浙江省普通高中学业水平考试数学(含答案)
2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学试题
满分100分,考试时间80分钟
一、 选择题(本大题共18小题,每小题3分,共54分,每小题列出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的,不选、多选、错选均不得分)
1. 已知全集U ={1,2,3,4},若A ={1,3},则C u A = ( )
A .{1,2}
B .{1,4}
C .{2,3}
D .{2,4}
2. 已知数列1,a ,5是等差数列,则实数a 的值为 ( )
A .2
B .3
C .4
D .5
3.计算lg 4+lg 25= ( )
A .2
B .3
C .4
D .10
4. 函数y =3x 的值域为 ( )
A .(0,+∞)
B .[1,+∞)
C .(0,1]
D .(0,3]
5. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若a =3,A =60°,B =45° ,则b 的长为 ( )
A .
2
2 B .1 C .2 D .2
6. 若实数x ,y 满足?
??<->+-020
1y x y x ,则点P (x ,y )不可能落在 ( )
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
7. 在空间中,下列命题正确的是 ( ) A.若平面α内有无数条直线与直线l 平行,则l∥α B.若平面α内有无数条直线与平面β平行,则α∥β C.若平面α内有无数条直线与直线l 垂直,则l⊥α D.若平面α内有无数条直线与平面β垂直,则α⊥β
8. 已知θ为锐角,且sinθ=53,则sin (θ+4
π
)= ( )
A.
1027 B.1027- C.102 D.10
2
-
9. 直线y =x 被圆(x ?1)2+y 2=1所截得的弦长为 ( )
A.2
2
B.1
C.2
D.2 10.
设数列{a n }的前n 项和为S n ,若S n +1=2a n +1,n ∈N *,则a 3= ( )
A .3
B .2
C .1
D .0
11.如图在三棱锥A?BCD 中,侧面ABD ⊥底面BCD ,BC ⊥CD ,AB=AD=4,BC=6, BD=43,该三棱锥三视图的正视图为 ( )
12.在第11题的三棱锥A?BCD 中,直线AC 与底面BCD 所成角的大小为 ( ) A.30° B.45° C.60° D.90°
13设实数a ,b 满足|a|>|b|,则“a?b>0”是“a+b>0”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
14.过双曲线12222=-b y a x (a>0,b>0)的左顶点A 作倾斜角为4
π
的直线l ,l 交y 轴于点B ,
交双曲线的一条渐近线于点C ,若BC =AB ,则该双曲线的离心率为 ( ) A.5 B.5 C.
3 D.
2
5
15.若实数a ,b ,c 满足1
B.在区间(?1,0)内有一个实数根,在(?1,0)外有一个实数根
C .在区间(?1,0)内有两个相等的实数根
D .在区间(?1,0)内有两个不相等的实数根
16. 如图1,把棱长为1的正方体沿平面AB 1D 1和平面A 1BC 1截去部分后,得到如图2
所示几何体,该几何体的体积为 ( )
A . 43
B . 24
17
C .
3
2 D .
2
1 17.已知直线2x +y +2+λ(2?y )=0与两坐标轴围成一个三角形,该三角形的面积记为S (λ), 当λ∈(1,+∞)时,S (λ)的最小值是 ( )
A .12
B .10
C .8
D .6
18. 已知)(x f =2x +ax +b (a ,b ∈R ),记集合A={x ∈R |)(x f ≤0},B ={x ∈R |)1)((+x f f ≤0}, 若A =B ≠?,则实数a 的取值范围为 ( )
A .[?4,4]
B .[?2,2]
C .[?2,0]
D .[0,4]
二、填空题(本大题共4小题,每空3分,共15分) 19. 设向量a =(1,2),b =(3,1),则a +b 的坐标为________,a ?b =____________
20. 椭圆3
2
x +y 2=1两焦点之间的距离为____________________________
21. 已知a ,b ∈R ,且a ≠?1,则b a b a -++
+1
1
的最小值是_______________ 22.
设点P 是边长为2的正三角形ABC 的三边上的动点,则)PC +PB (PA ?的取值
范围为______
三、解答题(本大题共3小题,共31分)
23.(本题10分)已知函数R x x x f ∈-=,1cos 2)(2
①求)6(π
f 的值
②求)(x f 的最小正周期 ③设x x f x g 2cos 3)4
()(+-=π
,求)(x g 的值域
24.(本题10分)已知抛物线C :y 2=2px 过点A(1,1) ①.求抛物线C 的方程
②.过点P(3,?1)的直线与抛物线C 交于M ,N 两个不同的点(均与点A 不重合),设直线 AM ,AN 的斜率分别为k 1,k 2,求证:k 1?k 2为定值
25.(本题11分)已知函数)(x f =3|x?a|+|ax?1|,其中a∈R ①当a=1时,写出函数)(x f 的单调区间 ②若函数)(x f 为偶函数,求实数a 的值
③若对任意的实数x∈[0,3],不等式)(x f ≥3x|x?a|恒成立,求实数a 的取值范围
2017年4月浙江省普通高中学业水平考试数学参考答案
一. 选择题
题号 1 2
3
4
5
6
7 8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 答案
D
B A A
C
D D
A C
B
C
A
C
B
D
B
C
B
19.(4,3),
5 20. 22 21. 1 22.[8
9-
,2] 23.解:①x x f 2cos )(=由已知可得
213cos )6(==∴ππf
②T =
ππ
=2
2 ③x x f x g 2cos 3)4
(
)(+-=π
Θ
)3
2sin(22cos 232sin 21(22cos 3)22cos()(π
π+=+=+-=∴x x x x x x g
]2,2[)(-∈∴x g 24.解:①∵A 在抛物线上
∴1=2p 即p=2
1
∴抛物线C 的方程为x y =2
②令M (x 1,y 1),N(x 2,y 2)
MN:m(y+1)=x-3代入x y =2可得
032=---m my y
∴y 1+y 2=m, y 1*y 2=-m-3, x 1+x 2=m 2+2m+6, x 1*x 2=(m+3)2 又k 1?k 2=1
)(1
)(1111212121212211++-++-=--*--x x x x y y y y x y x y =
2442
21
62)3(132
2-=+--=+---++---m m m m m m m 为定值 25.(本题11分)已知函数)(x f =3|x?a|+|ax?1|,其中a∈R ①当a=1时,写出函数)(x f 的单调区间 ②若函数)(x f 为偶函数,求实数a 的值
③若对任意的实数x∈[0,3],不等式)(x f ≥3x|x?a|恒成立,求实数a 的取值范围 25.解:(1)当a=1时
??
?<--≥-=-=-+-=1
)1(41
)1(414113)(x x x x x x x x f ∴的单调增区间是)(),1[x f x +∞∈,()的单调减区间是,
)(1-x f x ∞∈ (2)∵)(x f 是偶函数
∴)1()1(f f =- ∴113113-+-=--+--a a a a
即a a -=+11
∴0=a
(3)