小波分析要点整理
小波分析的要点:
1.目的
小波分析是一个强有力的统计工具,最早使用在信号处理与分析领域中,通过对声音、图像、地震等信号进行降噪、重建、提取,从而确定不同信号的震动周期出现在哪个时间或频域上。现在广泛的应用于很多领域。
在地学中,各种气象因子、水文过程、以及生态系统与大气之间的物质交换过程都可以看作是随时间有周期性变化的信号,因此小波分析方法同样适用于地学领域,从而对各种地学过程复杂的时间格局进行分析。如,温度的日变化周期、年变化周期出现在哪些事件段上,在近100年中,厄尔尼诺-拉尼娜现象的变化周期及其出现的时间段,等等。
2.方法
小波变换具有多分辨率分析的特点,并且在时频两域都具有表征信号局部特征的能力。小波变换通过将时间系列分解到时间频率域内,从而得出时间系列的显著的波动模式,即周期变化动态,以及周期变化动态的时间格局(Torrence and Compo, 1998)。小波(Wavelet),即小区域的波,是一种特殊的、长度有限,平均值为零的波形。它有两个特点:一是“小”,二是具有正负交替的“波动性”,即直流分量为零。小波分析是时间(空间)频率的局部化分析,它通过伸缩平移运算对信号(函数)逐步进行多尺度细化,能自动适应时频信号分析的要求,可聚焦到信号的任意细节。小波分析将信号分解成一系列小波函数的叠加,而这些小波函数都是由一个母小波(mother wavelet)函数经过平移与尺度伸缩得来的。用这种不规则的小波函数可以逼近那些非稳态信号中尖锐变化的部分,也可以去逼近离散不连续具有局部特性的信号,从而更为真实的反映原信号在某一时间尺度上的变化。小波分析这种局部分析的特性使其成为对非稳态、不连续时间序列进行量化的一个有效工具(Stoy et al., 2005)。小波是一个具有零均值且可以在频率域与时间域内进行局部化的数学函数(Grinsted et al., 2004)。一个小波被称为母小波(mother wavelet),母小波可沿着时间指数经过平移与尺度伸缩得到一系列子小波。子小波可以通过尺度(s,频率的反函数)函数和时间(n)位置或平移来描述。利用一系列子小波,一个信号可以在不同的时间尺度上进行计算并显示出详细的特征尺度。拉伸更大的小波窗口,使其宽度更大便可以分析时间系列中波动较大的部分并捕捉大尺度(低频)事件的特征。相反,压缩较小的窗口将包含小尺度(高频)的事件信息。当信号被子小波相乘,被s与n唯一的表达,我们可以计算出信号在时间频率域一个具体位置的系数。如果信号在时间n上的谱成分可以与小波s比较,那么计算的小波系数具有相对较大的值。在其它n与s的组合(如其它的子小波)上都进行这样的计算,那么将会产生一系列系数(小波变化)来表达信号在时间频率域内的分解。通过这样的变化便可得到时间系列的波动模式(周期变化模式)以及这些模式随时间的变化(Furon et al., 2008; Jevrejeva et al., 2003)。
小波变化可以分为连续小波变化(the Continuous Wavelet Transform, CWT)与离散小波变换(Discrete Wavelet Transform, DWT)。离散小波变化DWT是数据的紧凑表示,长用于降噪与数据压缩。连续小波变化CWT更适合于信号特征的提取(Grinsted et al., 2004)。CWT
作为时间系列间歇式波动特征提取的工具被广泛的应用的地球物理学研究中(Grinsted et al., 2004; Furon et al., 2008)。
(1)连续小波变换CWT
可以将具有等时间步长δt 的离散时间系列x n (n=1,…, N)的连续小波变换定义为小波函数ψ0尺度化以及转换下的x n 的卷积:
∑-=??????-=10'*
'')()(N n n X
n s t n n x s t s W δψδ (1) 式中*表示共轭复数,N 是时间系列的总数据个数,(δt/s )1/2是一个用于小波函数标准化的因子从而使得小波函数在每个小波尺度s 上具有单位能量。通过转换小波尺度s 并沿着时间指数n 进行局部化,最终可得到一幅展示时间系列在某一尺度上波动特征及其随时间变化的图谱,即小波功率谱(Torrence and Compo, 1998; Torrence and Webster, 1999; Grinsted et al., 2004)。
对一个时间系列进行小波转换时,母小波的选择显得尤为重要,Farge (1992)曾经讨论过母小波选择时需要考虑的因素,例如正交与非正交、负值与实值、母小波的宽度与图形等等。正交小波函数一般用于离散小波变换,非正交小波函数即可用于离散小波变换也可用于连续小波变换(Torrence and Compo, 1998)。通常在对时间系列进行分析时,希望能够得到平滑连续的小波振幅,因此非正交小波函数较为合适。此外,要得到时间系列振幅和相位两方面的信息,就要选择复值小波,因为复值小波具有虚部,可以对相位进行很好的表达(Torrence and Compo, 1998)。Morlet 小波不但具有非正交性而且还是由Gaussian 调节的指数复值小波。
2/4/1020)(t t i e e t --=ωπψ (2)
式中t 为时间,ω0是无量纲频率。当ω0=6,小波尺度s 与傅里叶周期(period )基本相等(λ, λ = 1.03s )(Torrence and Webster, 1999),所以尺度项与周期项可以相互替代。由此可见,Morlet 小波在时间与频率的局部化之间有着很好的平衡(Grinsted et al., 2004)。此外,Morlet 小波中还包含着更多的振动信息,小波功率可以将正、负峰值包含在一个宽峰之中(Torrence and Compo, 1998)。
(2)小波功率谱
为使计算更为快捷,公式5-1的卷积在傅里叶域内执行(Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004)。2
)(s W X n 定义为小波功率谱(wavelet power spectrum),该功率谱表达了时间系列在给定小波尺度和时间域内的波动量级(Lafrenière and Sharp, 2003)。由于我们采用的Morlet 母小波为复值小波,因此)(s W X x 也为复数,其复值部分可以解释为局部相位(Torrence and Compo, 1998)。将小波功率谱在某一周期上进行时间平均,我们可以得到小
波全谱(global wavelet spectrum ),
∑-==12
2)(1)(N o n n s W N s W (3)
小波全谱能够表明时间系列真实功率谱的无偏、一致估计(Torrence and Compo, 1998)。由于小波全谱可以显示出背景谱量度,所以局部小波谱的峰值可以得到验证。因为该特性,通过小波全谱图中可以清晰的辨别时间系列的周期波动特征及其强度。
(3)小波功率谱边缘效应及影响锥
由于小波变换假设数据是循环的,所以当我们处理有限长度的时间系列时,在小波功率谱中会出现边缘效应,即在功率谱的起始及末端部分出现误差。由于该原因,需要我们在时间系列的末尾补零从而使得分析的时间系列的总长度N 大于2m 而小于2m+1。但是,当我们采取这样的措施时会在小波功率图谱边缘引起端点不连续以及谱振幅下降的现象。
在这种情况下,需要明确一个概念,即影响锥(Cone of Influence, COI ),影响锥COI 表示小波谱区域以及相应的边缘效应。在COI 的边缘小波谱值会下降e -2(Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004; Furon et al., 2008)。
(4)小波功率谱的显著性检验
小波功率谱的统计显著性可以对照一个原假设进行评价,该原假设为假设信号由一个给定背景功率谱(P k )的稳定过程产生,通常背景功率谱为白噪声或红噪声(Torrence and Compo, 1998; Lafrenière and Sharp, 2003)。由于许多地球物理时间系列具有红噪声特征(即方差随着尺度的增加或频率的下降而增加),所以常采用红噪声作为背景谱对小波谱进行检验。红噪声过程可以很好的由一阶自回归过程(AR1)来模拟(Torrence and Compo, 1998; Grinsted et al., 2004)。一个由lag-1自相关α处理的AR1的傅里叶功率谱可以定义为:
22211k i k e P παα---=
(4)
式中k 为傅里叶频率指数。 通常在研究中,每个尺度上用COI 以外的值以5%的显著水平进行估计。
(5)尺度选择
在进行小波变换时,还需要选择一系列尺度s 。本研究使用非正交小波变换,我们可以使用任意一组的尺度来构建较完整的图像。一系列尺度可以用2的分数幂来表达:
j j j s s δ20=,j = 0, 1,…, J (5)
)/(log 021s t N j J δδ-= (6)
式中,s0为可分辨的最小尺度,J为确定的最大尺度。s0应该被选择恰当以便使相等的傅里叶周期近似于2δt。一个足够小的δj的选择依赖于小波方程谱空间的宽度。
3.具体步骤
(1)数据预处理
数据时间系列必须是连续等时间步长。进行标准化处理
(2)母小波选择
可选择Mexican hat 小波,或Morlet小波。通常在对时间系列进行分析时,希望能够得到平滑连续的小波振幅,因此非正交小波函数较为合适。此外,要得到时间系列振幅和相位两方面的信息,就要选择复值小波,因为复值小波具有虚部,可以对相位进行很好的表达(Torrence and Compo, 1998)。Morlet小波不但具有非正交性而且还是由Gaussian调节的指数复值小波。(3)尺度选择
如时间序列为47年的年降水数据,时间系列长度N=47,为了减小功率谱的边缘效应,在进行交互小波变换时选择26个数据。时间步长dt=1,即一年一个数据。δj可选择0.125。(4)显著性检验
由于许多地球物理时间系列具有红噪声特征(即方差随着尺度的增加或频率的下降而增加),所以常采用红噪声作为背景谱对小波谱进行检验(在程序中lag1=0.72)。在计算中,每个尺度上用COI以外的值以5%的显著水平进行估计。
参考文献
1.Farge M. Wavelet transforms and their applications to turbulence. Annual Review of Fluid
Mechanics. 1992. 24: 395-457.
2.Furon A, Wagner Riddle C, Smith C R, et al. Wavelet analysis of wintertime and spring thaw
CO2 and N2O fluxes from agricultural fields. Agricultural and Forest Meteorology. 2008. 148, 1305-1317.
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coherence to geophysical time series. Nonlinear Processes in Geophysics. 2004. 11: 561-566.
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https://www.360docs.net/doc/7e8671909.html,frenière M, Sharp M. Wavelet analysis of inter-annual variability in the runoff regimes of
glacial and nival stream catchments, Bow Lake, Alberta. Hydrological Process. 2003. 17, 1093-1118.
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hourly to inter-annual time scale at adjacent pine and hardwood forests: a wavelet analysis.
Tree Physiology. 2005. 25: 887-902.
7.Torrence C, Compo G P. A practical guide to wavelet analysis. Bulletin of the American
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8.Torrence C, Webster P J. Interdecadal Changes in the ENSO-Monsoon system. 1999. Journal
of climate. 1999. 12: 2679-2690.
小波的几个术语及常见的小波基介绍
小波的几个术语及常见的小波基介绍 本篇是这段时间学习小波变换的一个收尾,了解一下常见的小波函数,混个脸熟,知道一下常见的几个术语,有个印象即可,这里就当是先作一个备忘录,以后若有需要再深入研究。 一、小波基选择标准 小波变换不同于傅里叶变换,根据小波母函数的不同,小波变换的结果也不尽相同。现实中到底选择使用哪一种小波的标准一般有以下几点: 1、支撑长度 小波函数Ψ(t)、Ψ(ω)、尺度函数φ(t)和φ(ω)的支撑区间,是当时间或频率趋向于无穷大时,Ψ(t)、Ψ(ω)、φ(t)和φ(ω)从一个有限值收敛到0的长度。支撑长度越长,一般需要耗费更多的计算时间,且产生更多高幅值的小波系数。大部分应用选择支撑长度为5~9之间的小波,因为支撑长度太长会产生边界问题,支撑长度太短消失矩太低,不利于信号能量的集中。 这里常常见到“紧支撑”的概念,通俗来讲,对于函数f(x),如果自变量x在0附近的取值范围内,f(x)能取到值;而在此之外,f(x)取值为0,那么这个函数f(x)就是紧支撑函数,而这个0附近的取值范围就叫做紧支撑集。总结为一句话就是“除在一个很小的区域外,函数为零,即函数有速降性”。 2、对称性 具有对称性的小波,在图像处理中可以很有效地避免相位畸变,因为该小波对应的滤波器具有线性相位的特点。 3、消失矩 在实际中,对基本小波往往不仅要求满足容许条件,对还要施加所谓的消失矩(Vanishing Moments)条件,使尽量多的小波系数为零或者产生尽量少的非零小波系数,这样有利于数据压缩和消除噪声。消失矩越大,就使更多的小波系数为零。但在一般情况下,消失矩越高,支撑长度也越长。所以在支撑长度和消失矩上,我们必须要折衷处理。
小波理论
小波变换 一、小波变换的基本原理及性质 1、小波是什么? 小波可以简单的描述为一种函数,这种函数在有限时间范围内变化,并且平均值为0。这种定性的描述意味着小波具有两种性质:A 、具有有限的持续时间和突变的频率和振幅;B 、在有限时间范围内平均值为0。 2、小波的“容许”条件 用一种数学的语言来定义小波,即满足“容许”条件的一种函数,“容许”条件非常重要,它限定了小波变换的可逆性。 小波本身是紧支撑的,即只有小的局部非零定义域,在窗口之外函数为零;本身是振荡的,具有波的性质,并且完全不含有直流趋势成分,即满足 3、信号的信息表示 时域表示:信号随时间变化的规律,信息包括均值、方差、峰度以及峭陡等,更精细的表示就是概率密度分布(工程上常常采用其分布参数)。 频域表示:信号在各个频率上的能量分布,信息为频率和谱值(频谱或功率谱),为了精确恢复原信号,需要加上相位信息(相位谱),典型的工具为FT 。 时频表示:时间和频率联合表示的一种信号表示方法,信息为瞬时频率、瞬时能量谱 信号处理中,对不同信号要区别对待,以选择哪种或者哪几种信号表示方法 ) ()(ωψ??x ∞ <=?∞ ∞-ωω ωψ?d C 2 ) (0 )()0(==?∞ ∞ -dx x ?ψ
平稳信号 非平稳信号 不满足平稳性条件至少是宽平稳条件的信号。 信号的时域表示和频域表示只适用于平稳信号,对于非平稳信号而言,在时间域各种时间统计量会随着时间的变化而变化,失去统计意义;而在频率域,由于非平稳信号频谱结构随时间的变化而变化导致谱值失去意义。 时频表示主要目的在于实现对非平稳信号的分析,同样的可以应用于平稳信号的分析。 4、为什么选择小波 小波提供了一种非平稳信号的时间-尺度分析手段,不同于FT 方法,与STFT 方法比较具有更为明显的优势。 ) ,,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n t t t x x x f t t t x x x f [][][] ??? ????∞<-=====?+∞ ∞-)(),()()(),()()(21 22121t x E t t R t x t x E t t R m dx x xf t x E x x x ττ时间幅度 小波变换 时间 尺度
小波变换的基本原理
10.2小波变换的基本原理 地质雷达的电磁波信号和地震波信号都是非平稳随机时变信号,长期以来,因非平稳信号处理的理论不健全,只好将其作为平稳信号来处理,其处理结果当然不满意。近年来,随着科学技术的发展和进步,国内外学术界已将注意力转向非平稳随机信号分析与处理的研究上,其中非平稳随机信号的时频表示法是研究热点之一。在这一研究中,戈勃展开、小波变换、维格纳分布与广义双线性时频分布等理论发展起来,这些方法既可以处理平稳信号过程,也可以处理非平稳随机时变信号。 小波变换是上世纪80年代中后期逐渐发展起来的一种数学分析方法。1984年法国科学家J.M OLET在分析地震波的局部特性时首先使用了小波这一术语,并用小波变换对地震信号进行处理。小波术语的含义是指一组衰减震动的波形,其振幅正负相间变化,平均值为零,是具有一定的带宽和中心频率波组。小波变换是用伸缩和平移小波形成的小波基来分解(变换)或重构(反变换)时变信号的过程。不同的小波具有不同带宽和中心频率,同一小波集中的带宽与中心频率的比是不变的,小波变换是一系列的带通滤波响应。它的数学过程与傅立叶分析是相似的,只是在傅立叶分析中的基函数是单频的调和函数,而小波分析中的基函数是小波,是一可变带宽内调和函数的组合。 小波变换在时域和频域都具有很好的局部化性质,较好地解决了时域和频域分辨率的矛盾,对于信号的低频成分采用宽时窗,对高频成分采用窄时窗。因而,小波分析特别适合处理非平稳时变信号,在语音分析和图象处理中有广泛的应用,在地震、雷达资料处理中将有良好的应用前景。 下边就小波分析的基本原理、主要作用及在雷达资料处理中的应用三方面作以介绍。 10.2.1小波分析的基本原理 小波函数的数学表达
小波工具箱常用函数
1.Cwt :一维连续小波变换 格式:coefs=cwt(s,scales,'wavename') coefs=cwt(s,scales,'wavename','plot') scales:尺度向量,可以为离散值,表示为[a1,a2,a3……],也可为连续值,表示为[amin:step:amax] 2.dwt:单尺度一维离散小波变换 格式:[ca,cd]=dwt(x,'wavename') [ca,cd]=dwt(x,lo-d,hi-d) 先利用小波滤波器指令wfilters求取分解用低通滤波器lo-d和高通滤波器hi-d。[lo-d,hi-d]=wfilters('haar','d');[ca,cd]=dwt(s,lo-d,hi-d) 3.idwt:单尺度一维离散小波逆变换 4.wfilters 格式:[lo-d,hi-d,lo-r,hi-r]=wfilters('wname') [f1,f2]=wfilters('wname','type') type=d(分解滤波器)、R(重构滤波器)、l(低通滤波器)、h(高通滤波器) 5.dwtmode 离散小波变换模式 格式:dwtmode dwtmode('mode') mode:zdp补零模式,sym对称延拓模式,spd平滑模式 6.wavedec多尺度一维小波分解 格式:[c,l]=wavedec(x,n,'wname') [c,l]=wavedec(x,n,lo-d,hi-d)
7.appcoef 提取一维小波变换低频系数 格式:A=appcoef(c,l,'wavename',N) A=appcoef(c,l,lo-d,hi-d,N) N是尺度,可省略例: loadleleccum; s=leleccum(1:2000) subplot(421) plot(s); title('原始信号') [c,l]=wavedec(s,3,'db1'); ca1=appcoef(c,l,'db1',1); subplot(445) plot(ca1); ylabel('ca1'); ca2=appcoef(c,l,'db1',2); subplot(4,8,17) plot(ca2); ylabel('ca2'); 8.detcoef 提取一维小波变换高频系数 格式:d=detcoef(c,l,N),N尺度的高频系数 d=detcoef(c,l,) 最后一尺度的高频系数 例:
小波分析的发展历程
小波分析的发展历程 一、小波分析 1910年,Haar提出了L2(R)中第一个小波规范正交基,即Haar正交基。 (1)操作过程:Haar正交基是以一个简单的二值函数作为母小波经平移和伸缩而形成的。 (2)优点:Haar小波变换具有最优的时(空)域分辨率。 (3)缺点:Haar小波基是非连续函数,因而Haar小波变换的频域分辨率非常差。 1936年,Littlewood和Paley对傅立叶级数建立了二进制频率分量分组理论,(即L-P理论:按二进制频率成分分组,其傅立叶变换的相位并不影响函数的大小和形状),这是多尺度分析思想的最早起源。 1952年~1962年,Calderon等人将L-P理论推广到高维,建立了奇异积分算子理论。 1965年,Calderon发现了著名的再生公式,给出了抛物型空间上H1的原子分解。 1974年,Coifman实现了对一维空间和高维空间的原子分解。 1976年,Peetre在用L-P理论对Besov空间进行统一描述的同时,给出了Besov空间的一组基。1981年,Stromberg引入了Sobolev空间H p的正交基,对Haar正交基进行了改造,证明了小波函数的存在性。 1981年,法国地球物理学家Morlet提出了小波的正式概念。 1985年,法国数学家Meyer提出了连续小波的容许性条件及其重构公式。 1986年,Meyer在证明不可能存在同时在时频域都具有一定正则性(即光滑性)的正交小波基时,意外发现具有一定衰减性的光滑性函数以构造L2(R)的规范正交基(即Meyer基),从而证明了正交小波系的存在。 1984年~1988年,Meyer、Battle和Lemarie分别给出了具有快速衰减特性的小波基函数:Meyer小波、Battle-Lemarie样条小波。 1987年,Mallat将计算机视觉领域中的多尺度分析思想引入到小波分析中,提出了多分辨率分析的概念,统一了在此前的所有具体正交小波的构造,给出了构造正交小波基的一般方法,提出了快速小波变换(即Mallat算法)。它标志着第一代小波的开始? (1)操作过程:先滤波,再进行抽二采样。 (2)优点:Mallat算法在小波分析中的地位相当于FFT在经典傅立叶分析中的地位。它是小波分析从纯理论走向实际应用。 (3)缺点:以傅立叶变换为基础,直接在时(空)域中设计滤波器比较困难,并且计算量大。 1988年,Daubechies基于多项式方式构造出具有有限支集的光滑正交小波基(即Daubechies基)。 Chui和中国学者王建忠基于样条函数构造出单正交小波函数,并提出了具有最优局部化性能的尺度函数和小波函数的一般性构造方法。1988年,Daubechies在美国NSF/CBMS主办的小波专题研讨会上进行了10次演讲,引起了广大数学家、物理学家、工程师以及企业家的重视,将小波理论发展与实际应用推向了一个高潮。 1992年,Daubechies对这些演讲内容进行了总结和扩展形成了小波领域的经典著作——小波十讲《Ten Lectures on Wavelet》。 1992年3月,国际权威杂志《IEEE Transactions on Information Theory》专门出版了“小波分析及其应用”专刊,全面介绍了此前的小波分析理论和应用及其在不同学科领域的发展,从此小波分析开始进入了全面应用阶段。 1992年,Kovacevic和Vetterli提出了双正交小波的概念。 1992年,Cohen、Daubechies和Feauveau构造出具有对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质的双正交小波。 (1)操作过程:利用两组互为对偶的尺度函数和小波函数实现函数的分解与重构。 (2)优点:具有正交小波无法同时满足的对称性、紧支撑、消失矩、正则性等性质。
小波分解与重构原理
“小波工程应用”实验报告 一维信号离散小波分解与重构(去噪)的VC实现 一、目的 在理解了离散小波变换的基本原理和算法的基础上,通过设计VC程序对简单的一维信号在加上了高斯白噪声之后进行Daubechies小波、Morlet小波和Haar小波变换,从而得到小波分解系数;再通过改变分解得到的各层高频系数进行信号的小波重构达到消噪的目的。在这一程序实现的过程中能直观地理解信号小波分解重构的过程和在信号消噪中的重要作用,以及在对各层高频系数进行权重处理时系数的选取对信号消噪效果的影响。 二、基本原理 1、信号的小波分解与重构原理 在离散小波变换(DWT)中,我们在空间上表示信号,也就是说对于每一个在上表示的信号能用在上面提到的两个空间中的基函数来表示。 Where and are the coefficients of the scale metric space (j-1) which are obtained after the Decomposing the coefficient of the scale metric space j . Analogously we could reconstruct the by and . 我们在尺度度量空间对系数进行分解得到在尺度度量空间的两个系数 和。同样的,我们也能从两个系数和通过重构得到系数。
如上图中的分解与重构我们可以通过一定的滤波器组来实现(也就是小波变换算法)。当小波和尺度在空间内是正交的,我们就可以用内积公式计算得到系数和: 下面是内积计算方法的具体公式: 具体的系数计算过程如下: 对于上面的小波分解过程,通过分别设计高通滤波器和低通滤波器两组滤波器的系数(数组g[]和h[])即可实现,特别是对于离散小波变换,程序算法相对简单。而重构也只是分解的逆过程,重构算法和分解的算法是相对应而互逆的。 2、小波去噪原理
小波变换的几个典型应用
第六章小波变换的几个典型应用 6.1 小波变换与信号处理 小波变换作为信号处理的一种手段,逐渐被越来越多领域的理论工作者和工程技术人员所重视和应用,并在许多应用中取得了显著的效果。同传统的处理方法相比,小波变换取得了质的飞跃,在信号处理方面具有更大的优势。比如小波变换可以用于电力负载信号的分析与处理,用于语音信号的分析、变换和综合,还可以检测噪声中的未知瞬态信号。本部分将举例说明。 6.1.1 小波变换在信号分析中的应用 [例6-1] 以含躁的三角波与正弦波的组合信号为例具体说如何利用小波分析来分析信号。已知信号的表达式为 应用db5小波对该信号进行7层分解。xiaobo0601.m 图6-1含躁的三角波与正弦波混合信号波形 分析: (1)在图6-2中,逼近信号a7是一个三角波。 (2)在图6-3中细节信号d1和d2是与噪声相关的,而d3(特别是d4)与正弦信号相关。 图6-2 小波分解后各层逼近信号 图6-3 小波分解后各层细节信号 6.1.2 小波变换在信号降躁和压缩中的应用 一、信号降躁 1.工程中,有用信号一般是一些比较平稳的信号,噪声通常表现为高频信号。2.消躁处理的方法:首先对信号进行小波分解,由于噪声信号多包含在具有较高频率的细节中,我们可以利用门限、阈值等形式对分解所得的小波系数进行处理,然后对信号进行小波重构即可达到对信号的消躁目的。 小波分析进行消躁处理的3种方法: (1)默认阈值消躁处理。该方法利用ddencmp生成信号的默认阈值,然后利用wdencmp函数进行消躁处理。 (2)给定阈值消躁处理。在实际的消躁处理过程中,阈值往往可通过经验公式获得,且这种阈值比默认阈值的可信度高。在进行阈值量化处理时可利用函数wthresh。 (3)强制消躁处理。该方法时将小波分解结构中的高频系数全部置为0,即滤掉所有高频部分,然后对信号进行小波重构。方法简单,消躁后信号比较平滑,但易丢失信号中的有用成分。 小波阈值去噪方法是目前应用最为广泛的小波去噪方法之一。 3.信号降噪的准则: 1.光滑性:在大部分情况下,降噪后的信号应该至少和原信号具有同等的光滑性。
小波变换的原理及matlab仿真程序讲解学习
小波变换的原理及m a t l a b仿真程序
基于小波变换的信号降噪研究 2 小波分析基本理论 设Ψ(t)∈L 2( R) ( L 2( R) 表示平方可积的实数空间,即能量有限的信号空间) , 其傅立叶变换为Ψ(t)。当Ψ(t)满足条件[4,7]: 2 () R t dw w C ψψ =<∞? (1) 时,我们称Ψ(t)为一个基本小波或母小波,将母小波函数Ψ(t)经伸缩和平移后,就可以得到一个小波序列: ,()( )a b t b t a ψ -= ,,0a b R a ∈≠ (2) 其中a 为伸缩因子,b 为平移因子。 对于任意的函数f(t)∈L 2( R)的连续小波变换为: ,(,),()( )f a b R t b W a b f f t dt a ψψ-=<>= ? (3) 其逆变换为: 211()(,)()f R R t b f t W a b dadb C a a ψ ψ+-= ?? (4) 小波变换的时频窗是可以由伸缩因子a 和平移因子b 来调节的,平移因子b,可以改变窗口在相平面时间轴上的位置,而伸缩因子b 的大小不仅能影响窗口在频率轴上的位置,还能改变窗口的形状。小波变换对不同的频率在时域上的取样步长是可调节的,在低频时,小波变换的时间分辨率较低,频率分辨率较高:在高频时,小波变换的时间分辨率较高,而频率分辨率较低。使用小波变换处理信号时,首先选取适当的小波函数对信号进行分解,其次对分解出的参
数进行阈值处理,选取合适的阈值进行分析,最后利用处理后的参数进行逆小波变换,对信号进行重构。 3 小波降噪的原理和方法 3.1 小波降噪原理 从信号学的角度看 ,小波去噪是一个信号滤波的问题。尽管在很大程度上小波去噪可以看成是低通滤波 ,但由于在去噪后 ,还能成功地保留信号特征 ,所以在这一点上又优于传统的低通滤波器。由此可见 ,小波去噪实际上是特征提取和低通滤波的综合 ,其流程框图如图所示[6]: 小波分析的重要应用之一就是用于信号消噪 ,一个含噪的一维信号模型可表示为如下形式: (k)()()S f k e k ε=+* k=0.1…….n-1 其中 ,f( k)为有用信号,s(k)为含噪声信号,e(k)为噪声,ε为噪声系数的标准偏差。 假设e(k)为高斯白噪声,通常情况下有用信号表现为低频部分或是一些比较平稳的信号,而噪声信号则表现为高频的信号,下面对 s(k)信号进行如图结构的小波分解,则噪声部分通常包含在Cd1、Cd2、Cd3中,只要对 Cd1,Cd2,Cd3作相应的小波系数处理,然后对信号进行重构即可以达到消噪的目的。
研究生《小波理论及应用》复习题
2005年研究生《小波理论及应用》复习题 1. 利用正交小波基建立的采样定理适合于:紧支集且有奇性(函数本身或其导数不连续)的函数(频谱无限的函数)。Shannon 采样定理适合于频谱有限的信号。 2. 信号的突变点在小波变换域常对于小波变换系数模极值点或过零点。并且信号奇异性大小同小波变换的极值随尺度的变化规律相对立。只有在适当尺度下各突变点引起的小波变化才能避免交迭干扰,可以用于信号的去噪、奇异性检测、图象也缘提取、数据压缩等。 3. 信号在一点的李氏指数表征了该点的奇异性大小,α越大,该点的光滑性越小,α越小,该点的奇异性越大。光滑点(可导)时,它的1≥α;如果是脉冲函数,1-=α;白噪声时0≤α。 4. 做出三级尺度下正交小波包变换的二进数图,小波包分解过程?说明小波基与小波包基的区别? 5. 最优小波包基的概念:给定一个序列的代价函数,然后在小波包基中寻找使代价函数最小的基――最优基。 6. 双通道多采样率滤波器组的传递函数为: ()()()()()()()()()()()()()z X z G z G z H z H z X z G z G z H z H z Y z Y z Y -??????-++??????+=+=∧∧∧∧212121请根据此式给出理想重建条件: 为了消除映象()z X -引起的混迭:()()()()0=-+-∧ ∧z G z G z H z H
为了使()z Y 成为()z X 的延迟,要求:()()()()k CZ z G z G z H z H -∧∧=+ (C,K 为任一常数) 7. 正交镜像对称滤波器()()n h n g ,的()jw e G 与()jw e H 以2π=w 为轴左右对称。如果知道QMF 的()n h ,能否确定()()()n h n g n g ∧ ∧,,? ()()()n h n g n 1-= ,()()()n g n h n 1--=∧ , ()()()n h n g n 1-=∧ 8. 试列出几种常用的连续的小波基函数 Morlet 小波,Marr 小波,Difference of Gaussian (DOG ),紧支集样条小波 9. 试简述海森堡测不准原理,说明应用意义? 10. 从连续小波变换到离散小波变换到离散小波框架-双正交小波变换-正交变换、紧支集正交小波变换,其最大的特点是追求变换系数的信息冗余小,含有的信息量越集中。 11. 解释紧支集、双正交、正交小波、紧支集正交小波、光滑性、奇异性。 12. 已知共轭正交滤波器组(CQF )()n h 请列出()()()n g n h n g ∧ ∧,,。 ()()() ()()()()()()???????-=--=-=---=∧∧n h n N g n g n N h n h n N h n g n n 11 13. 共轭正交滤波器()()n g n h ,的()jw e G 与()jw e H 的关系与QMF 情况