拆项法
用拆项法进行分式运算
在有些分式加减法运算中，用常规方法通分去解相当繁琐，如果根据题型特征用拆项法解，能够化繁为简，化难为易，提高学生分析问题、解决问题的能力。
如果分式分母中的两个因式相差为1，逆用分式减法法则拆项。即表示为：
)1(1+x x =x 1-1
1+x 计算： )1(1+x x +)2)(1(1++x x + …… +)
100)(99(1++x x 解：原式= x 1-11+x +11+x -21+x + …… +991+x -100
1+x =x 1-1001+x =x
x 1001002+ 例1、 解方程：41+x +)2)(1(1++x x +)3)(2(1++x x +)4)(3(1++x x = 2 解：原方程可化为：
41+x +11+x -21+x +21+x -31+x +31+x -4
1+x = 2 1
1+x = 2 去分母得 2（x+1）= 1
解得 x = -
2
1 经检验 x = - 21 是原方程的根 2、将分式化为整式部分与分式部分的和的形式进行化简
例2、 计算：1222+++x x x -2542+++x x x -3
1062+++x x x +41782+++x x x 解：原式=11)12(2++++x x x -2
1)44(2++++x x x -31)96(2++++x x x +4
1)168(2++++x x x =（x+1+
11+x ）-（x+2+21+x ）-（x+3+31+x ）+（x+4+4
1+x ） =11+x -21+x -31+x +41+x =)2)(1(1++x x -)
4)(3(1++x x
=
)
4)(3)(2)(1(104+++++x x x x x 例3、 解方程：
54--x x -65--x x =87--x x -98--x x 解：原方程可化为：
51)5(-+-x x -61)6(-+-x x =81)8(-+-x x -9
1)9(-+-x x 1+51-x -1-61-x =1+8
1-x -1-91-x 51-x -61-x =81-x -91-x )6)(5(1---x x =)
9)(8(1---x x 去分母得：（x-8）（x-9）=（x-5）（x-6）
解这个整式方程得 x = 7
经检验 x = 7是原方程的根
3、逆用分式减法法则将分式拆成两个分式之和，在进行化简。
例4、 化简：
ab b a -+bc
c b -+ca a c - 解：原式=b 1-a 1+c 1-b 1+a 1-c 1 = 0 例5、 计算；))((b x a x b a ---+))((c x b x c b ---+)
)((a x c x a c --- 解：原式=
))(()()(b x a x a x b x -----+))(()()(c x b x b x c x -----+))(()()(a x c x c x a x ----- =
)(1a x --)(1b x -+)(1b x --)(1c x -+)(1c x --)
(1a x - = 0
因式分解中的拆项、添项法
因式分解中的拆项、添项法 安徽滁州二中郑刚 239000 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例： 例分解因式：x3-9x+8． 分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)．
解法4 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
《因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳知识体系梳理 ◆ 添项拆项法 有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。通过进行合适的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。 大凡来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。 ◆ 待定系数法 有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。 用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。 ◆ 换元法 所谓换元，即对结构比较繁复的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使繁复 的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决繁复问题的方法，就叫 。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构繁复程度等方面都有着独到的作用。 （1）、使用换元法时，一定要有
意识，即把某些相同或相似的部分看成一个 。 （2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、分外值换元和几何换元。 （3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。 ★★ 典型例题、方法导航 ◆ 方法一：添项拆项法 【例1】分解因式： 分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即 ，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或,但的中间项是,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看： 解： 其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的分解方法。 方法二： 方法三： 方法四： 方法五：
2[1].4.2分组分解、拆添项法(二).讲义学生版
板块一：拆项与添项 模块一：利用配方思想拆项与添项 【例1】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值． 【巩固】 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______. 【例2】 分解因式：4231x x -+； 【巩固】 分解因式：42231x x -+； 【例3】 分解因式：4224a a b b ++ 例题精讲 分组分解、拆添项法
【例5】 已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______. 【例6】 分解因式：()()()22 2241211y x y x y +-++- 【例7】 分解因式：42222222()()x a b x a b -++- 【例8】 分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++ 【例9】 把444x y +分解因式． 【巩固】 分解因式：464x +
【例10】 证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数． 【例11】 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++ 模块二：拆项与添项 【例12】 分解因式：343a a -+ 【巩固】 分解因式：32265x x x +-- 【例13】 分解因式：3234x x +- 【例14】 分解因式：267x x +-
【巩固】 分解因式：398x x -+ 【例15】 （“CASIO”杯河南省竞赛）把下列各式因式分解：326116x x x +++ 【例16】 若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( ) A.0 B.1- C.1 D.3 【例17】 分解因式：323233332a a a b b b ++++++ 【例18】 分解因式：3333a b c abc ++-. 【例19】 分解因式：22268x y x y -++- 【例20】 分解因式： 224414x y x y -++
拓展课：因式分解中的拆项、添项法
拓展课： 因式分解中的拆项、添项法 教学目标： 1、掌握用拆项和添项法对多项式进行因式分解，掌握这两种方法的技巧。 2、 在因式分解方法的选择中，培养思维的有序性，分析问题的逻辑性和 注重解题策略的良好思维品质.渗透整体思想和化归思想. 3、学会分析问题解决问题，培养观察、归纳、总结能力. 教学重点：拆项和添项的技巧。 教学难点：通过对题目特点的观察，灵活变换。合理、有效的选择因式分 解的方法. 教学过程： 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简 常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为 零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项， 即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合 相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式 能用分组分解法进行因式分解． 例1 分解因式： )22)(22() 22)(22(4)2(4444 )1(22222 222 244+-++=-+++=-+=-++=+x x x x x x x x x x x x x x 试一试：444 1y x + 例2 分解因式： x 3-9x+8． 分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法， 注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将一次项-9x 拆成-x-8x ．
原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法2 添加两项-x 2+x 2． 原式=x 3-9x+8=x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法3 将常数项8拆成-1+9． 原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)． 解法4 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3． 原式=9x 3-8x 3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x 3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)． 注： 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 练习：1、1724+-x x 2、 343+-a a 自主评价和小结： 分解因式 3、4224b b a a ++ 4、12234++++x x x x ； 、； 、作业： 132412444+-+x x y x
分数拆项与裂项
分数的速算与巧算 1、 裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握 裂项技巧及寻找通项进行解题的能力 2、 换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。 3、 循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数 与分数的主要利用运算定律进行简算的问题． 4、通项归纳法 通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式． 知识点拨 一、裂项综合 （一）、“裂差”型运算 (1)对于分母可以写作两个因数乘积的分数，即 1a b ?形式的，这里我们把较小的数写在前面，即a b <，那么有1111()a b b a a b =-?- (2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即： 1(1)(2)n n n ?+?+，1(1)(2)(3) n n n n ?+?+?+形式的，我们有： 1111[](1)(2)2(1)(1)(2) n n n n n n n =-?+?+?+++ 1111[](1)(2)(3)3(1)(2)(1)(2)(3) n n n n n n n n n n =-?+?+?+?+?++?+?+ 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x 为任意自然数)的，但是只要将x 提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 （二）、“裂和”型运算： 常见的裂和型运算主要有以下两种形式： （1）11a b a b a b a b a b b a +=+=+??? （2）2222a b a b a b a b a b a b b a +=+=+??? 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 三、整数裂项 (1) 122334...(1)n n ?+?+?++-?1(1)(1)3 n n n = -??+ (2) 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ??+??+??++-?-?=--+ 二、换元 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简． 三、循环小数化分数
八年级数学：《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点归纳
初中数学新课程标准教材 数学教案( 2019 — 2020学年度第二学期 ) 学校： 年级： 任课教师： 数学教案 / 初中数学 / 八年级数学教案 编订：XX文讯教育机构
《因式分解-待定系数法、换元法、添项拆项法》知识点 归纳 教材简介:本教材主要用途为通过学习数学的内容，让学生可以提升判断能力、分析能力、理解能力，培养学生的逻辑、直觉判断等能力，本教学设计资料适用于初中八年级数学科目, 学习后学生能得到全面的发展和提高。本内容是按照教材的内容进行的编写，可以放心修改调整或直接进行教学使用。 知识体系梳理 ◆添项拆项法 有的多项式由于“缺项”，或“并项”因此不能直接分解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称为添项、拆项法。 一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。 ◆待定系数法 有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定系数法分解因式。 ◆换元法
所谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部分看成一个整体，用新的字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的方法，就叫。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程度等方面都有着独到的作用。 （1）、使用换元法时，一定要有意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。 （2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换元、整体换元、特殊值换元和几何换元。 （3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式“回归”。 ★★典型例题、方法导航 ◆方法一：添项拆项法 【例1】分解因式： 分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可考虑添项拆项法分解。从它的最高次项看是三次，因此我们可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成±1、±2，因此我们可猜想分解的结果可能是或或 ,但的中间项是 ,因此是不可能的，因此只可能是前面两种的其中一种。下面请看： 解： 其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法吗？在注意到分解结果中有和
因式分解(双十字相乘法)换元法,添拆项法,
板块二：选主元 【例1】 分解因式：1a b c ab ac bc abc +++++++ 【例2】 分解因式：(6114)(31)2a a b b b +++-- 【例3】 分解因式：2222a b ab bc ac --++ 【例4】 分解因式：2222223a b ab a c ac abc b c bc -+--++ 【例5】 分解因式：22(1)(1)(221)y y x x y y +++++ 【例6】 分解因式：222222()()(1)()()ab x y a b xy a b x y ---+-++ 【例7】 分解因式：322222422x x z x y xyz xy y z --++- 板块三：双十字相乘 双十字相乘法： 对于某些二元二次六项式22ax bxy cy dx ey f +++++，可以看作先将关于x 的二次三项式 22()ax by d x cy ey f +++++的“常数项”2cy ey f ++用十字相乘法分解，然后再次运用十字相乘法将关于x 的二次三项式分解。 由于这种方法两次使用了十字相乘法，故称之为双十字相乘法. 【例8】 分解因式：222332x xy y x y +-+++ 【例9】 分解因式：22344883x xy y x y +-+--
【例10】 分解因式：2265622320x xy y x y --++- 【例11】 分解因式：22276212x xy y x y -++-- 【例12】 分解因式：22121021152x xy y x y -++-+ 【例13】 分解因式：22243x y x y ---- 【例14】 分解因式：22534x y x y -+++ 【例15】 分解因式：2222()3103x a b x a ab b ++-+- 【例16】 分解因式：22265622320x xy y xz yz z ----- 【例17】 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且222433720a ac c ab bc b ++--+=，求证： 2b a c =+ 【例18】 分解因式：2262288x xy y x y +-+-- 【例19】 分解因式：223224x xy y x y ++++ 【例20】 分解因式：222695156x xy y xz yz z -+-++
第16讲(竞赛选讲)因式分解之添项拆项-双十字相乘
第16讲(竞赛选讲)因式分解之添项拆项-双十字相乘
第16讲 因式分解的方法—配方法和拆添项法 知识要点：拆项或添项是将原多项式配上某些需要的项，创造能因式分解的条件。配方法则是通过拆项或添项，把一个式子写成完全平方式或几个完全平方式和的形式。 补充公式：) )((2233 b ab a b a b a +-+=+ ) )((2233b ab a b a b a ++-=- A 卷 一、填空题 1、分解因式：_____ __________893 =+-x x .（拆项法） 2、分解因式：_____ __________12224 =-+++a ax x x .（添项法） 3、分解因式：__________ __________15 =++x x .（添项法） 4、（“希望杯”初二试题）分解因式： ___ __________232432234=++++b ab b a b a a . 5、（天津市竞赛试题）已知0 14642222 =+-+-++z y x z y x ，则 ____ =++z y x . 6、（“希望杯”初二竞赛试题）已知b a b a x -+=，b a b a y +-= （b a ±≠），且+2 19x 2005 191432=+y xy ，则____=+y x 或 .（配方法） 二、选择题 7、（“五羊杯”竞赛试题）若x 是自然数，设 1 222234++++=x x x x y ，则（ ）
A 、y 一定是完全平方数 B 、存在有限个x ，使y 是完全平方数 C 、y 一定不是完全平方数 D 、存在无限个x ，使y 是完全平方数 8、若a 、b 、c 满足9 222 =++c b a ，则代数式() ()() 2 2 2 a c c b b a -+-+-的最大值是（ ） A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 B 卷 一、填空题 9、（全国联赛）已知() ()() a c b a c b --=-2 4 1，且0≠a ，则_________=+a c b .（配方法） 10、整数a 、b 满足3031096+-=b a ab ，则________=+b a .（拆项法） 11、正数a 、b 、c 满足1 233222 -++≤+++c b ab c b a ，则_____=a ， _____ =b ，_____=c . 二、选择题 12、（“五羊杯”竞赛试题）a 、b 、c 、d 都是正数，则在以下命题中，错误的是（ ）
分数拆项法
分数拆项法 一、教学过程: 【知识点梳理】 公式一: 1 1 1)1(1+-=+?a a a a 公式二: )1 1(1)(1n a a n n a a +-?=+? 【例题精讲】 例题1、计算: 11×2 +12×3 +13×4 +…、、+ 199×100 【即时练习】计算下面各题 (1)14×5 +15×6 +16×7 +…、、+ 139×40 (2) 12 +16 +112 +120 + 130 +142 (3)110×11 +111×12 +112×13 + 113×14 +1 14×15 例题2、计算:12×4 +14×6 +16×8 +…、、+ 1 48×50 【即时练习】计算下面各题: (1) 13×5 +15×7 +17×9 +…、、+ 197×99 (2) 11×4 +14×7 +17×10 +…、、+ 197×100 (3) 11×5 +15×9 +19×13 +…、、+ 133×37
例题3、计算:113 －712 +920 －1130 +1342 －15 56 【即时练习】计算下面各题: (1)112 +56 －712 +920 －1130 (2) 114 －920 +1130 －1342 +1556 (3) 19981×2 +19982×3 +19983×4 + 19984×5 +1998 5×6 例题4、计算:12 +14 +18 +116 +132 +1 64 【即时练习】计算下面各题: (1) 12 +14 +18 +………+1256 (2) 23 +29 +227 +281 +2243 【奥赛天天练】 1、 1－16 +142 +156 +172 2、 14 +128 +170 +1130 +1 208
添拆项法及配方法
添拆项法及配方法，公式法，分组分解 【知识要点】 常用公式有： 平 方 差： )b a )(b a (b a 2 2-+=- 完全平方： 222)b a (b 2ab a ±=+± 立方和：))((2233b ab a b a b a +-+=+ 三项和平方：2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++； 三项立方和：))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++ 备注： 1、拆项、添项：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组解法进行分解因式。 2、配方：用配方法进行因式分解是添拆项中的一种特殊情况，添拆项后将产生平方公式。 【典型例题】 模块一：利用配方思想拆项与添项 【例1】 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值． 【例2】 分解因式：43221x x x x ++++ 【例3】 分解因式：432234232a a b a b ab b ++++=_______. 【例4】 分解因式：4231x x -+； 【例5】 分解因式：42231x x -+； 【例6】 分解因式：4224a a b b ++ 【例7】 分解因式： 12631x x -+ 【例8】 分解因式： 841x x ++ 【例9】 分解因式： 4224781x x y y -+
【例10】 已知n 是正整数，且4216100n n -+是质数，那么n =_______. 【例11】 分解因式：()()()222241211y x y x y +-++- 【例12】 分解因式：42222222()()x a b x a b -++- 【例13】 分解因式：33(1)()()(1)x a xy x y a b y b +---++ 【例14】 把444x y +分解因式． 【例15】 分解因式：464x + 【例16】 证明：在m n 、都是大于l 的整数时，444m n +是合数． 【例17】 分解因式：444222222222a b c a b b c c a ---+++ 模块二：拆项与添项 【例18】 分解因式：343a a -+ 【例19】 分解因式：32265x x x +-- 【例20】 分解因式：3234x x +- 【例21】 分解因式：267x x +- 【例22】 分解因式：398x x -+ 【例23】 把下列各式因式分解：326116x x x +++ 【例24】 把下列各式因式分解：4322928x x x x +--+ 【例25】 若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( ) A.0 B.1- C.1 D.3 【例26】 分解因式：323233332a a a b b b ++++++
因式分解(一)分组分解与添拆项
因式分解(一)分组分解与添拆项 【知识要点】 1．四项式的分组方法：⑴两两分组：分组后是否有公因式⑵ 一三分组：分组后是否满足平方差公式2．分组的目的：⑴直接运用公式⑵直接提公因式3．两项的多项式，如不能提公因式也不能运用平方差公式，可以考虑配方法添项进行因式分解。4．拆项、添项：将多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个符号相反的项，使得便于用分组分解法进行分解因式。 【典型例题】 例1．把因式分解把分解因式例2．把例3．把下列各式因式分解（1）（2）（3）（4）例4．把下列各式因式分解 (1 )x4+4y4 （2）x4+x2y2+y4例5、下列多式因式分解（1） ab(c2+d2)+cd(a2+b2) （2）(x+2)(x-2)-4y(x-y)例6．因式分解2m2(n+2)-12mn-3n2(m-3) 例7 思考题：a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b) 【闯关练习】 1、多项式，按下列分组分解因式： ① ② ③ ④ 其中正确的分组方法是（） A．①② B．①③ C．②③ D．①④2．对于多项式有如下四种分组方法：
① ② ③ ④ 其中分组合理的是（） A．①② B．①③ C．②④ D．③④3．分解因式后结果是的是（） A． B． C． D．4．下列各式分解因式中，错误的有（）A． B． C． D．5．用分组分解法把分解因式，正确的分组方法是（） A．3种 B．2种 C．1种 D．0种6．把下列各式因式分解：（1）（2）（5）（6）（7）（8） 【冲刺练习】 1、2、3、4、5．6．持之以恒，积水成河，不让成功离你而去！完成时间： 分钟；老师评阅： 【夺冠练习】 1．2．3．4．5．6、 =7、8．把下列各式分解因式（1）（2）（3）（4）（5）（6）9．把下列各式因式分解：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（9）（10）（11）
4. 因式分解技巧-拆项与添项 -单墫
4.拆项与添项 为便于进行分组分解，常常将一项（或若干项）拆为两项（或几项）的和． 4.1 拆 开 中 项 前面已经说过，在分组分解时，常常将项数平均分配．但是，像344+-x x 这样的式子，只有三项，怎么能平均分成两组呢？方法是先将一项拆为两项．如果这个整式是按某一字母的升幂或降幂排列的，那么以拆开中项为宜． 例1 分解因式：.344 +-x x 解 344+-x x 334+--=x x x )33()(4---=x x x )1(3)1)(1(2--++-=x x x x x ).3)(1(23-++-=x x x x 例2 分解因式：.)(13 22abx x a b --+ 解 322)(1abx x a b --+ )()1(3222abx bx x a -+-= )1()1)(1(2ax bx ax ax -+-+= ).1)(1(2bx ax ax ++-= 在这两个例子中，都有一个因式是x 的一次多项式．第8单元将讨论求一次因式的一般方法． 4.2 皆 大 欢 喜 拆项的目的无非是在适当分组后使得每一组都可以“提”或“代”（同时，组与组之间也可以“提”或“代”）．因此，有时也不一定都是拆开中项． 例3 分解因式： .233332 323++++++b b b a a a 解 前三项比完全立方公式少1，四、五、六项的和也比立方公式少1．如果把2拆为两个1，那么就可以使两组都成为完全立方，皆大欢喜，于是 233332323++++++b b b a a a )133()133(2323+++++++=b b b a a a 33)1()1(+++=b a ])1()1)(1()1)[(2(22++++-+++=b b a a b a
拓展课 因式分解中的拆项 添项法
拓展课： 因式分解中的拆项、添项法 教学目标： 1、掌握用拆项和添项法对多项式进行因式分解，掌握这两种方法的技巧。 2、 在因式分解方法的选择中，培养思维的有序性，分析问题的逻辑性和注 重解题策略的良好思维品质.渗透整体思想和化归思想. 3、学会分析问题解决问题，培养观察、归纳、总结能力. 教学重点：拆项和添项的技巧。 教学难点：通过对题目特点的观察，灵活变换。合理、有效的选择因式分 解的方法. 教学过程： 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将 几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对 某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式 中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前 者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法 进行因式分解． 例1 分解因式： 试一试：444 1y x
例2 分解因式： x 3 -9x+8． 分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将一次项-9x 拆成-x-8x ． 原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法2 添加两项-x 2+x 2． 原式=x 3-9x+8=x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法3 将常数项8拆成-1+9． 原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)． 解法4 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3． 原式=9x 3-8x 3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x 3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)． 注： 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 练习：1、1724+-x x
拆项法
用拆项法进行分式运算 在有些分式加减法运算中，用常规方法通分去解相当繁琐，如果根据题型特征用拆项法解，能够化繁为简，化难为易，提高学生分析问题、解决问题的能力。 如果分式分母中的两个因式相差为1，逆用分式减法法则拆项。即表示为： )1(1+x x =x 1-1 1+x 计算： )1(1+x x +)2)(1(1++x x + …… +) 100)(99(1++x x 解：原式= x 1-11+x +11+x -21+x + …… +991+x -100 1+x =x 1-1001+x =x x 1001002+ 例1、 解方程：41+x +)2)(1(1++x x +)3)(2(1++x x +)4)(3(1++x x = 2 解：原方程可化为： 41+x +11+x -21+x +21+x -31+x +31+x -4 1+x = 2 1 1+x = 2 去分母得 2（x+1）= 1 解得 x = - 2 1 经检验 x = - 21 是原方程的根 2、将分式化为整式部分与分式部分的和的形式进行化简 例2、 计算：1222+++x x x -2542+++x x x -3 1062+++x x x +41782+++x x x 解：原式=11)12(2++++x x x -2 1)44(2++++x x x -31)96(2++++x x x +4 1)168(2++++x x x =（x+1+ 11+x ）-（x+2+21+x ）-（x+3+31+x ）+（x+4+4 1+x ） =11+x -21+x -31+x +41+x =)2)(1(1++x x -) 4)(3(1++x x
市北资优七年级分册 第11章 11.12 拆项与添项法+滕小红
11.12 拆项与添项法 【观察】 多项式x4＋2x3＋3x2＋2x＋1可以拆成x4＋x3＋x3＋x2＋x2＋x2＋x＋x＋1． 又例如代数式ab(a－b)＋bc(b－c)＋ca(c－a)，添项后可变形为ab(a－b)＋bc［(b－a)＋(a－c)］＋ca(c －a)． 把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项． 在代数式中添加两个相反项，叫做添项． 拆项和添项都是代数式的恒等变形． 我们知道因式分解是与整式乘法方向相反的整式变形．在多项式乘法中有时需要合并同类项，与之相反的变形则为拆项与添项． 对所给多项式直接分组难以进行因式分解时，常常可以通过拆项或添项的变形，把某些被合并的同类项恢复原状，创造使用提取公因式或运用公式进行分组分解的条件，使原式的某些项之间能建立起联系，便于进行因式分解． 【例1】分解因式：x4＋x3－3x2－4x－4． 【分析】原式中x4，x3的系数都等于1，一次项系数与常数项都等于－4，因此把中项－3x2拆成x2－4x2即可分组分解． 【解】原式＝x4＋x3＋x2－4x2－4x－4 ＝x2(x2＋x＋1)－4(x2＋x＋1) ＝(x2＋x＋1)(x2－4) ＝(x2＋x＋1)(x＋2)(x－2) ． 【例2】分解因式：x2－2(a＋b)x－ab(a－2)( b＋2)． 【分析】原式中前两项x2－2(a＋b)x可进行配方，添上(a＋b)2－(a＋b)2即可分组分解． 【解】原式＝x2－2(a＋b)x＋(a＋b)2－(a＋b)2－ab(a－2)( b＋2) ＝［x－(a＋b)］2－［(a＋b)2＋ab(ab＋2a－2b－4)］ ＝(x－a－b)2－［(a＋b)2－4ab＋2ab(a－b)＋a2b2］ ＝(x－a－b)2－［(a－b)2＋2ab(a－b)＋(ab)2］ ＝(x－a－b)2－(a－b＋ab)2 ＝(x－a－b＋a－b＋ab)( x－a－b－a＋b－ab) ＝(x－2b＋ab)(x－2a－ab) ． 补充说明：原式是一个关于x的二次三项式，如果将常数项－ab(a－2)( b＋2)变形为(2b－ab)(2a＋ab)，即可用十字相乘法对原式进行因式分解． 【例3】分解因式：2x4－15x3＋38x2－39x＋14． 【分析】先把多项式的第二项－15x3拆成－2x3和－13x3，把第三项38x2拆成13x2和25x2，把第四项－39x 拆成－25x和－14x，分组提取公因式，在拆项即可解得． 【解】原式＝2x4－2x3－13x3＋13x2＋25x2－25x－14x＋14 ＝2x3(x－1)－13x2(x－1)＋25x(x－1)－14(x－1) ＝(x－1)(2x3－13x2＋25x－14) ＝(x－1)(2x3－7x2－6x2＋21x＋4x－14) ＝(x－1)［(2x3－7x2)－(6x2－21x)＋(4x－14)］ ＝(x－1)［x2 (2x－7)－3x (2x－7)＋2(2x－7)］ ＝(x－1)(2x－7)(x2－3x＋2) ＝(x－1)(2x－7)(x－1)(x－2) ＝(x－1)2(x－2)(2x－7) ．
因式分解拆项
第一讲添拆项与配方法 知识点 【版块一】添拆项 拆项：把代数式中的某项拆成两项或几项的代数和，叫做拆项 添项：在代数式中填上两个相反项，叫做添项 X3 - 4x+3 奥巴马老师语录：拆添项法形式多样，技巧性较灵活。其解题的关键，往往在于仔细观察各项系数之间的关系，然后拆添项，以便进行分组分解。 【例1】因式分解：乂-4? + 3 【例题2】因式分解：x9+x6+x3-3 【例题3】因式分解：x4+x3-3x2-4x-4 【例题4】因式分解：x5+x + 1
板块二】配方法 配方：利用添项的方法，将原式配上某些需要的缺项，使添项后的多项式的一部分成 为一个完全平方式，这种方法叫做配方法。 【例题】P+4 原式=x4+ 4x2+ 4 - 4x2 =(x2+ 2)2- (2x )2 =(X + 2x+2)(x—2x+2) 奧巴马老师语录：在因式分解的配方法中，我们往往需要配上的是中间项2ab，将多项式配成平方差公式J2-B2，使多项式可以分解成为(J+B)(A—B)的形式。 【例5】因式分解：x4+ x2y2+y4 因式分解：a4— 27a2b2+ b4 【例6】因式分解：4x2-4x-y2+4y-3 【例7】a4+b4+c4- 2a2b2- 2b2c2- 2c2a2 【例8】若a为自然数，则V-3a2+9是素数还是合数？请证明你的结论。
奥巴马老师总结 1.为了便于分组分解，常常采用添拆项的方法，使得分成的每一组都有公因式可以提 戒者可以应用公式。 2.对于一些按某一字母降幂排列的三项式，拆开中项是最常见的。 3.对于一些次数相差比较大的“跳水题型”，往往可以把所缺的次数一一补齐。 4.在使用配方法时，注意所配中间项的符号，以便于迚一步的平方差分解。 同学们再见~~~ 【课后作业】 【练习1】因式分解：X3-9X+8 【练习2】因式分解：X4-6X2-7X-6
拓展课因式分解中的拆项添项法
拓展课因式分解中的拆项 添项法 It was last revised on January 2, 2021
拓展课： 因式分解中的拆项、添项法 教学目标： 1、掌握用拆项和添项法对多项式进行因式分解，掌握这两种方法的技巧。 2、 在因式分解方法的选择中，培养思维的有序性，分析问题的逻辑性和注重解题策略的良好思维品质.渗透整体思想和化归思想. 3、学会分析问题解决问题，培养观察、归纳、总结能力. 教学重点：拆项和添项的技巧。 教学难点：通过对题目特点的观察，灵活变换。合理、有效的选择因式分 解的方法. 教学过程： 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解． 例1 分解因式： 试一试：444 1y x 例2 分解因式： x 3-9x+8． 分析 本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧．
解法1 将一次项-9x 拆成-x-8x ． 原式=x 3-x-8x+8=(x 3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法2 添加两项-x 2+x 2． 原式=x 3-9x+8=x 3-x 2+x 2-9x+8=x 2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x 2+x-8)． 解法3 将常数项8拆成-1+9． 原式=x 3-9x-1+9 =(x 3-1)-9x+9=(x-1)(x 2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x 2+x-8)． 解法4 将三次项x 3拆成9x 3-8x 3． 原式=9x 3-8x 3-9x+8=(9x 3-9x)+(-8x 3+8) =9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x-1)(x 2+x-8)． 注： 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种． 练习：1、1724+-x x 2、 343+-a a 自主评价和小结： 分解因式 3、4224b b a a ++ 4、12234++++x x x x ；、； 、作业： 132412444+-+x x y x
实用文档之因式分解中的拆项、添项法
实用文档之" 因式分解中的拆项、添项法" 安徽滁州二中郑刚 239000 因式分解是多项式乘法的逆运算．在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零．在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项．拆项、添项的目的是使多项式能用分组分解法进行因式分解．现举一例： 例分解因式：x3-9x+8． 分析本题解法很多，这里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧． 解法1 将常数项8拆成-1+9． 原式=x3-9x-1+9 =(x3-1)-9x+9 =(x-1)(x2+x+1)-9(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法2 将一次项-9x拆成-x-8x． 原式=x3-x-8x+8 =(x3-x)+(-8x+8) =x(x+1)(x-1)-8(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法3 将三次项x3拆成9x3-8x3． 原式=9x3-8x3-9x+8 =(9x3-9x)+(-8x3+8)
=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1) =(x-1)(x2+x-8)． 解法4 添加两项-x2+x2． 原式=x3-9x+8 =x3-x2+x2-9x+8 =x2(x-1)+(x-8)(x-1) =(x-1)(x2+x-8)． 注：由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分解诸方法中技巧性最强的一种．
六年级简便运算中的拆项法
六年级简便运算中的拆项法 一、考点、热点回顾 前面介绍了运算定律和性质以及数的特点进行巧算和简算的一些方法，今天我们学习怎样用替换法和拆分法（也叫裂项法、拆项法）进行分数的简便运算以及等差数列的求和运算及其应用。 裂项：1 11)1(1+-=+?a a a a )11(1)(1n a a n n a a +-?=+? 等差数列：1a ， 2a ，……..，n a 公差d =后一项减前一项)(12a a d -= 项：11+-=d a a n n 和=2 )(1n a a n +? 二、典型例题 例1：计算 100991.......431321211?++?+?+? 练习1：计算 ① 40 391......761651541?++?+?+?
② 55 542......141321312212112?++?+?+? ③ 4213012011216121+++++ 例2：计算： 50481......861641421?++?+?+? 练习2：计算 ① 99971......971751531?++?+?+? ② 37 331.......1391951511?++?+?+?
例3：计算561542133011209127311-+-+- 练习3：计算6301162091276?+?-? 例4： 641321161814121+++++ 练习4：256 28122729232++++ 例5：计算 ①=++++100......321＿＿＿＿＿＿ ②=++++100......642＿＿＿＿＿＿ ③=++++99.......531＿＿＿＿＿＿ 方法：100......321++++ +1.....9899100++++ =101...101101+++（100个）
八年级第六讲 换元法和添项拆项法
名师堂八年级数学第六讲换元法和添项拆项法分解因式 前面我们已学过了提取公因式法，应用公因式法，十字相乘法，分组分解法这四种基本的分解因式的方法，下面我们再介绍几种因式分解的方法： 1、换元法 （1）直接换元法 例1．用换元法分解因式 （x2+4xy+y2）2-18xy(x2+y2),观察多项式中含x2+y2,xy,因此我们可以设x2+y2=m, xy=n, 用含m,n的代数式表示原式，再将原式分解因式。 试一试，你能用换元法分解下面的多项式吗？ （a2+b2）（a2+b2-10）+25 例2．用换元法分解因式 （x2+8x+7）（x2+8x+15）-9,观察多项式中两括号中都有x2+8x,因此我们可设x2+8x=m,用含有m的代数式表示原式，再分解： 例3.分解因式（3x2+24x+7）(2x2+16x+15)+14,观察发现两括号中二次项、一次项系数的比为3：24=2：16，因此可以用换元法分解： 解： 试试看：你能用换元法分解下面多项式的因式分解
（3x2+24x+7）(x2+8x+15)-41 (2)组合换元法 例4．分解因式 （x+1）（x+3）（x+5）（x+7）-9,观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内的常数的和为1+7=3+5，因此也可用组合换元法分解因式。 解： 试一试：分解因式（x-1）（x-2）（x-3）（x-4）-24 例5.证明四个连续正整数的积与1的和是一个完全平方： 解： 2、基础训练 用换元法分解因式 (1)(x2+y2)(x2+y2-8)+16 (2)(x2+y2)(2x2+2y2-3)-5 (3)(x2+2x-5)(x2+2x-6)-6 (4)(x2+x+2)(x2+x-4)-16