高三第一次联考数学(理)试题Word版含答案
江西省红色七校届高三第一次联考数学理科科试题
（分宜中学、会昌中学、莲花中学、南城一中、任弼时中学、瑞金一中、遂川中学）
命题人：会昌中学 徐流仁 分宜中学 谢平 莲花中学 周昔康
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.在右边Venn 图中，设全集,U =R 集合,A B 分别用椭圆内图形表示，若集合{}(){}
22,ln 1A x x x B x y x =<==-，则阴影部分图形表示的集合为 A ．{}
1x x ≤ B ．{}
1x x ≥ C ．{}
01x x <≤ D ．{}
12x x ≤<
2．已知复数2018
11?
?
? ??-+=i i zi （i 为虚数单位），则z 的虚部（ ）
A. 1
B. -1
C. i
D. -i 3．若
11
0a b
<<，则下列结论不正确的是 A ．22a b < B ．2ab b < C ．0a b +< D ．a b a b +>+ 4．已知，是两条不同直线, 是一个平面,则下列命题中正确的是( ) A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若
，
，则
5.在斜三角形ABC 中， tan tan tan 2tan tan tan A B C
A B C
++=??（ ）
A. 1
B.
1
2
C. 2
D. 3 6．下列命题中，正确的是（ ） A ．2
3cos sin ,000=
+∈?x x R x B. 已知x 服从正态分布()
20σ，N ，且()6.022-=≤
C. 已知a ，b 为实数，则0=+b a 的充要条件是
1-=b
a
D. 命题：“01,2>+-∈?x x R x ”的否定是“01,0200<+-∈?x x R x ”
7．观察数组： ()1,1,1--， ()1,2,2， ()3,4,12， ()5,8,40，…， (),,n n n a b c ，则n c 的值不可能为（ ）
A. 112
B. 278
C. 704
D. 1664
8．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学典籍，其中第七章“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有垣厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现用程序框图描述，如图所示，则输出结果=n （ ）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
9．已知函数()sin ()f x x x x R =∈, 先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短
到原来的
1
2
倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线π4
3
=x 对称， 则θ的最小值为（ ）
A. 6π
B. 3π
C. 512π
D. 23
π
10．已知F 为双曲线C ： 22
221x y a b
-=（0a >， 0b >）的右焦点， 1l ， 2l 为C 的两条
渐近线，点A 在1l 上，且1FA l ⊥，点B 在2l 上，且1FB l ，若4
5
FA FB =，则双曲线C 的离心率为（ ）
A 552 C.52或352 D. 52
511．如图，梯形ABCD 中， AB CD ， 2AB =，
4CD =， 5BC AD ==E 和F 分别为AD 与BC
的中点，对于常数λ，在梯形ABCD 的四条边上恰好有8个不同的点P ，使得PE PF λ?=成立，则实数λ的取值范围是（ ） A. 59,420??-
- ??? B. 511,44??
-- ???
C. 111,44??-
??? D. 9
1,204??-- ???
12．已知函数()ln(2)
x f x x
=
，关于x 的不等式()()20f x af x +>只有两个整数解，则实数a 的取值范围是
A ．1(,ln 2]3
B ． 1(ln 2,ln 6)3--
C ．1(ln 2,ln 6]3--
D ．1(ln 6,ln 2)3
- 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．设?
-=
π
)sin (cos dx x x a ，则二项式6)1(x
x a -
的展开式中含2x 项的系数为
__________．
14．设,x y 满足约束条件??
?
??≤≥+-≥-+30102x y x y x ，若z mx y =+的最小值为3-，则m 的值
为 .
15．设1x 、2x 、3x 、4x 为自然数1、2、3、4的一个全排列，且满足
123412346x x x x -+-+-+-=，则这样的排列有________个．
16．已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为2，当球的体积最小时，正六棱柱底面边长为 ．
三、解答题（17题10分，其余每题12分，共70分） 17．如图，在
中，已知点
在边
上，
，
，，.
（1）求的值； （2）求的长.
18．已知数列{}n a 满足
23
122
3
2222
n
n a a a a n n ++++
=+ (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；
(Ⅱ)若()12
n
n
n a b -=
，求数列{}n b 的前n 项和n S .
19．（本小题满分12分）
为了解患肺心病是否与性别有关，在某医院对入院者用简单随机抽样方法抽取50人进行调查，结果如下列联表:
（Ⅰ）是否有99.5%的把握认为入院者中患肺心病与性别有关？请说明理由； （Ⅱ）已知在患肺心病的10位女性中，有3位患胃病．现在从这10位女性中，随机选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；
附：
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706
3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++．
20．（本小题满分12分）
有一个侧面是正三角形的四棱锥P ABCD -如图（1），它的三视图如图（2）． （Ⅰ）证明：AC ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求平面PAB 与正三角形侧面所成二面角的余弦值．
2
()
P K k ≥k
21、已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率等于
2
1
，它的一个顶点恰好是抛物线y x 382
=的焦点。
（1）求椭圆C 的标准方程。
（2）已知点)0)(,2(),,2(>-t t Q t P 在椭圆C 上，点A 、B 是椭圆C 上不同于P 、Q 的两个动点，且满足：BPQ APQ ∠=∠。试问：直线AB 的斜率是否为定值？请说明理由。
22．已知函数()2
x
f x e ax bx =--．
（1）当0a >，0b =时，讨论函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数； （2）当b a =时，如果函数()f x 恰有两个不同的极值点1x ，2x ，证明：
()12
ln 22
x x a +<．
江西省红色七校2018届高三第一次联考数学理科答案一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-5 DADCB 6-10 BBBAD 11-12 DC
二、填空题(每小题5分，共20分)
13．192 14．
2
3
m=- 15．9 16
17．解:(1)在中, , ，
所以. ……………………
…(2分)
同理可得, . ………
…
…………………………(3分) 所以
.………(5分)
(2)在中,由正弦定理得, . ………(7分)
又,所以. ………………………………(8分) 又在中,由余弦定理得,
.……(10分)
18．(Ⅰ)1
2n
n
a n+
=?；（5分）
(Ⅱ)
()()1
3122
9
n
n
n
S
+
+-+
=-.（7分）
19. （Ⅰ）因为2
2
50(2015105)25253020K ?-?=???，所以2258.3333
K =≈，…………………………(2
分)
又7.7898.333<<10.828，且2(7.789)0.0050.5%P K ≥== ，………………………………(3分)
故，我们有99.5%的把握认为入院者中患肺心病是与性别有关系的．………………………(5分)
（Ⅱ）ξ的所有可能取值：0，1，2，3 ，
37310357
(0)12024C P C ξ====，1
2373
106321(1)12040
C C P C ξ?====，…………………………………（8分）
21373
10217(2)12040
C C P C ξ?====，3
33101
(3)120C P C ξ===，……………………………………（10分）
分布列如下：
则721719
012324404012010
E ξ=?+?+?
+?=．
………………………………………………
（12分）
20. （Ⅰ）由三视图可知，四棱锥P ABCD -中PA ⊥
平面ABCD ，…………………………
(1分)
同时，22
2BC AD CD ===，四边形ABCD 为直角梯形．……………………………………(2分)
过点A 作AG BC ⊥于G ，则1AG CD ==,1GC AD ==．
∴AC ==AB ，
∴222AC AB BC +=，故AC AB ⊥．……………………………………………………………(4分) ∵
PA ⊥平面ABCD ,AC ?平面ABCD ,∴
PA AC ⊥.…………………………………………(5分)
∵PA AB A =，∴AC ⊥平面
PAB ．……………………………………………………………(6分)
（Ⅱ）由三视图可知，四棱锥P ABCD -的正三角形侧面为面PBC ．………………………(7分)
PBC ?为正三角形，∴2PB BC ==．在Rt PAB ?
中，PA =
以A 为原点，,,AG AD AP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，
有(1,1,0),(1,1,0)P B C -．……………………………………………………(8分) 由（Ⅰ）知(1,1,0)AC =是平面PAB 的一条法向量．……………………………………………(9分)
向量(0,2,0),(1,1,BC PC ==，
设平面PBC 的法向量为(,,)x y z =n ，由0,0,
BC PC ??=???=??n n ，得n
的一组解=n ．……(10
分)
设平面ABP 与正三角形侧面PBC 所成二面角为θ，
则cos AC AC θ?==
n n
……………(12分)
21、
22．解：
（1）当0a >，0b =时，函数()f x 在区间()0,+∞上的零点的个数即方程2
x e ax =根的
个数．
由2
2x
x
e e ax a x
=?=， ………………………………(1
分)
令()()()()
()223222x x x
xe x e x e h x h x x x x --'=?==， …………………………(2分)
则()h x 在()0,2上单调递减，这时()()()
2,h x h ∈+∞；()h x 在()2,+∞上单调递增，这时
()()()2,h x h ∈+∞．
所以()2h 是()y h x =的极小值即最小值，即()2
24
e h =
所以函数()f x 在区间()0,+∞上零点的个数，讨论如下：
当20,4e a ??
∈ ???
时，有0个零点； …………………………(3分)
当2
4
e a =时，有1个零点； ………………………(4分)
当2,4e a ??
∈+∞ ???
时，有2个零点． ………………………(5分)
（2）由已知()2
x
f x e ax ax =--，∴()2x
f x e ax a '=--，
1x ，2x 是函数()f x 的两个不同极值点（不妨设12x x <），
∴0a >（若0a ≤时，()0f x '>，即()f x 是R 上的增函数，与已知矛盾），
且()10f x '=，()20f x '=．∴1120x
e ax a --=，2220x
e ax a --=……………(6分)
两式相减得：12
12
2x x e e a x x -=-， ……………………………(7分)
于是要证明()12ln 22x x a +<，即证明12
12212
x x
x x e e e x x +-<
-，两边同除以2x
e ， 即证12
122
12
1x x x x e e
x x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-，即证()12
1221210x x x x x x e e ----+>， 令12x x t -=，0t <．即证不等式2
10t t
te e -+>，当0t <时恒成立． ………(9分)
设()2
1t
t
t te e ?=-+，∴()22
2
1122t t t
t t t t e t e e e e
???'=+??-=+- ???
2
212t t t e e ??
??=--+?? ????
?．………(10分)
设()2
12t t
h t e =--，∴()221111222t t
h t e e ??'=-=- ???
，当0t <，()0h t '<，
()h t 单调递减，所以()()00h t h >=，即2
102t t e ??
-+> ???
，∴()0t ?'<，
∴()t ?在0t <时是减函数．∴()t ?在0t =处取得极小值()00?=． ∴()0t ?>，得证．∴()12ln 22
x x a +<． ………………………(12分)