非线性控制系统分析

第八章非线性控制系统分析

教学目的:

通过学习本章，使学生掌握秒素函数法与相平面法分析非线性系统的理论基础与应用。

教学要求：

(1)认识非线性系统区别于线性系统的运动过程特点.

(2)掌握描述函数法和相平面法的特点及应用范围.

(3)明确函数的定义及相关概念,熟悉典型非线性的妙描述和负倒描述函数

特性,掌握用描述函数法分析非线性系统的稳定性和分析自振,计算自振参数的方法.

教学课时：12学时

教学重点: (1) 非线性的相关概念.

(2) 典型系统的相平面表示.

(3) 典型非线性系统的描述函数形式.

教学难点:

非线性系统的描述函数求法;

利用负倒数法分析系统稳定性.

本章学时: 12学时

主要内容:

8.1 非线性系统的概述

8.2 描述函数法

8.3 相平面法分析线性控制系统

8.4 利用非线性特性改善系统的控制性能

8.1非线性系统的概述

8.1.1 非线性模型

㈠组成

---------x-------非线性环节---------线性环节------------

组成：非线性环节+线性环节

㈡. 分类

①从输入输出关系上分：单值非线性

非单值非线性

1，从形状特性上分：饱和

死区

回环

继电器

㈢特点

稳定性与结构，初始条件有关；响应

㈣分析方法

注意: 不能用叠加原理

1. 非线性常微分方程没有同意的求解方法，只有同意求近似解的方法:

a. 稳定性（时域，频域）：由李亚普洛夫第二法和波波夫法判断

b. 时域响应：相平面法（实际限于二阶非线性系统）较精确，因高阶作用太复杂

描述函数法：近似性，高阶系统也很方便

研究非线性系统并不需求得其时域响应的精确解，而重要关心其时域响应的性质，如：稳定性，自激震荡等问题，决定它的稳定性范围，自激震荡的条件，震荡幅度与频率等。

2

3

8.2 描述性函数

X0(S)

一 描述性函数的定义

非线形元件的输入为正弦波时，将起输出的非正弦波的一次谐波（基波）与输入正

弦波的复数比，定义为给非线形环节的描述性函数。 输入：

输出：) y=f(Asinwt)

=y0+∑x(t)=Asinwt (Bksinkwt +Ckcoskwt)

假设输出为对称奇函数，y0=0;只取基波分量（假设具有低通滤波特性，高次谐波忽略），则y(t)=B1sinwt+C1coswt=y(sinwt+￠)

二典型非线形特性的描述函数

1，计算方法设非线形特性为：y=f(x)

令X=Asinwt,则y(t)由富式级数展开为：Y(t)=Ao+∑(A n cosnwt+B nsinnwt)

=Ao+∑Ynsin(nwt+￠)

式中：An=

如果非线性特性是中心对称的，则y(t)具有奇次对称性,Ao=0,谐波线性略去高次谐波，只取基波，具有低通滤波特性。

Y1=A1coswt+B1sinwt=Y1sin(wt+￠1)

N(A)=Y1/A×exp(j￠1)=Y1/Acos￠1+jY1/Asin￠1

=B1/A+jA1/A=b(A)+ja(A)

与频率材料比较，方式形式类似，相当于用一个等效线性元件代替原来非线性元件，而等效线性元件幅相特性N(a)是输入信号A的函数。

2.举例求饱和限幅特性的描述函数（固有非线性）

X ωt

x(t)

y(t)具有奇次对称性，Ao=0

A1=1/π∫y(t)coswtd(wt)=0

B1=1/π∫y(t)sinwtd(wt)=2/π∫y(t)sinwtd(wt)

= 2/π(∫y(t)sinwtd(wt)+∫y(t)sinwtd(wt)+∫y(t)sinwtd(wt))

若A>0,y(t)=Kasinwt 0<=wt

kc=B a<=wt<=

Kasinwt

比较线性系统特征方程G(jω)=–1

线性系统，（–1，j0）点是判断稳定的关键点。

非线性系统，判断稳定性不是点（–1，j0）,而是一条线–1∕N。（A∕d）。

由线形部分与描述函数负侧特性之间相对位置可以判断非线性系统的稳定及自激振荡，即可利用奈奎斯稳定判据进行分析。

3.判据内容：

在开环幅相平面上，G(jω)条件，最小位相，无右极点。

1）若K。G(jω)轨迹不包围时线性负侧特性–1∕N。（A∕d）,则此非线性系统稳定。

2）若K。G(jω)轨迹包围–1∕N。（A∕d），则非线性系统不稳定。

3）若K。G(jω)与–1∕N。（A∕d）相交，则在交点处，系统处于临界稳定，可能产生周期持续震荡，这种持续震荡可以用正弦振荡来近似，其振荡的振幅和频率可以分别用交点处–1∕N。（A∕d）轨迹上的A 值K。G(jω)曲线上对应的ω值来表征。

工程设计中，通常在线性部分加入校正，改变K。G(jω)与–1∕N。（A∕d）的相对位置，以消除持续振荡，提高系统稳定性。

例2.判定自振点并求自振参数

。

解：理想继电器的描述函数

N(A)=4B∕лA (B=π∕2) N(A)=2∕A

–1∕N。（A∕d）=–A∕2 K。—非线性环节的传递函数（K。=1）

K。G(jω)与–1∕N。（A∕d）两曲线交于M点，稳定自振点。

交点坐标由K 。G(j ω)=–1∕N 。（A ∕d ）亦可求出。 10 ∕j ω（j ω+1）（j ω+3）

=10∕–ωω

+ j ω（3-ωω）= -A ∕2 虚部=0 j ω（3-ωω）=0 所以ω=0 （舍去） ω=1.732 实部≠0 ω=1.732 代入原式 -10∕4ωω=-A ∕2 A=1.7 故自振点ω=1.732∕s A=5∕3 稳定运行区为初始值大于5∕3 →∞ 大初始值能稳定 小初始值不能稳定

例：

试分析系统K 的运动情况，并求K=10时的自振参数 解：

1. 化为典型结构 两个非线性串联，逐点分析求等效 Xc

饱和与理想三位继电器═>理想三位继电器 2. 作负侧描述函数，查表7-1

R

3. 线性部分：

穿越负实轴幅值为

4. 运动状态讨论

8.3 相平面法分析线性控制系统

一、相平面法基本概念

指导思想，要完全地描述二阶的系统时域行为，至少要用两个变量（状态变量）。可选x(t) 和x ?(t)作为状态变量。

1． 相平面：以横坐标表示X ，以纵坐标x ?构成一个直角坐标系，则该坐标平面成为相平面

系统某一时刻的状态可以用相平面上的一个点来描述。

2．相轨迹：相平面上的点随时间变化描绘出来的曲线称为相轨迹。

如果把系统在各种出始条件下的相轨迹都画出来，则可在相平面上的到一个想轨迹曲线簇，（描述系统各种可能的运动）。

3．相平面图：相平面和想轨迹曲线簇构成相平面图。清楚的表示系统在各种初始条件下的运动过程。

4．想平面法：用相图表示非线性二阶系统过程的方法成相平面法，可分析系统的动态过程。

5．与描述函数法不同

指数函数法实质是令系统线性部分不动，而将其非线性部分线性化。

想平面法是令系统非线性部分原封不动，而将高阶系统线性部分简化为二阶。

所以上述两种方法各有侧重，互补长短，若同时用两种方法分析一个系统，则分析结果更加全面。

6．相平面发局限性

在于只适用在定常系统，系统输入只适限于阶跃和斜坡。

7．相平面法归结为两个问题

（1）绘制相平面。

（2）由相轨迹线来理解系统过程。

二.相轨迹绘制

(一) 基本方法：

解析法

图解法

实验法

应用相平面法分析非线性系统的前提就是要绘制相轨迹。

Ⅰ.解析法:

1．解析法就是用求解微分方程的方法找出x?(t)和x(t)的关系，从而在相平面撒谎能够绘制相轨迹。

2．应用场合：当描述系统运动的微分方程比较简单，或者可以分段线性化时，应用分析法比较方便。

3．具体方法：消去变量 t法

直接积分法

消去参变量，即直接解方程x??=f(x,x?) 求出x(t) ，通求导得到x?(t) ，在x(t) 和 x?(t) 的表达式中消去参变量t ,就得到直接积分法。

因为x??=dx?/dt= dx?/dx* dx/dt=x?dx?/dx

则二阶系统微分方程的一般式x??=f(x,x?)

可以写成 x?dx?/dx=f(x,x?)

若该式可以分解为g(x?)*dx?=h(x)dx

则由∫g(x?)dx?=∫h(x)dx

可直接找出x?--x的关系。Xo?,Xo为出始条件。

举例：

8.1某弹簧——质量运动系统。 m—质量，

k—弹性系数

初始条件：x(0)=Xo

x?0)=0

试绘制系统自由运动的相轨迹。

解：描述系统运动的微分方程为：

∑ma=0

mx??+kx=0(m=1 ,k=1)

x??+x=0

法一：第一种消去变量法求，根据初始条件可求的微分方程的解为 x(t)=Xocost

则x?(t)=--Xosint

从以上两个方程中消去t可得到相轨迹方程x2(t)+x?2(t)=xo2

总以原点为圆心，以xo为半径的一簇同心圆。

法二：直接微分法。

方程x??+x=0 可写成

x?dx?/dx=--x

分离变量x?dx=--xdx 代入初始条件

∫x?dx?=--∫xdx

即 x+x=Xo 与上法结果相同。

分析：等幅振荡特性可以用相轨迹表征，相轨迹为闭合曲线。

Ⅱ.图解法

1．图解法是一种不必求出微分方程的解，而是通过各种逐步作图的方法，直接在相平面上画出相轨迹的方法。

2．适用场合

3．当微分方程用解析法求解比较复杂，困难甚至不可能时，对于非线性系统，图解法尤为重要。

注: 工程上图解法: 等倾线法和写函数法

在此只介绍等倾线法。

基本思想:光绘出相轨迹的切线方向场,然后从初始条件出发,沿方向场绘制相轨迹.

二阶时不变系统一般可用常微分方程描述

x``+f(x,x`)=0

f(x,x`)是x`,x的解析式函数,可以是线形也可以是非线形的.可写为x`=dx`/dx*dx/dt=x`dx`/dx dx`/dx=-f(x,x`)/x` 该方程的解:x`=g(x)

此方程中包含着初始条件.对于不同初始条件,它确定了不同的相轨迹.

由相轨迹方程dy/dx=-f(x,y)/y

给出在相轨迹在点(x,y)即(x,x`)上的切线的斜率dy/dx=α(相轨迹上某一点斜率)

把相轨迹上具备有等斜率点的连线称为等倾线.

-f(x,y)/y=α等倾线方程.

若在相平面里作出足够多的等倾线,并在每跟等倾线上用短线标明和相轨迹通过该线的方向(切线方向)称方向场.按方向场从起点到终点,则可绘出相轨迹.

令α为不同常数在相平面上根据等倾线方可绘出若干等倾

4.举例

用等倾线法绘出质量与动系统相轨迹

解:以知系统微分方程x``+x=0

相轨迹方程dx`/dx=-x/x` dx`/dx=α

等倾线方程-x/x`=αx`=-x/α=β

等倾线是通过相平面坐标原点的直线,其斜率β=-1/αα—等倾线上相轨迹的斜率

β—等倾线的斜率

α是斜率值,而不是角度值

令α为不同值,可求出不同的β值

根据不同β值,绘出不同斜率的一簇等倾线

在每条等倾线上写出相应的α短线

所有的短线的总体就形成了相轨迹的切线方向场

假设初始条件x(0)=X0

x`(0)=0 则可以起点(x,0)出发

沿方向场绘出系统相轨迹,仍是一个圆与解析法相同

5.说明

用等倾线法绘制相轨迹时,应该注意以下几点:

1):x轴与x`轴比例尺应当一致,这样α值才与相轨迹切线的几何斜率相同

2):相平面上半平面x`>0故向轨迹走向应沿着x增加的方向从左向右,顺时针. 相同的特征

Ⅲ特殊点

一.奇点

1.定义:相轨迹方程dx`/dx为不定值的点

2. 含义x`=0即状态变化率=0,表明系统不再运动,处于平衡状态

线形系统奇点唯一

非线形系统多个奇点

3.计算

dy/dx=0/0 4.奇点类型1) 稳定焦点

X

X

2)

(-1<ζ<0) 相轨迹从原点向外发散,自由运动不收敛平衡点,是周期性增幅振荡

3)稳定节点

4)

5)鞍点

6)中心点ζ

?

?

t

二. 极限环分类

.

极限环表示对应于时域中有确定振幅和频率的振荡 极限环包括 稳定极限环 不稳定极限环 半稳定极限环

1) 稳定极限环

都渐进趋向于这个极限环,任何 较小的扰动使系统离开极限环 后,最后人回到环上 2) 不稳定极限环

x 3) 半稳定极限环 不能产生自振荡,环内 相轨迹发散原理极限 环外相轨迹收拢极限环

例: 已知 非线形系统微分方程式 x``+0.5x`+2x+x2=0

求 系统的奇点,并绘出系统的相平面图 解: 由已知方程得相轨迹微分方程

dx`/dx+-0.5x`-2x-x2/x`

令dx`/dx=0/0 0.5x`+2x+x2=0

x`=0

求出系统两个奇点x1=0 x2=-2

x1`=0 x2`=0

在奇点附近描述系统的方程为

x``+δf(x,x`)/δx*x+δf(x,x`)/δx*x`=0

δf(x,x`)/δx=2 f(x,x`)=0.5x`+2x+x2

δf(x,x`)/δx=0.5

δf(x,x`)/δx=-2

f(x,x`)/δx`=0.5

即在奇点(0,0)领域内,可将原方程线形化为

x``+0.5x`+2x=0

x``+δf(x,x`)/δx*x`+δf(x,x`)/δx*x=0

此线形化方程的特征根S1,2=-0.25+-j1.39

故该奇点是稳定的焦点

对于奇点(-2,0)的领域内,方程线形化为

x``+0.5x`-2x=0

线性化方程的特征根

S1,2=1.19和S2=-1.69

该棋点是鞍点

进入鞍点(-2,0)的两条相轨迹起分隔线的作用,将相平面划分为两个不

同运动类型的区域.

在稳定区凡初始条件在此区域内的相轨迹收敛于原点，系统放能达到平衡稳定状态. 在发散区初始条件在此内均不稳定.

讨论:只要确定了奇点的位置和类型,以及相平面上的分隔线,就可以根据相平面图确定所有可能的运动性质,并不需要做所有的相轨迹,进一步证明,稳定性与初始条件有关.

(三) 由相平面图求时间响应

相平面图虽然清楚地描述了系统的全部运动状态,但没有给出时间信息,为了分析系统的时域性能,往往还需要再由相轨迹求出系统的过渡过程,并绘出过渡过程曲线X(t),由相平面图绘出系统的过渡过程曲线可用增量法圆弧法和积分法

1.增量法

相平面上,状态由A点转移到B点的平均速度为Xab`=△Xab/△tab

当△Xab=Xb-Xa

很小,Xab`可认为上(-)在A,B两带内处的平均值.

XXab`=Xa`+Xb`/2

又系统状态沿相轨迹由A转移到B所需要的时间△tab可求得△tab=△Xab/Xab`

同理可得从A—B—C……需时间的近似值

△tbc=△Xab/Xbc △ted=△Xcd/Xcd`

即可求得系统的时间响应曲线x(t)

2. 圆弧法

基本思想:用圆心位于X轴上的一系列小圆弧来近似表示所研究的相轨迹段,则运动所需时间等于沿这些小圆弧运动所需时间之和

AD段相轨迹,是用X轴上P,Q,R点为圆心,以|PA|,|QB|,|RC|为半径的小圆弧AB,BC,CD来近似的.则相轨迹从A点转移到D点所需要的时间Tad=Tab+Tbc+Tcd而经过每段小圆弧所需要的时间,可以方便地计算出来

以Tab为例,在A点有

x`=|PA|sinΦa

x=|PA|cosΦa+|OP|

又因为x`=dx/dt,相点在相轨迹上从坐标为()的点移动到坐标为X0的点所需的时间

T1-T0=∫-|PA|sinΦadΦ/|PA|sinΦa=Φa-Φb=Φab

表明能够，Tab在数值上等于ab所对应的中心角Φab,用圆弧度来度量的数值.

二.相品面法分析非线形系统

㈠分析步骤:

1)首先根据非线性特性的分段情况,用几条分界线将相划分为

几个现行区域

2)然后按照系统的结构图分别列写各区域的线性微分方程式

3)并应用线性系统相平面分析的方法和结论,绘出各区域的相轨

迹

4)根据系统状态变化的连续性,在各区域的交界线上,将响轨迹彼

此衔接成连续曲线,即构成完整的线性系统相图

(二) 关键术语

1.开关线或转换线

将各线性区域的分界线称为开关线

2.转换点

开关线撒谎能够相轨迹发生改变的点

3. 室奇点

每个区域内有一个奇点,如果这个奇点在本区域之内,这种奇

点称实奇点

4. 虚奇点

如果奇点落在本区域之外,称虚奇点

表明该区域相轨迹不可能汇集于虚奇点. 二阶非线性系统中,只可能有一个实奇点,而与这个实奇点所在区域邻接的所有其它区域都可能有虚奇点

㈢控制系统分析

例: 饱和特性的非线性控制系统(如下图)

试用相平面法分析系统的阶跃响应和斜坡响应

解：系统线性部分

c(s)/x(s)=0.25/s(0.55+1) 0.5c``+c`\0.25x e=r-c

非线性部分

10e |e|<1

x= 10 e>1

-10 e<-1

阶跃响应

r=Rx1(t)

当t>0+时r``(t)=r`(t), r=R

e`=-c`, e``=-c``

描述系统误差的方程为

0.5e``+e`+0.25x=0

x=10e |e|<=1

x=10 e>1

x=-10 e>1

即为方程线性方程，在相平面上，e=+-1的两条直线把相平面划分为三个区域，