解三角形三类经典题型

解三角形三类经典类型

类型一 类型二 类型三

判断三角形形状 求范围与最值 求值专题 类型一

判断三角形形状

2 2 2

例1已知△ ABC 中,bsinB=csinC,且sin A sin B sin C ,试判断三角形的形状. 解：T bsinB=csinC,由正弦定理得 sin 2 B=sin 2C ,「. sinB=sinC B=C

由sin 2A sin 2 B sin 2C 得a 2 b 2

c 2

三角形为等腰直角三角形.

例2:在厶ABC 中,若E =60 ,2 b=a+c,试判断△ ABC 的形状.

解：T2 b=a+c,由正弦定理得 2sinB=sinA+sinC,由 B=60 得 sinA+sinC= . 3 由三角形内角和定理知 sinA+sin( 120

A )= 3 ,整理得sin(A+ 30 )=1

二A+30 90，即A 60 ,所以三角形为等边三角形

2bc 整理得(a 2 b 2)(a 2 b 2 c 2)

0 ? a 2 b 2或a 2 b 2 c 2

即三角形为等腰三角形或直角三角形

例4：在厶ABC 中，(1)已知sinA=2cosBsinC ，试判断三角形的形状； (2)已知sinA= sin B sinC ，试判断三角形的形状.

cosB cosC

解：⑴由三角形内角和定理得

sin(B+C)=2cosBsinC

整理得sinBcosC — cosBsinC=0即sin(B — C)=0 ? B=C 即三角形为等腰三角形 (2)由已知得sinAcosB+sinAcosC=sinB+sinC

，结合正、余弦定理得

例3:在厶ABC 中，已知

tan A tan B

2

，试判断厶ABC 的形状.

b 2 解：法1:由题意得 sin AcosB

sin B cos A ■ 2 A

sin A ■ 2 - sin B

,化简整理得 sinAcosA=sinBcosB 即 sin2A=sin2B

??? 2A=2B 或 2A+2B=n /? A=B 或 A

a

2

a

2 ,2

c b 法2：由已知得

sinAcosB sin B cos A

2

a

2

结合正、余弦定理得

b 2

2ac b b 2 2 2 c a

a 2

b 2

B

i ，?三角形的形状为等腰三角形或直角三角形.

为等腰直角三角形.

类型二求范围与最值

b c

2、在厶ABC 中, AD 为BC 边上的高线， AD= BC 角A, B , C 的对边为a , b , c ,^卜+二的最 c b

大值是

一 一 2 ,2 2 : 1 2

1 a

b +

c — a

解析 因为AD= BC= a ,由；a = bc sin 代解得sin A =厂，再由余弦定理得cos A ='

2 2 bc

2bc

2 2 2 2 2 2

a — c - a a - c

b c ，化简整理得 (a 2 b 2 c 2

2ac 2ab

)(b c) 0

2 2

b c 即三角形为直角三角形.

例5： （2

在厶ABC 中，（1）已知a - b=ccosB — ccosA ，判断△ ABC 的形状. 若 b=asinC,c=acosB,判断△ ABC 的形状. 解: （1）由已知结合余弦定理可得

a b c

a 2 c 2

b 2

c 2

(a

b)(a 2 b 2

c 2) 0 ??? a b 或a 2 b 2

(2)

b=as inC

可知sinC 哑, a

sin A

2ac

b 2

c - 2bc

2

a

，整理得

c 2，?/三角形为等腰三角形或直角三角形 2 2 ,2

a c

b 亠

c=acosB 可知c a

整理得

2ac

b 2

c 2

a 2，即三角形 ，定是直角三角形，Z A=90 , /? sinC=sinB /-Z B=Z C,「.A ABC

例6:已知△ ABC 中, cos A -，且(a 2): b : (c 2)

5

1:2:3， 判断三角形的形状. 解：由题意令

a 2 k,

b 2k,

c 2 3k(k 0)，则 a k 2,b 2k, c 3k 2 4

??? cos A —,由余弦定理得

5

角三角形.

2

4 ?/ a 6,b

8, c 10 ?/ a

b c 即厶ABC 为直

7.在厶 ABC 中, a 、 b 、c 分别为 A B C 的对边，cos 2

-

2

，则△ ABC 的形状为

2c

8.在 ABC 中，若

tan A 2c tan B

b

,，则 A= b

1、在ABC 中,

角A 、

B 、

C 所对的边分别为a 、b 、 C 满足

b 2

c 2 a 2

bc ， AB BC 0,a 仝则

2

b c 的取值范围是

1 b c a i b c b c

( si nA)，得 一+ 匚=2cos A + sin A,又 A (0 ,n )，最大

2 c

b b

c 2 c

b

cb

值为 5

解析几何或者几何法 1解析几何法：

ABC,BC 2,AB , 3AC,求 ABC 面积的最大值。

2几何法： ABC ，知道BC=4, AC=2 3,求B 的范围。 方程有解，利用判别式求范围。 附例：

4、 已知 ABC 中，B=—,b 3，且 ABC 有两解，则边a 的取值范围是

3

5、 借力打力型求取值范围

设钝角三角形的另外两个角是 + , -

3

3

10、 钝角三角形 ABC 的三边长为a , a +1, a +2( a N )，贝U a= ___________ 11、 在锐角 ABC 中，BC 1, B 2A ，则AC 的取值范围为

.

12、 设 ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a,b,c ，若三边的长为连续的三个正整数, 且 A B C , A 2C ，则 sin A : si nB:s inC 为 __________________

附例：钝角三角形中，B —,

3

若最大边和最 小边长的比为m,则m 的取值范围

6、 已知△ ABC 中, A B= 1, BO 2, 则角C 的取值范围是

7、

在厶ABC 中若 C 2 8 已知 ABC 中, B= ,b

3

9、

已知 ABC 中, a x,b AB

B ,则竺的取值范围

AC

3，且 ABC 有一解，则边a 的取值范围是

2,B 45o

,若该三角形有两解，则x 的取值范围是 a

14、在锐角三角形 ABC 中，A 2B ，则旦 的取值范围是

b c

C

k 4

计(45,90 )，k (4 2 4,

4)

类型三求值专题

1、 在厶ABC 中，若BC=5 CA=7, AB=8,则厶ABC 的最大角与最小角之和是 .

2、 ___________________________________________________________________________________ 在厶

ABC 中,已知(b + c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6，则 sin A ： sin B ： sin C = ______________ 3、在厶 ABC 中，D 为 BC 边上一点，BC= 3BD AD=Q 2,/ ADB= 135°,若 AC=^AB 则 BD=

fi

解析：■/ (b + c ) : (c + a ) : (a + b ) = 4 : 5 : 6, ???设 b + c = 4k , c + a = 5k , a + b =

6k (k > 0),

7 5 3

解得 a = 2k , b = 2k , c = °k , ? sin A ： sin B : sin C= a : b : c = 7 : 5 : 3.答案：7 : 5 : 3 4、 钝角三角形边长为 a , a + 1, a + 2,其最大角不超过120°,则a 的取值范围是 _____________ . 5、 在厶ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b 且最大内角为 1200，贝U a= .

6、 如果满足/ ABC= 60°,AC= 12 , BC= k 的三角形恰有一个，那么k 的取值范围是 ________ .

7、 在厶 ABC 中，若 8 30°, AC=琲，AB= 3,则厶 ABC 的面积为 ___________ . 解析：由正弦定理得： 啓=代,sin B = AC iin C = 攀?

3

,所以B= 60。或120° . sin C sin B AB

3

2 2

1

1

厂弭3

1

当 B = 60° 时，S A = 2ABX AC= ? 3? 3,：3=牙；当 B = 120。时，S A = 0ABX AC- sin30 °

=瘀

—4 .

答案：誓或乎 8、

仅有一个等式作为方程求解时，注意整体思想，整体带入

附例：在锐角△ ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .若b + a = 6cos C,则tan —C

a b tan A

的值是

tan B

9海上有A 、B 两个小岛，相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60o 的视角，从B 岛望C 岛

和A 岛成75o 的视角；贝U B 、C 间的距离是 __________________ 海里. 10?某渔轮在航行中不幸遇险，

发出呼救信号，我海军舰艇在 A 处获悉后，测得该渔轮在方

15、在锐角三角形 取值范围 _________

ABC 中，S

2 2

c (a b)

C 既不是最大角，也不是最小角，求

16.在钝角三角形 ABC 中，已知a 1,b

2,则c 的取值范围为

(—3)

(.5,3)

位角450、距离为10海里的C 处，并测得渔轮正沿方位角 1050的方向、以每小时9海里

的速度向附近的小岛靠拢。 我海军舰艇立即以每小时 21海里的速度前去营救;

11、在 ABC 中，若 A = 600, a 2.3,

则

sin A a 2b 3c .4

2sin B 3sin C

12、在 ABC 中,三边 a ,b ,c 与面积 s 的关系式为s 1/2

4

(a

b 2

c 2),则角C 为

13、在

ABC 中，在 ABC 中,若 tan A

2c b ，求A .

tan B

b

,

sin A

解：

由正弦定理知

c 2Rsin C , b

sinB ,

cos A 2si n C sinB 2s inC

sin B sin B sin B

cosB

sin AcosB 2s inC sin (A B) 2 si nC sin C 2sin C 1

cosAsin B

sin B '

sin B cos A sin B '

sin B cos A

sin B '

近渔轮所需的时间是 小时? 1

450

则舰艇靠