果是整数，可以将这个整数先转化成分母是1的分数，然后再调换分子、分母位置，如9

=

19 9

1

；如果是小数，可以将小数先化成分数，然后按照类似的方法得出它的倒数，如1.2 = 151 = 56 6

5

按照一定的方法写出一个数的倒数后，可以用相乘是否等于1

的方法来验算自己写出的倒数是否正确。

43 34 43 的倒数是 34 710 107 710 的倒数是 10

7

3 = 13

31 3 的倒数是 31 0.5 = 21 2 0.5 的倒数是 2

1.2 = 151 = 56 65 1.2 的倒数是 65

验算：43 × 34 = 1 710 × 107 = 1 3 × 3

1 = 1

0.5 × 2 = 1 1.2 × 6

5

= 1

例7、判断：因为87 × 78 = 1，所以87 和 7

8

是倒数。 错误解法：正确

思路分析：乘积是1的两个数互为倒数，只能说87 和 7

8

互为倒数。 正确解答：错误。

点评：倒数表示的是两个数之间的关系，所以在说倒数时都说哪个数是哪个数的倒数，而不是说哪个数是倒数。这就和我们以前学过的约数和倍数、垂直和平行一样，不可单独存在，必须成对存在。

例8、填空。 （ ）×

94 = 7 × （ ）= （ ）× 16

5

= 0.8 × （ ） 分析与解：这是一道连等式填空。从题中可以看出，四道乘法算式的积都要相等，但是都等于几呢？题目中没有明确的要求，说明有多种填法。但是要解答得又对又快，可以从倒数的意义入手，即考虑每个算式的积都是1，这样，在相应的括号里只填上与之相乘的那个数的倒数就可以了。

如果题目中明确给出了一个确定的数值作为积，那么解答此题时就只能一道一道地去思考解答了。 （ 49 ）× 94 = 7 × （ 71 ）= （ 116 ）× 165 = 0.8 × （ 4

5 ）

【模拟试题】

一、基础巩固题

1、25 ×6表示（ ）；13 ×34 表示（ ）

2、910 米的23 是（ ）米； 14 公顷的4

5 是（ ）公顷。 3、计算下面各题。

313 ×2637 1821 ×79 12×38 1516 ×2021 ×15 910 ×23 ×56 533 ×22×12 4、小刚每分钟行50米，小李每分钟行的是小刚的4

5

，小李每分钟行多少米？

想：根据“小李每分钟行的是小刚的4

5 ，把 看作单位“1”，求小李

每分钟行多少米，就是求 的 是多少？

5、李大伯家养鸡60只，养的鸭比鸡少1

6

,鸭比鸡少多少只？

想：根据“养的鸭比鸡少1

6 ”。把 看作单位“1”，求鸭比鸡少多少只，

就是求 的 是多少。

6、饲养组养了15只鸡，养鸭的只数是鸡的45 ,养鹅的只数是鸭的3

4

，饲养组养了多少只鹅？

想：先根据“养鸭的只数是鸡的4

5

”，把 看作单位“1”，求出养鸭的只数；

再根据“养鹅的只数是鸭的3

4 ”，把 看作单位“1”，求出养鹅的只数。

7、判断。

①因为a ×b=1，所以a 和b 互为倒数。……………（ ） ②738 的倒数是78

3 。………………………………（ ） ③任何自然数都有一个倒数。………………………（ ） ④真分数的倒数一定大于1。………………………（ ）

8、5

6 与（ ）互为倒数。 9的倒数是（ ）。 （ ）与0.25互为倒数。 （ ）是7

9 的倒数。 1的倒数是（ ）。 （ ）没有倒数。

二、思维拓展题

9、在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。

910 ×89 ○910 67 ×32 ○67 34 ×1○3

4 ×0 10、 1122 × ○1122 (1112 、1211 、1、11、0、112 、111

)

①当○中填＞时，横线上应该先哪些数？ ②当○中填＜时，横线上应该先哪些数？ ③当○中填=时，横线上应该先哪些数？

11、 43 ×（ ）=（ ）×73 =（ ）×（ ）=（ ）+ 13 =（ ）- 1

3

= 1

12、已知a ×373 =1112 ×b=15

15

×c ，并且a 、b 、c 都不等于0，把a 、b 、c 这三个数按从小到

大的顺序排列，并说明理由。 13、应用题。

①一个平行四边形的底是1213 米，高是26

27 米，它的面积是多少平方米？

②修路队修路，上午修了58 千米，下午修的是上午的3

4

，下午修多少千米？

③果园里种的苹果树的棵数是梨树的25 ，种的桃树的棵数是苹果的3

4 ，已知果园里共种了

梨树480棵，种的桃树多少棵？ 三、自主探索题 14、一个正方体的棱长是

4

3

分米，它的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 15、两个自然数的倒数的和为7

12

，这两个数分别是（ ）和（ ）。

【试题答案】

一、基础巩固题

1、25 ×6表示（6的 25 或6个 25 是多少 ）；13 ×34 表示（ 13 的34 是多少 ）

2、910 米的23 是（ 53 ）米； 14 公顷的45 是（ 51

）公顷。 3、计算下面各题。

313 ×2637 = 376 1821 ×79 = 32 12×38 = 29

1516 ×2021 ×15 = 285 910 ×23 ×56 = 21 533 ×22×12 = 65

4、小刚每分钟行50米，小李每分钟行的是小刚的4

5

，小李每分钟行多少米？

想：根据“小李每分钟行的是小刚的4

5 ，把 小刚每分钟行的米数 看作单位“1”，

求小李每分钟行多少米，就是求 50米 的 4

5 是多少？

5、李大伯家养鸡60只，养的鸭比鸡少1

6

,鸭比鸡少多少只？

想：根据“养的鸭比鸡少1

6 ”。把 鸡的只数 看作单位“1”，求鸭比鸡少多少只，

就是求 60只 的 1

6

是多少。

6、饲养组养了15只鸡，养鸭的只数是鸡的45 ,养鹅的只数是鸭的3

4

，饲养组养了多少只鹅？

想：先根据“养鸭的只数是鸡的4

5

”，把 鸡的只数 看作单位“1”，求出养鸭的只数；

再根据“养鹅的只数是鸭的3

4 ”，把 鸭的只数 看作单位“1”，求出养鹅的只数。

7、判断。

①因为a ×b=1，所以a 和b 互为倒数。……………（ √ ） ②738 的倒数是78

3 。………………………………（ × ） ③任何自然数都有一个倒数。………………………（ × ） ④真分数的倒数一定大于1。………………………（ √ ）

8、56 与（56）互为倒数。 9的倒数是（91）。 （ 4 ）与0.25互为倒数。 （

7

9

）是79 的倒数。 1的倒数是（ 1 ）。 （ 0 ）没有倒数。

二、思维拓展题

9、在○里填上“＞”、“＜”或“＝”。

910 ×89 ○910 ＜ 67 ×32 ○67 ＞ 34 ×1○3

4 ×0 ＞ 10、 1122 × ○1122 (1112 、1211 、1、11、0、112 、111

)

①当○中填＞时，横线上应该先哪些数？（ 12

11 、11 ）

②当○中填＜时，横线上应该先哪些数？（ 1112 、112 、1

11 、0 ）

③当○中填=时，横线上应该先哪些数？（ 1 ）

11、 43 ×（43）=（73）×73 =（29）×（92）=（32）+ 13 =（ 34

）- 13 = 1

12、已知a ×373 =1112 ×b=15

15

×c ，并且a 、b 、c 都不等于0，把a 、b 、c 这三个数按从小到

大的顺序排列，并说明理由。

假设a ×373 =1112 ×b=15

15 ×c = 1 那么a =163 、b=11

12 、c= 1 那么 a ＜c ＜b

13、应用题。

①一个平行四边形的底是1213 米，高是26

27

米，它的面积是多少平方米？

1213 × 26

27 = 27

24（平方米）

②修路队修路，上午修了58 千米，下午修的是上午的3

4

，下午修多少千米？

58 × 34 = 32

15

（千米） ③果园里种的苹果树的棵数是梨树的25 ，种的桃树的棵数是苹果的34 ，已知果园里共种了

梨树480棵，种的桃树多少棵？ 480 × 25 × 3

4 = 144（棵）

三、自主探索题

14、一个正方体的棱长是

4

3

分米，它的表面积是多少平方厘米？体积是多少立方厘米？ 表面积：43×43×6 = 827（平方厘米） 体积：43×43×43 = 64

27

（立方厘米）

15、两个自然数的倒数的和为7

12

，这两个数分别是（ 12 ）和（ 2 ）。

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阿溪里斯追乌龟

阿溪里斯是古希腊传说中的神，现在让他和乌龟赛跑，假定他的速度为乌龟

的10倍。乌龟先出发，走了

10

1

公里。阿溪里斯开始追赶它，当阿溪里斯走完这101公里时，乌龟又向前走了1001公里；阿溪里斯再走完这100

1公里时，乌龟又向前走了1000

1

公里，……。阿溪里斯的速度再快，走过一段路总得花一段时间，

乌龟的速度再慢，在这一段时间里也总要再向前走一段路程。这样说来，阿溪里斯是永远追不上乌龟了。同学们这种说法对吗？