2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷(理科)

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 设复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1+i，则z1z2＝（）

A.2

B.?2

C.1+i

D.1?i

2. 设全集U=R，函数f(x)=lg(|x+1|?1)的定义域为A，集合B={x|sinπx=0}，

则(?U A)∩B的子集个数为( )

A.7

B.3

C.8

D.9

3. 函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,?0<φ<π)的图象中相邻对称轴的距离为π

2

，若角φ

的终边经过点(3,√3)，则f(π

4

)的值为（）

A.√3

2

B.√3

C.2

D.2√3

4. 如图所示的茎叶图（图1）为高三某班50名学生的化学考试成绩，算法框图（图2）

中输入的a1，a2，a3，…，a50为茎叶图中的学生成绩，则输出的m，n分别是（）

A.m＝38，n＝12

B.m＝26，n＝12

C.m＝12，n＝12

D.m＝24，n＝10

5. 设不等式组{y≤x

3y≥x

x+y≤4

表示的平面区域为Ω1，不等式(x+2)2+(y?2)2≤2表示的

平面区域为Ω2，对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值为（）

A.√2

2B.√2

4

C.√2

D.3√2

6. 若函数f(x)=(2?m)x

x2+m

的图象如图所示，则m的范围为（）

A.(?∞,??1)

B.(?1,?2)

C.(0,?2)

D.(1,?2)

7. 某多面体的三视图如图所示，则该多面体各面的面积中最大的是（）

A.11

B.√2

2C.√5

2

D.√5

8. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足S2014>0，S2015<0，对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，则k的值为( )

A.1006

B.1007

C.1008

D.1009

9. 已知非零向量a→，b→，c→满足|a→?b→|=|b→|=4，(a→?c→)?(b→?c→)=0，若对每一个确定的b→，|c→|的最大值和最小值分别为m，n，则m?n的值为（）

A.随|a→|增大而增大

B.随|a→|增大而减小

C.是2

D.是4

10. 已知如图所示的三棱锥D?ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC所在平面相互垂直，AB＝3，AC=√3，BC＝CD＝BD＝2√3，则球O的表面积为（）

A.4π

B.12π

C.16π

D.36π

11. 如图，已知双曲线C:x2

a2?y2

b2

=1(a>0,?b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，以A

为圆心的圆与双曲线C的某渐近线交于两点P，Q．若∠PAQ＝60°且OQ→=3OP→，则双曲线C的离心率为（）

A.2√33

B.√7

2

C.√396

D.√3

12. 已知e 为自然对数的底数，若对任意的x ∈[0,?1]，总存在唯一的y ∈[?1,?1]，使得x +y 2e y ?a ＝0成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A.[1,?e]

B.(1+1e

,e] C.(1,?e] D.[1+1

e

,e]

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

已知a >0，(√x ?x)6展开式的常数项为15，则∫ a

?a (x 2+x +√4?x 2)dx =________．

设a ，b ∈R ，关于x ，y 的不等式|x|+|y|<1和ax +4by ≥8无公共解，则ab 的取值范围是________．

正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n =a n 2+a n (n ∈N ?)，设c n =(?1)n 2a n +12S n

，则

数列{c n }的前2016项的和为________．

已知F 是椭圆C:

x 2

20

+y 24

=1的右焦点，P 是C 上一点，A(?2,?1)，当△APF 周长最小时，

其面积为________．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

△ABC 中，已知点D 在BC 边上，且AD →

?AC →

=0,sin∠BAC =2√23，AB ＝3√2,BD =√3．

(Ⅰ)求AD 的长； (Ⅱ)求cosC ．

如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为矩形，△ADE ，△BCF 均为等边三角形，EF?//?AB ，EF =AD =1

2AB ．

（1）过BD 作截面与线段FC 交于点N ，使得AF?//?平面BDN ，试确定点N 的位置，并予

以证明；

（2）在（1）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．

2015年7月9日21时15分，台风“莲花”在我国广东省陆丰市甲东镇沿海登陆，造成165.17万人受灾，5.6万人紧急转移安置，288间房屋倒塌，46.5千公顷农田受灾，直

接经济损失12.99亿元．距离陆丰市222千米的梅州也受到了台风的影响，适逢暑假，

小明调查了梅州某小区的50户居民由于台风造成的经济损失，将收集的数据分成

[0,?2000]，(2000,?4000]，(4000,?6000]，(6000,?8000]，(8000,?10000]五组，并作出如下频率分布直方图：

(Ⅰ)试根据频率分布直方图估计小区平均每户居民的平均损失（同一组中的数据用该

组区间的中点值作代表）；

(Ⅱ)小明向班级同学发出倡议，为该小区居民捐款．现从损失超过4000元的居民中随

机抽出2户进行捐款援助，设抽出损失超过8000元的居民为ξ户，求ξ的分布列和数学

期望；

(Ⅲ)台风后区委会号召小区居民为台风重灾区捐款，小明调查的50户居民捐款情况如表，根据表格中所给数据，分别求b，c，a+b，c+d，a+c，b+d，a+b+c+d

的值，并说明是否有95%以上的把握认为捐款数额多于或少于500元和自身经济损失是否到4000元有关？

,n=a+b+c+d．

附：临界值表参考公式：，K2=n(ad?bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,?c)(c>0)到直线l:x?y?2=0的距离为3√2

，

2

设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点．

(1)求抛物线C的方程；

(2)当点P(x0,?y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；

(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|?|BF|的最小值．

已知函数f(x)=ax

e x +1+be ?x ，点M(0,?1)在曲线y =f(x)上，且曲线在点M 处的切线与直线2x ?y =0垂直． （1）求a ，b 的值；

（2）如果当x ≠0时，都有f(x)>x

e x ?1+ke ?x ，求k 的取值范围．

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]

选修4?4；坐标系与参数方程

已知曲线C 1的参数方程是{x =2cosarp?i

y =3sinarp?i （φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半

轴为极轴建立坐标系，曲线C 2的坐标系方程是ρ＝2，正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A ，B ，C ，D 依逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2,?π

3)．

（1）求点A ，B ，C ，D 的直角坐标；

（2）设P 为C 1上任意一点，求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]

设f(x)=|x|?|2x ?1|，记f(x)>?1的解集为M ． （1）求集合M ；

（2）已知a ∈M ，比较a 2?a +1与1

a 的大小．

参考答案与试题解析

2018年湖南省长沙市高考数学一模试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.

【答案】

A

【考点】

复数的运算

【解析】

利用复数的对称关系，求出复数z2，然后求解z1z2即可．

【解答】

复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝1+i，

所以z2＝1?i，

∴z1z2＝(1+i)(1?i)＝2．

2.

【答案】

C

【考点】

子集与真子集的个数问题

交、并、补集的混合运算

【解析】

由对数式的真数大于0求得集合A，求解三角方程化简集合B，然后利用交、并、补集

的混合运算得答案．

【解答】

解：由|x+1|?1>0，得|x+1|>1，即x0．

∴A={x|x0}，则?U A={x|?2≤x≤0}；

由sinπx=0，得：πx=kπ，k∈Z，

∴x=k，k∈Z．

则B={x|sinπx=0}={x|x=k,?k∈Z}，

则(?U A)∩B={x|?2≤x≤0}∩{x|x=k,?k∈Z}={?2,??1,?0}．

∴(?U A)∩B的元素个数为3．

∴(?U A)∩B的子集个数为：23=8．

故选C.

3.

【答案】

A

【考点】

正弦函数的奇偶性

【解析】

，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的

根据正弦函数的性质可得相邻对称轴的距离为π

2

)的值

终边经过点(3,√3)，利用定义求解φ，可得f(x)的解析式，即可求解f(π

4

【解答】

由题意相邻对称轴的距离为π

2

，可得周期T=π，那么ω=2，角φ的终边经过点(3,√3)，在第一象限．

即tanφ=√3

3

，

∴φ=π

6

故得f(x)=sin(2x+π

6

)

则f(π

4)=sin(π

2

+π

6

)=cosπ

6

=√3

2

．

4.

【答案】

B

【考点】

循环结构的应用

茎叶图

【解析】

算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成

绩小于80且大于等于60的人数，根据茎叶图可得

【解答】

由程序框图知：算法的功能是计算学生在50名学生的化学考试成绩中，成绩大于等于80的人数，和成绩小于80且大于等于60的人数，

由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩大于等于80的人数有80，80，81，84，84，85，86，89，90，91，96，98，共12人，故n＝12，

由茎叶图得，在50名学生的成绩中，成绩小于60的人数有43，46，47，48，50，51，52，53，53，56，58，59，共12人，

则在50名学生的成绩中，成绩小于80且大于等于60的人数有50?12?12＝26，故m

＝26

5.

【答案】

C

【考点】

简单线性规划

【解析】

画出约束条件的可行域，利用题目的几何意义转化求解即可．

【解答】

不等式组{y≤x

3y≥x

x+y≤4

表示的平面区域为Ω1，不等式(x+2)2+(y?2)2≤2表示的平面

区域为Ω2，如图：

对于Ω1中的任意一点M和Ω2中的任意一点N，|MN|的最小值就是可行域内的点O与圆的圆心连线减去半径，

所以，|MN|的最小值为：2+22?√2=√2．

6.

【答案】

D

【考点】

函数的图象与图象的变换

【解析】

根据函数的极值点范围和函数值的符号判断．

【解答】

∵当x>0时，f(x)>0，∴2?m>0，故m<(2)

f′(x)=(2?m)(m?x2)

(x2+m)2

．

∵f(x)有两个绝对值大于1的极值点，∴m?x2＝0有两个绝对值大于1的解，

∴m>(1)

故选：D．

7.

【答案】

C

【考点】

由三视图求体积

【解析】

由多面体的三视图得：该多面体为如图所示的四棱锥P?ABCD，其中底面ABCD是边长为1的正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点P到平面ABCD的距离为1，由此能求出该多面体各面的面积中最大的面的面积．

【解答】

由多面体的三视图得：

该多面体为如图所示的四棱锥P?ABCD，

其中底面ABCD是边长为1的正方形，

平面PAD⊥平面ABCD，

点P到平面ABCD的距离为1，

∴AB⊥平面PAD，∴AB⊥PA，

∴PA=√12+(1+1)2=√5，

∴该多面体各面的面积中最大的是△PAB的面积：

S△PAB=1

2×1×√5=√5

2

．

8.

【答案】

C

【考点】

等差数列的前n项和

数列的函数特性

【解析】

由等差数列的求和公式和性质可得a1007>0，a1008<0，且|a1007|>|a1008|，由题意易得结论．

【解答】

解：由等差数列的求和公式和性质可得，

S2014=2014(a1+a2014)

2

=1007(a1007+a1008)>0，

∴a1007+a1008>0.

同理由S2015<0可得2015a1008<0，可得a1008<0，

∴a1007>0，a1008<0，且|a1007|>|a1008|.

∵对任意正整数n，都有|a n|≥|a k|，

∴k的值为1008.

故选C.

9.

【答案】

D

【考点】

平面向量数量积的性质及其运算律

圆的一般方程

【解析】

通过假设a→=(4,?0)、b→=(2,?2√3)、c→=(x,?y)，利用(a→?c→)?(b→?c→)=0，计算可得

向量c→的终点在以(3,?√3)为圆心、半径等于2的圆上，进而可得结论．

【解答】

解：假设a→=(4,?0)、b→=(2,?2√3)、c→=(x,?y)，

∵(a→?c→)?(b→?c→)=0，

∴(4?x,??y)?(2?x,?2√3?y)=x2+y2?6x?2√3y+8=0，

即(x?3)2+(y?√3)2=4，

∴满足条件的向量c→的终点在以(3,?√3)为圆心、半径等于2的圆上，

∴|c→|的最大值与最小值分别为m=2+2√3，n=2√3?2，

∴m?n=4，

故选D.

10.

【答案】

C

【考点】

球的体积和表面积

【解析】

证明AC⊥AB，可得△ABC的外接圆的半径为√3，利用△ABC和△DBC所在平面相互

×

垂直，球心在BC边的高上，设球心到平面ABC的距离为?，则?2+3＝R2＝(√3

2

2√3??)2，求出球的半径，即可求出球O的表面积．

【解答】

∵AB＝3，AC=√3，BC＝2√3，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴AC⊥AB，

∴△ABC的外接圆的半径为√3，

∵△ABC和△DBC所在平面相互垂直，

∴球心在BC边的高上，

×2√3??)2，

设球心到平面ABC的距离为?，则?2+3＝R2＝(√3

2

∴?＝1，R＝2，

∴球O的表面积为4πR2＝16π．

11.

【答案】

B

【考点】

双曲线的离心率【解析】

设双曲线的一条渐近线方程为b

a x，A(a,?0)，P(m,?bm

a

)，(m>0)，由向量共线的坐标

表示，可得Q的坐标，求得弦长|PQ|，运用中点坐标公式，可得PQ的中点坐标，由两

直线垂直的条件：斜率之积为?1，可得m=a3

2c2，r=a2

c

，运用圆的弦长公式计算即可

得到a，b的关系，再由离心率公式计算即可得到所求值．【解答】

设双曲线的一条渐近线方程

为y=b

a

x，A(a,?0)，

P(m,?bm

a

)，(m>0)，

由OQ→=3OP→，可得Q(3m,?3bm

a

)，

圆的半径为r＝|PQ|=√4m2+4b2m2

a2=2m?c

a

，

PQ的中点为H(2m,?2bm

a

)，

由AH⊥PQ，可得2bm

a(2m?a)=?a

b

，

解得m=a3

2c2，r=a2

c

．

A到渐近线的距离为d=

√a2+b2=ab

c

，

则|PQ|＝2√r2?d2=r，

即为d=√3

2r，即有ab

c

=√3

2

?a2

c

．

可得b

a =√3

2

，

e=c

a =√1+b2

a2

=√1+3

4

=√7

2

．

另可得△PAQ为等边三角形，

设OP＝x，可得OQ＝3x，PQ＝2x，

设M为PQ的中点，可得PM＝x，AM=√4x2?x2=√3x，

tan∠MOA=AM

OM =√3x

2x

=b

a

，

则e=√1+(b

a )2=√7

2

．

12.

【答案】B

【考点】

全称命题与特称命题

全称量词与存在量词

【解析】

由x+y2e y?a＝0成立，解得y2e y＝a?x，根据题意可得：a?1≥(?1)2e?1，且a?0≤12×e1，解出并且验证等号是否成立即可得出．

【解答】

由x+y2e y?a＝0成立，解得y2e y＝a?x，

∴对任意的x∈[0,?1]，总存在唯一的y∈[?1,?1]，使得x+y2e y?a＝0成立，

∴a?1≥(?1)2e?1，且a?0≤12×e1，

解得1+1

e ≤a≤e，其中a＝1+1

e

时，y存在两个不同的实数，因此舍去，a的取值范

围是(1+1

e

,e]．

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）【答案】

2 3+

2π

3

+√3

【考点】

二项式定理的应用

定积分

【解析】

由条件利用二项式展开式的通项公式求得a的值，再利用积分的运算性质、法则，求得要求式子的值．

【解答】

由(

√x x)6的展开式的通项公式为T

r+1

=C6r?(?1)r?a6?r?x3r?62，

令3r?6

2

=0，求得r＝2，故常数项为C62?a4＝15，可得a＝1，

因此原式为则∫a

?a (x2+x+√4?x2)dx=∫1

?1

x2dx+∫1

?1

xdx+∫1

?1

√4?x2dx＝

2∫1

0x2dx+2∫1

√4?x2dx

＝2?1

3+2(1

2

?1?√3+1

2

?π

6

?22)=2

3

+2π

3

+√3，

【答案】

[?16,?16]

【考点】

几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）

【解析】

画出不等式表示的可行域，通过对a，b的符号讨论，然后求解ab的取值范围

【解答】

关于x，y的不等式|x|+|y|<1表示的可行域如图的阴影部分：可行域与坐标轴的交点坐标(1,?0)，(0,?1)，(0,??1)，(?1,?0)，

关于x，y的不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解，则ax+4by≥8表示的范围在可行域外侧，

当a>0，b>0时满足题意，可得2

b ≥1，8

a

≥1，可得0

当a>0，b<0时满足题意，可得2

b ≤?1，8

a

≥1，可得：?2≤b<0，0

?16≤ab<0，

当a<0，b>0时满足题意，可得2

b ≥1，8

a

≤?1，可得：0

?16≤ab<0，

当a<0，b<0时满足题意，可得2

b ≤?1，8

a

≤?1，可得：?2≤b<0，?8≤a<0，

∴0

当ab=0时，不等式|x|+|y|<1和ax+4by≥8无公共解；故ab的取值范围是：[?16,?16]；

【答案】

?2016 2017

【考点】

数列的求和

【解析】

直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．【解答】

正项数列{a n}的前n项和为S n，且2S n=a n2+a n(n∈N?)①，

则：2S n+1=a n+12+a n+1②，

②-①得：2a n+1=a n+12?a n2+a n+1?a n，

整理得：a n+1?a n=1，

当n=1时，2S1=a12+a1，

解得：a1=1，

所以：数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．

则a n=1+n?1=n，

所以：S n=n(n+1)

2=n2+n

2

．

则：c n=(?1)n2a n+1

2S n =(?1)n(1

n

+1

n+1

)，

数列{c n }的前2016项的和为：T 2016=?(1+1

2)+(1

2+1

3)+?+(1

2016+1

2017)， =?1+1

2017， =?

20162017

．

【答案】 4

【考点】 椭圆的离心率 【解析】

利用椭圆的定义，确定△APF 周长最小时，P 的坐标，即可求出△APF 周长最小时，该三角形的面积． 【解答】 椭圆C:

x 220

+

y 24

=1的a =2√5，b =2，c =4，

设左焦点为F ′(?4,?0)，右焦点为F(4,?0)．

△APF 周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+(2a ?|PF ′|) =|AF|+|AP|?|PF ′|+2a ≥|AF|?|AF ′|+2a ，

当且仅当A ，P ，F ′三点共线，即P 位于x 轴上方时，三角形周长最小． 此时直线AF ′的方程为y =1

2(x +4)，代入x 2+5y 2=20中，可求得P(0,?2)， 故S △APF =S △PF ′F ?S △AF ′F =1

2×2×8?1

2×1×8=4．

三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 【答案】

（1）由AD →

?AC →

=0得到：AD ⊥AC ， 所以sinBAC =sin(π

2+∠BAD)=cosBAD ， 所以cosBAD =

2√2

3

． 在△ABD 中，由余弦定理可知，BD 2＝AB 2+AD 2?2AB ?AD ?cosBAD 即AD 2?8AD +15＝0， 解之得AD ＝5或AD ＝3， 由于AB >AD ， 所以AD ＝3．

（2）在△ABD 中，由正弦定理可知，BD

sinBAD =AB

sinADB ， 又由cosBAD =

2√2

3， 可知sinBAD =1

3 所以sinADB =

ABsinBAD

BD

=

√63 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π

2+∠C ，

即cosC =√6

3

【考点】 解三角形

三角形的面积公式 【解析】

(Ⅰ)直接利用向量垂直的充要条件和余弦定理求出结果． (Ⅱ)利用正弦定理和三角形函数关系式的变换求出结果． 【解答】

（1）由AD →

?AC →

=0得到：AD ⊥AC ， 所以sinBAC =sin(π

2+∠BAD)=cosBAD ， 所以cosBAD =

2√2

3

． 在△ABD 中，由余弦定理可知，BD 2＝AB 2+AD 2?2AB ?AD ?cosBAD 即AD 2?8AD +15＝0， 解之得AD ＝5或AD ＝3， 由于AB >AD ， 所以AD ＝3．

（2）在△ABD 中，由正弦定理可知，BD

sinBAD =AB

sinADB ， 又由cosBAD =

2√2

3， 可知sinBAD =1

3 所以sinADB =

ABsinBAD

BD

=

√63 因为∠ADB =∠DAC +∠C =π

2+∠C ，

即cosC =√6

3

【答案】

当N 为CF 的中点时，AF?//?平面BDN ． 证明：连结AC 交BD 于M ，连结MN ．

∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ M 是AC 的中点， ∵ N 是CF 的中点，

∴ MN?//?AF ，又AF 平面BDN ，MN ?平面BDN ， ∴ AF?//?平面BDN ．

过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴⊥AB ，作y 轴⊥BC 于P ，则P 为BC 的中点． 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD =1，则BF =1，FP =√3

2

，∵ EF =1

2AB =1，∴ OP =1

2(AB ?EF)=1

2，∴

OF =

√22． ∴ A(1

2,??3

2,?0)，B(12,?1

2,?0)，C(?12,?1

2,?0)，F(0,?0,?√22

)，N(?14,?14

,?√24

)．

∴ AB →

=(0,?2,?0)，AF →

=(?12,?32

,?√22

)，BN →

=(?34

,??14

,?√24

)．

设平面ABF 的法向量为n →

=(x,?y,?z)，则{n →

?AB →

=0n →

?AF →=0

， ∴ {

2y =0?1

2x +3

2y +

√22z =0

，令z =√2得n →

=(2,?0,?√2)，

∴ n →?BN →=?1，|n →

|=√6，|BN →

|=√3

2

．

∴ cos

，BN →

>=

n →?BN →|n →

||BN →

|

=?

√2

3

． ∴ 直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos

，BN →

>|=√23

．

【考点】

直线与平面平行 直线与平面所成的角 【解析】

（1）当N 为CF 的中点时，AF?//?平面BDN ．连结AC 交BD 于M ，连结MN ．利用中位线定理即可证明AF?//?MN ，于是AF?//?平面BDN ；

（2）过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴⊥AB ，作y 轴⊥BC 于P ，则P 为BC 的中点．以O 为原点建立空间直角坐标系，求出平面ABF 的法向量n →

，则|cos

，BN →

>|即为所求． 【解答】

当N 为CF 的中点时，AF?//?平面BDN ． 证明：连结AC 交BD 于M ，连结MN ．

∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ M 是AC 的中点， ∵ N 是CF 的中点，

∴ MN?//?AF ，又AF 平面BDN ，MN ?平面BDN ， ∴ AF?//?平面BDN ．

过F 作FO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，过O 作x 轴⊥AB ，作y 轴⊥BC 于P ，则P 为BC 的中点． 以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设AD =1，则BF =1，FP =√3

2

，∵ EF =1

2AB =1，∴ OP =1

2(AB ?EF)=1

2，∴

OF =

√22． ∴ A(1

2,??3

2,?0)，B(12,?1

2,?0)，C(?12,?1

2,?0)，F(0,?0,?√22

)，N(?14,?14

,?√24

)．

∴ AB →

=(0,?2,?0)，AF →=(?12,?32,?√22)，BN →

=(?34,??14,?√24

)．

设平面ABF 的法向量为n →

=(x,?y,?z)，则{n →

?AB →

=0n →

?AF →=0

， ∴ {

2y =0?1

2

x +3

2y +

√22z =0

，令z =√2得n →

=(2,?0,?√2)，

∴ n →?BN →=?1，|n →

|=√6，|BN →

|=√3

2．

∴ cos

，BN →

>=

n →?BN →|n →

||BN →

|

=?

√2

3

． ∴ 直线BN 与平面ABF 所成角的正弦值为|cos

，BN →

>|=√23

．

【答案】

(Ⅰ)记每户居民的平均损失为x 元，则：x =(1000×0.00015+3000×0.0002+5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003)×2000=3360 (Ⅱ)由频率分布直方图，得： 损失超过4000元的居民有：

(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15户， ∴ ξ的可能取值为0，1，2， P(ξ=0)=C 122C 15

2=

2235

，

P(ξ=1)=

C 31C121

C 15

2=12

35，

P(ξ=2)=C 3

2

C 15

2=1

35，

∴ ξ的分布列为：

Eξ=0×

2235

+1×

1235

+2×

1

35=2

5

． (Ⅲ)如图：

K2=50×(30×6?9×5)2

39×11×35×15

≈4.046>3.841，

所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．

【考点】

频率分布直方图

独立性检验

【解析】

(Ⅰ)根据频率分布直方图，即可估计小区平均每户居民的平均损失；

(Ⅱ)由频率分布直方图，得损失超过4000元的居民有15户，ξ的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

(Ⅲ)求出K2，与临界值比较，即可得出结论．

【解答】

(Ⅰ)记每户居民的平均损失为x元，则：x=(1000×0.00015+3000×0.0002+ 5000×0.00009+7000×0.00003+9000×0.00003)×2000=3360

(Ⅱ)由频率分布直方图，得：

损失超过4000元的居民有：

(0.00009+0.00003+0.00003)×2000×50=15户，

∴ξ的可能取值为0，1，2，

P(ξ=0)=C122

C152=22

35

，

P(ξ=1)=C31C121

C152=12

35

，

P(ξ=2)=C32

C152=1

35

，

∴ξ的分布列为：

Eξ=0×22

35+1×12

35

+2×1

35

=2

5

．

(Ⅲ)如图：

K2=50×(30×6?9×5)2

39×11×35×15

≈4.046>3.841，

所以有95%以上的把握认为捐款数额是否多于或少于500元和自身经济损失是否4000元有关．

【答案】

解：(1)焦点F(0,?c)(c>0)到直线l:x?y?2=0的距离，

d=

√2=

√2

=3√2

2

，

解得c=1，

所以抛物线C的方程为x2=4y．

(2)设A(x1,1

4x12)，B(x2,1

4

x22)，

由(1)得抛物线C的方程为y=1

4x2，y′=1

2

x，

所以切线PA，PB的斜率分别为1

2x1，1

2

x2，

所以PA:y?1

4x12=1

2

x1(x?x1)，

PB:y?1

4x22=1

2

x2(x?x2)，

联立可得点P的坐标为(x1+x2

2,x1x2

4

)，

即x0=x1+x2

2，y0=x1x2

4

，

又因为切线PA的斜率为1

2x1=y0?

1

4

x12

x0?x1

，

整理得y0=1

2x1x0?1

4

x12，

直线AB的斜率k=1

4

x12?1

4

x22

x1?x2

=x1+x2

4

=x0

2

，

所以直线AB的方程为y?1

4x12=1

2

x0(x?x1)，

整理得y=1

2x0x?1

2

x1x0+1

4

x12，

即y=1

2

x0x?y0，

因为点P(x0,?y0)为直线l:x?y?2=0上的点，所以x0?y0?2=0，即y0=x0?2，

所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0=0．(3)根据抛物线的定义，

有|AF|=1

4x12+1，|BF|=1

4

x22+1，

所以|AF|?|BF|

=(1

4

x12+1)(

1

4

x22+1)

=1

16

x12x22+

1

4

(x12+x22)+1

=1

16x12x22+1

4

[(x1+x2)2?2x1x2]+1，

由(2)得x1+x2=2x0，x1x2=4y0，x0=y0+2，所以|AF|?|BF|

=y02+1

4

(4x02?8y0)+1

=x02+y02?2y0+1

=(y0+2)2+y02?2y0+1

=2y 02

+2y 0+5 =2(y 0+1

2)2+9

2

.

所以当y 0=?1

2时，|AF|?|BF|的最小值为9

2．

【考点】

利用导数研究曲线上某点切线方程 抛物线的求解 抛物线的标准方程 【解析】

（1）利用焦点到直线l:x ?y ?2=0的距离建立关于变量c 的方程，即可解得c ，从而得出抛物线C 的方程；

（2）先设A(x 1,1

4x 1

2)，B(x 2,1

4x 22)，由（1）得到抛物线C 的方程求导数，得到切线PA ，PB 的斜率，最后利用直线AB 的斜率的不同表示形式，即可得出直线AB 的方程；

（3）根据抛物线的定义，有|AF|=1

4x 1

2+1，|BF|=1

4x 22

+1，从而表示出|AF|?|BF|，再由（2）得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2，将它表示成关于y 0的二次函数

的形式，从而即可求出|AF|?|BF|的最小值． 【解答】

解：(1)焦点F(0,?c)(c >0)到直线l:x ?y ?2=0的距离， d =

2

=

2

=

3√2

2

， 解得c =1，

所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．

(2)设A(x 1,1

4x 1

2)，B(x 2,1

4x 22)， 由(1)得抛物线C 的方程为y =14x 2，y ′=1

2x ， 所以切线PA ，PB 的斜率分别为1

2x 1，1

2x 2，

所以PA:y ?1

4x 1

2

=1

2x 1(x ?x 1)， PB:y ?1

4x 22

=12x 2(x ?x 2)，

联立可得点P 的坐标为(x 1+x 22

,

x 1x 24

)，

即x 0=

x 1+x 22

，y 0=

x 1x 24

，

又因为切线PA 的斜率为1

2

x 1=

y 0?1

4

x 1

2x 0?x 1

，

整理得y 0=1

2x 1x 0?1

4x 12

，

直线AB 的斜率k =

14x 12?14x 2

2

x 1?x 2

=

x 1+x 24=

x 02

，

所以直线AB 的方程为y ?1

4x 1

2

=1

2x 0(x ?x 1)，

整理得y =1

2x 0x ?1

2x 1x 0+1

4x 12

，

即y =1

2x 0x ?y 0，

因为点P(x 0,?y 0)为直线l:x ?y ?2=0上的点， 所以x 0?y 0?2=0，即y 0=x 0?2， 所以直线AB 的方程为x 0x ?2y ?2y 0=0． (3)根据抛物线的定义，

有|AF|=1

4x 1

2+1，|BF|=1

4x 22+1， 所以|AF|?|BF| =(14x 12+1)(14x 22

+1) =

116x 12x 22+14

(x 12

+x 22

)+1 =1

16x 12x 22+1

4[(x 1+x 2)2?2x 1x 2]+1，

由(2)得x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4y 0，x 0=y 0+2， 所以|AF|?|BF|

=y 02+14(4x 02

?8y 0)+1

=x 02+y 02?2y 0+1

=(y 0+2)2+y 02

?2y 0+1

=2y 02

+2y 0+5 =2(y 0+1

2)2+9

2

.

所以当y 0=?1

2时，|AF|?|BF|的最小值为9

2． 【答案】

f(x)=ax

e x +1+be ?x 的导数为 f′(x)=

a(e x +1)?axe x

(e x +1)2?be ?x ，

由切线与直线2x ?y =0垂直，可得 f(0)=1，f′(0)=?1

2， 即有b =1，1

2a ?b =?12， 解得a =b =1；

当x ≠0时，都有f(x)>x

e x ?1+ke ?x ， 即为x

1+e x +e ?x >x

e x ?1+ke ?x ，

即有(1?k)e ?x >2x

e 2x ?1，即1?k >2x

e x ?e ?x ， 可令g(x)=2x

e x ?e ?x ，g(?x)=?2x

e ?x ?e x =g(x)，