正四面体性质及其应用审批稿

正四面体性质及其应用 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】

正四面体的性质及其应用

正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则（1）全面积S 全= 3 a 2；（2）高h = 6

3a ；

（3）体积V = 2

12 a 3；

（4）对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2

（5）相邻两面所成的二面角α=arccos 1

3；（6）棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ；

（7）正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6

12a ，外接球半径R ＝

4a ，r ︰R =1︰3；

（8）正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。

将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：

例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π

3，则球心O 到平面ABC 的距离为（） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7

解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3

==⌒

⌒

CA BC AB ，球的半径r =1

∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π

3，则AB=BC=CA =1

所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的

距离即其高为 6

3，答案B 。

例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a

解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6

12a ，中截面到底面的距离为高

的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6

12a ，因此选C 。

例3：（06年陕西卷）将半径为R

的球心到桌面的距离为。

解析A 、B 、C 、D

，因为四个球两两相切，则ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为

2 6

3R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距

离为R +2 6 3R =（1+2 6

3）R 。

例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60○，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（）

A 4 3 27π

B 6 2π

C 6 8π

D 解析：三棱锥P -DC

E 实质上是棱长为1的正四面体，则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。

例5：（06年湖南卷）棱长为2球心的一个截面如图1

2 2

3 2

C 2

D 3

解析：由截面图形可知，正四面体恰好有两个顶点在球面上，且截面圆经过其外接球的球心（正四面体的中心），由正四面体的对称性可知M 为AB 对棱CD 的中点，M 到AB 的距离即为正四面体对棱公垂线的长 2

2a ，所以

S △ABC = 1

2×2× 2 ×2＝ 2 。

例6：(07年安徽卷)半径为1的球面上的四点A 、B 、C 、D 是正四面体的顶点，则A 与B 两点间的球面距离为（）

A )3

arccos(-

B )36arccos(-

C )31arccos(-

D )4

1arccos(- 解析：由题意可知，此球O 为正四面体的外接球，且外接球的半径为1，则正四面体的棱长为2 6 3，根据余弦定理得cos ∠AOB =1+1－(2 6

3)2

2×1×1=－1

3,所以∠AOB =arccos(－

13)，因此A 与B 两点间的球面距离为l =αR = arccos(－13)×1= arccos(－13)。

高考数学必背经典结论-正四面体性质

必背经典结论---提高数学做题速度！立体几何（必背经典结论）之正四面体性质（李炳璋提供）【***】由于时间仓促，难免有误，若有错误，请及时指正！谢谢！！！设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的对于棱长为a 正四面体的问题可将它补成一个边长为（1）对棱间的距离为a 2 2 （正方体的边长）/ 对棱中点连线段的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) （2）正四面体的高 a 3 6 （正方体体对角线l 32=）（3）正四面体的体积为3 12 2a （正方体小三棱锥正方体V V V 314=-）（4）正四面体的全面积 S 全= 2a ；（5）正四面体的中心到底面与顶点的距离之比为3:1 （正方体体对角线正方体体对角线：l l 2 1 61=）

（6）外接球的半径为 a 4 6 （是正方体的外接球，则半径正方体体对角线l 2 1 =）（7）内切球的半径为 a 12 6 （是正四面体中心到四个面的距离，则半径正方体体对角线l 6 1 =）（8）相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 （9）侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 （10）对棱互相垂直。（11）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高)。直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体。如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°， OA=a ,OB=b ,OC=c .则 A B C D O H

（1）不含直角的底面ABC 是锐角三角形；（2）直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心；（3）体积 V= 16a b c ；（4）底面面积S △ABC （5）S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ；（6）S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2 △ABC （7） 22221111 OH a b c =++; （8）外接球半径（9）内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++

正四面体性质及其应用

正四面体性质及其应用 Revised by Jack on December 14,2020

正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则（1）全面积S 全= 3 a 2；（2）高h = 6 3a ；（3）体积V = 2 12 a 3；（4）对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2a （5）相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3；（6）棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ；（7）正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4a ，r ︰R =1︰3；（8）正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3，则球心O 到平面ABC 的距离为（） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3，则AB=BC=CA =1

所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的距离即其高为 6 3，答案B 。例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12a ，因此选C 。例3：（06年陕西卷）将半径为R 的球心到桌面的距离为。解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为2 6 3R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距离为R +2 6 3R =（1+2 6 3）R 。例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60○，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（） A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DC E 实质上是棱长为1的正四面体，则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。例5：（06年湖南卷）棱长为2球心的一个截面如图1

正四面体的性质

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 (1)全面积S全 = 2a； (2)体积 V=3 12 a； (3)对棱中点连线段的长 d= a；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角α= 1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β= 1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a； (8)切球半径 r= 12 a. (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c.则 ①不含直角的底面ABC是锐角三角形； ②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心； ③体积V= 1 6 a b c； ④底面面积S△ABC ⑤S2△BOC=S△BHC·S△ABC； A B C D O H

⑥S 2 △BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 22 221111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 R= ⑨切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ 正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全= 2a ； (2)体积 3 ； (3)对棱中点连线段的长 d= a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a ； (8)切球半径 r= a . (9)正四面体任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； A O H

正四面体的性质 (2)

正四面体的性质及应用设正四面体ABCD 的棱长为a ，则存在以下性质：【性质1】正四面体的3对相对棱互相垂直，任意一对相对棱之间的距离为 a 22 【性质2】正四面体的高=h a 3 6 【性质3】正四面体的表面积为23a .体积为 3122a 【性质4】正四面体的内切球半径为=r a 126.外接球半径为=R a 4 6且4:3:1::=h R r 【性质5】正四面体底面内任一点O 到三个侧面的距离之和为 a 36 【性质6】正四面体内任一点到四个侧面的距离之和为a 3 6 【性质7】正四面体的侧棱与底面所成的二面角大小为: 36arccos 【性质8】正四面体相邻侧面所成的二面角的大小为: 3 1arccos 【性质9】设正四面体侧棱与底面所成的角为α,相邻两侧面所成的二面角的大小为β,则有βαtan 2tan = 【性质10】正四面体的外接球的球心与内切球的球心O 重合且为正四面体的中心【性质11】中心与各个顶点的四条连线中两两夹角相等为3 1arccos -π

【性质12】正四面体内接于正方体,且它们共同内接于同一个球.球的直径等于正方体的体对角线.( V 正四面体: V 正方体 : V 球 = 2 : 6 : 3 3) 二.正四面体性质的应用【例1】一个球与正四面体的6条棱都相切,若正四面体的棱长为a.求此球的体积.【例2】在正四面体ABCD.E,F分别为棱AD,BC的中点,连结AF,CE.①异面直线AF 和CE所成的角_______②CE与平面BCD所成的角_______ 【例3,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为________ 【例4】四面体的ABCD的表面积为S , 其四个面的中心分别为E , F , G , H .设四面体EFGH的表面积为T , 则 S : T = _______

正四面体的性质

⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m c a + b +c 与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) 1 a = arccos — 3 (5)对棱互相垂直。 ⑺外接球半径 R= —a ； 4 (8)内切球半径 r= 逅a 12 (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 . 如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c . 则 ① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心； 1 ③ 体积 V= - a b c ； 6 ④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; 2 2 2 2 & ⑥S △Bo +S △Ao +S △ AO =S △ABC 1 1 + -- ? 2 2 J b c R= 1 J a 2 + b 2 +c 2 ; (1)全面积 (2)体积 V=返 a 3 12 (3)对棱中点连线段的长 d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球 2 ⑷相邻两面所成的二面角 ⑹ 侧棱与底面所成的角为 P =arccos ⑤ S △ BO =S BHC ? & ABC ⑧外接球半径 C

2 ⑨内切球半径r= S^OB +S^OC +S^OC~S m c a + b +c

⑨内切球半径 r= S ^OB +S ^OC +S ^OC ~S m c a + b +c 与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) 1 a = arccos — 3 (5)对棱互相垂直。 ⑺外接球半径 R= —a ； 4 (8)内切球半径 r= 逅a 12 (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 (等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体 . 如图，在直角四面体 AOC 中，/ AOB M BOC M COA=90 , OA=a ,OB=b ,OC=c . 则 ① 不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ② 直角顶点O 在底面上的射影H 是^ ABC 的垂心； 1 ③ 体积 V= - a b c ； 6 ④ 底面面积 S AAB (=-J a 2b 2 + b 2c 2 +c 2a 2 ; (1)全面积 (2)体积 V=返 a 3 12 (3)对棱中点连线段的长 d= 匹a ；(此线段为对棱的距离，若一个球 2 ⑷相邻两面所成的二面角 ⑹ 侧棱与底面所成的角为 P =arccos C

正四面体性质及其应用

正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则（1）全面积S 全= 3 a 2；（2）高h = 6 3 a ；（3）体积V = 2 12 a 3 ；（4）对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2 a ；（5）相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3；（6）棱与其相交的面所成的角 β=a rctan 2 ；（7）正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4 a ，r ︰R =1︰3；（8）正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3 ，则球心O 到平面ABC 的距离为（） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3 ，则AB=BC=CA =1 所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的距离即其高为 6 3 ，答案B 。例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8 a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12 a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12 a ，因此选例3：（06年陕西卷）将半径为R 心到桌面的距离为。解析

正四面体性质及其应用

正四面体性质及其应用 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则（1）全面积S 全= 3 a 2；（2）高h = 6 3a ；（3）体积V = 2 12 a 3；（4）对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2a （5）相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3；（6）棱与其相交的面所成的角 β=arctan 2 ；（7）正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4a ，r ︰R =1︰3；（8）正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3 ，则球心O 到平面ABC 的距离为（） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA =π 3，则AB=BC=CA =1

所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的距离即其高为 6 3，答案B 。例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12a ，因此选C 。例3：（06年陕西卷）将半径为R 球的球心到桌面的距离为。解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则 ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为 2 6 3 R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距离为R +2 6 3R =（1+2 6 3）R 。例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60 ○ ，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿重合于点 P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（）A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DCE 实质上是棱长为1的正四面体，则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。例5：（06年湖南卷）棱长为2球球心的一个截面如图1

正四面体

正四面体常用性质： 1、正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等。它有4个面，6条棱，4个顶点。正四面体是最简单的正多面体。 2、正四面体属于正三棱锥，但是正三棱锥只需要底面为正三角形，其他三个面是全等的等腰三角形就可以，不需要四个面全等且都是等边三角形。因此，正四面体是特殊的正三棱锥。 3、基本性质：正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。正四面体的对边相互垂直。正四面体的对棱相等。正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值 3 。 4、相关数据当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：（中心把高分为1:3两部分} 2体积： 3 12 对棱中点的连线段的长： 2，两邻面夹角满足 1 cos 3 α=。若将正四面体放进一个正方体内，则该正方体棱长为 2，其实，正四面体的棱切球即为次正方体的内切球。 5、建系方法1.设有一正四面体D-ABC棱长为a 以AB边为y轴A为顶点ABC所属平面为xOy面建系四个顶点的坐标依次为其他性质：正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3) 正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件： 1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。 2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。 3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。化学中CH4,CCl4,SiH4等物质也是正四面体结构。正四面体键角是109度28分，约为109.47°。

正四面体的结构与稳定性

正四面体的结构与稳定性江苏省如皋市丁堰中学冒春建 226521 物质的组成、结构决定物质的性质。如果某物质具有稳定的空间构型，就有稳定的性质。那么怎么样的空间构型才是稳定的呢？按照价键理论，只要化学键的键角方向与其成键原子的价电子云在空间的伸展方向一致，则成键原子间的作用力最强烈，而成键电子与成键电子之间的排斥力最小（即通常所说的“键角张力”），非成键原子或原子团之间的空间距离最大，达到最大程度的舒展，使非成键原子或原子团间的空间位阻最小，具有这样的结构其内能最小，结构稳定。正四面体结构是中学生所遇化学物质中最常见的空间构型之。例如，原子晶体中的金刚石、晶体硅、水晶等，它们的熔沸点高、硬度大，通常情况下很难跟一般的化学试剂反应，表现出较强的稳定性；分子晶体中的甲烷、四氯化碳等，它们在通常情况下与大多数化学试剂如强酸、强碱、强氧化剂、强还原剂等都不起反应，也表现出较强的稳定性。这是什么原因呢？因为在这些物质中，碳原子、硅原子都是以四个sp3杂化轨道与其相邻的四个原子形成典型的共价键基团“CC4”、“SiSi4”、“SiO4”或小分子“CH4”、“CCl4”，它们的键角方向与其中心原子的四个sp3杂化轨道的空间伸展方向一致，均为109°28′，不存在“键角张力”。并且它们的成键原子的电子云之间达到最大程度的重叠，键能大，内能低，结构稳定，所以它们的性质也稳定。我们知道，浓硫酸中+6价的硫具有强氧化性，而稀硫酸中同样为+6价的硫却没有氧化性，这是为什么呢？在浓硫酸中，+6价的硫绝大多数是以H2SO4分子形式存在，而H2SO4分子的空间构型是不规则的四面体，在H2SO4分子中O—S—O键的键角与硫原子的四个sp3杂化轨道的空间伸展方向（夹角为109°28′）不一致，化学键之间存在较强的“键角张力”，内能较大。并且四个S—O键的键长不等，使位于中间的+6价硫原子的周围空间相对来说有一定的空隙，易受到具有还原性微粒的攻击，夺得电子，从而表现出氧化性。在稀硫酸中，+6价的硫原子是以自由移动的SO42-离子形式存在，而SO42-离子的空间构型是正四面体，所有的S—O键都是沿着硫原子的四个sp3杂化轨道在空间的伸展方向成键，不存在化学键之间的“键角张力”，四个S—O键的键长、键能完全相同，四个氧原子均匀地、等距离地分布在硫原子周围，使位于正四面体中心的+6价硫原子难以被其它原子或原子团攻击，也就没有得电子的可能性，故稀硫酸中+6价的硫没有氧化性。又如，氨气和硝酸中的氮元素分别处于最低价态-3价和最高价态+5价，按理说，前者具有较强的还原性，后者具有很强的氧化性，两者相遇应发生强烈的氧化还有反应，而事实上，它们之间发生的是非氧化还原反应（简单的化合反应），这又是什么原因呢？这是由于N H3分子中的氮原子在成键时的四个sp3杂化轨道有一个被自身的孤对电子占领，当它遇到H+后很快形成N→H配位键，变成N H4+离子。而N H4+离子的空间构型又是正四面体，四个N—H键的键长、键能均完全一样，键角均为109°28′，与N原子的四个sp3杂化轨道的夹角完全吻合，不存在“键角张力”；四个氢原子也均匀地分布在氮原子周围，使位于中心的-3价氮原子难以被其它原子或原子团进攻。故氨气在遇到硝酸、浓硫酸等酸性强氧化剂时，表现不出还原性。但是，当N H3在一定条件下，遇到CuO、Cl2等氧化剂时又表现出一定的氧化性。这是因为N H3分子中，N原子的四个sp3杂化轨道中有一个被孤对电子占用，根据价电子对互斥原理，N—H键间的夹角受孤对电子的排斥挤压，键角不再是109°28′，而是107°，故N H3分子中氮原子的周围空间不是被氢原子均匀包围，氮原子的价电子云有了一定程度的“裸露”，较易受到其它氧化性微粒的进攻，从而表现出一定的还原性。

正四面体

正四面体是一种柏拉图多面体，正四面体与自身对偶。正四面体的重心、四条高的交点、外接球、内切球球心共点，此点称为中心。正四面体有一个在其内部的内切球和七个与四个面都相切的旁切球，其中有三个旁切球球心在无穷远处。正四面体有四条三重旋转对称轴，六个对称面。正四面体可与正八面体填满空间，在一顶点周围有八个正四面体和六个正八面体。化学中CH4,CCl4等分子也呈正四面体状。相关数据当正四面体的棱长为a时，一些数据如下：高：√6a/3。中心把高分为1:3两部分。表面积：√3a^2 体积：√2a^3/12 对棱中点的连线段的长：√2a/2 外接球半径：√6a/4，正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。内切球半径：√6a/12，内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。棱切球半径：√2a/4. 两条高夹角：2ArcSin(√6/3)=ArcCos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 两邻面夹角：2ArcSin(√3/3)=ArcCos(1/3)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43″60571 58335 111，与两条高夹角在数值上互补。侧棱与底面的夹角：ArcCos(√3/3) 正四面体的对棱相等。具有该性质的四面体符合以下条件： 1．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱的中点的连线垂直于这两条棱。 2．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四面体每对对棱中点的三条连线相互垂直。 3．四面体为对棱相等的四面体当且仅当四条中线相等。

正四面体性质及其应用审批稿

正四面体性质及其应用 YKK standardization office【 YKK5AB- YKK08- YKK2C- YKK18】

所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的距离即其高为 6 3，答案B 。例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（） A a 4 B 6 6a C 6 12a D 2 8a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12a ，因此选C 。例3：（06年陕西卷）将半径为R 的球心到桌面的距离为。解析A 、B 、C 、D ，因为四个球两两相切，则ABCD 2R 的正四面体，A 到面BCD 的距离为 2 6 3R ，则上面一个球的球心A 到桌面的距离为R +2 6 3R =（1+2 6 3）R 。例4：（06年山东卷）如图1，在等腰梯形ABCD 中，AB =2DC =2，∠DAB =60○，E 为AC 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为（） A 4 3 27π B 6 2π C 6 8π D 解析：三棱锥P -DC E 实质上是棱长为1的正四面体，则其外接球的体积为 V = 43πR 3= 43π( 6 4)3= 6 8π。例5：（06年湖南卷）棱长为2球心的一个截面如图1

正四面体的性质资料讲解

正四面体的性质

(1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 3 ； (3)对棱中点连线段的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 a ； (8)内切球半径 r= 12 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 1 6 a b c ； ④底面面积S △ABC ⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2 △BOC +S 2 △AOB +S 2 △AOC =S 2 △ABC ⑦ 2222 1111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ A B C D O H

正四面体的性质

正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 3； (3)对棱中点连线段的长 d= 2a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a ； (8)内切球半径 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 16 a b c ； ④底面面积S △ABC ； ⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 2222 1111OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ A B C D O H

正三棱锥：底面为等边三角形，三条侧棱相等，顶点在底面的射影是三角形的中心【即内心[到三条边的距离相等]，外心[到底面的三个顶点距离相等]，中心是外心、内心还是垂心】；各侧面和各侧棱与底面的二面角和夹角相等；外切球与内切球的球心在同一点，球心到顶点的距离等于到面距离的两倍长，即外切球球心是内切球球心的半径的两倍长。

正三棱锥、正四面体、直角四面体的性质

正三棱锥性质 1．底面是正三角形。 2．侧面是三个全等的等腰三角形。 3．顶点在底面的射影是底面三角形的中心（也是重心、垂心、外心、内心）。 4．大用处的四个直角三角形（见图）。（1）斜高、侧棱、底边的一半构成的直角三角形；（含侧棱与底边夹角）（2）高、斜高、斜高射影构成的直角三角形；（含侧面与底面夹角）（3）高、侧棱、侧棱射影构成的直角三角形；（含侧棱与底面夹角）（4）斜高射影、侧棱射影、底边的一半构成的直角三角形。说明：上述直角三角形集中了正三棱锥几乎所有元素。在正三棱锥计算题中，常常取上述直角三角形。其实质是，不仅使空间问题平面化，而且使平面问题三角化，还使已知元素与未知元素集中于一个直角三角形中，利于解出。正四面体的性质正四面体的性质：设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全 2 a； (2)体积3； (3)对棱中点连线段的长a；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角α= 1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β= 1 arccos 3 (7)外接球半径a； (8)内切球半径a. (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 1、侧面高为（a√3)/2 ，高为（a√6）/3 2、内切球半径（a√6）/12，外接球半径（a√6）/4，内切球半径+外接球半径=高 3、与棱相切的球半径（a√2）/4

有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 16 a b c ； ④底面面积S △ABC ⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2△BOC +S 2△AOB +S 2△AOC =S 2△ABC ⑦ 2222 1111OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ 正四面体的性质：设正四面体的棱长为a ，则这个正四面体的 (1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 3； (3)对棱中点连线段的长 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1arccos 3 (7)外接球半径 a ； (8)内切球半径 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). A B C D O H

正四面体的性质

(1)全面积 S 全 2a ； (2)体积 3 ； (3)对棱中点连线段的长 d= 2 a ；(此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6条棱都相切，则此线段就是该球的直径。) (4)相邻两面所成的二面角 α=1 arccos 3 (5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 a ； (8)内切球半径 a . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a ,OB=b ,OC=c .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 1 6 a b c ； ④底面面积S △ABC ； ⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2 △BOC +S 2 △AOB +S 2 △AOC =S 2 △ABC ⑦ 2222 1111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ A B C D O H

正四面体

<<正四面体>>课堂实录成都航天中学邓成兵（一）情景引入: 师：正四面体是最为简约而又优美的多面体，它有4个顶点、4个面、6条相等的棱，它是一种特殊的正三棱锥——底面边长等于侧棱长。在历年的高考数学试题中，多次出现正四面体的有关计算问题，主要有三种类型：（1）正四面体的计算；（2）正四面体与正方体的计算；（3）正四面体与球的计算。下面请同学们展示一下你们得到的正四面体有关性质.首先哪位同学上台展示你们小组的成果: （二）、知识碰闯；万天平(学生):我们组得到的性质如下： ①、它们6条棱均相等； ②、相邻棱的夹角为0 60；（①、②这两条性质比较简单就不用证明） ③、相对棱的两条异面直线垂直（对棱垂直） ④、对棱的中点是这两条棱的公垂线且长为a 22（以下把正四面体的边长设为a ）。

⑤、相邻的两个面的二面角相等且余弦值为 1 ⑥、侧棱与底面所成的角相等且余弦值为 3 3 容易知道侧棱与底面所成的角相等，∠PAO 为PA 与底面ABC 所成的角。可求AO= 3 a 3，PA=a ，PO ⊥面ABC 即PO ⊥AO ；在R t ΔPAO 中,cos ∠PAO= 3 3 PO AO = ⑦、相邻两个面中平行与交线的中位线与棱的交点所成的四边形为正方形。（由于时间关系，同学们下来做）例1：已知S-ABC 为正四面体，且E 、F 、G 、H 分别为四面体的四个面的中心；（1）、求证：四面体EFGH 为正四面体；（2）、求 ABC S FHG E S :--表表S （3）、求 ABC S FHG E V :--V 廖红菊（学生）：我们组得到的性质是： ⑧、正四面体的外接球的半径与正四面体棱长的关系是：a 4 6 R = 分别取BC 、PA 的中点D 、E ，连结DE ，则DE 为PA 、BC 的公垂线段，且与高1PO 的交点O 是外接球的球心，连结AO 、AD 。

正四面体性质及其应用

正四面体的性质及其应用正四面体是四个面都是等边三角形的凸多面体，它是一个很规则的几何体，因此具有一些特有的性质，设正四面体的棱长为a ，则（1）全面积S 全= 3 a 2 ；（2）高h = 6 3 a ；（3）体积V = 2 12 a 3 ；（4）对棱中点的连线是对棱的公垂线，其长为d = 2 2 a ；（5）相邻两面所成的二面角α=arccos 1 3；（6）棱与其相交的面所成的角 β=a rctan 2 ；（7）正四面体的内切球和外接球的球心重合，内切球半径 r ＝ 6 12a ，外接球半径R ＝ 6 4 a ，r ︰R =1︰3；（8）正四面体内任一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。将正四面体置于正方体中，结合正方体的性质以上诸性质容易得到证明。考查正四面体的性质多出选择或填空题，熟记以上八条性质对快速求解相关问题有很大帮助，例如：例1：已知半径为1的球面上有A 、B 、C 三个点，且它们之间的球面距离都为π 3 ，则球心O 到平面ABC 的距离为（） A 3 2 B 6 3 C 12 D 21 7 解析：如右图所示，OA=OB=OC =1 又3 π = ==⌒ ⌒ ⌒ CA BC AB ，球的半径r =1 ∴∠AOB=∠BOC=∠COA = π 3 ，则AB=BC=CA =1 所以O -ABC 为棱长为1的正四面体，则由正四面体的性质得球心O 到平面ABC 的距离即其高为 6 3 ，答案B 。例2：（05年湖南省十所示范校联考）已知棱长为a 的正四面体ABCD 有内切球O ，经过该棱锥A -BCD 的中截面为M ，则O 到平面M 的距离为（） A a 4 B 6 6 a C 6 12a D 2 8 a 解析：直接运用正四面体的性质，内切球的半径r = 6 12 a ，中截面到底面的距离为高的一半 6 6a ，则O 到平面M 的距离为 6 6a － 6 12a = 6 12 a ，因此选C 。例3：（06年陕西卷）将半径为R 的四个球两两相切地放在桌面上，则上面一个球的球

正四面体的性质

(1)全面积 S 全2a ； (2)体积3 ； (3)对棱中点连线段的长 d= 2 ； (此线段为对棱的距离，若一个球与正四面体的6(4)相邻两面所成的二面角 =(5)对棱互相垂直。 (6)侧棱与底面所成的角为β=1 arccos 3 (7)外接球半径 R= 4 ； (8)内切球半径12 . (9)正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值(等于正四面体的高). 直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体. 如图，在直角四面体AOCB 中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=,OB=,OC= .则 ①不含直角的底面ABC 是锐角三角形； ②直角顶点O 在底面上的射影H 是△ABC 的垂心； ③体积 V= 1 6 ； ④底面面积S △ABC ⑤S 2△BOC =S △BHC ·S △ABC ； ⑥S 2 △BOC +S 2 △AOB +S 2 △AOC =S 2 △ABC ⑦ 2222 1111 OH a b c =++; ⑧外接球半径 ⑨内切球半径 r=AOB BOC AOC ABC S S S S a b c ????++-++ a αa a a b c a b c A B C D O H