五年级奥数整数裂项教师版

(1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3n n n =-??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4

n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+

【例 1】 1223344950?+?+?++?=_________

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】这是整数的裂项。裂项思想是：瞻前顾后,相互抵消。

设S ＝1223344950?+?+?++?

1×2×3＝1×2×3

2×3×3＝2×3×（4－1）＝2×3×4－1×2×3

3×4×3＝3×4×（5－2）＝3×4×5－2×3×4……

49×50×3＝49×50×（51－48）=49×50×51－48×49×50

3S ＝1×2×3＋2×3×3＋3×4×3＋…＋49×50×3＝49×50×51

S ＝49×50×51÷3＝41650

【答案】41650

【巩固】 1223344556677889910?+?+?+?+?+?+?+?+?=________

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】本题项数较少,可以直接将每一项乘积都计算出来再计算它们的和,但是对于项数较

多的情况显然不能这样进行计算．对于项数较多的情况,可以进行如下变形：

()()()()()()()()()12111111211333

n n n n n n n n n n n n n n ++--++==++--+, 所以原式1111112323412391011891033333????=???+???-???++???-??? ? ?????

1910113303

=???= 另解：由于()21n n n n +=+,所以

原式()()()222112299=++++++

()()222129129=++++++

+119101991062

=???+??330= 采用此种方法也可以得到()()()112231123n n n n n ?+?++?+=++这一结论．例题精讲知识点拨

整数裂项

【答案】330

【例 2】 14477104952?+?+?++?=_________

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】设S ＝14477104952?+?+?++?

1×4×9＝1×4×7＋1×4×2

4×7×9＝4×7×（10－1）＝4×7×10－1×4×7

7×10×9＝7×10×（13－4）＝7×10×13－4×7×10

………….

49×52×9＝49×52×（55－46）＝49×52×55－46×49×52

9S ＝49×52×55＋1×4×2

S =（49×52×55＋1×4×2）÷9＝15572

【答案】15572

【例 3】 12323434591011??+??+??++??=

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】 ()()()()()()()()111212311244

n n n n n n n n n n n ++=+++--++,所以, 原式

11111123423451234910111289101144444????=????+????-????++????-???? ? ?????

191011124

=????2970= 从中还可以看

出,()()()()()1123234345121234

n n n n n n n ??+??+??++?+?+=+++ 【答案】2970

【例 4】计算：135357171921??+??++??= ．

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】可以进行整数裂项．

357913573578???-?????=

, 5791135795798

???-?????=, 17192123151719211719218???-?????=, 所以原式35791357171921231517192113588???-??????-???=??+

++1719212313571358???-???=??+171921231358

???+??=19503= 也可适用公式．

原式()()()()()()323325255219219192=-??++-??+++-??+

()()()22222232352519219=-?+-?++-?

()()333351943519=+++-?+++

()()3333135194135193=++++-?+++++

而()()333333333333135191232024620++++=++++-++++ 22221120218101144

=??-???19900=, 21351910100++++==,所以原式1990041003=-?+19503=．

【答案】19503

【巩固】计算：101622162228707682768288??+??++??+??

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】可进行整数裂项：

原式1016222841016221622283410162228=2424???-??????-???????+++ ? ????? 707682886470768276828894707682882424???-??????-???????+ ? ????? 1016222841016221622283410162228=24242424

????????????-+-++ 7076828864707682768288947076828824242424

????????????-+- 768288944101622=2424

??????- 768288944101622=24

???-??? =2147376

【答案】2147376

【巩固】计算：123434565678979899100???+???+???++???=

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】一般的整数裂项各项之间都是连续的,本题中各项之间是断开的,为此可以将中间缺

少的项补上,再进行计算．

记原式为A ,再设23454567678996979899B =???+???+???++???,

则123423453456979899100A B +=???+???+???++???

197989910010119010098805

=?????=, 现在知道A 与B 的和了,如果能再求出A 与B 的差,那么A 、B 的值就都可以求出来了．

12342345345645675678979899100A B -=???-???+???-???+???++???

4(123345567...979899)=???+??+??++??

222242(21)4(41)6(61)98(981)??=??-+?-+?-++?-??

33334(24698)4(24698)=?++++-?++++

221148495041004942

=????-???48010200= 所以,()1901009880480102002974510040A =+÷=．

【答案】974510040

【例 5】 2004200320032002200220012001200021?-?+?-?++?

【考点】整数裂项【难度】3星【题型】计算

【解析】原式20032200123212=?+?++?+?

()213520012003=?+++++

()21200310022=?+?÷

2008008=

其中也可以直接根据公式()2135721n n +++++-=得出

2135200120031002+++++=

【答案】2008008

【例 6】 11!22!33!20082008!?+?+?++?=

【考点】整数裂项【难度】4星【题型】计算

【解析】观察发现22!221(31)213!2!?=??=-??=-,

33!3321(41)3214!3!?=???=-???=-,……

20082008!20082008200721(20091)20082007212009!2008!

?=?????=-?????=-, 可见,原式1!(2!1!)(3!2!)(2009!2008!)=+-+-++- 2009!=

【答案】2009!

【例 7】计算：1234569910023459899

?+?+?++?=?+?++? 【考点】整数裂项【难度】5星【题型】计算

【解析】设原式=B A

122334989999100A B +=?+?+?++?+?

()()()11230122341239910010198991003=??-??+??-??++??-??????

1991001013333003

=???= 1232992501005000B A -=?+?++?=?=

3333005000338333330050003283

B A +==- 【答案】33833283