【解析】陕西省西安市铁一中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷

2019年铁一中数学期末测试

一、选择题(本大题共12题，每小题4分，共48分)

1. 60-?是第几象限角（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

【答案】D 【分析】

由象限角的定义即可得解.

【详解】由题意，因为90600-<-?<，所以该角是第四象限角. 故选：D.

2. 函数cos(2)2

y x π

=+的图象的一条对称轴方程是（ ）

A. 2x π=-

B. 4

πx =-

C. 8

x π=

D. x π=

【答案】B 由2,2

x k π

π+

=得24

k x k Z ππ

=

-∈，， 当0k =时,x =?4

π， 故4

x π

=-是函数的一条对称轴，

故选B.

3. 若函数()y f x =的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数()y f x =的图象可能是（ ）

A. B.

C. D.

【答案】B 【

分析】

根据函数的概念逐一判断即可.

【详解】对于A ，定义域{

}

20M x x =-≤≤，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，故A 不选； 对于B ，定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，故B 选； 对于C ，一个x 值对应两个y 值，不符合函数的定义，故C 不选；

对于D ，定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域是集合{y |0≤y ≤2}的子集，故D 不选； 故选：B

【点睛】本题考查了函数的概念、函数的定义域、值域，考查了基本知识的掌握情况，属于

基础题.

4. 设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则

OA OB OC OD +++等于 （ ）

A. OM

B. 2OM

C. 3OM

D. 4OM

【答案】D

试题分析：由已知

得，

而,,CA AC DB BD =-=-所以4OA OB OC OD OM +++=，选D. 考点：平面向量的线性运算，相反向量.

5. 已知如图示是函数2sin()()2

y x π

ω??=+<

的图象，那么（ ）

A. 10,116

πω?=

= B. 10,116

π

ω?=

=- C. 2,6

π

ω?==-

D.

2,6

π

ω?==

【答案】D 【分析】

先由题意得到2sin 1=?，根据?的范围，可求出?，再由函数图像确定最小正周期，可求出

ω，进而可求出结果.

【详解】因为图像过点(0,1)， 所以2sin 1=?，结合图像可得2,6

k k Z π

?π=+∈，

因为2π

?<

，所以6

π

=

?；

又由图像可得： 1111

01212

T π=-，所以T π=， 因此22T

π

ω=

=. 故选D

【点睛】本题主要考查由函数部分图像求参数的问题，熟记三角函数的图像和性质即可，属于常考题型.

6. 某种动物繁殖数量 y (只)与时间x (年)的关系为 y ＝a log 2(x ＋1)，设这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到( ) A. 300只 B. 400只 C. 500只 D. 600只

【答案】A 【分析】

根据这种动物第1年有100只，先确定函数解+析式，再计算第7年的繁殖数量．

【详解】由题意，繁殖数量y （只）与时间x （年）的关系为y=alog 2（x+1），这种动物第1年有100只

∴100=alog 2（1+1）， ∴a=100，

∴y=100log 2（x+1），

∴当x=7时，y=100 log 2（7+1）=100×3=300． 故选A ．

【点睛】本题考查学生对函数解+析式的理解，考查运算能力，属于基础题．

7. 若函数() y f x =的图像和函数sin 4y x π?

?=+ ???的图像关于,02P π?? ???

对称，则()f x 解+

析式为（ ） A. ()sin 4f x x π?

?

=-

??

?

B. ()sin 4f x x π??

=--

??

?

C ()cos 4f x x π?

?=-+ ??

?

D. ()cos 4f x x π?

?=- ??

?

【答案】B 【分析】

由题可知，点(),x y 关于,02P π??

???

对称的点(,)x y π--，将点(,)x y π--代入函数sin 4y x π?

?=+ ??

?，即可得出()f x 解+析式.

【详解】解：根据题意，设函数() y f x =上的点(),x y ， 则点(),x y 关于,02P π??

???

对称的点(,)x y π--在函数sin 4y x π?

?=+ ???上，

∴sin 4y x π??

=+

??

?

关于,02P π??

???

的对称函数为：

sin ()sin 44y x x ππππ???

?-=-+=-+ ???????

sin sin 44x x ππ???

?=--+=- ? ????

?，

∴sin 4y x π??

=--

??

?和sin 4y x π??

=+

??

?

关于,02P π??

???

对称， 所以()sin 4f x x π??

=-- ??

?

. 故选：B.

8. 如图，在⊙C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ?的值为（ ）

A. 12

B. 8

C. 4

D. 2

【答案】B 【分析】

设圆C 的半径为r ，CAB θ∠=，则2

cos r

θ=，然后可得答案. 【详解】设圆C 的半径为r ，CAB θ∠=， 则2cos r

θ=

， ∴2

cos 48AB AC AB AC r r

θ?=??=??=. 故选：B

9. 函数1sin3y x =-的图像与直线3

x π

=，53

x π

=

及x 轴所围成的图形的面积是（ ） A

23

π B. π

C. 43

π D. 53π

【答案】C 【分析】

作出函数1sin3y x =-的图像，利用割补法，补成长方形，计算面积即可. 【详解】作出函数1sin3y x =-的图象，如图所示，

利用割补法，将

2

3

π到π部分的图象与x 轴围成的图形补到图中3π到23π处阴影部分，凑成

一个长为

3π，宽为2的长方形，后面π到5

3

π，同理；∴1sin3y x =-的图象与直线3x π=，

53

x π=及x 轴所围成的面积为24

233ππ?=，

故选：C.

【点睛】用“五点法”作()sin y A ωx φ=+的简图，主要是通过变量代换，设z x ω?=+，由z 取0，2

π，π，32π

，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出

图象．

10. 已知集合{}cos sin ,02E θ

θθθπ=<≤≤∣，{}

tan sin F θθθ=<∣，那么E F 为区间

（ ） A. ,2ππ??

???

B. 3,44ππ

??

??

?

C. 3,

2

ππ?? ??

?

D.

35,44ππ??

???

【答案】A 【分析】

先分别利用正弦函数、余弦函数和正切函数的图象化简集合E ，F ，再利用交集的运算求解.

【详解】∵5{cos sin ,02}44E π

θ

θθθπθθπ??=<≤≤=<

∣∣， {}tan sin ,2F k k k πθθθθπθππ??

=<=+<<+∈????

Z ∣∣，

∴2E

F πθθπ??

=<

∣.

故选：A.

11. 对于任意(,)x m ∈+∞，不等式22log 2x

x x <<都成立，则m 的最小值为（ ）

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【答案】C 【分析】

根据指数函数、二次函数、对数函数的增长速度，结合特殊函数值进行求解即可. 【详解】0x >时，令22x x =得：2x =或4x =， 由于指数函数增长速度比二次函数要快， ∴当4x >时，22x x >恒成立，

且当4x >时，2

2log x x >也成立，对数函数增长速度小于二次函数，

∴m 的最小值为4. 故选：C.

12. 若()0,απ∈，且1cos sin 3

αα+=-，则cos2=α（ ）

A.

9

B. 9

±

C. 9

-

D.

3

【答案】A

试题分析： 由1cos sin 3

αα+=-，两边平方得：

1412sin cos sin cos 99

αααα+=

?=-，

由cos ,sin αα是一元二次方程：2

14039x x +

-=的两个实根，解得：1,2x =()0,απ∈，且由上可知：4

sin cos 09

αα=-<，

sin 0,cos 0αα∴><

sin αα∴=

=

22cos 2cos sin ααα∴=-，

22=-

=

故选A ．

考点：1.同角三函数间的关系；2.余弦的倍角公式．

二?填空题(本大题共4题，每小题4分，共16分)

13. 设tan α、tan β是方程2320x x -+=的两个根，则()tan αβ+=________________. 【答案】3- 【分析】

利用二次方程根与系数的关系得出tan tan αβ+和tan tan αβ的值，然后利用两角和的正切公式计算可求出()tan αβ+的值.

【详解】由二次方程根与系数的关系得出tan tan 3αβ+=，tan tan 2αβ=， 因此，()tan tan 3

tan 31tan tan 12

αβαβαβ++=

==---，故答案为3-.

【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，同时也考查了二次方程根与系数的关系，考查运算求解能力，属于中等题.

14. 把函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半(纵坐标不变)，然后把图象

向左平移

4

π

个单位，则所得图形对应的函数解+析式为__________. 【答案】sin 2y x =- 【分析】

利用三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.

【详解】将函数cos y x =的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半， 可得cos 2y x =的图象，再向左平移

4

π

个单位， 所得图象的解+析式为cos 24y x π??

??=+

????

???

， 即cos 2sin 22y x x π?

?

=+

=- ??

?

. 故答案为：sin 2y x =-

15. 数2sin 4cos 2y x x =-+的最大值是__________. 【答案】6

【分析】

利用平方关系将函数转化为2

cos 4cos 3y x x =--+，利用二次函数的性质求解. 【详解】2

sin 4cos 2y x x =-+，

21cos 4cos 2x x =--+， 2cos 4cos 3x x =--+， 2(cos 2)7x =-++.

∵cos 1x ≤，

∴当cos 1x =-时，y 有最大值，最大值为6. 故答案为：6

16. 已知函数()()2343,1,1x a x a x f x a x ?+-+≥=?

，在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是

______. 【答案】(]

1,2 【分析】

根据分段函数单调递增可得两段也必单调递增,且左段的最大值小于等于右段的最小值,据此列式可解得.

【详解】由函数()()2343,1

,1x a x a x f x a x ?+-+≥=?

在R 上是增函数可得

()230

1

2343a a a a a ?+>?

>??+-+≥?

， 解得12a <≤. 故答案为 12a <≤.

【点睛】本题考查了分段函数的单调性,属于中档题. 易错警示:忽视左段的最大值小于等于右段的最小值.

三?解答题(本大题共6题，共56分)

17. 已知函数()2sin 213f x x π?

?=+- ??

?.

（1）写出()f x 的最小正周期及最值. （2）求()f x 的单调递增区间.

【答案】（1）最小正周期T π=；()f x 的最小值为3-，最大值为1；（2）()f x 的单调递增

区间为5,,1212k k k ππππ??

-++∈?

???

Z . 【分析】

（1）由()2sin 213f x x π??

=+

- ??

?

，利用2T ωπ=求周期，再利用正弦函数的性质求最值；

（2）根据正弦函数的单调性，令222,2

3

2

k x k k π

π

π

ππ-

+≤+

≤

+∈Z 求解.

【详解】（1）()2sin 213f x x π?

?

=+- ??

?

， 最小正周期22

T π

π=

=， ∵1sin 213x π??

-≤+

≤ ??

?

， ∴()f x 的最小值为3-，最大值为1. （2）令222,2

3

2

k x k k π

π

π

ππ-+≤+

≤

+∈Z ，

解得：5,1212

k x k k π

πππ-

+≤≤+∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为5,,1212k k k ππππ??

-++∈????

Z .

18. 已知函数(1)(1)()x x f x x

+-=

.

（1）判断函数()f x 的奇偶性﹒

（2）若{}

()0A x

x f x =?≥∣，{

B x y ==∣，求A B .

【答案】（1）()f x 是奇函数；（2）{

1A B x x ?==-或}12x ≤≤. 【分析】

（1）先求出函数()f x 的定义域，然后奇偶性的定义判断即可.

（2）由()0x f x ?≥得：(1)(1)0x x +-≥，求出集合A ,再求出集合B ，然后再求交集运算. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞?+∞，

(1)(1)(1)(1)

()()x x x x f x f x x x

-+---+-=

=-=--，

即()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数﹒

（2）由()0x f x ?≥得：(1)(1)0x x +-≥，即1x ≤-或1≥x ，

所以{

1A x

x =≤-∣或}1x ≥， {{}

{}22012B x y x x x x x ===+-≥=-≤≤∣∣∣，

所以{

1A B x x ?==-或}12x ≤≤.

19. 设(2sin ,cos 2)OA x x =，(cos ,1)OB x =-，其中0,2x π??

∈????

.

（1）求()f x OA OB =?的最值及取最值时对应的x 值. （2）当OA OB ⊥时，求x 的值.

【答案】（1）当0x =时，函数()f x 取得最大值为1，当3

8

x π=

时，函数()f x 取得最小值

为（2）8

π

. 【分析】

（1）根据(2sin ,cos 2)OA x x =，(cos ,1)OB x =-，利用数量积运算和二倍角公式以及辅助

角法，将函数化简为()24f x x π??

=-

??

?

，然后利用正弦函数的性质求解.

（2）由OA OB ⊥得到204x π??

-

= ??

?，则2,4

x k k Z π

π-=∈，然后由32,444x ππ-

∈-π??

????

求解 【详解】（1）∵(2sin ,cos 2)OA x x =，(cos ,1)OB x =-， ∴()2sin cos cos 2sin 2cos 2f x x x x x x =-+=-+，

2222x x ?=-???

，

24x π?

?=- ??

?.

∵0,

2x π??∈????

，

∴32,444x ππ-

∈-π??????

， 当24

4

x π

π

-=-时，即0x =时，函数()f x 取得最大值为1，

当24

2

x π

π

-

=

时，即3

8

x π=

时，函数()f x 取得最小值为2-. （2）当OA OB ⊥时，2sin 204x π??

--= ??

?

， 所以2,4

x k k Z π

π-=∈，

∵32,444x ππ-

∈-π??????

， ∴204

x π

-

=即8

x π=

时，2sin 204x π??

--

= ??

?

， 即当OA OB ⊥时，x 的值为

8

π. 20. 如图，以Ox 为始边作角α与β(0)βαπ<<<)，它们的终边分别与单位圆相交于点P ?Q ，已知点P 的标为34,

55??

- ???

（1）求

sin 2cos 21

1tan ααα

+++的值;

（2）若0OP OQ ?=，求sin()αβ+的值 【答案】（1）1825

；（2）7

25.

【分析】

（1）根据终边上点的坐标，利用三角函数定义得到角α的正弦值与余弦值，利用二倍角的正弦公式、二倍角法余弦公式，切化弦，把要求的式子化简，约分整理，将所求三角函数值代入求解即可；

（2）以向量的数量积为0为条件，可得2

π

αβ-= ，从而可得3sin 5β=

，进而得4

cos 5

β=，利用两角和的正弦公式可得结果. 【详解】（1）由三角函数定义得3cos 5α=-

， 4

sin 5

α= ∴原式()222cos sin cos 2sin cos 2cos 2cos sin sin cos 1cos cos ααααααα

ααα

αα

++===++

2=·2

35??- ?

??=1825

（2）0OP OQ ?=，∴2

π

αβ-=

，

∴2

π

βα=-

，∴3

sin sin cos 25

πβαα??

=-

=-= ??

? 4cos cos sin 25πβαα?

?=-== ??

?，

∴()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+

44337

555525

??=

?+-?= ???.

21. 已知在等边三角形ABC 中，点P 为线段AB 上一点，且()01AP AB λλ=≤≤. （1）若等边三角形ABC 的边长为6，且1

3

λ=

，求CP ； （2）若CP AB PA PB ?≥?，求实数λ的取值范围. 【答案】（1

）；（2

）22??

?

???

.

【分析】 （1）当1

3λ=

时，可得出13

CP AB AC =-，利用平面向量数量积的运算性质可计算得出CP ； （2）设等边三角形ABC 的边长为a ，由平面向量数量积的运算性质可将CP AB PA PB ?≥?表示为含λ的不等式，结合01λ≤≤可求得实数λ的取值范围. 【详解】（1）由13λ=

，得1

3AP AB =，13

CP AP AC AB AC =-=-， 2

2

222211212

666cos603933

69CP AB AC AB A C B AC A ∴=-+=?=???-?+-

4361228=+-=，

因此，27CP =

（2）设等边三角形ABC 的边长为a ， 则

()()

2

22cos60

CP AB CA AP AB AB AC AB AB AB AC a a λλλ?=+?=-?=-?=-221

2

a a λ=-，

()()

222PA PB PA AB AP AB AB AB a a λλλλ?=

?-=-?-

=-，

即2222212a a a

a λλλ-

+≥

-，整理得22410λλ-+≤，解得22

22

λ+≤≤

. 222201

λλ?+≤≤?∴??≤≤?

，解得：

212λ≤≤， 因此，实数λ的取值范围为2,12??

?

???

. 【点睛】方法点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．

22. 已知函数1()()2

x f x =，函数

12

()log g x x =.

（1）若2

(2)g mx x m ++的定义域为R ，求实数m 的取值范围；

（2）当[1,1]x ∈-时，求函数2

[()]2()3y f x af x =-+的最小值()h a ；

（3）是否存在非负实数m n 、，使得函数2

12

log ()y f x =的定义域为[,]m n ，值域为[2,2]m n ，

若存在，求出m

n 、的值；若不存在，则说明理由. 【答案】（1）1m ；（2）213

1,421()3,2274,2a a h a a a a a ?-≤???=-<

?

-≥???

；（3）0,2m n == 【分析】

（1）根据等价转化的方法，得到220mx x m ++>在R 上恒成立，然后利用分类讨论的方法，

0m =或0m ≠，并结合二次函数的图像与性质，可得结果.

（2）利用换元法，可得2

123,,22y t at t ??=-+∈????，然后根据讨论对称轴t a =与区间1,22??????

的位置关系，根据函数单调性，可得结果.

（3）化简式子可得2y

x ，利用该函数的单调性，可得22

220m m n n n m ?=?=??>≥?

，计算可得结果.

【详解】（1）由

12

()log g x x =，

所以(

)

2

2

12

(2)=log 2g mx x m mx x m ++++

又2

(2)

g mx x m ++定义域为R ，

则220mx x m ++>在R 上恒成立 当0m =时，20x >，则在R 上不恒成立 当0m ≠时，则2

1440m m m >??>??=-

综上：1m

（2）令()1,2[1,1]x

t f x x ??== ???

∈-，则1[,2]2t ∈

所以2

[()]2()3y f x af x =-+在[1,1]x ∈-最小值

等价于2

23y t at =-+在1[,2]2

t ∈的最小值

223y t at =-+对称轴为t a =

当12a ≤

时，2

23y t at =-+在1[,2]2

递增 则在1

2t =

处有最小值13()4

h a a =

- 当

1

22

a <<时， 则在t a =处有最小值2

()3h a a =-

当2a ≥时，2

23y t at =-+在1[,2]2

递减

则在2t =处有最小值()74h a a =- 综上：

213

1,421()3,2274,2a a h a a a a a ?-≤??

?

=-<

-≥???

（3）存在

2

221122log ()log 12x y x f x ??

= ???

==①

由m

n 、为非负实数，所以①在[,]m n 单调递增 又值域为[2,2]m n ，所以22

20220m m

m n n n n m ?==??=???=?

?>≥?

所以存在，当0,2m n ==时，

函数

2

12

log ()y f x =在[,]m n 上，值域为[2,2]m n 【点睛】本题简单考查了指数函数与对数函数，主要考查二次函数的图像与性质，第二问中，

1 [,2] 2的位置关系，典型的动轴顶区间的问题，属中档题.

难点在于采用讨论对称轴与