人教版高中数学函数的单调性教案

基础巩固强化

一、选择题

1．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( ) A ．y ＝2－3x 2 B ．y ＝ln x C ．y ＝1

x －2

D ．y ＝sin x

[答案] C

[解析] A 中，y ′＝－6x ，当－10，当0

(x －2)2

<0对x ∈(－1,1)恒成立，∴函数y ＝1

x －2在区间(－1,1)上是减函数；D 中，y ′＝cos x >0对x ∈(－

1,1)恒成立，∴函数y ＝sin x 在(－1,1)上是增函数．

2．函数f (x )＝x ＋ln x 在(0,6)上是( ) A ．单调增函数 B ．单调减函数

C ．在(0，1e )上是减函数，在(1

e ，6)上是增函数 D ．在(0，1e )上是增函数，在(1

e ，6)上是减函数 [答案] A

[解析] ∵f ′(x )＝1＋1

x >0， ∴函数在(0,6)上单调递增．

3．已知对任意实数x ，有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，且当x >0，

有f ′(x )>0，g ′(x )>0，则当x <0时，有( )

A ．f ′(x )>0，g ′(x )>0

B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0

C ．f ′(x )<0′，g ′(x )>0

D ．f ′(x )<0，g ′(x )<0 [答案] B

[解析] 由已知f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．∵x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )>0，

∴f (x )，g (x )在(0，＋∞)上递增． ∴x <0时，f (x )递增，g (x )递减． ∴x <0时f ′(x )>0，g ′(x )<0.

4．(2012·辽宁文，8)函数y ＝12x 2－ln x 的单调递区间为( ) A ．(－1,1] B ．(0,1] C ．[1，＋∞) D ．(0，＋∞)

[答案] B

[解析] 本题考查利用导数求函数的单调区间．

∵y ＝12x 2－ln x ，∴y ′＝x －1x ＝x 2

－1

x (x >0)，

令?????

x 2－1x ≤0x >0

，得0

∴函数的单调递减区间为(0,1]．

需要熟记基本初等函数的求导公式，同时注意区间的端点．

5．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.? ?

???－π，－π2和? ????0，π2 B.? ????－π2，0和? ?

???0，π2 C.? ?

???－π，－π2和? ??

??π2，π D.? ????－π2，0和? ??

??π2，π [答案] A

[解析] y ′＝x cos x ，当－π

2时， cos x <0，∴y ′＝x cos x >0，

当－π

20，∴y ′＝x cos x <0. 当0

2时，cos x >0，∴y ′＝x cos x >0. 当π

2

6．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )

[答案] B

[解析] 因为二次函数在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递减，所以其导函数在(－∞，0)上大于0，在(0，＋∞)上小于0，故选B.

二、填空题

7．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为________． [答案] (－∞，－1

3)，(1，＋∞)

[解析] ∵y ′＝3x 2－2x －1＝(3x ＋1)(x －1)， ∴由y ′>0得，x >1或x <－1

3.

8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为(－1,3)，则b ＝________，c ＝________.

[答案] －3 －9

[解析] f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，

由条件知??

?

f ′(－1)＝0

f ′(3)＝9

，即??

?

3－2b ＋c ＝027＋6b ＋c ＝0

，

解得b ＝－3，c ＝－9.

9．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是____________．

[答案] [3，＋∞)

[解析] y ′＝3x 2－2ax ，由题意知3x 2－2ax ≤0在区间(0,2)内恒成立，

即a ≥3

2x 在区间(0,2)上恒成立，∴a ≥3. 三、解答题

10．讨论函数f (x )＝bx

x 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．

[解析] ∵f (x )＝bx

x 2－1(－1

∴f ′(x )＝(bx )′(x 2－1)－bx (x 2－1)′

(x 2－1)2

＝bx 2－b －2bx 2(x 2－1)2＝－b (1＋x 2)(x 2－1)2

∵－10，(x 2－1)2>0，

①当b >0时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递减． ②当b <0时，f ′(x )>0，∴函数f (x )在(－1,1)上单调递增.

能力拓展提升

一、选择题

11．若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )

[答案] A

[解析]考查导函数的基本概念及导数的几何意义．

∵导函数f′(x)是增函数，

∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，

故选A.

12．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a 的取值范围为()

A．a≥3 B．a>3

C．a≤3 D．a<3

[答案] A

[解析]∵f′(x)＝3x2－a，

又f(x)在(－1,1)上单调递减，

∴f ′(x )≤0在(－1,1)上恒成立， 即3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立． ∴a ≥3x 2在(－1,1)上恒成立， 又0≤3x 2<3，∴a ≥3，

经验证当a ＝3时，f (x )在(－1,1)上单调递减． 13．函数f (x )＝－x

e x (a

f (a )＝f (b ) B ．f (a )f (b )

D ．f (a )，f (b )的大小关系不能确定 [答案] C

[解析] f ′(x )＝(－x

e x )′ ＝(－x )′·e x －(－x )·(e x )′(e x )2

＝x －1e x .

当x <1时，f ′(x )<0，∴f (x )为减函数， ∵a f (b )．

14．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f ′(x )的图象可能是( )

[答案] D

[解析] 由f (x )的图象知，f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，∴在(0，＋∞)上f ′(x )≤0，在(－∞，0)上f ′(x )≥0，故选D.

二、填空题

15．函数f (x )＝x ln x 的单调减区间为________． [答案] (0，1

e )

[解析] 函数f (x )定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1.

解f ′(x )<0得x <1

e ，又x >0， ∴

f (x )的减区间为(0，1

e )．

16．已知函数f (x )＝ax ＋1

x ＋2

在(－2，＋∞)上单调递减，则a 的取

值范围是________．

[答案] (－∞，1

2)

[解析] f ′(x )＝a (x ＋2)－ax －1(x ＋2)2＝2a －1

(x ＋2)2

， 由题意得x <－2时，f ′(x )≤0恒成立， ∴2a －1≤0，∴a ≤1

2.

又当a ＝1

2时，f (x )＝1

2x ＋1x ＋2

＝12，

此时，函数f (x )在(－2，＋∞)上不是减函数， ∴a ≠12.

综上可知，a 的取值范围为(－∞，1

2)． 三、解答题

17．设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11).

(1)求a ，b 的值；

(2)讨论函数f (x )的单调性． [解析] (1)f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b .

因为f (x )的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f (1)＝－11，f ′(1)＝－12，

即??

?

1－3a ＋3b ＝－113－6a ＋3b ＝－12

，解得a ＝1，b ＝－3.

(2)由a ＝1，b ＝－3得f ′(x )＝3x 2－6ax ＋3b ＝3(x 2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．

令f ′(x )>0，解得x <－1或x >3； 又令f ′(x )<0，解得－1

故当x ∈(－∞，－1)时，f (x )是增函数； 当x ∈(3，＋∞)时，f (x )也是增函数； 当x ∈(－1,3)时，f (x )是减函数． 18．已知f (x )＝e x －ax －1.

(1)若f (x )在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；

(2)是否存在实数a 使f (x )在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．

[解析] (1)∵f (x )＝e x －ax －1， ∴f ′(x )＝e x －a . ∵f (x )在R 上单调递增，

∴f ′(x )＝e x －a ≥0(等号只能在有限个点处取得)恒成立，即a ≤e x ，x ∈R 恒成立．

∵x ∈R 时，e x ∈(0，＋∞)，∴a ≤0. (2)f ′(x )＝e x －a .

若f(x)在(－∞，0]上是单调递减函数?e x－a≤0在x∈(－∞，0]时恒成立?a≥(e x)max.

当x∈(－∞，0]时，e x∈(0,1]，

∴a≥1.①

若f(x)在[0，＋∞)上是单调递增函数

?e x－a≥0在x∈[0，＋∞)时恒成立?a≤(e x)min.

当x∈[0，＋∞)时，

e x∈[1，＋∞)，∴a≤1.②

由①②知a＝1，故存在a＝1满足条件．

1．二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点在()

A．第一象限B．第二象限

C．第三象限D．第四象限

[答案] C

[解析]由题意可设f(x)＝ax2＋bx，f′(x)＝2ax＋b，由于f′(x)图象是过第一、二、三象限的一条直线，故2a>0，b>0，则f(x)＝a(x

＋b 2a)2－b

2

4a

，顶点(－b

2a

，－b2

4a)在第三象限，故选C.

2．设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()

[答案] C

[分析]由导函数f′(x)的图象位于x轴上方(下方)，确定f(x)的单调性，对比f(x)的图象，用排除法求解．

[解析]由f′(x)的图象知，x∈(－∞，0)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，x∈(0,2)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．

只有C符合题意，故选C.

3．函数y＝x3＋ax＋b在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，则()

A．a＝1，b＝1 B．a＝1，b∈R

C．a＝－3，b＝3 D．a＝－3，b∈R

[答案] D

[解析] f ′(x )＝3x 2＋a ，由条件f ′(1)＝0， ∴a ＝－3，b ∈R .

4．已知函数y ＝f (x )的图象在点M (1，f (1))处的切线方程为y ＝1

2x ＋2，则f (1)＋f ′(1)＝________.

[答案] 3

[解析] ∵切点M 在切线y ＝1

2x ＋2上， ∴f (1)＝12×1＋2＝5

2，

又切线斜率k ＝12，∴f ′(1)＝1

2， ∴f (1)＋f ′(1)＝52＋1

2＝3.

5．若函数y ＝－4

3x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围________．

[答案] a >0

[解析] y ′＝－4x 2

＋a ，若y ＝－43x 3

＋ax 有三个单调区间，则方

程－4x 2＋a ＝0应有两个不等实根，故a >0.

6．已知f (x )＝13x 3＋12ax 2

＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围．

[解析] 因为f ′(x )＝x 2＋ax ＋a (a ∈R )， 由题意知：f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，

所以Δ＝a2－4a≤0，所以0≤a≤4.

故当0≤a≤4时，f(x)在R上单调递增．