2018年全国1卷理科数学真题答案及解析

2018年全国1卷理科数学真题答案及解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设i i

i

z 211++-=

，则=||z （）

A ．0

B ．

2

1C ．1D ．2

【答案】C

【解析】i i i i i i i i i i i i z =+-=++-=+--=++-=222

2121)1(2112

22，所以1

||=z 【点评】本题考查复数的四则运算与复数的模．属于基础题，难度系数较小．2．已知集合{}

2|20A x x x =-->，则R C A =（

）

A ．{}|12x x -<<

B ．{}|12x x -≤≤

C ．{}{}|1|2x x x x <->

D ．{}{}

|1|2x x x x ≤-≥ 【答案】B

【解析】{}()(){}

{}

2|20|210|21A x x x x x x x x x =-->=-+>=><- 或{}

|12R C A x x ∴=-≤≤【点评】本题考查集合的运算．容易出错的地方是一元二次不等式求解出错与端点值是否取到判断

出错．属于基础题，难度系数小．

3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（）

A ．新农村建设后，种植收入减少

B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【答案】A

【解析】设建设前农村的经济收入为a ，则建设后农村的经济收入为2a ；故根据饼图可知新农村建设前种植收入为0.6a ，第三产业收入为0.06a ，养殖收入为0.3a ，其他收入为0.04a ；新农村建设后种植收入为0.74a ，第三产业收入为0.56a ，养殖收入为0.6a ，其他收入为0.1a ．因此，A 结论错误，其余结论都对．

【点评】本题主要考察统计部分知识．其中，翻番指翻倍的意思，通过题目可知建设前后总经济收入关系，再由饼图计算出各个产业的收入，便可以知道建设前后各产业经济收入的增长情况，故本题属容易题．

4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5=a （）

A ．12-

B ．10

-C ．10

D ．12

【答案】B

【解析】3241113221433=+3324222S S S a d a d a d ?????????

?+

=+++ ? ? ??

?????

，将12a =代入并整理得3d =-，51410a a d ∴=+=-，答案B ．

【点评】本题主要考察等差数列前n 项和求解及公式应用，只需将所有已知量化归至1a ，n ，即可求解，属简单题．

5．设函数()()3

2

1f x x a x ax =+-+．若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点()0,0处的切线方

程为（）

A ．2y x =-

B ．y x

=-C ．2y x

=D ．y x

=【答案】D

【解析】()f x 为奇函数，()()0f x f x ∴-+=（或10a -=），解得1a =．

()3f x x x ∴=+．()2'31

f x x =+则曲线()y f x =在点()0,0处的切线斜率为()'01

f =∴切线方程为y x

=【点评】本题考查函数的奇偶性与导数的几何意义．由于函数为奇函数，可根据函数的奇偶性定义

求解a ，或根据函数特点，必不含偶函数的项，故偶函数项的系数为0，解出a 的值．再根据导数a 错．属于基础题，难度系数小．

6．在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则=EB （

）A ．

AC AB 4

143-B ．

4

3

41-C ．

41

43+D ．

4

3

41+【答案】A

【解析】∵在ABC ?中，AD 为BC 边上的中线

∴)(21

AC AB AD +=

，E 为AD 的中点∴)

(4

1

21AC AB AD AE +==∴AC

AB AC AB AB AE AB EB 4

1

43)(41-=+-=-=【点评】本题考查平面向量的运算，重点考查平面向量的几何运算（三角形法则、平行四边形法则．属

于基础题，难度系数较小．

7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图，圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为（）

A ．217

B ．25

C ．3

D ．2

【答案】B

【解析】圆柱展开图为长方形，M 在展开图的左上顶点，N 在展开图的距左下顶点为1

1644

?=的位置，222425

MN =

+=

【点评】本题重点考查了空间想象能力，考察圆柱的三视图和侧面积．属于基础题．

【点评】本题重点考查三视图还原及圆柱中最短路径问题，容易出错的地方是三视图中的点和圆柱中的点对应错以及侧面展开图中矩形的长会看成直径，属于中等题，难度系数不大．8．设抛物线2

:4C y x =的焦点为F ，过点()2,0-且斜率为

2

3

的直线与C 交于M 、N 两点，则FM FN ? =（

）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8

【答案】D

【解析】

设直线方程为：()223y x =+，联立()22234y x y x

?

=+???=?

得，2540x x -+=解得1x =或4，代入2

4y x =得()1,2M 、()4,4N ．

由抛物线方程得()1,0F ，则()0,2FM = 、()3,4FN =

，03248FM FN ?=?+?= ．

【点评】本题重点考查抛物线基本性质、抛物线与直线联立的基本解题思路以及向量坐标的基本表达方法．直线方程解出来，联立两个方程，解交点，求得向量坐标直接计算即可．

9．已知函数(),0

ln ,0x e x f x x x ?≤=?>?

，()()g x f x x a =++，若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围

是（

）A ．[)1,0-B ．[)

0,+∞C ．[)

1,-+∞D ．[)

1,+∞【答案】C

【解析】令()()0g x f x x a =++=有两个零点，转化成()f x x a =--，，画出()f x 图像，由图像可得直线y x a =--与()f x 有两个交点，则1a ≥-．

【点评】本题重点考查将函数零点问题转化成函数图像交点的问题，分别画出函数图像，数形结合得出取值范围，难度系数中等．

10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径

分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．ABC ?的三边所成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为1p ，2p ，

3p ，则（

）

A ．12p p =

B ．13p p =

C ．23p p =

D ．123

p p p =+【答案】A 【解析】

设ABC ?每个顶点对应的边长分别为,,a b c ，I ，II ，III 三部分的面积分别为123,,S S S ．则

11=,2S bc 2311=222a S bc π??- ???，22

23111

=22222

c b S S bc ππ????+-= ? ?????．所以12S S =，由几何概

型得12p p =．

【点评】本题重点考查几何概型的运算，通过计算各自区域内的面积从而计算概率大小．

11．已知双曲线2

2:13

x C y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线

的交点分别为M ，N ，若OMN ?是直角三角形，则MN =（

）

A ．

32

B ．3

C ．23

D ．4

【答案】B

【解析】由22:13x C y -=得()2,0F ，两条渐近线方程分别为：33

y x =±，故30MOF NOF ?∠=∠=，6090MON ??∠=≠．由双曲线对称性，不妨设90OMN ?∠=，则

3MN OM =．又在Rt MOF ?中，30MOF ?∠=，2OF =，故3OM =，3MN =．

【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，重点考查双曲线相关几何性质，包括渐近线方程，

对称性，双曲线方程等，重点要明确直角三角形中哪个角为直角，这是本题关键．本题属于中等题，也是高考热点问题，希望引起重视．

12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（）

A ．

33

4

B ．

233

C ．

324

D ．

32

【答案】A 【解析】设正方体ABCD A B C D ''''-中，三棱锥A AB D '''-是正三棱锥，易知直线A B ''、直线A D ''、直线A A '与平面AB D ''所成角相等，故平面α与平面AB D ''平行.如图所示，设平面α与正方体各边交于点L 、H 、Q 、P 、N 、M .所求截面面积最大值即求六边形LHQPNM 面积的最大值.设边长LB 长度为()01a a ≤≤，则边长LA 长度为1a -.通过平行关系可知直线LM 、直线PQ 线B D ''平行,直线LH 、直线PN 与直线AB '平行,直线HQ 、直线MN 与直线AD '平行,故这六条直线与与之相交的正方体边长所成角皆为

45o ，则

()21LM HQ PN a ===-,2LH PQ MN a ===.且因为平行关系可知直线LM 与直线LH

的夹角就是直线B D ''与直线AB '夹角的补角，即为120o .同理，六边形其它内角也是120o .如下图所示.则该六边形面积为LHQ QPN NML LQN S S S S ????+++.易知三角形LQN 为正三角形，边长为

2222a a -+，面积为

()23

2224

a a -+,则计算可得()()()2223333

2223242

LHQ QPN NML LQN S S S S a a a a a a ????+++=

-+-+=-+，易知当12a =

时面积最大，为33

4

.

【点评】本题考查线面夹角的性质以及对截面图形的想象能力。考查推理论证能力，运算求解能力，空间思维能力，考查函数与方程思想，化归转化思想，数形结合思想，属于偏难题型，需要有比较好的空间想象力。

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤??

-+≥??≤?

，则32z x y =+的最大值为______．

【答案】6

【解析】求出3条直线的交点()4,3A --，()2,0B ，()1,0C -，分别带进去进行求解，得到所求的z 的最大值为6．

【点评】本题重点考察线性规划的性质，利用函数图像解决线性规划最优解问题，属于中等题．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =．

【答案】63-【解析】由题意得

21n n S a =+，1121,(2,)

n n S a n n N *--=+≥∈两式相减得

1122n n n n S S a a ---=-，即122n n n a a a -=-，12n n a a -=，

1

2n

n a a -=又1111,21a S a a ==+得11

a =-则数列{}n a 是以1-为首项，以2为公比的等比数列

1(1)1(12)12112

n n n

n a q S q ---===---663

S =-【点评】利用递推关系与等比数列的通向，等比数列的前n 项和公式即可得出．

15．从2位女生，4名男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有种．（用数字作答）【答案】16

【解析】从6人中任取3人取法为36C ，没有女生入选的取法为3

4C ．至少有1位女生入选的取法为3364-C 20416

C =-=【点评】：本题主要考察排列，组合及简单计数问题，至少选择一名女生，可以考虑其对立面没有女生的情况来解决问题．属于中档题型．

16．已知函数()2sin sin 2f x x x =+，则()f x 的最小值是__________．

【答案】33-

【解析】()2sin sin 2f x x x

=+ ()()22'2cos 2cos 22cos 22cos 14cos 2cos 2

f x x x x x x x ∴=+=++=+-令cos t x =，[]

1,1t ∈-()()()2'4222211f t t t t t =+-=-+，[]

1,1t ∈-()'0f t ∴>解得112t <≤，即()

2,233x k k k ππππ??

∈-++∈ ???Ζ()'0f t <解得112t -≤<

，即()

52,233x k k k ππππ??

∈++∈ ???

Ζ()f x ∴在()2,233x k k k ππππ??∈-++∈ ???Ζ上单调递增，在()52,233x k k k ππππ??

∈++∈ ???

Ζ上

单调递减

()f x ∴最小值为332=32f k ππ??

-+-

???

【点评】本题重点考查函数求导判断单调性求极值最值问题，以及三角函数求值问题．很容易与三

角函数的归一类问题搞混淆，此题并不属于归一问题的任何一种形式，学生容易陷入误区中，一直在想归一导致找不到正确解题思路．

三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22,23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）

在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠=

，45A ∠=

，2AB =，5BD =（1）求cos ADB ∠；

（2）若22DC =，求BC ．【答案】（1）23

cos 5

ADB ∠=

；（2）5BC =【解析】（1）在ADB ?中，由正弦定理

sin sin AB BD ADB A

=∠，得2sin ADB ∠=，又90ADB ∠<

，

23cos 5

ADB ∴∠=

；（2）90ADB BDC ∠+∠=

，2

cos sin 5

BDC ADB ∴∠=∠=

；在BDC ?中，由余弦定理，222

cos 2BD DC BC BDC BD DC

+-∠=

?，解得5BC =．【点评】此题主要考查考生对正余弦定理以及三角函数诱导公式的理解和运用，属于简单题．第一问观察角度与边的关系，运用正弦定理进行求解．第二问运用余弦定理，而cos ADB ∠可借助诱导公式求得，这是易在考试中忽略的一个点，如若诱导公式掌握不好，将影响解题．此题属于解三角形中的基础题型，旨在考查考生的基础是否扎实．18．（12分）

如图，四边形ABCD 为正方形，E ，F 分别为AD ，CB 的中点，以DF 为折痕把DFC ?折起，使C 点到达点P 的位置，且PF BF ⊥．（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值；

【答案】（1）见解析；（2）

3

4

【解析】（1）证明：在正方形ABCD 中， E ，F 分别为AD ，CB 的中点，

∴EF BF ⊥,又 PF BF ⊥，PF EF F = 且PF ，EF ?平面PEF ，

∴BF ⊥平面PEF ，又 BF ?平面ABED ，∴平面PEF ⊥平面ABFD

（2）如图，作PO EF ⊥交EF 于点O ，过O 作BC 平行线交AB 于点G ，

则由（1）平面PEF ABFD ⊥平面，且平面PEF ABFD EF =,∴PO ⊥平面ABFD ,

∴以O 为原点，OG 为x 轴建立空间直角坐标系O xyz -，设正方形的边长为a ，

则DP a =，2

a

DE =

，由（1）BF ⊥平面PEF 得DE ⊥平面BEF ，∴32PE a =，又EF a =，2

a PF =

，则由222

PE PF EF +=得PE PF ⊥，∴34PO a EF == ，34EO a =，1

4OF a =∴133,,24

4DP a a a ??= ? ??? ，又平面ABFD 的一个法向量为()0,0,1m =

，

∴cos ,DP m DP m

DP m

?==? 3344a a =

，∴OP 与平面ABFD 所成角的正弦值为34．【点评】难度不大，辅助线的做法也是比较常规的，第二问的计算量与往年相比，题型问法基本一

致，没有大变化．

19．（12分）

设椭圆C ：2

212

x y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，

点M 的坐标为()2,0．（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程；

（2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠．

【答案】（1）220x y +-=或220x y --=；（2）见解析；

【解析】（1）由题()1,0F ，()2,0M ，当l 与x 轴垂直，即1x =时，2

2

y =±

，∴21,2A ?? ? ???或21,2A ??

- ? ???

，∴22AM k =±，∴直线AM 的方程为220x y +-=或220x y --=；

（2）由题，当直线l 斜率不存在时，A ，B 关于x 轴对称，OMA OMB ∠=∠成立；当直线l 斜率存在时，设():1l y k x =-，且令()11,A x y ，22,B x y ，

联立()

22

112y k x x y ?=-??+=??得()2222

124220k x k x k +-+-=，

∴2122412k x x k +=

+，2122

22

12k x x k -=+

又AM BM k k +=

121222y y x x +--()211122111222x y y x y y x x x x -+-=-++()()1212111223424

kx x k x x k

x x x x -++=-++ ()1212234kx x k x x k -++=22

22224231212k k k k

k k --++4k +=333

2

44124812k k k k k k --+++0=，∴0AM BM k k +=∴OMA OMB

∠=∠【点评】本题的圆锥曲线难度相比前几年，属于比较简单，在第二问中，对比不难发现，题型与年全国一卷20题类似，考题思想一样．

20．（12分）

某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验．设每件产品不合格品的概率都为()01p p <<,且各件产品是否为不合格品相互独立．

（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ．

（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以()1中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元．若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．

()i 若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;()以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否对该箱余下的所有产品作检验?

【答案】（1）()f p 的最大值点01

=10

p ；（2）490EX =，需要对该箱余下的所有产品作检验【解析】（1）依题意得()()18

2

220=1f

p C p p -()01p <<所以()()()

17

3801110f p p p p '=--令()0f p '=()01p <<解得110

p =

当10,

10p ??∈ ???时()0f p '>，()f p '在10,10?? ???

上单调递增

当1110p ??∈

???，时()0f p '<，()f p '在1110?? ???

，上单调递减

所以()f p 的最大值点01=

10

p （2）()i 设剩余180件产品中，不合格品有n 件．则20225=40+25X n n =?+又因为1,18010n B ??

???

，()118018

10E n =?=所以()2540=490

EX E n =+()若检验该箱余下的所有产品，检验费用为2002=400

?因为=490400

EX >所以需要对该箱余下的所有产品作检验

【点评】本题主要考查对二项分布的理解和应用，并通过求解数学期望进行实际运用，难度中等，属于中档题目．21．（12分）已知函数()1

ln f x x a x x

=

-+（1）讨论()f x 的单调性

（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，证明：

()()1212

2

f x f x a x x -<--【答案】（1）当2a ≤，()f x 在()0+∞，

单调递减；当2a >，()f x 在2402a a ??-- ? ???，和2+4+2a a ??

-∞

? ???

，单调递减，在224+422a a a a ??

--- ? ???

，单调递增．

（2）见解析

【解析】（1）定义域()

0,x ∈+∞()222

11

1a x ax f x x x x -+-'=--+=

，2

4

a ?=-①若0?≤，即22a -≤≤，()0f x ≤恒成立，()f x 在()0+∞，

单调递减②若0?>，即2a >或2

a <-

（i ）当2a <-，()0f x ≤在()0+∞，

恒成立，故()f x 在()0+∞，单调递减（ii ）当2a >，()f x 在2402a a ?- ???，和2+4+2a a ??

-∞

? ???

单调递减，在224+422a a a a ?-- ??

，单调递增

综上：

当2a ≤，()f x 在()0+∞，

单调递减；当2a >，()f x 在2402a a ??-- ? ???，和2+4+2a a ??

-∞

? ???

，单调递减，在224+422a a a a ??

--- ? ???

，单调递增．

（2）由（1）知此时2

a >由韦达定理得12x x a +=，121x x =，设12

01x x <<<要证

()()1212

2

f x f x a x x -<--只需证

()()()()

12122f x f x a x x ->--只需证

()()11221212

11

ln ln 2x a x x a x a x x x x -+-+->--，又121x x =只需证()()()2111222ln 2x x a x a x x -+>--只需证()

1122ln a x a x x >-即证

1122ln x x x >-即证

111

1

2ln 0x x x -+

>令()()1

2ln 01g x x x x x

=-+

<<()()2

2

10x g x x --'=

≤，故()g x 在()0,1单调递减，则()()10

g x g >=即111

12ln 0x x x -+

>，故原命题

()()1212

2f x f x a x x -<--得证．

【点评】压轴题相比去年难度有所提升，重点考察考生的分类讨论思想，归化思想与函数综合思想．第一问属于平常习题上的“家常菜”，根据函数性质分析参数，找到讨论的节点，不重不漏，体现了对高中数学分类讨论思想的重视．第二问对中上水平的学生来说难度不大，属于常见导数压轴题中的“双变量”题型，结合韦达定理转化为单一变量，构造函数完成证明．而证明过程中要求学生能灵活运用分析法的思想，将较为复杂的不等式层层简化，得到最精简的式子从而进行证明，这也是对学生综合数学素养的一个考察．

（二）选考题：共10分．请考生在第22题，23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2y k x =+，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2

2cos 30ρρθ+-=．

（1）求2C 的直角坐标方程；

（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程．【答案】（1）2

2

(1)4x y ++=；（2）43

k =-

【解析】（1）2

2230x y x ++-=，即2

2

(1)4x y ++=．

（2）2,(0)

22,(0)y kx x y k x y kx x =+≥?=+??

=-+

，

直线过定点(0,2)，点(0,2)在圆外，所以若直线与圆有公共点则有0k <，直线与圆有三个交点，则必然有一条直线与圆相切，一条与圆相交．则依题意可知2y kx =-+与圆相交，2y kx =+与圆相切．即圆心到直线2y kx =-+的距离要小于半径：2

221k d k +=

<+即0k <或4

3

k >

且圆心到直线2y kx =+的距离等于半径：2

2

21k d k -+==+，即4

3k =-或0

k =综上，4

3

k =-

．【点评】第一题考查极坐标与直角坐标的转化，第二题考查直线和圆的位置关系，题型简单．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()11

f x x ax =+--

（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；

（2）当()0,1x ∈时，不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．【答案】（1）12x x ??

>

???

?

（2）02

a <<【解析】（1）()1111f x x ax >?--->①当1x <-时，()()111

x x -++->21->与事实矛盾，故舍去

②当11x -≤≤时，()()111

21

1

2

x x x x ++->>>

1

12

x ∴<≤③当1x >时，()()111x x +-->，21>恒成立综上所述，该不等式的解集为12x x ??>

???

?

2）()0,1,10,11

x x x x ∈∴+>∴+=+ 11111111102

x ax x x ax x ax ax ax +-->?+-->-<-<-<<<①若0,a ≤不成立

②若0a >，0ax >恒成立，

()max 2,2

02

ax a a <∴<<<综上所述，()

0,2a ∈【点评】本题主要考察绝对值不等式，主要涉及不等式的求解与分类思想，属于中等题．