系统辨识综述

系统辨识方法综述

摘要

在自然和社会科学的许多领域中，系统的设计、系统的定量分析、系统综合及系统控制，以及对未来行为的预测，都需要知道系统的动态特性。在研究一个控制系统过程中，建立系统的模型十分必要。因此，系统辨识在控制系统的研究中起到了至关重要的作用。本文论述了用于系统辨识的多种方法，重点论证了经典系统辨识方法中运用最广泛的的最小二乘法及其优缺点，引出了将遗传算法、模糊逻辑、多层递阶等知识应用于系统辨识得到的一些现代系统辨识方法，最后总结了系统辨识今后的发展方向。

关键字：系统辨识；最小二乘法；遗传算法；模糊逻辑；多层递阶

Abstract

In many fields of natural and social science, the design of the system, the quantitative analysis of the system, the synthesis of the system and the control of the system, as well as the prediction of the future behavior, all need to know the dynamic characteristics of the system. It is very necessary to establish a system model in the process of studying a control system. Therefore, system identification plays an important role in the research of control system. This paper discusses several methods for system identification, the key argument is that the classical system identification methods using the least squares method and its advantages and disadvantages, and leads to the genetic algorithm, fuzzy logic, multi hierarchical knowledge application in system identification of some modern system identification method. Finally, the paper summarizes the system identification in the future direction of development.

Keywords:System identification; least square method; genetic algorithm; fuzzy logic; multi hierarchy

第一章系统辨识概述

系统辨识是研究建立系统数学模型的理论和方法。系统辨识是建模的一种方法，不同的学科领域，对应着不同的数学模型。从某种意义上来说，不同学科的发展过程就是建立他的数学模型的过程。辨识问题可以归结为用一个模型来表示客观系统（或将要构造的系统）本质牲征的一种演算，并用这个模型把对客观系统的理解表示成有用的形式。当然也可以有另外的描述，辨识有三个要素：数据，模型类和准则。辨识就是按照一个准则在一组模型类中

选择一个与数据拟合得最好的模型。总而言之，辨识的实质就是从一组模型类中选择一个模型，按照某种准则，使之能最好地拟合所关心的实际过程的静态或动态特性。通过辨识建立数学模型的目的是估计表征系统行为的重要参数，建立一个能模仿真实系统行为的模型，用当前可测量的系统的输入和输出预测系统输出的未来演变，以及设计控制器。对系统进行分析的主要问题是根据输入时间函数和系统的特性来确定输出信号。对系统进行控制的主要问题是根据系统的特性设计控制输入，使输出满足预先规定的要求。而系统辨识所研究的问题恰好是这些问题的逆问题。

第二章 最小二乘法

2.1最小二乘法的引出

18世纪末，德国数学家高斯首先提出了最小二乘法，他用最小二乘法计算天梯运行轨道。这一方法后来被广泛用于系统辨识领域。20世纪60年代，随着电子计算机的普及，系统辨识方法有了飞速发展。为了选出使得模型输出与系统输出y(t)尽可能接近的参数估计值，可用模型与系统输出误差的平方和来度量接近程度，是误差平方和最小的参数即为所求的估计值。应用最小二乘法对系统模型参数进行辨识的方法有离线辨识和在线辨识两种离线辨识是在采集到系统模型所需全部输入输出数据后，用最小二乘法对数据进行集中处理，从而获得模型参数的估计值；而在线辨识是一种在系统运行过程中进行的递推辨识方法，所应用的数据是实时采集的系统输入输出数据，应用递推算法对参数估计值进行不断修正，以取得更为准确的参数估计值。

2.2 最小二乘法原理

本文中以一个SISO 系统为例说明最小二乘法的原理。

假设一个SISO 系统如下图所示

图1 SISO 系统结构图

其离散传递函数为：

3.1 输入输出的关系为：

)()()()(1k y k e z G k u =+?- 3.2

进一步，我们可以得到：

)()()()()(11k e z B k u z A k y +?=?--

3.3

n

n n n z a z a z a z b z b z b z A z B z G ---------+?++++?++==221122111111)()()(

其中，扰动量)(k e 为均值为0，不相关的白噪声。

将式3.3写成差分方程的形式：

)

()()2()1()()2()1()(2121k e n k u b k u b k u b n k y a k y a k y a k y n n +-?+-+-+--?-----= 3.4

令T n k u k u k u n k y k y k y k ])()2()1()()2()1([)(-?----?----=?][2121n n b b b a a a ??=θ

则式3.4可以写为：

)()()(k e k k y T +=θ? 3.5

将上述式子扩展到N 个输入、输出观测值{)(),(k y k u }，k=1,2,…，N+n 。将其代入到式3.5中，写成矩阵的形式为：

e Y +Φ=θ 3.6

其中，

取泛函)(θJ 为 )()()()()(212θθθθΦ-Φ-=?=+=Φ-=∑∑=Y Y e e i n e Y J T T N

i

最小二乘法原理即是使)(θJ 最小，对其求极值得：

由此可得系统的最小二乘法估计值为：

Y T T T ΦΦΦ=)(θ

这样，我们就得到了系统的最小二乘估计值。以上推导的最小二乘法存在一些缺点，比如：预先取得的观测值越多，系统参数估计的精度越高，但使得矩阵ΦΦT 的阶数越大，矩阵求逆计算量也越大，所需的存储空间也会越大；每增加一次观测值，必须重新计算Φ和1)(-ΦΦT ； 若T Φ列相关,即不满秩,则ΦΦT 为病态矩阵,无法求得最小二乘估计值。

T

T N n e n e n e e N n y n y n y Y ])()2()1([])()2()1([+?++=+?++=?????

???????+--+-+-??+-?---?-?---=Φ)()

()()1()()2()1()2()()1()1()()1()1()(N u N n u N y N n y N n y u n u y n y n y u n u y n y n y 0)]()[(=Φ-Φ-??=??θθθθY Y J T

2.3 最小二乘法的优缺点

最小二乘是一种最基本的辨识方法，最小二乘法可以用于线性系统，也可以用于非线性系统；可用于离线估计和在线估计。在随机情况下，利用最小二乘法时，并不要求观测数据提供其概率统计方法的信息，而其估计结果，却有相当好的统计特性。

利用最小二乘法的系统辨识法一般要求输入信号已知，并且必须具有较丰富的变化，然而，这一点在某些动态系统中，系统的输入常常干扰保证；当模型噪声是有色噪声时，最小二乘估计不是无偏、一致估计，并且随着数据的增长，将出现所谓的“数据饱和”现象。

第三章现代系统辨识

3.1 遗传算法系统辨识法

遗传算法的基本思想来源一达尔文的进化论和门德尔的遗传学说。该算法借助于计算机的编程，一般是将待求的问题表示成串。即为二进制码或者整数码串，从而构成一群串，并将他们置于问题的求解环境中。根据适者生存的原则，从中选择出适应环境的串进行复制、变异两种基因操作产生出新的一代更加适应环境的串群。经过这样一代代的不断变化，最后收敛于一个最适应环境的串上，即求得问题的最优解。

遗传算法不依赖于问题模型本身的特性，以及不容易陷入局部最优和隐含并行性等特点，能够快速有效的搜索复杂、高度非线性和多维空间，为系统辨识的研究与应用开辟一条新的途径。将遗传算法用于线性离散系统的在线辨识，比较好地解决了最小二乘法难以处理的时滞在线辨识和局部优化的缺点。用改进的遗传算法，提出了一种辨识系统参数的方法，还能有效地克服有色噪声的干扰，获得系统参数的无偏估计。简单的遗传算法存在着收敛速度慢、容易陷入局部极值而导致未成熟收敛问题。由遗传算法、进化编码等构成的新的进化计算是近年来发展的很迅速、很有前途的一种优化算法，其借助于生物进化的优胜劣汰的原则，从空间的一群点开始搜索，不断的进化以求得最优解。新的进化计算法还具有较强的鲁棒性，并且不容易陷入局部解，所以人们可以用进化计算来解决系统辨识问题。其主要思想是：用遗传算法操作保证搜索是在整个解空间进行的，同时优化过程不依赖于种群初值的选择，用进化编码操作保证求解过程的平稳性，该方法比分别用遗传算法和进化编码的效果都要好。

3.2 模糊逻辑系统辨识法

模糊逻辑理论用模糊集合理论，从系统输入和输出的量测值来辨识系统的模糊模型，也是系统辨识的一个新的和有效的方法，在非线性系统辨识领域中有十分广泛的应用。因而，模糊逻辑辨识法深受研究者的青睐。模糊逻辑辨识具有独特的优越性；能够有效地辨识复杂和病态结构的系统；能够有效地辨识具有大时延、时变、多输入单输出的非线性复杂系统；可以辨识性能优越的人类控制器；可以得到被控对象的定性与定量相结合的模型。模糊逻辑建模方法的主要内容可分为两个层次：一是模型结构的辨识，另一个是模型参数的估计。

T－S模糊是一种经典的模糊模型，该模糊模型是以局部线性化为基础，通过模糊推理

的方法实现了全局的非线性。该模型具有结构上简单、逼近能力强等特点，已经成为模糊逻辑辨识中常用的模型。典型的模糊结构门市部方法有：模糊网格法、自适应模糊格法、模糊聚类法及模糊搜索树法等。其中模糊聚类法是目前最常用的模糊系统结构辨识方法，其中心问题是设定合理的聚类指标，根据该指标所确定的聚类中心可以使模糊输入空间划分最优。另外，还有一些把模糊理论与神经网络、遗传算法等相结合而形成的辨识方法。

3.2 多层递阶系统辨识法

多层递阶方法的主要思想为：以时变参数模型的辨识方法作为基础，在输入输出等价的意义下，把一大类非线性模型化为多层线性模型，为非线性系统的建模给出了一个十分有效的途径。

对于一个复杂系统的辨识，多层递阶方法可以利用层数的增加，通过多层的线性模型来描述所考虑的复杂系统，并且将预报模型分成基本结构部分和时变参数部分，然后基于模型等价的原理，分别对每层模型的时变参数进行辨识，直到参数为非时变为止。这种方法的特点是：采用时变参数，能够对实际进行较好的拟合，精确地反映波动特性。从20世纪90年代以来，多层递阶方法的研究引起了广泛的关注，其理论研究取得了长足的迅速发展。该方法也有广泛的应用前景，比如在气象领域、农业病虫害预报和金融系统等应用研究方面已硕果累累。

第四章系统辨识的展望

近二十年来，系统辨识获得了长足的发展，已经成为控制理论的一个十分活跃而又重要的分支。从线性现象和线性系统的研究过渡到非线性现象和非线性系统的研究是科学发展的必然结果，这不仅是对科学家们一种新的挑战，而且也是人类社会向更高级形式演化的一种必然。随着神经网络理论、小波理论等的不断成熟，逐渐形成了形式多样的现代的系统辨识方法，并且已在大量实际问题应用中取得了较好的使用效果。

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