2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第八章 第七节 双曲线 含解析
课时作业 A 组——基础对点练
1．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )
A.3 B ．3 C.3m
D ．3m
解析：双曲线方程为x 23m －y 2
3＝1，焦点F 到一条渐近线的距离为 3.选A.
答案：A
2．已知双曲线x 2a 2－y 2
3＝1(a >0)的离心率为2，则a ＝( )
A ．2 B.62
C.52
D ．1
解析：因为双曲线的方程为x 2a 2－y 23＝1，所以e 2＝1＋3
a 2＝4，因此a 2＝1，a ＝1.选D.
答案：D
3．双曲线x 2－4y 2＝－1的渐近线方程为( ) A ．x ±2y ＝0 B ．y ±2x ＝0 C ．x ±4y ＝0
D ．y ±4x ＝0
解析：依题意，题中的双曲线即y 214－x 2＝1，因此其渐近线方程是y 214－x 2
＝0，即x ±2y ＝0，选
A. 答案：A
4．已知双曲线x 23－y 2
＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线上，且满足|PF 1|＋|PF 2|
＝25，则△PF 1F 2的面积为( ) A ．1 B. 3 C. 5
D.12
解析：在双曲线x 23－y 2
＝1中，a ＝3，b ＝1，c ＝2.不防设P 点在双曲线的右支上，则有|PF 1|
－|PF 2|＝2a ＝23，又|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴|PF 1|＝5＋3，|PF 2|＝5－ 3.又|F 1F 2|＝2c ＝4，而|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴PF 1⊥PF 2，∴S △PF 1F 2＝12×|PF 1|×|PF 2|＝1
2×(5＋3)×(5
－3)＝1.故选A. 答案：A
5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b
2＝1(a >0，b >0)，直线l ：y ＝2x －2.若直线l 平行于双曲线C 的一条
渐近线且经过C 的一个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 5
D ．4
解析：根据题意，双曲线C 的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，其焦点在x 轴上，渐近线方程
为y ＝±b a x ，又由直线l 平行于双曲线C 的一条渐近线，可知b
a ＝2，直线l ：y ＝2x －2与x 轴
的交点坐标为(1,0)，即双曲线C 的一个顶点坐标为(1,0)，即a ＝1，则b ＝2a ＝2，故双曲线C 的焦点到渐近线的距离为2，故选B. 答案：B
6．已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于半实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A.
5＋12
B ．2 C. 2
D ．2 2
解析：不妨设双曲线的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，因为焦点F (c,0)到渐近线bx －ay ＝0的
距离为a ，所以bc a 2＋b 2
＝a ，即bc c ＝a ，所以b a ＝1，所以该双曲线的离心率e ＝c
a ＝
1＋(b
a
)2
＝2，故选C. 答案：C
7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的离心率e ＝5
4，且其右焦点为F 2 (5,0)，则双曲线C 的方程为
( ) A.x 24－y 2
3＝1 B.x 29－y 2
16＝1 C.x 216－y 2
9
＝1 D.x 23－y 2
4
＝1 解析：由题意得e ＝
1＋b 2a 2＝5
4，又右焦点为F 2(5,0)，a 2＋b 2＝c 2，所以a 2＝16，b 2＝9，故双曲线C 的方程为x 216－y 2
9＝1.
答案：C
8．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0
垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2
＝1 B ．x 2
－y 2
4
＝1
C.3x 220－3y 2
5
＝1 D.3x 25－3y 2
20
＝1 解析：由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2
＝1.
答案：A
9．(2018·山西八校联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y
2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，
焦距为2c ，直线y ＝3
3
(x ＋c )与双曲线的一个交点P 满足∠PF 2F 1＝2∠PF 1F 2，则双曲线的离心率e 为( ) A. 2 B. 3 C ．23＋1 D.3＋1
解析：∵直线y ＝
3
3
(x ＋c )过左焦点F 1，且其倾斜角为30°，∴∠PF 1F 2＝30°，∠PF 2F 1＝60°，∴∠F 2PF 1＝90°，即F 1P ⊥F 2P .∴|PF 2|＝1
2|F 1F 2|＝c ，|PF 1|＝|F 1F 2|sin 60°＝3c ，由双曲线的
定义得2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝3c －c ，∴双曲线C 的离心率e ＝c a ＝c
3c －c
2＝3＋1，选D.
答案：D
10．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是双曲线C 上一点，若|PF 1|
＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( ) A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．2x ±y ＝0
D ．x ±2y ＝0
解析：不妨设|PF 1|>|PF 2|，则?
????
|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，
所以|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ，且|F 1F 2|＝2c ，即|PF 2|为最小边，即∠PF 1F 2＝30°，则△PF 1F 2为直角三角形，所以2c ＝23a ，所以b ＝2a ，即渐近线方程为y ＝±2x ，故选A. 答案：A
11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C
的方程为( ) A.x 220－y 2
5＝1 B.x 25－y 2
20＝1 C.x 280－y 2
20
＝1 D.x 220－y 2
80
＝1 解析：依题意?????
a 2
＋b 2
＝251＝b a
×2，解得?????
a 2＝20
b 2＝5，
∴双曲线C 的方程为x 220－y 2
5＝1.
答案：A
12．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±1
2x ，则该双曲线的标准方程为________．
解析：法一：因为双曲线过点(4，3)且渐近线方程为y ＝±12x ，故点(4，3)在直线y ＝1
2
x 的
下方．设该双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，所以
?
??
42a 2－(3)2
b
2＝1，b a ＝1
2
，，解得
?
????
a ＝2，
b ＝1，故双曲线方程为x 24－y 2＝1.
法二：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，故可设双曲线为x 24－y 2
＝λ(λ≠0)，又双曲线过点
(4， 3)，所以424－(3)2
＝λ，所以λ＝1，故双曲线方程为 x 24－y 2＝1.
答案：x 24
－y 2
＝1
13．双曲线Γ：y 2a 2－x 2
b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长
等于________．
解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝a b x ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b 2＝5b
c ＝b ＝3，所以
a ＝4,2a ＝8. 答案：8
14．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与椭圆x 29＋y 2
4＝1有相同的焦点，且双曲线C 的渐
近线方程为y ＝±2x ，则双曲线C 的方程为________． 解析：易得椭圆的焦点为(－5，0)，(5，0)， ∴????
?
a 2
＋b 2
＝5，b a ＝2，
∴a 2＝1，b 2＝4， ∴双曲线C 的方程为x 2
－y 2
4
＝1.
答案：x 2
－y 2
4
＝1
15．(2018·合肥市质检)双曲线M ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线x
＝a 与双曲线M 的渐近线交于点P ，若sin ∠PF 1F 2＝1
3，则该双曲线的离心率为________．
解析：不妨设P 为直线x ＝a 与双曲线M 的渐近线在第一象限内的交点，则P 点坐标为(a ，b )，因为sin ∠PF 1F 2＝1
3，所以|PF 1|＝3b ，所以(a ＋c )2＋b 2＝9b 2，即9a 2＋2ac －7c 2＝0,7e 2－
2e －9＝0，又e >1，解得e ＝9
7.
答案：97
B 组——能力提升练
1．已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y
2
b 2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，若在双曲线上存在点P 满足
2|PF 1→
＋PF 2→
|≤|F 1F 2→
|，则双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．(1，2] B ．(1,2] C ．[2，＋∞)
D ．[2，＋∞) 解析：∵2|PF 1→
＋PF 2→
|≤|F 1F 2→
|?4|OP →
|≤2c ?|OP →
|≤c 2，又|OP →|≥a ，∴a ≤c 2，即c ≥2a ，∴e ＝
c
a ≥2.故选D. 答案：D
2．若实数k 满足0 9＝1的( ) A ．离心率相等 B ．虚半轴长相等 C ．实半轴长相等 D ．焦距相等 解析：由0 3．(2018·云南五市联考)设P 为双曲线x 2 －y 2 15 ＝1右支上一点，M ，N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2 ＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，设|PM |－|PN |的最大值和最小值分别为m ，n ，则|m －n |＝( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 解析：易知双曲线的两个焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，恰为两个圆的圆心，两个圆的半径分别为2,1，所以|PM |max ＝|PF 1|＋2，|PN |min ＝|PF 2|－1，故|PM |－|PN |的最大值为(|PF 1|＋2)－(|PF 2|－1)＝(|PF 1|－|PF 2|)＋3＝5，同理|PM |－|PN |的最小值为(|PF 1|－2)－(|PF 2|＋1)＝(|PF 1|－|PF 2|)－3＝－1，所以|m －n |＝6，故选C. 答案：C 4．(2018·江南十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24 ＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1， F 2分别是C 的左、右焦点，若PF 1→·PF 2→ ＝0，则点P 到x 轴的距离为( ) A.233 B. 2 C ．2 D.263 解析：由题意知F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，点P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→ ＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故点P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2，故选C.