专题一电场的基本性质 (1)

专题1 电场的基本性质

知识梳理

一、力的性质 1．库仑定律

(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比。作用力的方向在它们的连线上。 (2)表达式：F ＝k q 1q 2

r 2，式中k ＝9.0×109 N·m 2/C 2，叫静电力常量。 (3)适用条件：真空中的点电荷。 2.电场强度

(1)定义：放入电场中某点的电荷受到的电场力F 与它的电荷量q 的比值。 (2)定义式：E ＝F

q 。单位：N/C 或V/m

3点电荷的电场强度：真空中点电荷形成的电场中某点的电场强度：E ＝k Q

r 2。 (1)匀强电场的电场强度：E ＝U

d 。

(2)方向：规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点的电场强度方向。 (3)电场强度的叠加：电场中某点的电场强度为各个点电荷单独在该点产生的电场强度的矢量和，遵从平行四边形定则。 3．几种典型电场的电场线

二、能的性质

1.电势能

(1)电场力做功的特点：电场力做功与路径无关，只与初、末位置有关。

(2)电势能定义：电荷在电场中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到零势能位置时电场力所做的功。

(3)电场力做功与电势能变化的关系：电场力做的功等于电势能的减少量，即W AB＝E p A－E p B＝－ΔE p。

2.电势

(1)定义：试探电荷在电场中某点具有的电势能E p与它的电荷量q的比值。

(2)定义式：φ＝E p q。

(3)矢标性：电势是标量，有正、负之分，其正(负)表示该点电势比零电势高(低)。

(4)相对性：电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同。3．等势面及特点

(1)等势面一定与电场线垂直。

(2)在同一等势面上移动电荷时电场力不做功。

(3)电场线方向总是从电势高的等势面指向电势低的等势面。

(4)等差等势面越密的地方电场强度越大，反之越小。

4．电势差

(1)定义：电荷在电场中，由一点A移到另一点B时，电场力做功与移动电荷的电荷量的比值。

(2)定义式：U AB＝W AB q。

(3)电势差与电势的关系：U AB＝φA－φB，U AB＝－U BA。

(4)影响因素：电势差U AB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功W AB无关，与零电势点的选取无关。

三、常见问题及方法

1.电势高低的判断

(1)沿电场线方向，电势越来越低．

(2)判断出UAB的正负，再由UAB＝φA－φB，比较φA、φB的大小，若UAB>0，则φA>φB，若UAB<0，则φA<φB.

2．电势能大小的比较方法

做功判断法

电场力做正功，电荷(无论是正电荷还是负电荷)从电势能较大的地方移向电势能较小的地方，反之，如果电荷克服电场力做功，那么电荷将从电势能较小的地方移向电势能较大的地方．

四、功能关系

1.(1)若只有电场力做功，电势能与动能之和保持不变；

(2)若只有电场力和重力做功，电势能、重力势能、动能之和保持不变；

(3)除重力外，其他各力对物体所做的功等于物体机械能的变化．

(4)所有力对物体所做功的代数和，等于物体动能的变化．

2．电场力做功的计算方法

(1)由公式W＝Fl cos α计算，此公式只适用于匀强电场，可变形为：W＝qEl cos α.

(2)由W＝qU来计算，此公式适用于任何形式的静电场．

(3)由动能定理来计算：W电场力＋W其他力＝ΔE k.

(4)由电势能的变化来计算：W AB＝E p A－E p B.

典型例题

例1在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，

小球A、B、C位于等边三角形的三个顶点上，小球D位于三角

形的中心，如图1所示．现让小球A、B、C带等量的正电荷

Q，让小球D带负电荷q，使四个小球均处于静止状态，则Q

与q的比值为()

图1

突破训练1[对库仑定律的理解]使两个完全相同的金属小球(均可视为点电荷)分别带上－3Q和＋5Q的电荷后，将它们固定在相距为a的两点，它们之间库仑力的大小为F1.现用绝缘工具使两小球相互接触后，再将它们固定在相距为2a的两点，它们之间库仑力的大小为F2.则F1与F2之比为()

A．2∶1 B．4∶1 C．16∶1 D．60∶1

突破训练2[库仑力作用下的动力学问题]如图2所示，竖直平面内有一圆形光滑绝缘细管，细管截面半径远小于半径R，在中心处固定一电荷量为＋Q的点电荷．一质量为m、电荷量为＋q的带电小球在圆形绝缘细管中做圆周运动，当小球运动到最高点时恰好对细管无作用力，求当小球运动到最低点时对管壁的作用力是多大？

图2

例2(2014·福建·20)如图3所示，真空中xOy平面直角坐标系上的ABC三点构成等边三角形，边长L＝2.0m．若将电荷量均为q＝＋2.0×10－6C的两点电荷分别固定在A、B点，已知

静电力常量k＝9.0×109N·m2/C2，求：

(1)两点电荷间的库仑力大小；

(2)C点的电场强度的大小和方向．

图3

突破训练3 [电场强度的叠加]如图4所示，在水平向右、大小为E 的匀强电场中，在O 点固定一电荷量为Q 的正电荷，A 、B 、C 、D 为以O 为圆心、半径为r 的同一圆周上的四点，B 、D 连线与电场线平行，A 、C 连线与电场线垂直．则( )

图4

A ．A 点的场强大小为

E

2

＋k 2Q 2r

4

B ．B 点的场强大小为E －k Q

r 2

C ．

D 点的场强大小不可能为0 D ．A 、C 两点的场强相同

突破训练4 [电场方向和运动轨迹的关系]一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线abc 从a 运动到c ，已知质点的速率是递减的．关于b 点电场强度E 的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在b 点的切线)( )

图6

例3 (2013·山东·19)如图7所示，在x 轴上相距为L 的两点固定两个等量异种点电荷＋Q 、

－Q ，虚线是以＋Q 所在点为圆心、L

2为半径的圆，a 、b 、c 、d 是圆上的四个点，其中a 、c

两点在x 轴上，b 、d 两点关于x 轴对称．下列判断正确的是( )

A ．b 、d 两点处的电势相同

B ．四个点中c 点处的电势最低

C ．b 、d 两点处的电场强度相同

D ．将一试探电荷＋q 沿圆周由a 点移至c 点，＋q 的电势能减小 图7

突破训练5 [电场强度和电势的理解](2014·新课标Ⅱ·19)关于静电场的电场强度和电势，

下列说法正确的是()

A．电场强度的方向处处与等电势面垂直

B．电场强度为零的地方，电势也为零

C．随着电场强度的大小逐渐减小，电势也逐渐降低

D．任一点的电场强度总是指向该点电势降落最快的方向

例4如图3所示，一带电粒子在两个固定的等量正电荷的电场中运动，图中的实线为等势面，虚线ABC为粒子的运动轨迹，其中B点是两点电荷连线的中点，A、C位于同一等势面上．下列说法正确的是()

A．该粒子可能带正电

B．该粒子经过B点时的速度最大

C．该粒子经过B点时的加速度一定为零

D．该粒子在B点的电势能小于在A点的电势能图8

突破训练6[等势面与运动轨迹]图5中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷．一带电粒子以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨

迹，a、b、c三点是实线与虚线的交点．则该粒子()

A．带负电

B．在c点受力最大

C．在b点的电势能大于在c点的电势能

D．由a点到b点的动能变化量大于由b点到c点的动能变化量图9

例5如图9所示，虚线PQ、MN间存在如图所示的水平匀强电场，一带电粒子

图10

质量为m＝2.0×10－11kg、电荷量为q＝＋1.0×10－5C，从a点由静止开始经电压为U＝100V 的电场加速后，垂直于匀强电场方向进入匀强电场中，从虚线MN上的某点b(图中未画出)

离开匀强电场时速度与电场方向成30°角．已知PQ、MN间距离为20cm，带电粒子的重力忽略不计．求：

(1)带电粒子刚进入匀强电场时的速度v1；

(2)匀强电场的场强大小；

(3)ab两点间的电势差．

突破训练7

[电场中带电粒子的能量问题]两个带等量正电的点电荷，固定在图10中P、Q两点，MN 为PQ连线的中垂线，交PQ于O点，A为MN上的一点．一带负电的试探电荷q，从A点由静止释放，只在静电力作用下运动，取无限远处的电势为零，则()

图10

A．q由A向O的运动是匀加速直线运动

B．q由A向O运动的过程电势能逐渐减小

C．q运动到O点时的动能最大

D．q运动到O点时电势能为零

突破训练8[电场中功能关系问题]如图11所示，竖直向上的匀强电场中，绝缘轻质弹簧竖直立于水平地面上，上面放一质量为m的带正电小球，小球与弹簧不连接，施加外力F 将小球向

图11

下压至某位置静止．现撤去F，小球从静止开始运动到离开弹簧的过程中，重力、电场力对小球所做的功分别为W1和W2，小球离开弹簧时速度为v，不计空气阻力，则上述过程中()

A．小球与弹簧组成的系统机械能守恒B．小球的重力势能增加－W1

C．小球的机械能增加W1＋1

2mv

2

D．小球的电势能减少W2

专题小结

1．解答力电综合问题的一般思路

2．带电粒子运动轨迹类问题的解题技巧

(1)判断速度方向：带电粒子运动轨迹上某点的切线方向为该点处的速度方向．

(2)判断电场力(或场强)的方向：仅受电场力作用时，带电粒子所受电场力方向指向轨迹曲线的凹侧，再根据粒子的正负判断场强的方向．

(3)判断电场力做功的正负及电势能的增减：若电场力与速度方向成锐角，则电场力做正功，电势能减少；若电场力与速度方向成钝角，则电场力做负功，电势能增加．

3.电荷在电场中运动时，电场力做功将引起电势能与其他形式的能相互发生转化，电荷的机械能不再守恒．

4.几个功能关系：重力做功等于重力势能的变化，电场力做功等于电势能的变化，弹簧弹力做功等于弹性势能的变化，合外力做功等于动能的变化．

课后训练

(限时：30分钟)

一、单项选择题

1.如图1为真空中两点电荷A、B形成的电场中的一簇电场线，该电场线关于虚线对称，O 点为A、B点电荷连接的中点，a、b为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是()

图1

A．A、B可能带等量异号的正、负电荷

B．A、B可能带不等量的正电荷

C．a、b两点处无电场线，故其电场强度可能为零

D．同一试探电荷在a、b两点处所受电场力大小相等，方向一定相反

1.答案 D

解析根据题图中的电场线分布可知，A、B带等量的正电荷，选项A、B错误；a、b两点处虽然没有画电场线，但其电场强度一定不为零，选项C错误；由图可知，a、b两点处电场强度大小相等，方向相反，同一试探电荷在a、b两点处所受电场力大小相等，方向一定相反，选项D正确．

解析设绳子的拉力为F T，弹簧的弹力为F弹，对A物体进行受力分析，如图所示由平衡条

件有F T sin60°＝mg，F弹＝F T cos60°＋kq2

L2＋qE，选项D正确，A、B、C错误．

2．图3中边长为a的正三角形ABC的三个顶点分别固定三个点电荷＋q、＋q、－q，则该三角形中心O点处的场强为()

图3

A.6kq

a 2，方向由C 指向O B.6kq

a 2，方向由O 指向C C.3kq

a 2，方向由C 指向O

D.3kq

a 2，方向由O 指向C

2.答案 B

解析 每个点电荷在O 点处的场强大小都是E ＝kq 3a 3

2＝3kq

a 2，画出矢量叠加的示意图，

如图所示，由图可得O 点处的合场强为E 0＝2E ＝6kq

a 2，方向由O 指向C ，B 项正确．

3．如图5所示，一带电粒子以某速度进入水平向右的匀强电场中，在电场力作用下形成如图5所示的运动轨迹．M 和N 是轨迹上的两点，其中M 点是轨迹上的最右点．不计重力，下列表述正确的是( )

图5

A ．粒子在M 点的速率最大

B ．粒子所受电场力沿电场方向

C ．粒子在电场中的加速度不变

D ．粒子在电场中的电势能始终在增加 3.答案 C

解析 本题主要考查了带电粒子在电场中的运动．由题图轨迹可知由N 到M 电场力方向向左，做负功，电势能增大，动能减小，选项A 、B 错误；匀强电场所受电场力不变，加速度不变，选项C 正确；经过M 点后电场力做正功，电势能减小，选项D 错误． 一、单项选择题

5.(2012·海南·3)如图1所示，直线上有O 、a 、b 、c 四点，ab 间的距离与bc 间的距离相等．在O 点处有固定点电荷．已知b 点电势高于c 点电势．若一带负电荷的粒子仅在电场力作用下

先从c点运动到b点，再从b点运动到a点，则()

图1

A．两过程中电场力做的功相等

B．前一过程中电场力做的功大于后一过程中电场力做的功

C．前一过程中，粒子电势能不断减小

D．后一过程中，粒子动能不断减小

5.答案 C

解析由题意知O点点电荷带正电，其周围部分电场线分布如图所示，负电荷由c到b再到a的过程中，电场强度不断变大，又bc＝ab，故W ab＞W bc，故A、B项均错误；负电荷由c b a过程中，电场力做正功，电势能不断减小，动能不断增加，故C项正确，D 项错误．

6．如图3甲所示，Q1、Q2是两个固定的点电荷，其中Q1带正电．在它们连线的延长线上有a、b两点，一带正电的试探电荷以一定的初速度从a点沿直线经b点向远处运动，其v －t图象如图乙所示．若将带正电的试探电荷从Q1左侧由静止释放，则该试探电荷()

图3

A．一定做加速运动

B．可能先做加速运动，后做减速运动

C．电势能可能增加

D．运动过程中所在位置的电势逐渐升高

6.答案 A

解析根据试探电荷的速度—时间图象可知，b点的加速度为零，正电荷在ab上做减速运动，所以Q2带负电，且电荷量小于Q1所带的电荷量．因此在Q1左侧的合电场方向向左，若将带正电的试探电荷从Q1左侧由静止释放，则该试探电荷一定向左做加速运动，电场力

做正功，电势能减小，电势降低，A正确，B、C、D错误．

二、多项选择题

7．下列选项中，A球系在绝缘细线的下端，B球固定在绝缘平面上，它们带电的种类以及位置已在图中标出．A球能保持静止的是()

7.答案AD

二、多项选择题

9．如图5所示，在xOy坐标系中，x轴上关于y轴对称的A、C两点固定等量异种点电荷＋Q、－Q，B、D两点分别位于第二、四象限，ABCD为平行四边形，边BC、AD分别与y 轴交于E、F，以下说法正确的是()

图5

A．E、F两点电势相等

B．B、D两点电场强度相同

C．试探电荷＋q从B点移到D点，电势能增加

D．试探电荷＋q从B点移到E点和从F点移到D点，电场力对＋q做功相同

9.答案ABD

解析等量异种点电荷＋Q、－Q连线的垂直平分线是一条等势线，所以y轴是一条等势线，E、F的电势相等，故A正确．根据电场线的分布情况和对称性可知，B、D两点电场强度相同，故B正确．根据顺着电场线电势降低可知，B点的电势高于D点的电势，而正电荷在电势高处电势能大，所以试探电荷＋q从B点移到D点，电势能减小，故C错误．由以上分析可知，B、E间的电势差等于F、D间的电势差，根据电场力做功公式W＝qU得知＋q从B点移到E点和从F点移到D点，电场力对＋q做功相同，故D正确．

10．两个固定的等量异种点电荷所形成电场的等势面如图7中虚线所示，一带电粒子以某一

速度从图中a点进入电场，其运动轨迹为图中实线所示，若粒子只受静电力作用，则下列关于带电粒子的判断正确的是

图7

A．带正电

B．速度先增大后减小

C．电势能先增大后减小

D．经过b点和d点时的速度大小相同

10.答案CD

解析根据粒子的运动轨迹及电场线分布可知，粒子带负电，选项A错误；粒子从a到c 到e的过程中电场力先做负功后做正功，速度先减小后增大，电势能先增大后减小，选项B 错误，C正确；因为b、d两点在同一等势面上，所以在b、d两点的电势能相同，所以粒子经过b点和d点时的速度大小相同，选项D正确．

11．如图9甲所示，真空中有一半径为R、电荷量为＋Q的均匀带电球体，以球心为坐标原点，沿半径方向建立x轴．理论分析表明，x轴上各点的场强随x变化关系如图乙所示，则()

图9

A．x2处场强和x1处的场强大小相等、方向相同

B．球内部的电场为匀强电场

C．x1、x2两点处的电势相同

D．假设将一个带正电的试探电荷沿x轴移动，则从x1移到R处电场力做的功大于从R移到x2处电场力做的功

11.答案AD

解析根据题图乙所示的x轴上各点的电场强度随x变化关系，x2处场强和x1处场强大小相

等、方向相同，球内部的电场为非匀强电场，选项A 正确，B 错误．易判断x 1点处的电势大于x 2点处的电势，选项C 错误．由电场力做功的公式及题图乙可知，假设将一个带正电的试探电荷沿x 轴移动，则从x 1移到R 处电场力做的功大于从R 移到x 2处电场力做的功，选项D 正确． 三、非选择题

12．如图10所示，质量为m 的小球A 放在绝缘斜面上，斜面的倾角为α.小球A 带正电，电荷量为q .在斜面上B 点处固定一个电荷量为Q 的正电荷，将小球A 由距B 点竖直高度为H 处无初速度释放．小球A 下滑过程中电荷量不变．不计A 与斜面间的摩擦，整个装置处在真空中．已知静电力常量k 和重力加速度g .

图10

(1)A 球刚释放时的加速度是多大；

(2)当A 球的动能最大时，求此时A 球与B 点的距离．

12.答案 (1)g sin α－kQq sin 2αmH 2 (2) kQq

mg sin α 解析 (1)根据牛顿第二定律mg sin α－F ＝ma

根据库仑定律：F ＝k Qq r 2，r ＝H

sin α

联立以上各式解得a ＝g sin α－kQq sin 2α

mH 2

.

(2)当A 球受到合力为零时，速度最大，即动能最大．设此时A 球与B 点间的距离为R ，则

mg sin α＝kQq R 2，解得R ＝kQq

mg sin α.

13．一根长为l 的丝线吊着一质量为m 、电荷量为q 的带电小球静止在水平向右的匀强电场中，如图11所示，丝线与竖直方向成37°角，现突然将该电场方向变为向下且大小不变，不考虑因电场的改变而带来的其他影响(重力加速度为g )，求：

图11

(1)匀强电场的电场强度的大小； (2)小球经过最低点时受到的拉力的大小．

13.答案 (1)3mg 4q (2)49

20mg

解析 (1)小球静止在电场

中受力如图所示，显然小球带正电，由平衡条件得： mg tan37°＝qE ， 故E ＝3mg 4q

.

(2)电场方向变成向下后(如图所示)，小球开始摆动做圆周运动，

重力、电场力对小球做正功．由动能定理得： 12

mv 2

＝(mg ＋qE )l (1－cos37°) 由圆周运动知识，在最低点时，

F T －(mg ＋qE )＝m v 2

l

解得F T ＝49

20

mg .

三、非选择题

14．在一个水平面上建立x 轴，在过原点O 垂直于x 轴的平面的右侧空间有一个匀强电场，场强大小E ＝6.0×105N/C ，方向与x 轴正方向相同．在O 处放一个电荷量q ＝－5.0×10－

8 C 、

质量m ＝1.0×10－

2 kg 的绝缘物块，物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.20，沿x 轴正方向给

物块一个初速度v 0＝2.0 m/s ，如图11所示，求物块最终停止时的位置．(g 取10m/s 2)

图11

14.答案 在O 点左侧距O 点0.2m 处

解析 物块先在电场中向右减速，设运动的位移为x 1，由动能定理得

－(qE ＋μmg )x 1＝0－1

2mv 20

，

所以x 1＝mv 20

2 qE ＋μmg

，

代入数据得x 1＝0.4m

可知，当物块向右运动0.4m 时速度减为零，因物块所受的静电力F ＝qE ＝0.03N ＞F f ＝μmg ＝0.02N ，所以物块将沿x 轴负方向加速，跨过O 点之后在摩擦力作用下减速，最终停止在O 点左侧某处，设该点距O 点距离为x 2，则对全过程由动能定理得

－μmg (2x 1＋x 2)＝0－12mv 2

0，

解得x 2＝0.2m.

15．如图12所示，在O 点放置一个正电荷，在过O 点的竖直平面内的A 点，自由释放一个带正电的小球，小球的质量为m 、电荷量为q .小球落下的轨迹如图中虚线所示，它与以O 为圆心、R 为半径的圆(图中实线表示)相交于B 、C 两点，O 、C 在同一水平线上，∠BOC ＝30°，A 距离OC 的竖直高度为h .若小球通过B 点的速度为v ，试求：

图12

(1)小球通过C 点的速度大小；

(2)小球由A 运动到C 的过程中电势能的增加量． 15.答案 (1)v 2＋gR

(2)mgh －12mv 2－1

2

mgR

解析 (1)因B 、C 两点电势相等，小球由B 到C 只有重力做功，由动能定理得：

mgR ·sin30°＝12mv 2C －12mv 2

得：v C ＝v 2＋gR .

(2)小球由A 运动到C 应用动能定理得： W AC ＋mgh ＝1

2mv 2C －0

得W AC ＝12mv 2C －mgh ＝12mv 2＋1

2mgR －mgh . 由电势能变化与电场力做功的关系得：

ΔE p ＝－W AC ＝mgh －12mv 2－1

2

mgR .