九年级数学试题及答案

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九 年 级 数 学 试 卷

全卷满分120分，考试时间共120分钟

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一个

选项符合题意）

1．︱－32︱的值是（ ） A ．-3

B ． 3

C ．9

D ．-9

2．函数y = x －2

x

中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x ≠0

B ．x ≥2

C ．x ＞2且x ≠0

D ．x ≥2且x ≠0

3．由一些大小相同的小正方体组成的几何体的三视图如图1所示，那么组成这个几何体的小正方体

有（ ）

A ．6块

B ．5块

C ．4块

D ．3块

4．在等腰△ABC 中，一腰AB 的垂直平分线交另一腰AC 于点G ，若已知AB ＝10，△GBC 的周长为17，则底BC 的长为（ ）

A ．10

B ．9

C ．7

D ．5 5．若α、β是方程x 2－4x －5＝0的两个实数根，则α2＋β2的值为（ ） A ．30

B ．26

C ．10

D ．6

6．某校九（3）班的全体同学喜欢的球类运动用如图2所示的统计图来表示，下面说法正确的是（ ）

A ．从图中可以直接看出喜欢各种球类的具体人数；

B ．从图中可以直接看出全班的总人数；

C ．从图中可以直接看出全班同学初中三年来喜欢各种球类的变化情况；

D ．从图中可以直接看出全班同学现在喜欢各种球类的人数的大小关系 7．如图3，四边形ABCD 是平行四边形，O 是对角线AC 与BD 的交点，AB ⊥AC ，若AB =8，AC =12，

则BD 的长是（ ）

A ．16

B ．18

C ．20

D ．22

8．如图4，小“鱼”与大“鱼”是位似图形，已知小“鱼”上一个“顶点”的坐标为（a ，b ），那么大“鱼”上对应“顶点”的坐标为（ ）

A ．（-a ，-2b ）

B ．（-2a ，-b ）

C ．（-2a ，-2b ）

D ．（-b ，-2a ）

主视图

俯视图

左视图

图1

足球

30% 篮球 25%

排球 20%

乒乓球 25% 图2

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9．已知二次函数y =ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图5所示，有下列5个结论：①abc ＜0；②b ＜a +c ；③4a +2b +c ＞0；④2c ＜3b ；⑤a +b ＜m （am +b ）（m ≠1且为实数），其中正确的个数是（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

10．如图6，Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC =BC =2，在以AB 的中点O 为坐标原点、AB 所在直线为

x 轴建立的平面直角坐标系中，将△ABC 绕点B 顺时针旋转，使点A 旋转至y 轴正半轴上的A ′处，则图

中阴影部分面积为（ ）

A ．4π3－2

B ．4π3

C ．2π

3

D ．2π3

－2

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题（本大题6个小题，每小题3分，共18分。）

11．某汽车参展商为参加中国（成都）国际汽车博览会，印制了105000张宣传彩页，105000这个数字用科学记数法表示为 ___ .

12．如图7，已知△ABC 中，∠ABC ＝45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD ＝4，则线段DF 的长是 __ . 13．某篮球兴趣小组五位同学的身高（单位：cm ）如下：175、175、177、x 、173，已知这组数据的平均数是175，则这组数据的方差是 .

14．如图8所示，PA 、PB 是⊙O 的切线，A 、B 为切点，AC 是⊙O 的直径，∠P ＝40°

，则∠BAC ＝ ____ .

15．如图9，给正五边形的顶点依次编号为1、2、3、4、5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”. 如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→l 为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移

位”.若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为 _______ .

16．有甲、乙、丙三种货物，若购甲3件、乙7件、丙1件共需630元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需840元，现购甲、乙、丙各一件共需 ___ 元.

三、解答题（共8个小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（本小题满分8分）

图4

C

B

O

图3

B C

A

P

O 图8

5

4

3

2

1

图9

E

D

C

B

A

F 图7

y

-1

1

x 图5

图6

（ 1）计算：()0

228.6π-+2

61-??

?

??-－2cos60°

(2)先化简（1－1x －1）÷x 2－4x ＋4

x 2－1

，并求当x 满x 2－6=5x 时该代数式的值.

18.（本小题满分8分）如图10，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan∠ABC ）为1∶3，点P 、

H 、B 、C 、A 在同一平面上，点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ，

（1）山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于 度.

（2）求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1米.参考数据3≈1.732）

19.（本小题满分8分）小明与他的父亲、母亲计划五一期间外出旅游，初步选择了广安、绵阳、泸州、眉山四个城市，由于时间仓促，他们只能去一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小明父亲建议，用小明学过的摸球游戏来决定，规则如下：

①在一个不透明的袋子中装一个红球（广安）、一个白球（绵阳）、一个黄球（泸州）和一个黑球（眉山），这四个球除颜色不同外，其余完全相同；

②小明父亲先将袋中球摇匀，让小明从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小明母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；

③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出求的颜色相同为止．

按照上面的规则，请你解答下列问题：

（1）已知小明的理想旅游城市是绵阳，小明和母亲随机各摸球一次，请用画树状图求出他们均摸出白球的概率.

（2）已知小明母亲的理想旅游城市是泸州，小明和母亲随机各摸球一次，则他们至少有一人摸出黄球的概率是多少？

20. (本小题满分8分) 如图11，已知反比例函数y 1=k 1

x

（k 1﹥0）与一次函

y

A 图10

数y

2

=k

2

x ＋1（k

2

≠0）相交于A 、B 两点，A C ⊥x

轴于点C ，若△OAC 的面积为1，且tan∠AOC =2.

（1）求出反比例函数与一次函数的解析式；

（2）请直接写出B 点的坐标，并指出当x 为何值时，反比例函数y 1的值大于一次函数y 2的值？ 21.（本小题8分）已知正方形ABCD 中，∠MAN =45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N .当∠MAN 绕点A 旋转到BM =DN 时(如图12)，易证BM ＋DN ＝MN ．

（1）当∠MAN 绕点A 旋转到BM ≠DN 时(如图13)，线段BM ，DN 和MN 之间有怎样的数量关系?写出猜想，并加以证明．

（2）当∠MAN 绕点A 旋转到如图14的位置时，线段BM ，DN 和MN 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并加以证明．

22.（本小题满分10分）某机械租赁公司有同一型号的机械设备40套，经过一段时间的经营发现，当每套设备的月租金为270元时，恰好全部租出．在此基础上，当每套设备的月租金每提高10元时，这种设备就少租出一套，且没租出的一套设备每月需支出费用（维护费、管理费等）20元．设每套设备的月租金为x （元），租赁公司出租该型号设备的月收益（收益=租金收入－支出费用）为y （元）.

（1）用含x 的代数式表示未出租的设备数（套）以及所有未出租设备（套）的支出费用

（2）当月租金分别为300元和350元时，租赁公司的月收益分别是多少元？此时应该出租多少套机械设备？请你简要说明理由.

（3）当x 为何值时，租赁公司出租该型号设备的月收益最大？最大月收益为多少？ 23.（本小题满分10分）如图15，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC =PC ，∠COB =2∠PCB .

（1）求证：PC 是⊙O 的切线；

（2）求证：BC =1

2

AB ；

（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB =4，求MN ·MC

M

N D

C A

图14

B

N

M B

A

C

D 图12

N

M

B

A

C

D

图13

M

C

B

A

P

O N 图15

的值.

24.（本小题满分12分）如图16，抛物线y＝ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，4），与x轴交于

点A、B，点A的坐标为（4，0）.

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，

连接CQ，当△CQE的面积为3时，求点Q的坐标；

（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于

点F，点D的坐标为（2，0）.问：是否存在这样的直线l，使得△ODF

是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

参考答案及评分意见

一、 选择题

1—5 CBBCB 6—10 DCCBC

二、填空题

11．1.05×105 12．4 13．1.6 14．20° 15．3 16．210

三、解答题

17．（1）解：原式=1+36﹣1……………2分

=36； ………………3分 (2)解：原式 =x -2x -1·(x +1)(x -1)

(x -2)2

·························· 2分

=x +1

x -2

······························ 3分

方程x 2-6=5x 的解为：x 1=6 x 2=-1 ························ 4分

∵x =-1时分式无意义 ，∴当x =6时，原式=6+16-2=74

················· 5分

18．解：（1）30. ································ 2分 （2）在Rt △BHP 中，∠PBH =600， ∵PH PB =sin ∠PBH ，∴PB =PH sin ∠PBH =30sin60°=20 3 ················· 4分 在△ABP 中，∠AP B =60°-15°=45°，

∠ABP =180°－∠PBH －∠ABC =180°－60°－30°=90° ··············· 5分 ∴△ABP 是等腰直角三角形， ·························· 6分 ∴AB =PB =203≈34.6（米） ·························· 7分 答：A 、B 两点间的距离约为34.6米. ······················· 8分

19．解：（1）画树状图得：

············ 4分

∵共有16种等可能的结果，小明和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有1种情况，

∴小明和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：1

16； ············· 6分

（2）由（1）得：共有16种等可能的结果，小明和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，

∴小明和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：7

16

． ········· 8分

20．解：（1）在Rt△OAC 中，设OC =m ，

∵tan∠AOC =

AC

OC

=2，∴AC =2×OC =2m ， ∵S △OAC =12×OC ×AC =1

2

×m ×2m =1，

∴m 2=1，∴m =±1（负值舍去），

∴A 点的坐标为（1，2）， ···························· 2分 把A 点的坐标代入y 1=k 1x

中，得k 1=2，

∴反比例函数的表达式为y 1=2

x

， ························· 3分

把A 点的坐标代入y 2=k 2x ＋1中，得k 2+1=2，∴k 2=1，

∴一次函数的表达式y 2=x +1； ·························· 4分 （2）B 点的坐标为（-2，-1）， ·························· 6分 当0＜x ＜1和x ＜-2时，y 1＞y 2. ························· 8分

21．解：(1)BM ＋DN =MN 成立． ························· 1分 如下图1，在MB 的延长线上，截得BE =DN ，连接AE ，

易证：△ABE ≌△AND ，∴AE =AN ． ······················· 2分

∴∠EAB =∠NMD ．∴∠BAD =90°,∠NAM =45°

∴∠BAM +∠NMD =45°．∴∠EAB +∠BAM =45°．∴∠EAM =∠NAM 又AM 为公共边，∴△AEM ≌△ANM ，

∴ME =MN ，∴ME =BE ＋BM =DN ＋BM .

∴DN +BM =MN . ································ 4分 (2)DN －BM ＝MN ． ······························ 5分 理由如下：

如图2，在DC 上截取DF =BM ，连接AF ．

∵AB =AD ，∠ABM =∠ADF =90°，∴△ABM ≌△ADF （SAS ）

∴AM =AF ，∠MAB =∠FAD ． ·························· 6分

E

N

M

B

A

C

D

图1

F

M

N

D C A

图2

B

∴∠MAB +∠BAF =∠FAD +∠BAF =90°，即∠MAF =∠BAD =90°．

又∠MAN =45°，∴∠NAF =∠MAN =45°．∵AN =AN ，∴△MAN ≌△FAN ．∴MN =FN ， 即 MN=DN －DF=DN －BM ； ·························· 8分

22．解：（1）未租出的设备为x －270

10套，所有未出租设备支出的费用为（2x －540）元； · 2分

（2）∵y =(40－

x －270

10)x －（2x －540）=-1

10

x 2+65x +540； ··············· 4分 ∴当月租金为300元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备37套；

当月租金为350元时，租赁公司的月收益为11040元，此时租出设备32套． ······ 5分

因为出租37套和32套设备获得同样的收益，如果考虑减少设备的磨损，应该选择出租32套；如果考虑市场占有率，应该选择37套； ··························· 6分

（3）由（2）知y ＝-110x 2+65x +540=- 1

10（x -325）2＋11102.5 ············· 7分

∴当x =325时，y 有最大值11102.5．但是当月租金为325元时，出租设备的套数为34.5套，而34.5不是整

数 ······································ 8分

故出租设备应为34（套）或35（套）．即当月租金为330元（租出34套）或月租金为320元（租出35套）时，租赁公司的月收益最大，最大月收益均为11100元．…………………………10分

23．解：如图3（1）∵OA =OC ，∴∠A =∠ACO ， 又∵∠COB =2∠A ，∠COB =2∠PCB ， ∴∠A =∠ACO =∠PCB ，又∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACO +∠OCB =90°，∴∠PCB +∠OCB =90°，

∴∠PCO =90°，即OC ⊥CP ，

而OC 是⊙O 的半径，∴PC 是⊙O 的切线；.............................（3分） （2）∵AC =PC ，∴∠A =∠P ， ∴∠A =∠ACO =∠PCB =∠P ，

又∵∠COB =∠A +∠ACO ，∠CBO =∠P +∠PCB ，

∴∠COB =∠CBO ，∴BC =OC ，∴BC =1

2AB ； ···················· 6分

（3）连接MA ，MB ， ∵点M 是弧AB 的中点， ∴

，∴∠ACM =∠BCM ，∵∠ACM =∠ABM ，∴∠BCM =∠ABM ，

又∵∠BMN =∠BMC ，∴△MBN ∽△MCB ，∴BM MC ＝MN BM

， ·············· 8分 ∴BM 2=MN ·MC ， 又∵AB 是⊙O 的直径，

，∴∠AMB =90°，AM =BM ，

∴AB =4，∴BM =22，∴MN ·MC =BM 2=（22）2=8 ··············· 10分

M C

B A P O N 图3 y

E

C

24．解：（1）由题意，得???=+-=c c a a 48160 ，解得?????

==

4

21c a ，

∴所求抛物线的解析式为y ＝-12

x 2

+x +4

（2）如图4，设点Q 的坐标为（m ，0），过点E 作EG ⊥x 轴于

点G ，由-12x 2

+x +4＝0，

得x 1=-2，x 2=4,

∴点B 的坐标为（-2，0） ，∴AB =6，BQ = m +2 ∵QE ∥AC ， ∴△BQE ∽△BAC ， ∴EG CO =BQ BA 即EG 4=m+26，∴EG =2m+43………….5分 ∴ S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12BQ ·C O －1

2

BQ ·EG

=12(m +2)(4－2m+43) =-13m 2+23m +8

3

=3, ∴ m 2－2m －8＝-9, ∴m =1 ∴Q (1，0) ······················ 7分

（3）存在 ··································· 8分 在△ODF 中，

①若DO =DF ，∵A (4，0)，D (2，0)，∴AD =OD =DF =2,

又在Rt △AOC 中，OA =OC =4，∴∠OAC = 45° ∴∠DFA =∠OAC = 45°∴∠ADF =90° 此时，点F 的坐标为（2，2）

由242

12

=++-

x x ，得x 1=1＋5，x 2=1－ 5 此时，点P 的坐标为：P (1＋5，2 )或P (1－5，2 )

······································· 9分 ②如图5，若FO =FD ，过点F 作FM ⊥ 轴于点M ，

由等腰三角形的性质得：OM ＝1

2

OD ＝1,∴AM =3

∴在等腰直角三角形△AMF 中，MF =AM =3 ∴F (1，3) 由-1

2

x 2+x +4＝3，得x 1=1＋3，x 2=1－3 此时，点P 的坐标为：P (1＋3，3)或P （1－3，3) ………………………………10分

③若OD =OF ，∵OA =OC =4，且∠AOC =90°，∴AC = 42

∴点O 到AC 的距离为22，而OF =OD =2＜22

此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形. ············ 11分

综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形.所求点P 的坐标为：

P (1＋5，2 )或P (1－5，2 )或P (1＋3，3)或P （1－3，3)…………………………12分

M G F

y O D Q E

C

B A

x

图5

P

l