(山东专用)高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性(含解析)
（山东专用）高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性（含解析）
一、【知识精讲】 1．函数的奇偶性 (1)
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．
3．函数的对称性常见的结论 (1)函数y ＝f (x )关于x ＝
a ＋b
2
对称?f (a ＋x )＝f (b －x )?f (x )＝f (b ＋a －x )．
特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称?f (a ＋x )＝f (a －x )?f (x )＝f (2a －x )； 函数y ＝f (x )关于x ＝0对称?f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．
(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称?f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ?f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b . 特殊：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称?f (a ＋x )＋f (a －x )＝0?f (2a ＋x )＋f (－x )＝0； 函数y ＝f (x )关于(0,0)对称?f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)． (3)y ＝f (x ＋a )是偶函数?函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；
y ＝f (x ＋a )是奇函数?函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称．
[知识拓展]
1．函数奇偶性常用结论
(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0. (2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性． (4)y ＝f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )；
y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )．
2．函数周期性常用结论
对f (x )定义域内任一自变量的值x ：
(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a ＞0)． (2)若f (x ＋a )＝，则T ＝2a (a ＞0)． (3)若f (x ＋a )＝－，则T ＝2a (a ＞0)．
二、【典例精练】
考点一 判断函数的奇偶性 例1. 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2
＋x 2
－3； (2)f (x )＝lg(1－x 2)|x －2|－2
；
(3)f (x )＝?
????x 2
＋x ，x <0，
－x 2＋x ，x >0.
【解析】 (1)由?
????3－x 2
≥0，x 2－3≥0，得x 2
＝3，解得x ＝±3，
即函数f (x )的定义域为{－3，3}， 从而f (x )＝3－x 2
＋x 2
－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.
(2)由?????1－x 2
>0，
|x －2|≠2，
得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称.
∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg （1－x 2
）－x .
又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2
]x ＝－lg （1－x 2
）
－x ＝－f (x )，
∴函数f (x )为奇函数.
(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. ∵当x <0时，－x >0，
则f (－x )＝－(－x )2
－x ＝－x 2－x ＝－f (x )； 当x >0时，－x <0，
则f (－x )＝(－x )2
－x ＝x 2
－x ＝－f (x )；
综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数. 【解法小结】 判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关
系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.
考点二函数的周期性及其应用
例2. (1) (2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )
A.－50
B.0
C.2
D.50
(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.
【答案】(1)C (2)7
【解析】(1)法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).
∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).
因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，
由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，
故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0
令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，
令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.
法二取一个符合题意的函数f(x)＝2sin πx
2
，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期
的周期数列.
故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.
(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，
则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.
又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，
故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.
【解法小结】 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.
2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.
考点三 函数性质的综合运用 角度1 函数单调性与奇偶性
【例3－1】(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( ) A ．[－2,2] B ．[－1,1] C ．[0,4] D ．[1,3]
【答案】D
【解析】 (1)∵f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．
∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.
故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)． 又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减， ∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.
【解法小结】 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.
2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程. 角度2 函数的奇偶性与周期性
【例3－2】（1）(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x
，则f (919)＝________. 【答案】6
【解析】 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)， ∴f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )的周期为6， ∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．
又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.
(2)(2018·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )
＋f (－x )，则F (3)＝( ) A.π3
B.2π3
C.π
D.4π3
【答案】B
【解析】由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2).
∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.
所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝
2π3
. 例3-3（1）(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若
f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )
A ．－50
B ．0
C ．2
D ．50
(2)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ? ????x ＋32＝f (x )，当x ∈? ??
??0，12时，f (x )＝log 12
(1－x )，则f (x )在区间? ??
??1，32内是( )
A ．减函数且f (x )>0
B ．减函数且f (x )<0
C ．增函数且f (x )>0
D ．增函数且f (x )<0
【答案】 (1)C (2)D
【解析】 (1)法一：∵f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．
由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)， ∴f (x ＋2)＝－f (x )，
∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数得f (0)＝0. 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，
∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，
∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50) ＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.
法二：由题意可设f (x )＝2sin ? ??
??π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图
可知，f (x )
的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]
＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2.
(2)当x ∈? ??
??0，12时，由f (x )＝log 12
(1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以
f (x )在区间??????－12，0上也单调递增，且f (x )<0.由f ? ??
??x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32
，所以在区间? ??
??1，32上，
函数f (x )单调递增且f (x )<0.
【解法小结】 周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解. 【思维升华】
1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.
2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：
(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性. 3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用. 【易错 注意点】
1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.
2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆. 三、【名校新题】
1.(2019·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )
A.y ＝x 3
B.y ＝x 1
4 C.y ＝|x |
D.y ＝|tan x |
【答案】C
【解析】 对于A ，y ＝x 3
为奇函数，不符合题意；
对于B ，y ＝x 1
4是非奇非偶函数，不符合题意；
对于D ，y ＝|tan x |是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增. 2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x
＋1
3x 的图象( )
A ．关于x 轴对称
B ．关于y 轴对称
C ．关于坐标原点对称
D ．关于直线y ＝x 对称
【答案】B
【解析】 因为f (x )＝9x
＋13
x ＝3x ＋3－x
，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．
3． (2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，
且f (x )＝?
????log 3（x ＋1），x ≥0，
g （x ），x <0，则g (－8)＝( )
A.－2
B.－3
C.2
D.3
【答案】A
【解析】 法一 当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数， 则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ). 因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0， 故g (－8)＝－log 39＝－2.
法二 由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.
4.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[－3，1]
B.[－4，2]
C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
D.(－∞，－4]∪[2，＋∞)
【答案】A
【解析】 因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，即|m ＋1|≤|x －2|在x ∈[－1，0]恒成立，所以|m ＋1|≤|x －2|min ，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.
5.(2019·石家庄模拟)已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( ) A.{x |0
【解析】由题意知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0， 不等式f (x －1)>0?f (x －1)>f (1)或f (x －1)>f (－1). ∴x －1>1或0>x －1>－1， 解之得x >2或0 6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)的值等于( ) A ．403 B ．405 C ．806 D ．809 【答案】B 【解析】定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，即函数f (x )的周期为5.又当x ∈(0,2]时，f (x )＝log 2x ，所以f (1)＝log 21＝0，f (2)＝log 22＝1.当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x －1，所以f (3)＝f (－2)＝1， f (4)＝f (－1)＝0，f (5)＝f (0)＝－1.故f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 019)＝403×[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4) ＋f (5)]＋f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＋f (2 019)＝403×1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝403＋0＋1＋1＋0＝405. 7．(2018·石家庄一模)设f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f (x －1)≥f (3)的解集为( ) A ．[－3,3] B ．[－2,4] C ．[－1,5] D ．[0,6] 【答案】B 【解析】因为f (x )是定义在[－2b,3＋b ]上的偶函数， 所以有－2b ＋3＋b ＝0，解得b ＝3， 由函数f (x )在[－6,0]上为增函数，得f (x )在(0,6]上为减函数，故f (x －1)≥f (3)?f (|x －1|)≥f (3)?|x －1|≤3，故－2≤x ≤4. 8．(2019·长春质检)下列函数中，既是奇函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e x ＋e －x B ．y ＝ln(|x |＋1) C ．y ＝sin x |x | D ．y ＝x －1 x 【答案】D 【解析】选项A ，B 显然是偶函数，排除；选项C 是奇函数，但在(0，＋∞)上不是单调递增函数，不符合题意；选项D 中，y ＝x －1x 是奇函数，且y ＝x 和y ＝－1x 在(0，＋∞)上均为增函数，故y ＝x －1 x 在(0，＋∞) 上为增函数，所以选项D 正确． 9．(2019·合肥调研)定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且在[0,1]上是减函数，则有( ) A ．f ? ????32 B ．f ? ????14 C ．f ? ????32 D ．f ? ????－14 ??14 【答案】C 【解析】因为f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数的周期为4，作出f (x )的草 图，如图，由图可知f ? ????32 ??－14. 10. (2019·重庆九校模拟)已知奇函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，当x ∈[0，3]时，f (x )＝－x ，则 f (－16)＝________. 【答案】2 【解析】根据题意，函数f (x )的图象关于直线x ＝3对称，则有f (x )＝f (6－x )， 又由函数为奇函数，则f (－x )＝－f (x )， 则有f (x )＝－f (6－x )＝f (x －12)， 则f (x )的最小正周期是12， 故f (－16)＝f (－4)＝－f (4)＝－f (2)＝－(－2)＝2. 11.(2019·上海崇明二模)设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，当x ∈[0，1]时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则当x ∈[1，2]时，f (x )＝________. 【答案】log 2(3－x ) 【解析】当x ∈[1，2]时，x －2∈[－1，0]，2－x ∈[0，1]， 又f (x )在R 上是以2为周期的偶函数， ∴f (x )＝f (x －2)＝f (2－x )＝log 2(2－x ＋1)＝log 2(3－x ). 12. (2018·日照调研)函数y ＝f (x )对任意x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (－x )成立，且函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称，f (1)＝4，则f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)的值为________. 【答案】4 【解析】因为函数y ＝f (x －1)的图象关于点(1，0)对称， 所以函数y ＝f (x )的图象关于原点对称， 所以f (x )是R 上的奇函数， f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，故f (x )的周期为4. 所以f (2 017)＝f (504×4＋1)＝f (1)＝4， 所以f (2 016)＋f (2 018)＝－f (2 014)＋f (2 014＋4)＝－f (2 014)＋f (2 014)＝0， 所以f (2 016)＋f (2 017)＋f (2 018)＝4. 13．(2019·洛阳统考)若函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，则实数a ＝________. 【答案】－1 2 . 【解析】法一：(定义法)∵函数f (x )＝ln(e x ＋1)＋ax 为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即ln(e －x ＋1)－ax ＝ln(e x ＋1)＋ax ， ∴2ax ＝ln(e －x ＋1)－ln(e x ＋1)＝ln e －x ＋1e x ＋1＝ln 1 e x ＝－x ， ∴2a ＝－1，解得a ＝－1 2 . 法二：(特殊值法)由题意知函数f (x )的定义域为R ，由f (x )为偶函数得f (－1)＝f (1)， ∴ln(e －1 ＋1)－a ＝ln(e 1 ＋1)＋a ，∴2a ＝ln(e －1 ＋1)－ln(e 1 ＋1)＝ln e －1 ＋1e ＋1＝ln 1 e ＝－1， ∴a ＝－1 2 . 14．(2019·陕西一测)若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋a x ，x ∈[－4，－1]的值域为________． 【答案】? ?????－2，－12 【解析】由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2,2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2 x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－ 1)，g (－4)]，即? ?????－2，－12. 15．(2019·惠州调研)已知函数f (x )＝x ＋1 x －1，f (a )＝2，则f (－a )＝________. 【答案】-4 【解析】法一：因为f (x )＋1＝x ＋1 x ， 设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1 x ， 易判断g (x )＝x ＋1 x 为奇函数， 故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1 x ＝0， 即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2. 所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4. 法二：由已知得f (a )＝a ＋1 a －1＝2， 即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －1＝－? ?? ??a ＋1a －1＝－3－1＝－4. 16．已知函数f (x )＝???? ? －x 2 ＋2x ，x >0，0，x ＝0， x 2＋mx ，x <0是奇函数． (1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 【解析】：(1)设x <0，则－x >0， 所以f (－x )＝－(－x )2 ＋2(－x )＝－x 2 －2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2 ＋2x ＝x 2 ＋mx ，所以m ＝2. (2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增， 结合f (x )的图象(如图所示)知??? ?? a －2>－1， a －2≤1， 所以1＜a ≤3， 故实数a 的取值范围是(1,3]． 17.设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x . (1)求f (π)的值； (2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积. 【解析】 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )得， f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， 所以f (x )是以4为周期的周期函数， 所以f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4)＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数且f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]， 即f (1＋x )＝f (1－x ). 故知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称. 又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如下图所示. 当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ， 则S ＝4S △OAB ＝4×? ?? ??12×2×1＝4. 专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任 教学过程 一、课堂导入 我们生活在美的世界中，有过许多对美的感受，请想一下有哪些美？ 对于对称美，请想一下哪些事物给过你对称美的感觉呢？ 生活中的美引入我们的数学领域中，它又是怎样的情况呢？若给它适当地建立直角坐标系，那么会发现什么特点？ 数学中对称的形式也很多，这节课我们就来复习在坐标系中对称的函数 二、复习预习 1、复习单调性的概念 2、复习初中的轴对称和中心对称 3、预习奇偶性的概念 4、预习奇偶性的应用 三、知识讲解 考点1 函数的奇偶性 [探究] 1. 提示：定义域关于原点对称，必要不充分条件． 2．若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，是否有f(0)＝0？如果是偶函数呢？ 提示：如果f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则f(0)＝0；如果f(x)是偶函数时，f(0)不一定为0，如f(x)＝x2＋1. 3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？ 提示：存在，如f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个． 考点2 周期性 (1)周期函数： 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期： 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 四、例题精析 【例题1】 【题干】判断下列函数的奇偶性 (1)f(x)＝lg 1－x 1＋x ；(2)f(x)＝ ? ? ?x2＋x(x>0)， x2－x(x<0)； (3)f(x)＝ lg(1－x2) |x2－2|－2 . 函数的奇偶性专题复习 函数的奇偶性专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 函数的定义域关于原点对称是函数为奇（偶）函数的必要不充分条件。 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等， 判断步骤如下：①定义域是否关于原点对称； ②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）x x x f 2)(3+= （2）2 432)(x x x f += （3）1)(2 3--=x x x x f （4）2)(x x f = []2,1-∈x （5）2211)(x x x f -+-= （6）221()lg lg f x x x =+. 例2：判断函数???<≥-=)0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）： 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。 四、关于函数的奇偶性的6个结论. 【函数的奇偶性】专题复习 一、关于函数的奇偶性的定义 定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ： ⑴)()(x f x f =- ?)(x f 是偶函数； ⑵)()(x f x f -=-?)(x f 奇函数； 二、函数的奇偶性的几个性质 ①对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称； ②整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x 都必须成立； ③可逆性：)()(x f x f =-?)(x f 是偶函数；)()(x f x f -=-?)(x f 是奇函数； ④等价性：)()(x f x f =-?0)()(=--x f x f ；)()(x f x f -=-?0)()(=+-x f x f ⑤奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称； ⑥可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。 三、函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法： 第一种方法：利用奇、偶函数的定义，考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下： ①定义域是否关于原点对称；②数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立； 例1：判断下列各函数是否具有奇偶性 （1）x x x f 2)(3 += （2）2 4 32)(x x x f += (3）1 )(2 3--=x x x x f （4）2 )(x x f = []2,1-∈x （5）x x x f -+-=22)( （6）2 |2|1)(2 -+-=x x x f ； （7）2211)(x x x f -+-= （8）2 21()lg lg f x x x =+； （9）x x x x f -+-=11)1()( 例2：判断函数???<≥-=) 0() 0()(22x x x x x f 的奇偶性。 第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 （前提条件为两个函数的定义域交集不为空集） ： 35721246822()...1(0);()sin ;tan ()...(0);;()cos ;();log ;(0,0) (0)0()k k x a x x x x x k Z k k x x x x x x x x x x k Z ax c b x f x x y C C a x kx b k b y x a a y y +?∈? ?≠+?????∈??+=??=???+≠≠??=+≠??==常见的奇函数：耐克函数常见的偶函数：为常数常见的非奇非偶函数:定义域关于原点对称常见的既奇又偶函数：1)x ????? ? ? ???? ?? ???? ?????=±????两个点的函数 四、关于函数的奇偶性的 两个奇函数的代数和是奇函数； 两个偶函数的和是偶函数； 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数； 两个奇函数的积为偶函数； 两个偶函数的积为偶函数； 奇函数与偶函数的积是奇函数。 专题六 函数的奇偶性及周期性 [知识能否忆起] 一、函数的奇偶性 奇偶性 定 义 图象特点 偶函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )， 那么函数f (x )是偶函数 关于y 轴对称 奇函数 如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )， 那么函数f (x )是奇函数 关于原点对称 二、周期性 1．周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． [小题能否全取] 1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝x 3 C ．y ＝e x D ．y ＝ln x 2＋1 解析：选D 四个选项中的函数的定义域都是R.y ＝sin x 为奇函数．幂函数y ＝x 3也为奇函数．指数函数y ＝e x 为非奇非偶函数．令f (x )＝ln x 2＋1，得f (－x )＝ln (－x )2＋1＝ln x 2＋1＝f (x )．所以y ＝ln x 2＋1为偶函数． 2．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－1 3 B.13 C.12 D ．－12 解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1 3 .又f (－x )＝f (x )， 函数的奇偶性与周期性 1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( ) A. －2 B.－1 C. 0 D. 1 2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π +=x y ,④)42tan(π -=x y 中，最小正周期为π的所有函数为 A.①②③ B. ①③④ C. ②④ D. ①③ 3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A. )()(x g x f 是偶函数 B. )(|)(|x g x f 是奇函数 C. |)(|)(x g x f 是奇函数 D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时 2()1f x x =-，则7()2 f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12 5.下列函数为偶函数的是 A. sin y x = B. 3y x = C. x y e = D. y = 6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5 ()2f -= (A) -12 (B)1 4- (C)14 (D)12 7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是 （A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= 8.下列函数为偶函数的是（） A.()1f x x =- B.()2f x x x =+ C.()22x x f x -=- D.()22x x f x -=+ 9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______. 10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = . 11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则 ． 函数奇偶性与单调性的综合应用 专题 【寄语：亲爱的孩子，将来的你一定会感现在拼命努力的自己！】 教学目标：1.掌握函数的单调性与奇偶性的概念以及基本性质；. 2.能综合运用函数的单调性与奇偶性来分析函数的图像或性质； 3.能够根据函数的一些特点来判断其单调性或奇偶性. 教学重难点：函数单调性的证明；根据单调性或奇偶性分析函数的性质. 【复习旧识】 1.函数单调性的概念是什么？如何证明一个函数的单调性？ 2.函数奇偶性的概念是什么？如何证明一个函数的奇偶性？ 3.奇函数在关于原点对称的区间上，其单调性有何特点？偶函数呢？ 【新课讲解】 一、常考题型 1.根据奇偶性与单调性，比较两个或多个函数值的大小； 2.当题目中出现“2 121) ()(x x x f x f --＞0（或＜0）”或“)(x xf ＞0（或＜0）”时，往往还是 考察单调性； 3.证明或判断某一函数的单调性； 4.证明或判断某一函数的奇偶性； 5.根据奇偶性与单调性，解某一函数不等式（有时是“)(x f ＞0（或＜0）”时x 的取值围）； 6.确定函数解析式或定义域中某一未知数（参数）的取值围. 二、常用解题方法 1.画简图（草图），利用数形结合； 2.运用奇偶性进行自变量正负之间的转化； 3.证明或判断函数的单调性时，有时需要分类讨论. 三、误区 1.函数的奇偶性是函数的整体性质，与区间无关； 2.判断函数奇偶性，应首先判断其定义域是否关于原点对称； 3.奇函数若在“0=x ”处有定义，必有“0)0(=f ”； 4.函数单调性可以是整体性质也可以是局部性质，因题而异； 5.运用单调性解不等式时，应注意自变量取值围受函数自身定义域的限制. 四、函数单调性证明的步骤： （1） 根据题意在区间上设 ； （2） 比较大小 ； （3） 下结论 . 函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域 ； 例1 设)(x f 是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且它在[0，＋∞)上单调递增，若a ＝)3 1(log 2 f ，b ＝)2 1 (log 3 f ，c ＝)2(-f ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a ＞＞ B ．a c b ＞＞ C ．b a c ＞＞ D ．a b c ＞＞ 【考点】函数单调性；函数奇偶性，对数函数的性质. 【解析】 因为log 2 3 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义． 2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性． 3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. ★备考知考情 1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等． 2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题． 3.多以选择题、填空题的形式出现. 一、知识梳理《名师一号》P18 注意： 研究函数奇偶性必须先求函数的定义域 知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征 1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 2.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 1 2 3.奇函数的图象关于原点对称； 偶函数的图象关于y 轴对称. 知识点二 奇函数、偶函数的性质 1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同， 偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． 2. 若f (x )是奇函数，且在x ＝0处有定义，则(0)0=f . 3. 若f (x )为偶函数，则()()(||)f x f x f x =-=. 《名师一号》P19 问题探究 问题1 奇函数与偶函数的定义域有什么特点？ (1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． (2)判断函数f (x )的奇偶性时，必须对定义域内的 每一个x ， 均有f (－x )＝－f (x )、f (－x )＝f (x )， 而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)、f (－x 0)＝f (x 0)． (补充) 1、若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0=f ． (0)0=f 是()f x 为奇函数的 既不充分也不必要条件 2．判断函数的奇偶性的方法 （1）定义法： 1)首先要研究函数的定义域， 函数的奇偶性及周期性 1. 已知定义在 R 上的奇函数 f(x) 满足 f(x+2)= -f(x) f(6) 的值为 ( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 【答案】 B 【解析】 ∵ f(x+2)=-f(x), ∴ f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) 又 f(x) 为R 上的奇函数 , ∴ f(0)=0. ∴ f(6)=0. 2. 函数 f ( x) x 3 sin x 1( x R), 若 f(a)=2, 则 f(-a) 的值为 ( ) A.3 B.0 C.-1 D.-2 【答案】 B 【解析】 设 g ( x) 3 sinx, 很明显 g(x) 是一个奇函数 . x ∴ f(x)=g(x)+1. ∵ f(a)=g(a)+1=2, ∴ g(a)=1. ∴ g(-a)=-1. ∴ f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0. 3. 已知 f(x) 是定义在 R 上的偶函数 , 并满足 f(x+2)= 1 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 则 f ( x) f(6.5) 等于?? ( ) A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5 【答案】 D 【 解 析 】 由 f(x 2) 1 得 f(x 4) 1 f ( x ) f ( x 2) f(6.5)=f(2.5). 因为 f(x) 是偶函数 , 得 f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5), 而 1 x 2 时 ,f(x)=x-2, 所以 f(1.5)=-0.5. 综上 , 知f(6.5)=-0.5. 4. 已知函数 f(x) 是定义在 R 上的奇函数 , 当 x>0时 ,f(x)= - 是 ( ) A. ( 1) B. ( 1] C. (1 ) D. [1 ) 【答案】 A 【解析】 当 x>0时 f ( x ) 1 2 x 1 1 x 2 当 x<0时,-x>0, ∴ f( x ) 1 2 x . 又∵ f(x) 为 R 上的奇函数 , ∴ f(-x)=-f(x). ∴ f ( x ) 1 2 x . ∴ f ( x ) 2 x 1 . ∴ f ( x) 2 1 1 即 2 x 1 . x ∴ x<-1. 2 2 ∴不等式 f ( x ) 1 的解集是 ( 1) . 2 5. 设 g(x) 是定义在 R 上、以 1为周期的函数 . 若函数 f(x)=x+g(x) 则f(x) 在区间 [0,3] . f ( x) 那 么 f(x) 的 周 期 是 4, 得 2 x 则不等式 f ( x) 1 的解集 2 1 2 在区间 [0,1] 上的值域为 [-2,5], 第三讲 函数的奇偶性与周期性 考点分析： 1．判断函数的奇偶性． 2．利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值． 3．考查函数的单调性与奇偶性的综合应用． 复习指导： 复习时应结合具体实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能．重点解决综合利用函数的性质解决有关问题． 知识梳理：、 1、奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称． 2．奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反． (2)在公共定义域内 ①两个奇函数的和（差）是奇函数，两个奇函数的积（商）是偶函数； ②两个偶函数的和（差）、积（商）都是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积（商）是奇函数．一个奇函数，偶函数的和（差）是非奇非偶函数 ▲奇奇＝奇，奇×奇＝偶，偶偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．3．周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 关于周期函数的常用结论： 1、若对于函数f(x)定义域内的任意一个x都有： 抽象函数的单调性和奇偶性应用 抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数。它是高中数学中的一个难点，因为抽象，解题时思维常常受阻，思路难以展开，而高考中会出现这一题型，本文对抽象函数的单调性和奇偶性问题进行了整理、归类，大概有以下几种题型： 一、判断单调性和奇偶性 1. 判断单调性 根据函数的奇偶性、单调性等有关性质，画出函数的示意图，以形助数，问题迅速获解。 例1．如果奇函数f x ()在区间[]37，上是增函数且有最小值为5，那 么f x ()在区间[]--73，上是 A. 增函数且最小值为-5 B. 增函数且最大值为-5 C. 减函数且最小值为-5 D. 减函数且最大值为-5 分析：画出满足题意的示意图，易知选B 。 例2．偶函数f x ()在(0)，+∞上是减函数，问f x ()在()-∞，0上是 增函数还是减函数，并证明你的结论。 分析：如图所示，易知f x ()在()-∞，0上是增函数，证明如下： 任取 x x x x 121200<-> 因为f x ()在(0)，+∞上是减函数，所以 f x f x ()()-<-12。 又f x ()是偶函数，所以 f x f x f x f x ()()()()-=-=1122，， 从而f x f x ()()12<，故f x ()在()-∞，0上是增函数。 2. 判断奇偶性 根据已知条件，通过恰当的赋值代换，寻求f x ()与f x ()-的关系。 例3．若函数y f x f x =≠()(())0与y f x =-()的图象关于原点对称，判断：函数 y f x =()是什么函数。 1．10基本初等函数奇偶性和周期性 姓名___________ 本节重点：①能够正确判断函数的奇偶性和周期性；②运用基本初等函数的性质解题。 一．基础练习 1． 写出下列函数中，奇函数是________；偶函数是________；非奇非偶函数是________ ①sin 2y x = ②2cos y x = ③4221y x x =++ ④2(1)y x =- ⑤()x x f x e e -=- ⑥1()1 x f x x -=+ ⑦1()lg 1 x f x x -=+ ⑧23 ()f x x -= 2． 已知多项式函数32()f x ax bx cx d =+++，系数,,,a b c d 满足__________时，()f x 是奇函数； 满足___________时，它是偶函数． 3． 定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(2)f =________． 4． 函数sin 2y x =的周期是________；tan y x π=的周期是________． 5． 已知函数()f x 是定义在（-3，3）上的奇函数，当03x << ()f x 图象如右，则不等式 ()0f x x >的解集是____________． 二、例题讲解 例1：判断下列函数的奇偶性 （1）2 ()2||3f x x x =-- （2）22 2,0 ()2,0 x x x f x x x x ?-≥?=?--，实数a 的范围是____________． 高考数学专题：函数的奇偶性与周期性 最新考纲 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性；3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 知识梳理 1.函数的奇偶性 2. (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 诊断自测 1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示 (1)函数y＝x2在x∈(0，＋∞)时是偶函数.() (2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f(0)＝0.() (3)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.() (4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称.()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故y＝x2在(0，＋∞)上不是偶函数，(1)错. (2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x＝0处有意义时才满足f(0)＝0，(2)错. 答案(1)×(2)×(3)√(4)√ 2.（·西安铁中月考)下列函数为奇函数的是() A.y＝x B.y＝e x C.y＝cos x D.y＝e x－e－x 解析 A ，B 中显然为非奇非偶函数；C 中y ＝cos x 为偶函数. D 中函数定义域为R ，又f (－x )＝e －x －e x ＝－(e x －e －x )＝－f (x )，∴y ＝e x －e －x 为奇函数. 答案 D 3.已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A.－13 B.13 C.12 D.－12 解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)，∴a ＝13，则a ＋b ＝1 3. 答案 B 4.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1，1)时，f (x )＝???－4x 2＋2，－1≤x <0， x ，0≤x <1，则 f ? ?? ?? 32＝________. 解析 ∵f (x )的周期为2，∴f ? ????32＝f ? ???? －12， 又∵当－1≤x <0时，f (x )＝－4x 2＋2， ∴f ? ????32＝f ? ????－12＝－4×? ????－122 ＋2＝1. 答案 1 5.（·全国Ⅱ卷)偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 解析 ∵f (x )为偶函数，∴f (－1)＝f (1). 又f (x )的图象关于直线x ＝2对称， ∴f (1)＝f (3).∴f (－1)＝3. 答案 3 考点一 函数奇偶性的判断 【例1】 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2； (3)f (x )＝? ??x 2＋x ，x <0， －x 2＋x ，x >0. 函数的奇偶性与周期性 一、选择题 1．(2015·四川绵阳诊断性考试)下列函数中定义域为R ，且是奇函数的是( ) A ．f(x)＝x2＋x B ．f(x)＝tan x C ．f(x)＝x ＋sin x D ．f(x)＝lg 1－x 1＋x 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R ，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f(x)g(x)是偶函数 B ．|f(x)|g(x)是奇函数 C ．f(x)|g(x)|是奇函数 D ．|f(x)g(x)|是奇函数 3．(2015·长春调研)已知函数f(x)＝x2＋x ＋1x2＋1，若f(a)＝23 ，则f(－a)＝( ) A.23 B ．－23 C.43 D ．－43 4．已知f(x)在R 上是奇函数，且满足f(x ＋4)＝f(x)，当x ∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 5．函数f(x)是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f(x)＝x －1，则不等式xf(x)>0在[－1,3]上的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－1,1) C ．(－1,0)∪(1,3) D ．(－1,0)∪(0,1) 6．设奇函数f(x)的定义域为R ，最小正周期T ＝3，若f(1)≥1，f(2)＝2a －3a ＋1 ，则a 的取值范围是( ) A ．a<－1或a≥23 B ．a<－1 C ．－1 函数的奇偶性与周期性专题练习 一、选择题 1.(2019·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( ) A.3 B.2 C.1 D.0 解析 y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝ x sin x 为偶函数. 答案 B 2.(2019·湖南卷)设函数f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )，则f (x )是( ) A.奇函数，且在(0，1)内是增函数 B.奇函数，且在(0，1)内是减函数 C.偶函数，且在(0，1)内是增函数 D.偶函数，且在(0，1)内是减函数 解析 易知f (x )的定义域为(－1，1)，且f (－x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )＝－f (x )，则y ＝f (x )为奇函数， 又y ＝ln(1＋x )与y ＝－ln(1－x )在(0，1)上是增函数， 所以f (x )＝ln(1＋x )－ln(1－x )在(0，1)上是增函数. 答案 A 3.已知函数f (x )＝x ? ?? ??e x －1e x ，若f (x 1) 函数的奇偶性与周期性 考点梳理 一、函数的奇偶性 （探究：奇、偶函数的定义域有何特点？若函数f(x)具有奇偶性，则f(x)的定义域关于原点对称，反之，若函数的定义域不关于原点对称，则函数无奇偶性。） 二、奇、偶函数的性质 1、奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。 2、在公共定义域内， （1）两个奇函数的和函数是奇函数，两个奇函数的积函数是偶函数。（2）两个偶函数的和函数、积函数是偶函数。 （3）一个奇函数，一个偶函数的积函数是奇函数。 3、若f(x)是奇函数且在x=0处有定义，则f(0)=0。 （探究：若f(x)是偶函数且在x=0处有定义，是否有f(x)=0?不一定， 如f(x)= 21x +，而f(0)=1。） 三、函数的周期性 一般的，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 （探究：若偶函数f(x)满足对任意的x R ∈,都有f(2+x)=f(-x)，那么函数f(x)是周期函数吗？ 是周期函数，()()(),(2)() (2)(),()=2f x f x f x f x f x f x f x f x T ∴-=+=-∴ += 是偶函数， 又所以是以为周期的函数） 例题解析 要点1：函数奇偶性的判定 判断函数奇偶性的一般方法 （1）首先确定函数的定义域，看其是否关于原点对称，否则，既不是奇函数也不是偶函数。 （2）若定义域关于原点对称，则可用下述方法进行判断： ①定义判断： ()()()()-()()f x f x f x f x f x f x -=?-=?为偶函数， 为奇函数。 ②等价形式判断： 函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 2.(1)周期函数 对于函数y ＝f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数y ＝f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若f (x )是定义在R 上的奇函数，则f (－x )＋f (x )＝0.(√) (2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×) (3)如果函数f (x )，g (x )为定义域相同的偶函数，则F (x )＝f (x )＋g (x )是偶函数．(√) (4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(√) (5)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．(√) (6)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a ＞0)的周期函数．(√) (7)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．(×) (8)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．(√) (9)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．(√) (10)若某函数的图象关于y 轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数．(√) 考点一 判断函数的奇偶性 函数的奇偶性及周期性 1．函数的奇偶性 (1)周期函数 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x ＋T)＝f(x)，那么就称函数f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． [小题体验] 1．下列函数中为偶函数的是() A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x|D．y＝2－x 答案：B 2．若函数f(x)是周期为5的奇函数，且满足f(1)＝1，f(2)＝2，则f(8)－f(14)＝________. 答案：－1 3．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)，则x<0时，f(x)＝________. 答案：x(1－x) 1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．判断函数f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个x，均有f(－x)＝－f(x)或f(－ x )＝f (x )，而不能说存在x 0使f (－x 0)＝－f (x 0)或f (－x 0)＝f (x 0)． 3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性． [小题纠偏] 1．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是( ) A ．－13 B.13 C.12 D ．－1 2 解析：选B ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数， ∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝1 3.又f (－x )＝f (x )， ∴b ＝0，∴a ＋b ＝1 3 . 2．设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时， f (x )＝ ? ???? －4x 2＋2，－1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f ????32＝________. 解析：由题意得，f ????32＝f ????－12＝－4×????－122＋2＝1. 答案：1 考点一 函数奇偶性的判断(基础送分型考点——自主练透) [题组练透] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (2)f (x )＝3－2x ＋2x －3； (3)f (x )＝3x －3－ x ； (4)(易错题)f (x )＝4－x 2 |x ＋3|－3 ； (5)(易错题)f (x )＝????? x 2＋x ，x >0， x 2－x ，x <0. 解：(1)∵由? ???? x 2－1≥0， 1－x 2≥0，得x ＝±1， ∴f (x )的定义域为{－1,1}． 又f (1)＋f (－1)＝0，f (1)－f (－1)＝0， 专题1 函数(理科) 一、考点回顾 1.理解函数的概念，了解映射的概念. 2.了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法. 3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数. 4.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质. 5.理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质. 6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 二、经典例题剖析 考点一：函数的性质与图象 函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容．在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫． 复习函数的性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化．具体要求是： 1．正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性． 2．从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性，深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法． 3．培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力． 这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解． 函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论．函数y＝f(x)在给定区间上的单调性，反映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义域上的整体性质．函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制． 对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在f(－x)＝f(x)和f(－x)＝－f(x)这两个等式上，要明确对定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称．这是函数具备奇偶性的必要条件．稍加推广，可得函数f(x)的图象关于直线x＝a对称的充要条件是对定义域内的任意x，都有f(x＋a)＝f(a－x)成立．函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映． 这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用．根据已知条件，调动相关知识，选择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求． 函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函数图像要注意以下方面。 §2.3函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇偶性,定义,图象特点偶函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数,关于y轴对称 奇函数,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数,关于原点对称 2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值 时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正 数就叫做f(x)的最小正周期． 1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f (x )＝0，x ∈(0，＋∞)既是奇函数又是偶函数．( × ) (2)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．( √ ) (4)若函数f (x )＝x (x －2)(x ＋a ) 为奇函数，则a ＝2.( √ ) (5)函数f (x )在定义域上满足f (x ＋a )＝－f (x )，则f (x )是周期为2a (a >0)的周期函数．( √ ) (6)函数f (x )为R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )，则f (2 014)＝0.( √ ) 2．(2013·山东)已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1 x ，则f (－1)等于( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A 解析 f (－1)＝－f (1)＝－(1＋1)＝－2. 3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是() A ．－13B.13C.12D ．－12 答案 B 解析 依题意b ＝0，且2a ＝－(a －1)， ∴a ＝13，则a ＋b ＝13 . 4．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 015)等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－98 D ．98 答案 A 解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数，专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx
《函数的奇偶性与周期性》教案
函数的奇偶性专题复习
高中数学函数奇偶性专题复习
专题(6)函数的奇偶性与周期性2
函数的奇偶性与周期性练习题
函数奇偶性与单调性的综合应用 专题
函数的奇偶性与周期性 知识点与题型归纳
函数的奇偶性及周期性综合运用
第3讲 函数的奇偶性与周期性专题
专题抽象函数的单调性和奇偶性应用
1.10基本初等函数奇偶性和周期性
高考数学专题：函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性试题(答案)
函数的奇偶性与周期性专题练习
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性与周期性
函数的奇偶性及周期性
高考数学函数专题
高三一轮复习精题组函数的奇偶性与周期性(有详细答案)